द्रवचालित इंजीनियरिंग: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 10 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

द्रवस्थैतिक बल

गहराई पर दाब: p = ρgh
ऊर्ध्वाधर दीवार पर बल: F = ρg·h_c·A
दाब केंद्र: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
आयत: I_c = bH³/12

सांतत्य और बर्नूली

सांतत्य: A₁v₁ = A₂v₂
बर्नूली: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
प्रवाह दर: Q = A·v
वृत्त का क्षेत्रफल: A = πd²/4

पाइप घर्षण और शीर्ष हानि

रेनॉल्ड्स संख्या: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
प्रवाह व्यवस्था: Re ≈ 2000 से नीचे स्तरीय, Re ≈ 4000 से ऊपर विक्षुब्ध
औसत वेग: V = Q/A, A = π·D²/4
डार्सी–वाइसबाख: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
लघु हानियाँ: h_m = ΣK·V²/(2g)
K के सामान्य मान: प्रवेश 0.5, निकास 1.0, 90° मोड़ ≈ 0.3
दाब पात: Δp = ρ·g·h_f
दो खुले जलाशय: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
मुक्त निकास: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

पंप और पंप शक्ति

द्रवीय शक्ति: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
शाफ़्ट शक्ति: P_shaft = P_h/η_pump
विद्युत शक्ति: P_el = P_shaft/η_motor
पंप शीर्ष: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
तंत्र हानियाँ: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

खुली वाहिका प्रवाह (मैनिंग)

मैनिंग समीकरण: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
प्रवाह दर: Q = A·V
द्रवीय त्रिज्या: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
आयत: A = b·y, P = b + 2y
समलंब (पार्श्व ढाल z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
वृत्ताकार पाइप, पूरा या आधा भरा: R = D/4
आवश्यक ढाल: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2अभ्यास प्रश्न

1.द्रवस्थैतिक बलमध्यम

1.5 m चौड़ा एक ऊर्ध्वाधर आयताकार फाटक पानी वाली टंकी की दीवार में है, उसका ऊपरी किनारा सतह से 4 m नीचे है। फाटक पर परिणामी द्रवस्थैतिक बल F ज्ञात कीजिए।

d = 4 mH = 2.5 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

2.द्रवस्थैतिक बलकठिन

3 m चौड़ा एक ऊर्ध्वाधर आयताकार फाटक ग्लिसरीन वाली टंकी की दीवार में है, उसका ऊपरी किनारा सतह से 0.5 m नीचे है। सतह के नीचे दाब केंद्र की गहराई y_cp ज्ञात कीजिए।

d = 0.5 mH = 1 mb = 3 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

3.सांतत्य और बर्नूलीमध्यम

पानी एक बड़ी खुली टंकी से 20 mm व्यास वाले तीक्ष्ण-धार छिद्र (ऑरिफ़िस) से निकलता है। जल स्तर छिद्र से 2 m ऊपर बनाए रखा जाता है और निस्सरण गुणांक 0.6 है। प्रवाह दर Q ज्ञात कीजिए। g = 9.81 m/s² लें।

d = 20 mmh = 2 mC_d = 0.6g = 9.81 m/s²

Q = L/s

4.सांतत्य और बर्नूलीकठिन

एक क्षैतिज वेंचुरी मीटर (प्रवेश 300 mm, कंठ 150 mm) पानी ले जाता है। प्रवेश और कंठ के बीच जुड़ा पारे का U-नली मैनोमीटर 200 mm का स्तर अंतर दिखाता है। निस्सरण गुणांक 0.95 है। प्रवाह दर Q ज्ञात कीजिए। पानी के लिए ρ = 1000 kg/m³, पारे के लिए 13 600 kg/m³ और g = 9.81 m/s² लें।

d₁ = 300 mmd₂ = 150 mmΔh = 200 mmC_d = 0.95ρ_Hg = 13 600 kg/m³g = 9.81 m/s²

Q = L/s

5.पाइप घर्षण और शीर्ष हानिमध्यम

जल 50 mm आंतरिक व्यास वाले 400 m लंबे पाइप से 3 L/s पर बहता है। डार्सी घर्षण गुणांक f = 0.018 और g = 9.81 m/s² लें। घर्षण शीर्ष हानि h_f ज्ञात कीजिए।

Q = 3 L/sL = 400 mD = 50 mmf = 0.018g = 9.81 m/s²

h_f = m

6.पाइप घर्षण और शीर्ष हानिकठिन

दो खुले जलाशय 200 m लंबे, 200 mm आंतरिक व्यास और डार्सी घर्षण गुणांक f = 0.022 वाले पाइप से जुड़े हैं। लघु हानियाँ हैं: एक तीखे किनारे वाला प्रवेश (K = 0.5), 3 मोड़ (हर एक K = 0.3), एक वाल्व (K = 5) और निचले जलाशय में निकास (K = 1.0)। g = 9.81 m/s² लें। जलाशयों के बीच जल स्तर का कितना अंतर Δz, 75 L/s की प्रवाह दर देता है?

