द्रवस्थैतिक बल
- गहराई पर दाब
- p = ρgh
- ऊर्ध्वाधर दीवार पर बल
- F = ρg·hc·A
- दाब केंद्र
- yp = yc + Ic/(ycA)
- आयत
- Ic = bH³/12
द्रवचालित इंजीनियरिंग: क्रैम पैक
सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 10 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।
1सूत्र और विधियाँ
सांतत्य और बर्नूली
- सांतत्य
- A1v1 = A2v2
- बर्नूली
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- प्रवाह दर
- Q = A·v
- वृत्त का क्षेत्रफल
- A = πd²/4
पाइप घर्षण और शीर्ष हानि
- रेनॉल्ड्स संख्या
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- प्रवाह व्यवस्था
- Re ≈ 2000 से नीचे स्तरीय, Re ≈ 4000 से ऊपर विक्षुब्ध
- औसत वेग
- V = Q/A, A = π·D²/4
- डार्सी–वाइसबाख
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- लघु हानियाँ
- hm = ΣK·V²/(2g)
- K के सामान्य मान
- प्रवेश 0.5, निकास 1.0, 90° मोड़ ≈ 0.3
- दाब पात
- Δp = ρ·g·hf
- दो खुले जलाशय
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- मुक्त निकास
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
पंप और पंप शक्ति
- द्रवीय शक्ति
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- शाफ़्ट शक्ति
- Pshaft = Ph/ηpump
- विद्युत शक्ति
- Pel = Pshaft/ηmotor
- पंप शीर्ष
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- तंत्र हानियाँ
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
खुली वाहिका प्रवाह (मैनिंग)
- मैनिंग समीकरण
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- प्रवाह दर
- Q = A·V
- द्रवीय त्रिज्या
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- आयत
- A = b·y, P = b + 2y
- समलंब (पार्श्व ढाल z:1)
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- वृत्ताकार पाइप, पूरा या आधा भरा
- R = D/4
- आवश्यक ढाल
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
2अभ्यास प्रश्न
1.द्रवस्थैतिक बलमध्यम
2 m चौड़ा एक ऊर्ध्वाधर आयताकार फाटक पानी वाली टंकी की दीवार में है, उसका ऊपरी किनारा सतह से 4 m नीचे है। फाटक पर परिणामी द्रवस्थैतिक बल F ज्ञात कीजिए।
d = 4 mH = 2 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
2.द्रवस्थैतिक बलकठिन
3 m चौड़ा एक ऊर्ध्वाधर आयताकार फाटक समुद्री जल वाली टंकी की दीवार में है, उसका ऊपरी किनारा सतह से 3 m नीचे है। सतह के नीचे दाब केंद्र की गहराई ycp ज्ञात कीजिए।
d = 3 mH = 2.5 mb = 3 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²
ycp = m
3.सांतत्य और बर्नूलीमध्यम
पानी 6 L/s की दर से एक क्षैतिज पाइप में बहता है जो 80 mm से 40 mm तक संकरा होता है। संकरे भाग में दाब 210 kPa है। हानियों को नगण्य मानते हुए चौड़े भाग में दाब p1 ज्ञात कीजिए।
Q = 6 L/sd1 = 80 mmd2 = 40 mmp2 = 210 kPaρ = 1000 kg/m³
p1 = kPa
4.सांतत्य और बर्नूलीकठिन
पानी एक पाइप में ऊपर की ओर बहता है जो 75 mm से 50 mm तक संकरा होता है और 2 m ऊपर उठता है। खंड 1 पर दाब 100 kPa और वेग 0.5 m/s है। हानियाँ नगण्य मानकर खंड 2 पर दाब p2 ज्ञात कीजिए।
d1 = 75 mmd2 = 50 mmp1 = 100 kPav1 = 0.5 m/sΔz = 2 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
