द्रवस्थैतिक बल
- गहराई पर दाब
- p = ρgh
- ऊर्ध्वाधर दीवार पर बल
- F = ρg·hc·A
- दाब केंद्र
- yp = yc + Ic/(ycA)
- आयत
- Ic = bH³/12
द्रवचालित इंजीनियरिंग: क्रैम पैक
सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 10 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।
1सूत्र और विधियाँ
सांतत्य और बर्नूली
- सांतत्य
- A1v1 = A2v2
- बर्नूली
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- प्रवाह दर
- Q = A·v
- वृत्त का क्षेत्रफल
- A = πd²/4
पाइप घर्षण और शीर्ष हानि
- रेनॉल्ड्स संख्या
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- प्रवाह व्यवस्था
- Re ≈ 2000 से नीचे स्तरीय, Re ≈ 4000 से ऊपर विक्षुब्ध
- औसत वेग
- V = Q/A, A = π·D²/4
- डार्सी–वाइसबाख
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- लघु हानियाँ
- hm = ΣK·V²/(2g)
- K के सामान्य मान
- प्रवेश 0.5, निकास 1.0, 90° मोड़ ≈ 0.3
- दाब पात
- Δp = ρ·g·hf
- दो खुले जलाशय
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- मुक्त निकास
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
पंप और पंप शक्ति
- द्रवीय शक्ति
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- शाफ़्ट शक्ति
- Pshaft = Ph/ηpump
- विद्युत शक्ति
- Pel = Pshaft/ηmotor
- पंप शीर्ष
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- तंत्र हानियाँ
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
खुली वाहिका प्रवाह (मैनिंग)
- मैनिंग समीकरण
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- प्रवाह दर
- Q = A·V
- द्रवीय त्रिज्या
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- आयत
- A = b·y, P = b + 2y
- समलंब (पार्श्व ढाल z:1)
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- वृत्ताकार पाइप, पूरा या आधा भरा
- R = D/4
- आवश्यक ढाल
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
2अभ्यास प्रश्न
1.द्रवस्थैतिक बलमध्यम
1.5 m चौड़ा एक ऊर्ध्वाधर आयताकार फाटक पानी वाली टंकी की दीवार में है, उसका ऊपरी किनारा सतह से 4 m नीचे है। फाटक पर परिणामी द्रवस्थैतिक बल F ज्ञात कीजिए।
d = 4 mH = 3 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
2.द्रवस्थैतिक बलकठिन
2 m चौड़ा एक ऊर्ध्वाधर आयताकार फाटक समुद्री जल वाली टंकी की दीवार में है, उसका ऊपरी किनारा सतह से 2 m नीचे है। फाटक पर परिणामी द्रवस्थैतिक बल F ज्ञात कीजिए।
d = 2 mH = 2 mb = 2 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
3.सांतत्य और बर्नूलीमध्यम
पानी एक बड़ी खुली टंकी से 40 mm व्यास वाले तीक्ष्ण-धार छिद्र (ऑरिफ़िस) से निकलता है। जल स्तर छिद्र से 2.5 m ऊपर बनाए रखा जाता है और निस्सरण गुणांक 0.6 है। प्रवाह दर Q ज्ञात कीजिए। g = 9.81 m/s² लें।
d = 40 mmh = 2.5 mCd = 0.6g = 9.81 m/s²
Q = L/s
4.सांतत्य और बर्नूलीकठिन
एक बंद पानी की टंकी में पानी के ऊपर 180 kPa गेज दाब पर संपीडित वायु है। पानी सतह से 2.5 m नीचे 30 mm व्यास वाले छिद्र से खुली हवा में निकलता है। हानियों को नगण्य मानते हुए ज्ञात कीजिए: जेट वेग v। g = 9.81 m/s² लें।
pair = 180 kPa (गेज)h = 2.5 md = 30 mmρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
v = m/s
5.पाइप घर्षण और शीर्ष हानिमध्यम
जल 300 mm आंतरिक व्यास वाले 500 m लंबे पाइप से 200 L/s पर बहता है। डार्सी घर्षण गुणांक f = 0.015 और g = 9.81 m/s² लें। घर्षण शीर्ष हानि hf ज्ञात कीजिए।
Q = 200 L/sL = 500 mD = 300 mmf = 0.015g = 9.81 m/s²
hf = m
6.पाइप घर्षण और शीर्ष हानिकठिन
200 mm आंतरिक व्यास (डार्सी घर्षण गुणांक f = 0.025) वाला 150 m लंबा पाइप एक खुले जलाशय से निकलता है और वायु में मुक्त जेट के रूप में निकास करता है। लघु हानियाँ हैं: एक तीखे किनारे वाला प्रवेश (K = 0.5), 2 मोड़ (हर एक K = 0.3) और एक वाल्व (K = 10)। g = 9.81 m/s² लें। 80 L/s की प्रवाह दर के लिए जलाशय की सतह पाइप निकास से कितनी H ऊपर होनी चाहिए?