Q = 75 L/sL = 200 mD = 200 mmf = 0.022K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×3)K_valve = 5K_exit = 1.0

Δz = m

7.पंप और पंप शक्तिमध्यम

80% दक्षता वाला एक पंप 28 m शीर्ष के विरुद्ध 40 L/s जल (ρ = 1000 kg/m³) देता है। g = 9.81 m/s² लें। आवश्यक शाफ़्ट शक्ति P_shaft kW में ज्ञात कीजिए।

Q = 40 L/sH = 28 mη = 80%g = 9.81 m/s²

P_shaft = kW

8.पंप और पंप शक्तिकठिन

एक पंप 60 L/s जल (ρ = 1000 kg/m³) को एक खुले निचले जलाशय से एक ऊपरी टैंक तक ले जाता है, जिसकी जल सतह 8 m ऊँची है। पाइप 200 m लंबा है, उसका आंतरिक व्यास 200 mm और डार्सी घर्षण गुणांक f = 0.025 है; लघु-हानि गुणांकों का योग ΣK = 6 है (प्रवेश और निकास सहित)। g = 9.81 m/s² लें। पंप दक्षता 82% है। शाफ़्ट शक्ति P_shaft kW में ज्ञात कीजिए।

Q = 60 L/sΔz = 8 mL = 200 mD = 200 mmf = 0.025ΣK = 6η = 82%

P_shaft = kW

9.खुली वाहिका प्रवाह (मैनिंग)मध्यम

एक समलंबाकार ईंट की चिनाई वाहिका की तल चौड़ाई 6 m और पार्श्व ढाल 3:1 (क्षैतिज:ऊर्ध्वाधर) है। जल 2 m गहराई पर एकसमान रूप से बहता है। मैनिंग n = 0.015 और तल ढाल S = 0.0015 है। प्रवाह दर Q m³/s में ज्ञात कीजिए।

b = 6 my = 2 mz = 3n = 0.015S = 0.0015

Q = m³/s

10.खुली वाहिका प्रवाह (मैनिंग)कठिन

1.5 m चौड़ी एक आयताकार घास-आच्छादित मिट्टी वाहिका को 0.7 m गहराई पर एकसमान प्रवाह में 0.56 m³/s वहन करना है। मैनिंग n = 0.03। आवश्यक तल ढाल S (m/m में) ज्ञात कीजिए।

Q = 0.56 m³/sb = 1.5 my = 0.7 mn = 0.03

S = m/m

3विलयन

1.द्रवस्थैतिक बल

उत्तर: F = 193.1 kN

समतल सतह पर द्रवस्थैतिक बल: F = ρ·g·y_c·A। यह दाब केंद्र y_cp = y_c + I_c/(y_cA) पर कार्य करता है, जो हमेशा केंद्रक के नीचे होता है।

केंद्रक की गहराई और क्षेत्रफल

y_c = d + H/2 = 4 + 2.5/2 = 5.25 m

A = H·b = 2.5·1.5 = 3.75 m²

परिणामी बल

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·5.25·3.75 = 193.1 kN

उत्तर

F = 193.1 kN

2.द्रवस्थैतिक बल

उत्तर: y_cp = 1.083 m

केंद्रक की गहराई और क्षेत्रफल

y_c = d + H/2 = 0.5 + 1/2 = 1 m

A = H·b = 1·3 = 3 m²

परिणामी बल

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9.81·1·3 = 37.08 kN

दाब केंद्र

दाब गहराई के साथ बढ़ता है, इसलिए परिणामी केंद्रक के नीचे कार्य करता है।

I_c = b·H³/12 = 3·1³/12 = 0.25 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 1 + 0.25/(1·3) = 1.083 m

