द्रवचालित इंजीनियरिंग: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 10 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

द्रवस्थैतिक बल

गहराई पर दाब: p = ρgh
ऊर्ध्वाधर दीवार पर बल: F = ρg·h_c·A
दाब केंद्र: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
आयत: I_c = bH³/12

सांतत्य और बर्नूली

सांतत्य: A₁v₁ = A₂v₂
बर्नूली: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
प्रवाह दर: Q = A·v
वृत्त का क्षेत्रफल: A = πd²/4

पाइप घर्षण और शीर्ष हानि

रेनॉल्ड्स संख्या: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
प्रवाह व्यवस्था: Re ≈ 2000 से नीचे स्तरीय, Re ≈ 4000 से ऊपर विक्षुब्ध
औसत वेग: V = Q/A, A = π·D²/4
डार्सी–वाइसबाख: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
लघु हानियाँ: h_m = ΣK·V²/(2g)
K के सामान्य मान: प्रवेश 0.5, निकास 1.0, 90° मोड़ ≈ 0.3
दाब पात: Δp = ρ·g·h_f
दो खुले जलाशय: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
मुक्त निकास: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

पंप और पंप शक्ति

द्रवीय शक्ति: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
शाफ़्ट शक्ति: P_shaft = P_h/η_pump
विद्युत शक्ति: P_el = P_shaft/η_motor
पंप शीर्ष: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
तंत्र हानियाँ: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

खुली वाहिका प्रवाह (मैनिंग)

मैनिंग समीकरण: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
प्रवाह दर: Q = A·V
द्रवीय त्रिज्या: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
आयत: A = b·y, P = b + 2y
समलंब (पार्श्व ढाल z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
वृत्ताकार पाइप, पूरा या आधा भरा: R = D/4
आवश्यक ढाल: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2अभ्यास प्रश्न

1.द्रवस्थैतिक बलमध्यम

3 m चौड़ा एक ऊर्ध्वाधर आयताकार फाटक पानी वाली टंकी की दीवार में है, उसका ऊपरी किनारा सतह से 4 m नीचे है। फाटक पर परिणामी द्रवस्थैतिक बल F ज्ञात कीजिए।

d = 4 mH = 2 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

2.द्रवस्थैतिक बलकठिन

1.5 m चौड़ा एक ऊर्ध्वाधर आयताकार फाटक तेल वाली टंकी की दीवार में है, उसका ऊपरी किनारा सतह से 4 m नीचे है। सतह के नीचे दाब केंद्र की गहराई y_cp ज्ञात कीजिए।

d = 4 mH = 1.5 mb = 1.5 mρ = 880 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

3.सांतत्य और बर्नूलीमध्यम

पानी एक क्षैतिज पाइप में बहता है जो 75 mm से 25 mm तक संकरा होता है। चौड़े भाग में दाब 380 kPa और वेग 1.25 m/s है। हानियाँ नगण्य मानकर संकरे भाग में दाब p₂ ज्ञात कीजिए।

d₁ = 75 mmd₂ = 25 mmp₁ = 380 kPav₁ = 1.25 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

4.सांतत्य और बर्नूलीकठिन

32 mm भीतरी व्यास वाला एक होज़ खुली टंकी से पानी साइफ़न करता है। होज़ का उच्चतम बिंदु C पानी की सतह से 1.5 m ऊपर है, और निकास (हवा में खुला) पानी की सतह से 3 m नीचे है। हानियों को नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। बिंदु C पर परम दाब p_C ज्ञात कीजिए। वायुमंडलीय दाब 101.3 kPa है।

d = 32 mmz_C = +1.5 mz₂ = −3 mg = 9.81 m/s²p_atm = 101.3 kPa

p_C = kPa

5.पाइप घर्षण और शीर्ष हानिमध्यम

जल 250 mm आंतरिक व्यास वाले 100 m लंबे पाइप से 75 L/s पर बहता है। डार्सी घर्षण गुणांक f = 0.02 और g = 9.81 m/s² लें। घर्षण शीर्ष हानि h_f ज्ञात कीजिए।

Q = 75 L/sL = 100 mD = 250 mmf = 0.02g = 9.81 m/s²

h_f = m

6.पाइप घर्षण और शीर्ष हानिकठिन

दो खुले जलाशय 150 m लंबे, 100 mm आंतरिक व्यास और डार्सी घर्षण गुणांक f = 0.018 वाले पाइप से जुड़े हैं। लघु हानियाँ हैं: एक तीखे किनारे वाला प्रवेश (K = 0.5), 4 मोड़ (हर एक K = 0.3), एक वाल्व (K = 10) और निचले जलाशय में निकास (K = 1.0)। g = 9.81 m/s² लें। जलाशयों के बीच जल स्तर का कितना अंतर Δz, 10 L/s की प्रवाह दर देता है?