Q = 80 L/sL = 150 mD = 200 mmf = 0.025Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×2)Kvalve = 10
H = m
7.पंप और पंप शक्तिमध्यम
एक परीक्षण में पंप 34 m शीर्ष के विरुद्ध 40 L/s जल (ρ = 1000 kg/m³) देता है जबकि उसका शाफ़्ट 20.5 kW लेता है। g = 9.81 m/s² लें। पंप दक्षता η प्रतिशत में ज्ञात कीजिए।
Q = 40 L/sH = 34 mPshaft = 20.5 kWg = 9.81 m/s²
η = %
8.पंप और पंप शक्तिकठिन
एक पंप 50 L/s जल (ρ = 1000 kg/m³) को एक खुले निचले जलाशय से एक ऊपरी टैंक तक ले जाता है, जिसकी जल सतह 9 m ऊँची है। पाइप 400 m लंबा है, उसका आंतरिक व्यास 200 mm और डार्सी घर्षण गुणांक f = 0.015 है; लघु-हानि गुणांकों का योग ΣK = 6 है (प्रवेश और निकास सहित)। g = 9.81 m/s² लें। पंप दक्षता 78% है। शाफ़्ट शक्ति Pshaft kW में ज्ञात कीजिए।
Q = 50 L/sΔz = 9 mL = 400 mD = 200 mmf = 0.015ΣK = 6η = 78%
Pshaft = kW
9.खुली वाहिका प्रवाह (मैनिंग)मध्यम
एक आयताकार साफ़ मिट्टी वाहिका 2 m चौड़ी है। जल 1.2 m गहराई पर एकसमान रूप से बहता है। मैनिंग n = 0.022 और तल ढाल S = 0.0008 है। प्रवाह दर Q m³/s में ज्ञात कीजिए।
b = 2 my = 1.2 mn = 0.022S = 0.0008
Q = m³/s
10.खुली वाहिका प्रवाह (मैनिंग)कठिन
3.5 m चौड़ी एक आयताकार परिष्कृत कंक्रीट वाहिका को 0.6 m गहराई पर एकसमान प्रवाह में 7.2 m³/s वहन करना है। मैनिंग n = 0.012। आवश्यक तल ढाल S (m/m में) ज्ञात कीजिए।
Q = 7.2 m³/sb = 3.5 my = 0.6 mn = 0.012
S = m/m
3विलयन
1.द्रवस्थैतिक बल
उत्तर: F = 242.8 kN
समतल सतह पर द्रवस्थैतिक बल: F = ρ·g·yc·A। यह दाब केंद्र ycp = yc + Ic/(ycA) पर कार्य करता है, जो हमेशा केंद्रक के नीचे होता है।
केंद्रक की गहराई और क्षेत्रफल
yc = d + H/2 = 4 + 3/2 = 5.5 m
A = H·b = 3·1.5 = 4.5 m²
परिणामी बल
F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·5.5·4.5 = 242.8 kN
उत्तर
F = 242.8 kN
2.द्रवस्थैतिक बल
उत्तर: F = 120.7 kN
समतल सतह पर द्रवस्थैतिक बल: F = ρ·g·yc·A। यह दाब केंद्र ycp = yc + Ic/(ycA) पर कार्य करता है, जो हमेशा केंद्रक के नीचे होता है।
केंद्रक की गहराई और क्षेत्रफल
yc = d + H/2 = 2 + 2/2 = 3 m
A = H·b = 2·2 = 4 m²
परिणामी बल
F = ρ·g·yc·A = 1025·9.81·3·4 = 120.7 kN
उत्तर
F = 120.7 kN
3.सांतत्य और बर्नूली
उत्तर: Q = 5.281 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
आदर्श जेट वेग
√(2gh) = √(2·9.81·2.5) = 7.004 m/s
वास्तविक प्रवाह दर
निस्सरण गुणांक जेट के संकुचन और किनारे पर घर्षण को ध्यान में रखता है।
