द्रवस्थैतिक बल
- गहराई पर दाब
- p = ρgh
- ऊर्ध्वाधर दीवार पर बल
- F = ρg·hc·A
- दाब केंद्र
- yp = yc + Ic/(ycA)
- आयत
- Ic = bH³/12
द्रवचालित इंजीनियरिंग: क्रैम पैक
सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 10 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।
1सूत्र और विधियाँ
सांतत्य और बर्नूली
- सांतत्य
- A1v1 = A2v2
- बर्नूली
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- प्रवाह दर
- Q = A·v
- वृत्त का क्षेत्रफल
- A = πd²/4
पाइप घर्षण और शीर्ष हानि
- रेनॉल्ड्स संख्या
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- प्रवाह व्यवस्था
- Re ≈ 2000 से नीचे स्तरीय, Re ≈ 4000 से ऊपर विक्षुब्ध
- औसत वेग
- V = Q/A, A = π·D²/4
- डार्सी–वाइसबाख
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- लघु हानियाँ
- hm = ΣK·V²/(2g)
- K के सामान्य मान
- प्रवेश 0.5, निकास 1.0, 90° मोड़ ≈ 0.3
- दाब पात
- Δp = ρ·g·hf
- दो खुले जलाशय
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- मुक्त निकास
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
पंप और पंप शक्ति
- द्रवीय शक्ति
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- शाफ़्ट शक्ति
- Pshaft = Ph/ηpump
- विद्युत शक्ति
- Pel = Pshaft/ηmotor
- पंप शीर्ष
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- तंत्र हानियाँ
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
खुली वाहिका प्रवाह (मैनिंग)
- मैनिंग समीकरण
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- प्रवाह दर
- Q = A·V
- द्रवीय त्रिज्या
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- आयत
- A = b·y, P = b + 2y
- समलंब (पार्श्व ढाल z:1)
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- वृत्ताकार पाइप, पूरा या आधा भरा
- R = D/4
- आवश्यक ढाल
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
2अभ्यास प्रश्न
1.द्रवस्थैतिक बलमध्यम
1.5 m चौड़ा एक ऊर्ध्वाधर आयताकार फाटक पानी वाली टंकी की दीवार में है, उसका ऊपरी किनारा सतह से 4 m नीचे है। फाटक पर परिणामी द्रवस्थैतिक बल F ज्ञात कीजिए।
d = 4 mH = 1.5 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
2.द्रवस्थैतिक बलकठिन
3 m चौड़ा एक ऊर्ध्वाधर आयताकार फाटक ग्लिसरीन वाली टंकी की दीवार में है, उसका ऊपरी किनारा सतह से 2.5 m नीचे है। फाटक पर परिणामी द्रवस्थैतिक बल F ज्ञात कीजिए।
d = 2.5 mH = 2 mb = 3 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
3.सांतत्य और बर्नूलीमध्यम
पानी एक क्षैतिज वेंचुरी मीटर से बहता है जिसका प्रवेश व्यास 250 mm और कंठ व्यास 125 mm है। प्रवेश पर दाब कंठ की तुलना में 23 kPa अधिक है। हानियों को नगण्य मानते हुए प्रवाह दर Q ज्ञात कीजिए।
d1 = 250 mmd2 = 125 mmp1 − p2 = 23 kPaρ = 1000 kg/m³
Q = L/s
4.सांतत्य और बर्नूलीकठिन
पानी एक पाइप में ऊपर की ओर बहता है जो 100 mm से 50 mm तक संकरा होता है और 1 m ऊपर उठता है। खंड 1 पर दाब 310 kPa और वेग 1.75 m/s है। हानियाँ नगण्य मानकर खंड 2 पर दाब p2 ज्ञात कीजिए।
d1 = 100 mmd2 = 50 mmp1 = 310 kPav1 = 1.75 m/sΔz = 1 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
5.पाइप घर्षण और शीर्ष हानिमध्यम
जल (ρ = 1000 kg/m³) 200 mm आंतरिक व्यास वाले 50 m लंबे क्षैतिज पाइप से 2.3 m/s पर बहता है। डार्सी घर्षण गुणांक f = 0.03 और g = 9.81 m/s² लें। पाइप पर दाब पात Δp kPa में ज्ञात कीजिए।
V = 2.3 m/sL = 50 mD = 200 mmf = 0.03ρ = 1000 kg/m³
Δp = kPa
6.पाइप घर्षण और शीर्ष हानिकठिन
100 mm आंतरिक व्यास (डार्सी घर्षण गुणांक f = 0.025) वाला 100 m लंबा पाइप एक खुले जलाशय से निकलता है और वायु में मुक्त जेट के रूप में निकास करता है। लघु हानियाँ हैं: एक तीखे किनारे वाला प्रवेश (K = 0.5), 4 मोड़ (हर एक K = 0.3) और एक वाल्व (K = 2)। g = 9.81 m/s² लें। 20 L/s की प्रवाह दर के लिए जलाशय की सतह पाइप निकास से कितनी H ऊपर होनी चाहिए?
