द्रवचालित इंजीनियरिंग: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 10 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

द्रवस्थैतिक बल

गहराई पर दाब: p = ρgh
ऊर्ध्वाधर दीवार पर बल: F = ρg·h_c·A
दाब केंद्र: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
आयत: I_c = bH³/12

सांतत्य और बर्नूली

सांतत्य: A₁v₁ = A₂v₂
बर्नूली: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
प्रवाह दर: Q = A·v
वृत्त का क्षेत्रफल: A = πd²/4

पाइप घर्षण और शीर्ष हानि

रेनॉल्ड्स संख्या: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
प्रवाह व्यवस्था: Re ≈ 2000 से नीचे स्तरीय, Re ≈ 4000 से ऊपर विक्षुब्ध
औसत वेग: V = Q/A, A = π·D²/4
डार्सी–वाइसबाख: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
लघु हानियाँ: h_m = ΣK·V²/(2g)
K के सामान्य मान: प्रवेश 0.5, निकास 1.0, 90° मोड़ ≈ 0.3
दाब पात: Δp = ρ·g·h_f
दो खुले जलाशय: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
मुक्त निकास: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

पंप और पंप शक्ति

द्रवीय शक्ति: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
शाफ़्ट शक्ति: P_shaft = P_h/η_pump
विद्युत शक्ति: P_el = P_shaft/η_motor
पंप शीर्ष: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
तंत्र हानियाँ: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

खुली वाहिका प्रवाह (मैनिंग)

मैनिंग समीकरण: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
प्रवाह दर: Q = A·V
द्रवीय त्रिज्या: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
आयत: A = b·y, P = b + 2y
समलंब (पार्श्व ढाल z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
वृत्ताकार पाइप, पूरा या आधा भरा: R = D/4
आवश्यक ढाल: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2अभ्यास प्रश्न

1.द्रवस्थैतिक बलमध्यम

2 m चौड़ा एक ऊर्ध्वाधर आयताकार फाटक पानी वाली टंकी की दीवार में है, उसका ऊपरी किनारा सतह से 2 m नीचे है। फाटक पर परिणामी द्रवस्थैतिक बल F ज्ञात कीजिए।

d = 2 mH = 3 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

2.द्रवस्थैतिक बलकठिन

3 m चौड़ा एक ऊर्ध्वाधर आयताकार फाटक तेल वाली टंकी की दीवार में है, उसका ऊपरी किनारा सतह से 1.5 m नीचे है। सतह के नीचे दाब केंद्र की गहराई y_cp ज्ञात कीजिए।

d = 1.5 mH = 2.5 mb = 3 mρ = 880 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

3.सांतत्य और बर्नूलीमध्यम

पानी एक क्षैतिज पाइप में बहता है जो 75 mm से 25 mm तक संकरा होता है। चौड़े भाग में दाब 150 kPa और वेग 0.5 m/s है। हानियाँ नगण्य मानकर संकरे भाग में दाब p₂ ज्ञात कीजिए।

d₁ = 75 mmd₂ = 25 mmp₁ = 150 kPav₁ = 0.5 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

4.सांतत्य और बर्नूलीकठिन

एक बंद पानी की टंकी में पानी के ऊपर 130 kPa गेज दाब पर संपीडित वायु है। पानी सतह से 4 m नीचे 40 mm व्यास वाले छिद्र से खुली हवा में निकलता है। हानियों को नगण्य मानते हुए ज्ञात कीजिए: प्रवाह दर Q। g = 9.81 m/s² लें।

p_air = 130 kPa (गेज)h = 4 md = 40 mmρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

Q = L/s

5.पाइप घर्षण और शीर्ष हानिमध्यम

जल 250 mm आंतरिक व्यास वाले 500 m लंबे पाइप से 30 L/s पर बहता है। डार्सी घर्षण गुणांक f = 0.028 और g = 9.81 m/s² लें। घर्षण शीर्ष हानि h_f ज्ञात कीजिए।

Q = 30 L/sL = 500 mD = 250 mmf = 0.028g = 9.81 m/s²

h_f = m

6.पाइप घर्षण और शीर्ष हानिकठिन

300 mm आंतरिक व्यास (डार्सी घर्षण गुणांक f = 0.025) वाला 300 m लंबा पाइप एक खुले जलाशय से निकलता है और वायु में मुक्त जेट के रूप में निकास करता है। लघु हानियाँ हैं: एक तीखे किनारे वाला प्रवेश (K = 0.5), 3 मोड़ (हर एक K = 0.3) और एक वाल्व (K = 2)। g = 9.81 m/s² लें। 120 L/s की प्रवाह दर के लिए जलाशय की सतह पाइप निकास से कितनी H ऊपर होनी चाहिए?