Q = Cd·A·√(2gh) = 0.6·0.001257·7.004 = 0.005281 m³/s = 5.281 L/s
उत्तर
Q = 5.281 L/s
4.सांतत्य और बर्नूली
उत्तर: v = 20.22 m/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
सतह से जेट तक बर्नूली
v = √(2·(180000/1000 + 9.81·2.5)) = 20.22 m/s
उत्तर
v = 20.22 m/s
5.पाइप घर्षण और शीर्ष हानि
उत्तर: hf = 10.2 m
पाइप प्रवाह: रेनॉल्ड्स संख्या Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ स्तरीय प्रवाह (Re लगभग 2000 से कम) को विक्षुब्ध प्रवाह (लगभग 4000 से अधिक) से अलग करती है। पाइप के अनुदिश घर्षण से डार्सी–वाइसबाख शीर्ष हानि hf = f·(L/D)·V²/(2g) होती है। फ़िटिंग, वाल्व, प्रवेश और निकास लघु हानियाँ hm = ΣK·V²/(2g) जोड़ते हैं। दो खुले जलाशय सतहों के बीच ऊर्जा समीकरण Δz = hf + hm देता है, जिसमें निकास हानि K = 1 शामिल है।
औसत वेग
A = π·0.3²/4 = 0.07069 m²
V = Q/A = 0.2/0.07069 = 2.829 m/s
वेग शीर्ष
V²/(2g) = 2.829²/(2·9.81) = 0.408 m
डार्सी–वाइसबाख
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.015·(500/0.3)·2.829²/(2·9.81) = 10.2 m
उत्तर
hf = 10.2 m
6.पाइप घर्षण और शीर्ष हानि
उत्तर: H = 10.2 m
पाइप प्रवाह: रेनॉल्ड्स संख्या Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ स्तरीय प्रवाह (Re लगभग 2000 से कम) को विक्षुब्ध प्रवाह (लगभग 4000 से अधिक) से अलग करती है। पाइप के अनुदिश घर्षण से डार्सी–वाइसबाख शीर्ष हानि hf = f·(L/D)·V²/(2g) होती है। फ़िटिंग, वाल्व, प्रवेश और निकास लघु हानियाँ hm = ΣK·V²/(2g) जोड़ते हैं। दो खुले जलाशय सतहों के बीच ऊर्जा समीकरण Δz = hf + hm देता है, जिसमें निकास हानि K = 1 शामिल है।
वेग
V = Q/A = 0.08/0.03142 = 2.546 m/s
V²/(2g) = 0.3305 m
हानि गुणांक
f·L/D = 0.025·150/0.2 = 18.75
ΣK = 0.5 + 2·0.3 + 10 = 11.1
ऊर्जा समीकरण
निकास जेट अभी भी अपना वेग शीर्ष वहन करता है; यह हानि नहीं है, पर इसे देना पड़ता है।
H = (1 + 18.75 + 11.1)·0.3305 = 10.2 m
उत्तर
H = 10.2 m
7.पंप और पंप शक्ति
उत्तर: η = 65.08 %
पंप शक्ति: जल को दी गई शक्ति द्रवीय शक्ति Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp है। शाफ़्ट को अधिक देना पड़ता है क्योंकि पंप में कुछ हानि होती है: Pshaft = Ph/ηpump, और मोटर Pel = Pshaft/ηmotor लेती है। पंप शीर्ष H ऊर्जा समीकरण से मिलता है: स्थैतिक उठान + दाब शीर्ष + सभी घर्षण और लघु हानियाँ।
द्रवीय शक्ति
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.04·34 = 13.34 kW
दक्षता
η = Ph/Pshaft = 13.34/20.5 = 65.08%