Q = 20 L/sL = 100 mD = 100 mmf = 0.025Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×4)Kvalve = 2
H = m
7.पंप और पंप शक्तिमध्यम
78% दक्षता वाला एक पंप 42 m शीर्ष के विरुद्ध 50 L/s जल (ρ = 1000 kg/m³) देता है। g = 9.81 m/s² लें। आवश्यक शाफ़्ट शक्ति Pshaft kW में ज्ञात कीजिए।
Q = 50 L/sH = 42 mη = 78%g = 9.81 m/s²
Pshaft = kW
8.पंप और पंप शक्तिकठिन
एक पंप 75 L/s जल (ρ = 1000 kg/m³) को एक खुले निचले जलाशय से एक ऊपरी टैंक तक ले जाता है, जिसकी जल सतह 15 m ऊँची है। पाइप 200 m लंबा है, उसका आंतरिक व्यास 250 mm और डार्सी घर्षण गुणांक f = 0.02 है; लघु-हानि गुणांकों का योग ΣK = 8 है (प्रवेश और निकास सहित)। g = 9.81 m/s² लें। ऊपरी टैंक बंद है और उसके जल के ऊपर की वायु 350 kPa के गेज दाब पर है। पंप द्वारा जोड़ा जाने वाला शीर्ष H ज्ञात कीजिए।
Q = 75 L/sΔz = 15 mL = 200 mD = 250 mmf = 0.02ΣK = 8ptank = 350 kPa
H = m
9.खुली वाहिका प्रवाह (मैनिंग)मध्यम
900 mm आंतरिक व्यास वाला एक कंक्रीट वर्षा-जल सीवर ठीक पूरा भरा बहता है (खुली वाहिका के रूप में, दाब में नहीं)। मैनिंग n = 0.013 और ढाल S = 0.0015 है। प्रवाह दर Q m³/s में ज्ञात कीजिए।
D = 900 mmn = 0.013S = 0.0015
Q = m³/s
10.खुली वाहिका प्रवाह (मैनिंग)कठिन
375 mm आंतरिक व्यास (मैनिंग n = 0.013) वाले एक कंक्रीट सीवर को ठीक पूरा भरा बहते समय 1.2 m/s का स्व-सफ़ाई वेग पाना है। न्यूनतम ढाल S (m/m में) ज्ञात कीजिए।
D = 375 mmn = 0.013V = 1.2 m/s
S = m/m
3विलयन
1.द्रवस्थैतिक बल
उत्तर: F = 104.8 kN
समतल सतह पर द्रवस्थैतिक बल: F = ρ·g·yc·A। यह दाब केंद्र ycp = yc + Ic/(ycA) पर कार्य करता है, जो हमेशा केंद्रक के नीचे होता है।
केंद्रक की गहराई और क्षेत्रफल
yc = d + H/2 = 4 + 1.5/2 = 4.75 m
A = H·b = 1.5·1.5 = 2.25 m²
परिणामी बल
F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·4.75·2.25 = 104.8 kN
उत्तर
F = 104.8 kN
2.द्रवस्थैतिक बल
उत्तर: F = 259.6 kN
समतल सतह पर द्रवस्थैतिक बल: F = ρ·g·yc·A। यह दाब केंद्र ycp = yc + Ic/(ycA) पर कार्य करता है, जो हमेशा केंद्रक के नीचे होता है।
केंद्रक की गहराई और क्षेत्रफल
yc = d + H/2 = 2.5 + 2/2 = 3.5 m
A = H·b = 2·3 = 6 m²
परिणामी बल
F = ρ·g·yc·A = 1260·9.81·3.5·6 = 259.6 kN
उत्तर
F = 259.6 kN
3.सांतत्य और बर्नूली
उत्तर: Q = 85.96 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
सांतत्य
v1 = v2·(125/250)² = 0.25·v2
प्रवेश और कंठ के बीच बर्नूली
पाइप क्षैतिज है, इसलिए केवल दाब और वेग बदलते हैं।
p1 − p2 = ½ρv2²(1 − β⁴)
v2 = √(2·23000/(1000·(1 − 0.0625))) = 7.005 m/s
v1 = 1.751 m/s
प्रवाह दर
Q = A2·v2 = 0.01227·7.005 = 0.08596 m³/s = 85.96 L/s