Q = 10 L/sL = 150 mD = 100 mmf = 0.018K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×4)K_valve = 10K_exit = 1.0

Δz = m

7.पंप और पंप शक्तिमध्यम

एक परीक्षण में पंप 64 m शीर्ष के विरुद्ध 30 L/s जल (ρ = 1000 kg/m³) देता है जबकि उसका शाफ़्ट 29 kW लेता है। g = 9.81 m/s² लें। पंप दक्षता η प्रतिशत में ज्ञात कीजिए।

Q = 30 L/sH = 64 mP_shaft = 29 kWg = 9.81 m/s²

η = %

8.पंप और पंप शक्तिकठिन

एक पंप 20 L/s जल (ρ = 1000 kg/m³) को एक खुले निचले जलाशय से एक ऊपरी टैंक तक ले जाता है, जिसकी जल सतह 31 m ऊँची है। पाइप 150 m लंबा है, उसका आंतरिक व्यास 100 mm और डार्सी घर्षण गुणांक f = 0.022 है; लघु-हानि गुणांकों का योग ΣK = 8 है (प्रवेश और निकास सहित)। g = 9.81 m/s² लें। ऊपरी टैंक बंद है और उसके जल के ऊपर की वायु 100 kPa के गेज दाब पर है। पंप द्वारा जोड़ा जाने वाला शीर्ष H ज्ञात कीजिए।

Q = 20 L/sΔz = 31 mL = 150 mD = 100 mmf = 0.022ΣK = 8p_tank = 100 kPa

H = m

9.खुली वाहिका प्रवाह (मैनिंग)मध्यम

एक समलंबाकार बजरी वाहिका की तल चौड़ाई 5 m और पार्श्व ढाल 3:1 (क्षैतिज:ऊर्ध्वाधर) है। जल 1.5 m गहराई पर एकसमान रूप से बहता है। मैनिंग n = 0.025 और तल ढाल S = 0.005 है। प्रवाह दर Q m³/s में ज्ञात कीजिए।

b = 5 my = 1.5 mz = 3n = 0.025S = 0.005

Q = m³/s

10.खुली वाहिका प्रवाह (मैनिंग)कठिन

4 m तल चौड़ाई और 1:1 (क्षैतिज:ऊर्ध्वाधर) पार्श्व ढाल वाली एक समलंबाकार घास-आच्छादित मिट्टी वाहिका को 1.8 m गहराई पर एकसमान प्रवाह में 8.5 m³/s वहन करना है। मैनिंग n = 0.03। आवश्यक तल ढाल S (m/m में) ज्ञात कीजिए।

Q = 8.5 m³/sb = 4 my = 1.8 mz = 1n = 0.03

S = m/m

3विलयन

1.द्रवस्थैतिक बल

उत्तर: F = 294.3 kN

समतल सतह पर द्रवस्थैतिक बल: F = ρ·g·y_c·A। यह दाब केंद्र y_cp = y_c + I_c/(y_cA) पर कार्य करता है, जो हमेशा केंद्रक के नीचे होता है।

केंद्रक की गहराई और क्षेत्रफल

y_c = d + H/2 = 4 + 2/2 = 5 m

A = H·b = 2·3 = 6 m²

परिणामी बल

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·5·6 = 294.3 kN

उत्तर

F = 294.3 kN

2.द्रवस्थैतिक बल

उत्तर: y_cp = 4.789 m

केंद्रक की गहराई और क्षेत्रफल

y_c = d + H/2 = 4 + 1.5/2 = 4.75 m

A = H·b = 1.5·1.5 = 2.25 m²

परिणामी बल

F = ρ·g·y_c·A = 880·9.81·4.75·2.25 = 92.26 kN

दाब केंद्र

दाब गहराई के साथ बढ़ता है, इसलिए परिणामी केंद्रक के नीचे कार्य करता है।

I_c = b·H³/12 = 1.5·1.5³/12 = 0.4219 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 4.75 + 0.4219/(4.75·2.25) = 4.789 m

उत्तर

y_cp = 4.789 m

3.सांतत्य और बर्नूली

उत्तर: p₂ = 317.5 kPa

सांतत्य और बर्नूली: असंपीड्य तरल के लिए हर खंड पर प्रवाह दर समान है, Q = A₁v₁ = A₂v₂। बिना हानि के धारारेखा के साथ p + ½ρv² + ρgz स्थिर रहता है, इसलिए जहाँ तरल तेज़ या ऊँचा हो वहाँ उसका दाब कम होता है।

सांतत्य और बर्नूली

Pa में काम करें, फिर kPa पाने के लिए 1000 से भाग दें।

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1.25·(75/25)² = 11.25 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1.25² − 11.25²)/1000 = −62.5 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 380 + (−62.5) = 317.5 kPa