उत्तर
η = 65.08%
8.पंप और पंप शक्ति
उत्तर: Pshaft = 8.582 kW
पंप शक्ति: जल को दी गई शक्ति द्रवीय शक्ति Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp है। शाफ़्ट को अधिक देना पड़ता है क्योंकि पंप में कुछ हानि होती है: Pshaft = Ph/ηpump, और मोटर Pel = Pshaft/ηmotor लेती है। पंप शीर्ष H ऊर्जा समीकरण से मिलता है: स्थैतिक उठान + दाब शीर्ष + सभी घर्षण और लघु हानियाँ।
वेग
V = Q/A = 0.05/0.03142 = 1.592 m/s
V²/(2g) = 0.1291 m
शीर्ष हानियाँ
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (30 + 6)·0.1291 = 4.648 m
पंप शीर्ष
H = Δz + hL = 9 + 4.648 = 13.65 m
शाफ़्ट शक्ति
Pshaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9.81·0.05·13.65/0.78 = 8.582 kW
उत्तर
Pshaft = 8.582 kW
9.खुली वाहिका प्रवाह (मैनिंग)
उत्तर: Q = 2.06 m³/s
मैनिंग समीकरण (SI): खुली वाहिका में एकसमान प्रवाह के लिए V = (1/n)·R2/3·S1/2 और Q = A·V, जहाँ n खुरदरापन गुणांक, S तल ढाल (m/m) और R = A/P द्रवीय त्रिज्या है: प्रवाह क्षेत्रफल बटा आर्द्र परिमाप। P में केवल जल के संपर्क वाली सीमा गिनी जाती है, मुक्त सतह नहीं। आयत: A = b·y, P = b + 2y। z:1 (क्षैतिज:ऊर्ध्वाधर) पार्श्व ढाल वाला समलंब: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)। पूरे या आधे भरे बहते वृत्ताकार पाइप के लिए R = D/4।
ज्यामिति
A = b·y = 2·1.2 = 2.4 m²
P = b + 2y = 2 + 2·1.2 = 4.4 m
R = A/P = 0.5455 m
वेग
V = (1/0.022)·0.54552/3·0.00081/2 = 0.8583 m/s
प्रवाह दर
Q = A·V = 2.4·0.8583 = 2.06 m³/s
उत्तर
Q = 2.06 m³/s
10.खुली वाहिका प्रवाह (मैनिंग)
उत्तर: S = 0.004956 m/m
मैनिंग समीकरण (SI): खुली वाहिका में एकसमान प्रवाह के लिए V = (1/n)·R2/3·S1/2 और Q = A·V, जहाँ n खुरदरापन गुणांक, S तल ढाल (m/m) और R = A/P द्रवीय त्रिज्या है: प्रवाह क्षेत्रफल बटा आर्द्र परिमाप। P में केवल जल के संपर्क वाली सीमा गिनी जाती है, मुक्त सतह नहीं। आयत: A = b·y, P = b + 2y। z:1 (क्षैतिज:ऊर्ध्वाधर) पार्श्व ढाल वाला समलंब: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)। पूरे या आधे भरे बहते वृत्ताकार पाइप के लिए R = D/4।
ज्यामिति
A = b·y = 3.5·0.6 = 2.1 m²
P = b + 2y = 3.5 + 2·0.6 = 4.7 m
R = A/P = 0.4468 m
S के लिए मैनिंग हल करें
S1/2 = n·Q/(A·R2/3) = 0.012·7.2/(2.1·0.5845) = 0.0704
S = 0.0704² = 0.004956
उत्तर
S = 0.004956
यह प्रति किलोमीटर 4.956 m की गिरावट है।
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