उत्तर
Q = 85.96 L/s
4.सांतत्य और बर्नूली
उत्तर: p2 = 277.2 kPa
सांतत्य और बर्नूली: असंपीड्य तरल के लिए हर खंड पर प्रवाह दर समान है, Q = A₁v₁ = A₂v₂। बिना हानि के धारारेखा के साथ p + ½ρv² + ρgz स्थिर रहता है, इसलिए जहाँ तरल तेज़ या ऊँचा हो वहाँ उसका दाब कम होता है।
सांतत्य और बर्नूली
Pa में काम करें, फिर kPa पाने के लिए 1000 से भाग दें।
v2 = v1·(d1/d2)² = 1.75·(100/50)² = 7 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(1.75² − 7²)/1000 = −22.97 kPa
ρgΔz = 1000·9.81·1/1000 = 9.81 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 310 + (−22.97) − 9.81 = 277.2 kPa
उत्तर
p2 = 277.2 kPa
5.पाइप घर्षण और शीर्ष हानि
उत्तर: Δp = 19.84 kPa
पाइप प्रवाह: रेनॉल्ड्स संख्या Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ स्तरीय प्रवाह (Re लगभग 2000 से कम) को विक्षुब्ध प्रवाह (लगभग 4000 से अधिक) से अलग करती है। पाइप के अनुदिश घर्षण से डार्सी–वाइसबाख शीर्ष हानि hf = f·(L/D)·V²/(2g) होती है। फ़िटिंग, वाल्व, प्रवेश और निकास लघु हानियाँ hm = ΣK·V²/(2g) जोड़ते हैं। दो खुले जलाशय सतहों के बीच ऊर्जा समीकरण Δz = hf + hm देता है, जिसमें निकास हानि K = 1 शामिल है।
शीर्ष हानि
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.03·(50/0.2)·2.3²/(2·9.81) = 2.022 m
दाब पात
पाइप क्षैतिज है और वेग नहीं बदलता, इसलिए ऊर्जा समीकरण Δp = ρ·g·hf बन जाता है।
Δp = ρ·g·hf = 1000·9.81·2.022 = 19837 Pa = 19.84 kPa
उत्तर
Δp = 19.84 kPa
6.पाइप घर्षण और शीर्ष हानि
उत्तर: H = 9.816 m
पाइप प्रवाह: रेनॉल्ड्स संख्या Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ स्तरीय प्रवाह (Re लगभग 2000 से कम) को विक्षुब्ध प्रवाह (लगभग 4000 से अधिक) से अलग करती है। पाइप के अनुदिश घर्षण से डार्सी–वाइसबाख शीर्ष हानि hf = f·(L/D)·V²/(2g) होती है। फ़िटिंग, वाल्व, प्रवेश और निकास लघु हानियाँ hm = ΣK·V²/(2g) जोड़ते हैं। दो खुले जलाशय सतहों के बीच ऊर्जा समीकरण Δz = hf + hm देता है, जिसमें निकास हानि K = 1 शामिल है।
वेग
V = Q/A = 0.02/0.007854 = 2.546 m/s
V²/(2g) = 0.3305 m
हानि गुणांक
f·L/D = 0.025·100/0.1 = 25
ΣK = 0.5 + 4·0.3 + 2 = 3.7
ऊर्जा समीकरण
निकास जेट अभी भी अपना वेग शीर्ष वहन करता है; यह हानि नहीं है, पर इसे देना पड़ता है।
H = (1 + 25 + 3.7)·0.3305 = 9.816 m
उत्तर
H = 9.816 m
7.पंप और पंप शक्ति
उत्तर: Pshaft = 26.41 kW
पंप शक्ति: जल को दी गई शक्ति द्रवीय शक्ति Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp है। शाफ़्ट को अधिक देना पड़ता है क्योंकि पंप में कुछ हानि होती है: Pshaft = Ph/ηpump, और मोटर Pel = Pshaft/ηmotor लेती है। पंप शीर्ष H ऊर्जा समीकरण से मिलता है: स्थैतिक उठान + दाब शीर्ष + सभी घर्षण और लघु हानियाँ।