उत्तर

p₂ = 317.5 kPa

4.सांतत्य और बर्नूली

उत्तर: p_C = 57.15 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

होज़ में वेग

सतह और निकास दोनों हवा में खुले हैं, इसलिए दाब पद कट जाते हैं।

v = √(2g·3) = √(2·9.81·3) = 7.672 m/s

सतह से C तक बर्नूली

p_atm = p_C + ½ρv² + ρgz_C

p_C = 101.3 − 1000·(7.672²/2 + 9.81·1.5)/1000 = 101.3 − 44.15 = 57.15 kPa

उत्तर

p_C = 57.15 kPa

यदि यह दाब पानी के वाष्प दाब तक गिर जाए, तो साइफ़न काम करना बंद कर देता है।

5.पाइप घर्षण और शीर्ष हानि

उत्तर: h_f = 0.9519 m

पाइप प्रवाह: रेनॉल्ड्स संख्या Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ स्तरीय प्रवाह (Re लगभग 2000 से कम) को विक्षुब्ध प्रवाह (लगभग 4000 से अधिक) से अलग करती है। पाइप के अनुदिश घर्षण से डार्सी–वाइसबाख शीर्ष हानि h_f = f·(L/D)·V²/(2g) होती है। फ़िटिंग, वाल्व, प्रवेश और निकास लघु हानियाँ h_m = ΣK·V²/(2g) जोड़ते हैं। दो खुले जलाशय सतहों के बीच ऊर्जा समीकरण Δz = h_f + h_m देता है, जिसमें निकास हानि K = 1 शामिल है।

औसत वेग

A = π·0.25²/4 = 0.04909 m²

V = Q/A = 0.075/0.04909 = 1.528 m/s

वेग शीर्ष

V²/(2g) = 1.528²/(2·9.81) = 0.119 m

डार्सी–वाइसबाख

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.02·(100/0.25)·1.528²/(2·9.81) = 0.9519 m

उत्तर

h_f = 0.9519 m

6.पाइप घर्षण और शीर्ष हानि

उत्तर: Δz = 3.28 m

वेग

V = Q/A = 0.01/0.007854 = 1.273 m/s

V²/(2g) = 0.08263 m

हानि गुणांक

f·L/D = 0.018·150/0.1 = 27

ΣK = 0.5 + 4·0.3 + 10 + 1.0 = 12.7

कुल शीर्ष हानि

h_f = 27·0.08263 = 2.231 m

h_m = 12.7·0.08263 = 1.049 m

Δz = h_f + h_m = 3.28 m

उत्तर

Δz = 3.28 m

7.पंप और पंप शक्ति

उत्तर: η = 64.95 %

पंप शक्ति: जल को दी गई शक्ति द्रवीय शक्ति P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp है। शाफ़्ट को अधिक देना पड़ता है क्योंकि पंप में कुछ हानि होती है: P_shaft = P_h/η_pump, और मोटर P_el = P_shaft/η_motor लेती है। पंप शीर्ष H ऊर्जा समीकरण से मिलता है: स्थैतिक उठान + दाब शीर्ष + सभी घर्षण और लघु हानियाँ।

द्रवीय शक्ति

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.03·64 = 18.84 kW

दक्षता

η = P_h/P_shaft = 18.84/29 = 64.95%

उत्तर

η = 64.95%

8.पंप और पंप शक्ति

उत्तर: H = 54.74 m

वेग

V = Q/A = 0.02/0.007854 = 2.546 m/s

V²/(2g) = 0.3305 m

शीर्ष हानियाँ

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (33 + 8)·0.3305 = 13.55 m

दाब शीर्ष

p/(ρ·g) = 100000/(1000·9.81) = 10.19 m

पंप शीर्ष

दोनों सतहें लगभग विराम में हैं, इसलिए कोई वेग शीर्ष पद नहीं है।

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 31 + 10.19 + 13.55 = 54.74 m

उत्तर

H = 54.74 m

9.खुली वाहिका प्रवाह (मैनिंग)

उत्तर: Q = 39.86 m³/s

मैनिंग समीकरण (SI): खुली वाहिका में एकसमान प्रवाह के लिए V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 और Q = A·V, जहाँ n खुरदरापन गुणांक, S तल ढाल (m/m) और R = A/P द्रवीय त्रिज्या है: प्रवाह क्षेत्रफल बटा आर्द्र परिमाप। P में केवल जल के संपर्क वाली सीमा गिनी जाती है, मुक्त सतह नहीं। आयत: A = b·y, P = b + 2y। z:1 (क्षैतिज:ऊर्ध्वाधर) पार्श्व ढाल वाला समलंब: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)। पूरे या आधे भरे बहते वृत्ताकार पाइप के लिए R = D/4।

ज्यामिति

A = (b + z·y)·y = (5 + 3·1.5)·1.5 = 14.25 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 5 + 2·1.5·√(1 + 3²) = 14.49 m

R = A/P = 0.9837 m

वेग

V = (1/0.025)·0.9837^2/3·0.005^1/2 = 2.798 m/s

प्रवाह दर

Q = A·V = 14.25·2.798 = 39.86 m³/s

उत्तर

Q = 39.86 m³/s

10.खुली वाहिका प्रवाह (मैनिंग)

उत्तर: S = 0.0004961 m/m

ज्यामिति

A = (b + z·y)·y = (4 + 1·1.8)·1.8 = 10.44 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 4 + 2·1.8·√(1 + 1²) = 9.091 m

R = A/P = 1.148 m

S के लिए मैनिंग हल करें

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0.03·8.5/(10.44·1.097) = 0.02227

S = 0.02227² = 0.0004961

उत्तर

S = 0.0004961

यह प्रति किलोमीटर 0.4961 m की गिरावट है।

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