5.पाइप घर्षण और शीर्ष हानिमध्यम
जल 75 mm आंतरिक व्यास वाले 50 m लंबे पाइप से 1.2 m/s के औसत वेग से बहता है। डार्सी घर्षण गुणांक f = 0.028 और g = 9.81 m/s² लें। घर्षण शीर्ष हानि hf ज्ञात कीजिए।
V = 1.2 m/sL = 50 mD = 75 mmf = 0.028g = 9.81 m/s²
hf = m
6.पाइप घर्षण और शीर्ष हानिकठिन
दो खुले जलाशय 500 m लंबे, 300 mm आंतरिक व्यास और डार्सी घर्षण गुणांक f = 0.015 वाले पाइप से जुड़े हैं। ऊपरी जलाशय की जल सतह निचले जलाशय की सतह से 34 m ऊपर है। लघु हानियाँ हैं: एक तीखे किनारे वाला प्रवेश (K = 0.5), 4 मोड़ (हर एक K = 0.3), एक वाल्व (K = 5) और निचले जलाशय में निकास (K = 1.0)। g = 9.81 m/s² लें। प्रवाह दर Q L/s में ज्ञात कीजिए।
Δz = 34 mL = 500 mD = 300 mmf = 0.015Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×4)Kvalve = 5Kexit = 1.0
Q = L/s
7.पंप और पंप शक्तिमध्यम
एक परीक्षण में पंप 24 m शीर्ष के विरुद्ध 40 L/s जल (ρ = 1000 kg/m³) देता है जबकि उसका शाफ़्ट 12.6 kW लेता है। g = 9.81 m/s² लें। पंप दक्षता η प्रतिशत में ज्ञात कीजिए।
Q = 40 L/sH = 24 mPshaft = 12.6 kWg = 9.81 m/s²
η = %
8.पंप और पंप शक्तिकठिन
एक पंप 120 L/s जल (ρ = 1000 kg/m³) को एक खुले निचले जलाशय से एक ऊपरी टैंक तक ले जाता है, जिसकी जल सतह 6 m ऊँची है। पाइप 100 m लंबा है, उसका आंतरिक व्यास 250 mm और डार्सी घर्षण गुणांक f = 0.02 है; लघु-हानि गुणांकों का योग ΣK = 2 है (प्रवेश और निकास सहित)। g = 9.81 m/s² लें। ऊपरी टैंक बंद है और उसके जल के ऊपर की वायु 100 kPa के गेज दाब पर है। पंप द्वारा जोड़ा जाने वाला शीर्ष H ज्ञात कीजिए।
Q = 120 L/sΔz = 6 mL = 100 mD = 250 mmf = 0.02ΣK = 2ptank = 100 kPa
H = m
9.खुली वाहिका प्रवाह (मैनिंग)मध्यम
एक समलंबाकार अपरिष्कृत कंक्रीट वाहिका की तल चौड़ाई 5.5 m और पार्श्व ढाल 3:1 (क्षैतिज:ऊर्ध्वाधर) है। जल 2.4 m गहराई पर एकसमान रूप से बहता है। मैनिंग n = 0.014 और तल ढाल S = 0.002 है। प्रवाह दर Q m³/s में ज्ञात कीजिए।
b = 5.5 my = 2.4 mz = 3n = 0.014S = 0.002
Q = m³/s
10.खुली वाहिका प्रवाह (मैनिंग)कठिन
2 m तल चौड़ाई और 1.5:1 (क्षैतिज:ऊर्ध्वाधर) पार्श्व ढाल वाली एक समलंबाकार अपरिष्कृत कंक्रीट वाहिका को 0.7 m गहराई पर एकसमान प्रवाह में 2.9 m³/s वहन करना है। मैनिंग n = 0.014। आवश्यक तल ढाल S (m/m में) ज्ञात कीजिए।
Q = 2.9 m³/sb = 2 my = 0.7 mz = 1.5n = 0.014
S = m/m
3विलयन
1.द्रवस्थैतिक बल
उत्तर: F = 196.2 kN
समतल सतह पर द्रवस्थैतिक बल: F = ρ·g·yc·A। यह दाब केंद्र ycp = yc + Ic/(ycA) पर कार्य करता है, जो हमेशा केंद्रक के नीचे होता है।
केंद्रक की गहराई और क्षेत्रफल
yc = d + H/2 = 4 + 2/2 = 5 m
A = H·b = 2·2 = 4 m²
परिणामी बल
F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·5·4 = 196.2 kN
उत्तर
F = 196.2 kN
2.द्रवस्थैतिक बल
उत्तर: ycp = 4.373 m
समतल सतह पर द्रवस्थैतिक बल: F = ρ·g·yc·A। यह दाब केंद्र ycp = yc + Ic/(ycA) पर कार्य करता है, जो हमेशा केंद्रक के नीचे होता है।
केंद्रक की गहराई और क्षेत्रफल
yc = d + H/2 = 3 + 2.5/2 = 4.25 m
A = H·b = 2.5·3 = 7.5 m²