उत्तर

y_cp = 1.083 m

3.सांतत्य और बर्नूली

उत्तर: Q = 1.181 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

आदर्श जेट वेग

√(2gh) = √(2·9.81·2) = 6.264 m/s

वास्तविक प्रवाह दर

निस्सरण गुणांक जेट के संकुचन और किनारे पर घर्षण को ध्यान में रखता है।

Q = C_d·A·√(2gh) = 0.6·0.0003142·6.264 = 0.001181 m³/s = 1.181 L/s

उत्तर

Q = 1.181 L/s

4.सांतत्य और बर्नूली

उत्तर: Q = 121.9 L/s

मैनोमीटर से दाबांतर

Δp = (13600 − 1000)·9.81·0.2 = 24721 Pa

कंठ वेग

सांतत्य और बर्नूली मिलकर आदर्श कंठ वेग देते हैं।

β = 150/300 = 0.5

v₂ = √(2·24721/(1000·(1 − 0.0625))) = 7.262 m/s

वास्तविक प्रवाह दर

Q = C_d·A₂·v₂ = 0.95·0.01767·7.262 = 0.1219 m³/s = 121.9 L/s

उत्तर

Q = 121.9 L/s

5.पाइप घर्षण और शीर्ष हानि

उत्तर: h_f = 17.13 m

पाइप प्रवाह: रेनॉल्ड्स संख्या Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ स्तरीय प्रवाह (Re लगभग 2000 से कम) को विक्षुब्ध प्रवाह (लगभग 4000 से अधिक) से अलग करती है। पाइप के अनुदिश घर्षण से डार्सी–वाइसबाख शीर्ष हानि h_f = f·(L/D)·V²/(2g) होती है। फ़िटिंग, वाल्व, प्रवेश और निकास लघु हानियाँ h_m = ΣK·V²/(2g) जोड़ते हैं। दो खुले जलाशय सतहों के बीच ऊर्जा समीकरण Δz = h_f + h_m देता है, जिसमें निकास हानि K = 1 शामिल है।

औसत वेग

A = π·0.05²/4 = 0.001963 m²

V = Q/A = 0.003/0.001963 = 1.528 m/s

वेग शीर्ष

V²/(2g) = 1.528²/(2·9.81) = 0.119 m

डार्सी–वाइसबाख

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.018·(400/0.05)·1.528²/(2·9.81) = 17.13 m

उत्तर

h_f = 17.13 m

6.पाइप घर्षण और शीर्ष हानि

उत्तर: Δz = 8.54 m

वेग

V = Q/A = 0.075/0.03142 = 2.387 m/s

V²/(2g) = 0.2905 m

हानि गुणांक

f·L/D = 0.022·200/0.2 = 22

ΣK = 0.5 + 3·0.3 + 5 + 1.0 = 7.4

कुल शीर्ष हानि

h_f = 22·0.2905 = 6.391 m

h_m = 7.4·0.2905 = 2.15 m

Δz = h_f + h_m = 8.54 m

उत्तर

Δz = 8.54 m

7.पंप और पंप शक्ति

उत्तर: P_shaft = 13.73 kW

पंप शक्ति: जल को दी गई शक्ति द्रवीय शक्ति P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp है। शाफ़्ट को अधिक देना पड़ता है क्योंकि पंप में कुछ हानि होती है: P_shaft = P_h/η_pump, और मोटर P_el = P_shaft/η_motor लेती है। पंप शीर्ष H ऊर्जा समीकरण से मिलता है: स्थैतिक उठान + दाब शीर्ष + सभी घर्षण और लघु हानियाँ।

द्रवीय शक्ति

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.04·28 = 10.99 kW

शाफ़्ट शक्ति

P_shaft = P_h/η = 10.99/0.8 = 13.73 kW

उत्तर

P_shaft = 13.73 kW

8.पंप और पंप शक्ति

उत्तर: P_shaft = 9.879 kW

वेग

V = Q/A = 0.06/0.03142 = 1.91 m/s

V²/(2g) = 0.1859 m

शीर्ष हानियाँ

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (25 + 6)·0.1859 = 5.763 m

पंप शीर्ष

H = Δz + h_L = 8 + 5.763 = 13.76 m

शाफ़्ट शक्ति

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9.81·0.06·13.76/0.82 = 9.879 kW

उत्तर

P_shaft = 9.879 kW

9.खुली वाहिका प्रवाह (मैनिंग)

उत्तर: Q = 73.32 m³/s

मैनिंग समीकरण (SI): खुली वाहिका में एकसमान प्रवाह के लिए V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 और Q = A·V, जहाँ n खुरदरापन गुणांक, S तल ढाल (m/m) और R = A/P द्रवीय त्रिज्या है: प्रवाह क्षेत्रफल बटा आर्द्र परिमाप। P में केवल जल के संपर्क वाली सीमा गिनी जाती है, मुक्त सतह नहीं। आयत: A = b·y, P = b + 2y। z:1 (क्षैतिज:ऊर्ध्वाधर) पार्श्व ढाल वाला समलंब: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)। पूरे या आधे भरे बहते वृत्ताकार पाइप के लिए R = D/4।

ज्यामिति

A = (b + z·y)·y = (6 + 3·2)·2 = 24 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 6 + 2·2·√(1 + 3²) = 18.65 m

R = A/P = 1.287 m

वेग

V = (1/0.015)·1.287^2/3·0.0015^1/2 = 3.055 m/s

प्रवाह दर

Q = A·V = 24·3.055 = 73.32 m³/s

उत्तर

Q = 73.32 m³/s

10.खुली वाहिका प्रवाह (मैनिंग)

उत्तर: S = 0.000992 m/m

ज्यामिति

A = b·y = 1.5·0.7 = 1.05 m²

P = b + 2y = 1.5 + 2·0.7 = 2.9 m

R = A/P = 0.3621 m

S के लिए मैनिंग हल करें

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0.03·0.56/(1.05·0.508) = 0.0315

S = 0.0315² = 0.000992

उत्तर

S = 0.000992

यह प्रति किलोमीटर 0.992 m की गिरावट है।

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