Q = 120 L/sL = 300 mD = 300 mmf = 0.025K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×3)K_valve = 2

H = m

7.पंप और पंप शक्तिमध्यम

एक परीक्षण में पंप 52 m शीर्ष के विरुद्ध 150 L/s जल (ρ = 1000 kg/m³) देता है जबकि उसका शाफ़्ट 127.5 kW लेता है। g = 9.81 m/s² लें। पंप दक्षता η प्रतिशत में ज्ञात कीजिए।

Q = 150 L/sH = 52 mP_shaft = 127.5 kWg = 9.81 m/s²

η = %

8.पंप और पंप शक्तिकठिन

एक पंप 20 L/s जल (ρ = 1000 kg/m³) को एक खुले निचले जलाशय से एक ऊपरी टैंक तक ले जाता है, जिसकी जल सतह 6 m ऊँची है। पाइप 100 m लंबा है, उसका आंतरिक व्यास 100 mm और डार्सी घर्षण गुणांक f = 0.02 है; लघु-हानि गुणांकों का योग ΣK = 3 है (प्रवेश और निकास सहित)। g = 9.81 m/s² लें। पंप द्वारा जोड़ा जाने वाला शीर्ष H ज्ञात कीजिए।

Q = 20 L/sΔz = 6 mL = 100 mD = 100 mmf = 0.02ΣK = 3

H = m

9.खुली वाहिका प्रवाह (मैनिंग)मध्यम

एक समलंबाकार साफ़ मिट्टी वाहिका की तल चौड़ाई 1 m और पार्श्व ढाल 2:1 (क्षैतिज:ऊर्ध्वाधर) है। जल 1.8 m गहराई पर एकसमान रूप से बहता है। मैनिंग n = 0.022 और तल ढाल S = 0.005 है। प्रवाह दर Q m³/s में ज्ञात कीजिए।

b = 1 my = 1.8 mz = 2n = 0.022S = 0.005

Q = m³/s

10.खुली वाहिका प्रवाह (मैनिंग)कठिन

1.5 m तल चौड़ाई और 2:1 (क्षैतिज:ऊर्ध्वाधर) पार्श्व ढाल वाली एक समलंबाकार ईंट की चिनाई वाहिका को 1.2 m गहराई पर एकसमान प्रवाह में 15 m³/s वहन करना है। मैनिंग n = 0.015। आवश्यक तल ढाल S (m/m में) ज्ञात कीजिए।

Q = 15 m³/sb = 1.5 my = 1.2 mz = 2n = 0.015

S = m/m

3विलयन

1.द्रवस्थैतिक बल

उत्तर: F = 206 kN

समतल सतह पर द्रवस्थैतिक बल: F = ρ·g·y_c·A। यह दाब केंद्र y_cp = y_c + I_c/(y_cA) पर कार्य करता है, जो हमेशा केंद्रक के नीचे होता है।

केंद्रक की गहराई और क्षेत्रफल

y_c = d + H/2 = 2 + 3/2 = 3.5 m

A = H·b = 3·2 = 6 m²

परिणामी बल

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3.5·6 = 206 kN

उत्तर

F = 206 kN

2.द्रवस्थैतिक बल

उत्तर: y_cp = 2.939 m

केंद्रक की गहराई और क्षेत्रफल

y_c = d + H/2 = 1.5 + 2.5/2 = 2.75 m

A = H·b = 2.5·3 = 7.5 m²

परिणामी बल

F = ρ·g·y_c·A = 880·9.81·2.75·7.5 = 178.1 kN

दाब केंद्र

दाब गहराई के साथ बढ़ता है, इसलिए परिणामी केंद्रक के नीचे कार्य करता है।

I_c = b·H³/12 = 3·2.5³/12 = 3.906 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 2.75 + 3.906/(2.75·7.5) = 2.939 m

उत्तर

y_cp = 2.939 m

3.सांतत्य और बर्नूली

उत्तर: p₂ = 140 kPa

सांतत्य और बर्नूली: असंपीड्य तरल के लिए हर खंड पर प्रवाह दर समान है, Q = A₁v₁ = A₂v₂। बिना हानि के धारारेखा के साथ p + ½ρv² + ρgz स्थिर रहता है, इसलिए जहाँ तरल तेज़ या ऊँचा हो वहाँ उसका दाब कम होता है।

सांतत्य और बर्नूली

Pa में काम करें, फिर kPa पाने के लिए 1000 से भाग दें।

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0.5·(75/25)² = 4.5 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0.5² − 4.5²)/1000 = −10 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 150 + (−10) = 140 kPa