परिणामी बल
F = ρ·g·yc·A = 1025·9.81·4.25·7.5 = 320.5 kN
दाब केंद्र
दाब गहराई के साथ बढ़ता है, इसलिए परिणामी केंद्रक के नीचे कार्य करता है।
Ic = b·H³/12 = 3·2.5³/12 = 3.906 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 4.25 + 3.906/(4.25·7.5) = 4.373 m
उत्तर
ycp = 4.373 m
3.सांतत्य और बर्नूली
उत्तर: p1 = 220.7 kPa
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
वेग
v1 = Q/A1 = 0.006/0.005027 = 1.194 m/s
v2 = Q/A2 = 0.006/0.001257 = 4.775 m/s
बर्नूली
p1 = p2 + ½ρ(v2² − v1²) = 210 + ½·1000·(4.775² − 1.194²)/1000 = 210 + 10.69 = 220.7 kPa
उत्तर
p1 = 220.7 kPa
4.सांतत्य और बर्नूली
उत्तर: p2 = 79.87 kPa
सांतत्य और बर्नूली: असंपीड्य तरल के लिए हर खंड पर प्रवाह दर समान है, Q = A₁v₁ = A₂v₂। बिना हानि के धारारेखा के साथ p + ½ρv² + ρgz स्थिर रहता है, इसलिए जहाँ तरल तेज़ या ऊँचा हो वहाँ उसका दाब कम होता है।
सांतत्य और बर्नूली
Pa में काम करें, फिर kPa पाने के लिए 1000 से भाग दें।
v2 = v1·(d1/d2)² = 0.5·(75/50)² = 1.125 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(0.5² − 1.125²)/1000 = −0.5078 kPa
ρgΔz = 1000·9.81·2/1000 = 19.62 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 100 + (−0.5078) − 19.62 = 79.87 kPa
उत्तर
p2 = 79.87 kPa
5.पाइप घर्षण और शीर्ष हानि
उत्तर: hf = 1.37 m
पाइप प्रवाह: रेनॉल्ड्स संख्या Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ स्तरीय प्रवाह (Re लगभग 2000 से कम) को विक्षुब्ध प्रवाह (लगभग 4000 से अधिक) से अलग करती है। पाइप के अनुदिश घर्षण से डार्सी–वाइसबाख शीर्ष हानि hf = f·(L/D)·V²/(2g) होती है। फ़िटिंग, वाल्व, प्रवेश और निकास लघु हानियाँ hm = ΣK·V²/(2g) जोड़ते हैं। दो खुले जलाशय सतहों के बीच ऊर्जा समीकरण Δz = hf + hm देता है, जिसमें निकास हानि K = 1 शामिल है।
वेग शीर्ष
V²/(2g) = 1.2²/(2·9.81) = 0.07339 m
डार्सी–वाइसबाख
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.028·(50/0.075)·1.2²/(2·9.81) = 1.37 m
उत्तर
hf = 1.37 m
6.पाइप घर्षण और शीर्ष हानि
उत्तर: Q = 319.3 L/s
पाइप प्रवाह: रेनॉल्ड्स संख्या Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ स्तरीय प्रवाह (Re लगभग 2000 से कम) को विक्षुब्ध प्रवाह (लगभग 4000 से अधिक) से अलग करती है। पाइप के अनुदिश घर्षण से डार्सी–वाइसबाख शीर्ष हानि hf = f·(L/D)·V²/(2g) होती है। फ़िटिंग, वाल्व, प्रवेश और निकास लघु हानियाँ hm = ΣK·V²/(2g) जोड़ते हैं। दो खुले जलाशय सतहों के बीच ऊर्जा समीकरण Δz = hf + hm देता है, जिसमें निकास हानि K = 1 शामिल है।
हानि गुणांक
f·L/D = 0.015·500/0.3 = 25
ΣK = 0.5 + 4·0.3 + 5 + 1.0 = 7.7
ऊर्जा समीकरण
दोनों सतहें वायु के लिए खुली हैं और लगभग विराम में हैं, इसलिए पूरा Δz पाइप में खो जाता है।
34 = (25 + 7.7)·V²/(2·9.81)
V = √(2·9.81·34/32.7) = 4.517 m/s
प्रवाह दर
Q = V·π·D²/4 = 4.517·0.07069 = 0.3193 m³/s = 319.3 L/s
उत्तर
Q = 319.3 L/s
7.पंप और पंप शक्ति
उत्तर: η = 74.74 %