द्रवीय शक्ति
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.05·42 = 20.6 kW
शाफ़्ट शक्ति
Pshaft = Ph/η = 20.6/0.78 = 26.41 kW
उत्तर
Pshaft = 26.41 kW
8.पंप और पंप शक्ति
उत्तर: H = 53.53 m
पंप शक्ति: जल को दी गई शक्ति द्रवीय शक्ति Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp है। शाफ़्ट को अधिक देना पड़ता है क्योंकि पंप में कुछ हानि होती है: Pshaft = Ph/ηpump, और मोटर Pel = Pshaft/ηmotor लेती है। पंप शीर्ष H ऊर्जा समीकरण से मिलता है: स्थैतिक उठान + दाब शीर्ष + सभी घर्षण और लघु हानियाँ।
वेग
V = Q/A = 0.075/0.04909 = 1.528 m/s
V²/(2g) = 0.119 m
शीर्ष हानियाँ
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (16 + 8)·0.119 = 2.856 m
दाब शीर्ष
p/(ρ·g) = 350000/(1000·9.81) = 35.68 m
पंप शीर्ष
दोनों सतहें लगभग विराम में हैं, इसलिए कोई वेग शीर्ष पद नहीं है।
H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 15 + 35.68 + 2.856 = 53.53 m
उत्तर
H = 53.53 m
9.खुली वाहिका प्रवाह (मैनिंग)
उत्तर: Q = 0.7011 m³/s
मैनिंग समीकरण (SI): खुली वाहिका में एकसमान प्रवाह के लिए V = (1/n)·R2/3·S1/2 और Q = A·V, जहाँ n खुरदरापन गुणांक, S तल ढाल (m/m) और R = A/P द्रवीय त्रिज्या है: प्रवाह क्षेत्रफल बटा आर्द्र परिमाप। P में केवल जल के संपर्क वाली सीमा गिनी जाती है, मुक्त सतह नहीं। आयत: A = b·y, P = b + 2y। z:1 (क्षैतिज:ऊर्ध्वाधर) पार्श्व ढाल वाला समलंब: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)। पूरे या आधे भरे बहते वृत्ताकार पाइप के लिए R = D/4।
ज्यामिति
A = 0.6362 m², R = D/4 = 0.225 m
वेग
V = (1/0.013)·0.2252/3·0.00151/2 = 1.102 m/s
प्रवाह दर
Q = A·V = 0.6362·1.102 = 0.7011 m³/s
उत्तर
Q = 0.7011 m³/s
10.खुली वाहिका प्रवाह (मैनिंग)
उत्तर: S = 0.005714 m/m
मैनिंग समीकरण (SI): खुली वाहिका में एकसमान प्रवाह के लिए V = (1/n)·R2/3·S1/2 और Q = A·V, जहाँ n खुरदरापन गुणांक, S तल ढाल (m/m) और R = A/P द्रवीय त्रिज्या है: प्रवाह क्षेत्रफल बटा आर्द्र परिमाप। P में केवल जल के संपर्क वाली सीमा गिनी जाती है, मुक्त सतह नहीं। आयत: A = b·y, P = b + 2y। z:1 (क्षैतिज:ऊर्ध्वाधर) पार्श्व ढाल वाला समलंब: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)। पूरे या आधे भरे बहते वृत्ताकार पाइप के लिए R = D/4।
द्रवीय त्रिज्या
R = D/4 = 0.375/4 = 0.09375 m
S के लिए मैनिंग हल करें
S = (n·V/R2/3)² = (0.013·1.2/0.2064)² = 0.005714
उत्तर
S = 0.005714
यह प्रति किलोमीटर 5.714 m की गिरावट है।
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