उत्तर

p₂ = 140 kPa

4.सांतत्य और बर्नूली

उत्तर: Q = 23.12 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

सतह से जेट तक बर्नूली

v = √(2·(130000/1000 + 9.81·4)) = 18.4 m/s

प्रवाह दर

Q = A·v = 0.001257·18.4 = 0.02312 m³/s = 23.12 L/s

उत्तर

Q = 23.12 L/s

5.पाइप घर्षण और शीर्ष हानि

उत्तर: h_f = 1.066 m

पाइप प्रवाह: रेनॉल्ड्स संख्या Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ स्तरीय प्रवाह (Re लगभग 2000 से कम) को विक्षुब्ध प्रवाह (लगभग 4000 से अधिक) से अलग करती है। पाइप के अनुदिश घर्षण से डार्सी–वाइसबाख शीर्ष हानि h_f = f·(L/D)·V²/(2g) होती है। फ़िटिंग, वाल्व, प्रवेश और निकास लघु हानियाँ h_m = ΣK·V²/(2g) जोड़ते हैं। दो खुले जलाशय सतहों के बीच ऊर्जा समीकरण Δz = h_f + h_m देता है, जिसमें निकास हानि K = 1 शामिल है।

औसत वेग

A = π·0.25²/4 = 0.04909 m²

V = Q/A = 0.03/0.04909 = 0.6112 m/s

वेग शीर्ष

V²/(2g) = 0.6112²/(2·9.81) = 0.01904 m

डार्सी–वाइसबाख

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.028·(500/0.25)·0.6112²/(2·9.81) = 1.066 m

उत्तर

h_f = 1.066 m

6.पाइप घर्षण और शीर्ष हानि

उत्तर: H = 4.319 m

वेग

V = Q/A = 0.12/0.07069 = 1.698 m/s

V²/(2g) = 0.1469 m

हानि गुणांक

f·L/D = 0.025·300/0.3 = 25

ΣK = 0.5 + 3·0.3 + 2 = 3.4

ऊर्जा समीकरण

निकास जेट अभी भी अपना वेग शीर्ष वहन करता है; यह हानि नहीं है, पर इसे देना पड़ता है।

H = (1 + 25 + 3.4)·0.1469 = 4.319 m

उत्तर

H = 4.319 m

7.पंप और पंप शक्ति

उत्तर: η = 60.01 %

पंप शक्ति: जल को दी गई शक्ति द्रवीय शक्ति P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp है। शाफ़्ट को अधिक देना पड़ता है क्योंकि पंप में कुछ हानि होती है: P_shaft = P_h/η_pump, और मोटर P_el = P_shaft/η_motor लेती है। पंप शीर्ष H ऊर्जा समीकरण से मिलता है: स्थैतिक उठान + दाब शीर्ष + सभी घर्षण और लघु हानियाँ।

द्रवीय शक्ति

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.15·52 = 76.52 kW

दक्षता

η = P_h/P_shaft = 76.52/127.5 = 60.01%

उत्तर

η = 60.01%

8.पंप और पंप शक्ति

उत्तर: H = 13.6 m

वेग

V = Q/A = 0.02/0.007854 = 2.546 m/s

V²/(2g) = 0.3305 m

शीर्ष हानियाँ

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (20 + 3)·0.3305 = 7.602 m

पंप शीर्ष

दोनों सतहें खुली और लगभग विराम में हैं, इसलिए दाब और वेग पद हट जाते हैं।

H = Δz + h_L = 6 + 7.602 = 13.6 m

उत्तर

H = 13.6 m

9.खुली वाहिका प्रवाह (मैनिंग)

उत्तर: Q = 25.08 m³/s

मैनिंग समीकरण (SI): खुली वाहिका में एकसमान प्रवाह के लिए V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 और Q = A·V, जहाँ n खुरदरापन गुणांक, S तल ढाल (m/m) और R = A/P द्रवीय त्रिज्या है: प्रवाह क्षेत्रफल बटा आर्द्र परिमाप। P में केवल जल के संपर्क वाली सीमा गिनी जाती है, मुक्त सतह नहीं। आयत: A = b·y, P = b + 2y। z:1 (क्षैतिज:ऊर्ध्वाधर) पार्श्व ढाल वाला समलंब: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)। पूरे या आधे भरे बहते वृत्ताकार पाइप के लिए R = D/4।

ज्यामिति

A = (b + z·y)·y = (1 + 2·1.8)·1.8 = 8.28 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 1 + 2·1.8·√(1 + 2²) = 9.05 m

R = A/P = 0.9149 m

वेग

V = (1/0.022)·0.9149^2/3·0.005^1/2 = 3.029 m/s

प्रवाह दर

Q = A·V = 8.28·3.029 = 25.08 m³/s

उत्तर

Q = 25.08 m³/s

10.खुली वाहिका प्रवाह (मैनिंग)

उत्तर: S = 0.003854 m/m

ज्यामिति

A = (b + z·y)·y = (1.5 + 2·1.2)·1.2 = 4.68 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 1.5 + 2·1.2·√(1 + 2²) = 6.867 m

R = A/P = 0.6816 m

S के लिए मैनिंग हल करें

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0.015·15/(4.68·0.7745) = 0.06208

S = 0.06208² = 0.003854

उत्तर

S = 0.003854

यह प्रति किलोमीटर 3.854 m की गिरावट है।

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