पंप शक्ति: जल को दी गई शक्ति द्रवीय शक्ति Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp है। शाफ़्ट को अधिक देना पड़ता है क्योंकि पंप में कुछ हानि होती है: Pshaft = Ph/ηpump, और मोटर Pel = Pshaft/ηmotor लेती है। पंप शीर्ष H ऊर्जा समीकरण से मिलता है: स्थैतिक उठान + दाब शीर्ष + सभी घर्षण और लघु हानियाँ।
द्रवीय शक्ति
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.04·24 = 9.418 kW
दक्षता
η = Ph/Pshaft = 9.418/12.6 = 74.74%
उत्तर
η = 74.74%
8.पंप और पंप शक्ति
उत्तर: H = 19.24 m
पंप शक्ति: जल को दी गई शक्ति द्रवीय शक्ति Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp है। शाफ़्ट को अधिक देना पड़ता है क्योंकि पंप में कुछ हानि होती है: Pshaft = Ph/ηpump, और मोटर Pel = Pshaft/ηmotor लेती है। पंप शीर्ष H ऊर्जा समीकरण से मिलता है: स्थैतिक उठान + दाब शीर्ष + सभी घर्षण और लघु हानियाँ।
वेग
V = Q/A = 0.12/0.04909 = 2.445 m/s
V²/(2g) = 0.3046 m
शीर्ष हानियाँ
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (8 + 2)·0.3046 = 3.046 m
दाब शीर्ष
p/(ρ·g) = 100000/(1000·9.81) = 10.19 m
पंप शीर्ष
दोनों सतहें लगभग विराम में हैं, इसलिए कोई वेग शीर्ष पद नहीं है।
H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 6 + 10.19 + 3.046 = 19.24 m
उत्तर
H = 19.24 m
9.खुली वाहिका प्रवाह (मैनिंग)
उत्तर: Q = 126.1 m³/s
मैनिंग समीकरण (SI): खुली वाहिका में एकसमान प्रवाह के लिए V = (1/n)·R2/3·S1/2 और Q = A·V, जहाँ n खुरदरापन गुणांक, S तल ढाल (m/m) और R = A/P द्रवीय त्रिज्या है: प्रवाह क्षेत्रफल बटा आर्द्र परिमाप। P में केवल जल के संपर्क वाली सीमा गिनी जाती है, मुक्त सतह नहीं। आयत: A = b·y, P = b + 2y। z:1 (क्षैतिज:ऊर्ध्वाधर) पार्श्व ढाल वाला समलंब: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)। पूरे या आधे भरे बहते वृत्ताकार पाइप के लिए R = D/4।
ज्यामिति
A = (b + z·y)·y = (5.5 + 3·2.4)·2.4 = 30.48 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 5.5 + 2·2.4·√(1 + 3²) = 20.68 m
R = A/P = 1.474 m
वेग
V = (1/0.014)·1.4742/3·0.0021/2 = 4.137 m/s
प्रवाह दर
Q = A·V = 30.48·4.137 = 126.1 m³/s
उत्तर
Q = 126.1 m³/s
10.खुली वाहिका प्रवाह (मैनिंग)
उत्तर: S = 0.0009842 m/m
मैनिंग समीकरण (SI): खुली वाहिका में एकसमान प्रवाह के लिए V = (1/n)·R2/3·S1/2 और Q = A·V, जहाँ n खुरदरापन गुणांक, S तल ढाल (m/m) और R = A/P द्रवीय त्रिज्या है: प्रवाह क्षेत्रफल बटा आर्द्र परिमाप। P में केवल जल के संपर्क वाली सीमा गिनी जाती है, मुक्त सतह नहीं। आयत: A = b·y, P = b + 2y। z:1 (क्षैतिज:ऊर्ध्वाधर) पार्श्व ढाल वाला समलंब: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)। पूरे या आधे भरे बहते वृत्ताकार पाइप के लिए R = D/4।
ज्यामिति
A = (b + z·y)·y = (2 + 1.5·0.7)·0.7 = 2.135 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 2 + 2·0.7·√(1 + 1.5²) = 4.524 m
R = A/P = 0.4719 m
S के लिए मैनिंग हल करें
S1/2 = n·Q/(A·R2/3) = 0.014·2.9/(2.135·0.6062) = 0.03137
S = 0.03137² = 0.0009842
उत्तर
S = 0.0009842
यह प्रति किलोमीटर 0.9842 m की गिरावट है।
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