द्रवचालित इंजीनियरिंग: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 10 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

द्रवस्थैतिक बल

गहराई पर दाब: p = ρgh
ऊर्ध्वाधर दीवार पर बल: F = ρg·h_c·A
दाब केंद्र: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
आयत: I_c = bH³/12

सांतत्य और बर्नूली

सांतत्य: A₁v₁ = A₂v₂
बर्नूली: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
प्रवाह दर: Q = A·v
वृत्त का क्षेत्रफल: A = πd²/4

पाइप घर्षण और शीर्ष हानि

रेनॉल्ड्स संख्या: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
प्रवाह व्यवस्था: Re ≈ 2000 से नीचे स्तरीय, Re ≈ 4000 से ऊपर विक्षुब्ध
औसत वेग: V = Q/A, A = π·D²/4
डार्सी–वाइसबाख: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
लघु हानियाँ: h_m = ΣK·V²/(2g)
K के सामान्य मान: प्रवेश 0.5, निकास 1.0, 90° मोड़ ≈ 0.3
दाब पात: Δp = ρ·g·h_f
दो खुले जलाशय: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
मुक्त निकास: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

पंप और पंप शक्ति

द्रवीय शक्ति: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
शाफ़्ट शक्ति: P_shaft = P_h/η_pump
विद्युत शक्ति: P_el = P_shaft/η_motor
पंप शीर्ष: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
तंत्र हानियाँ: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

खुली वाहिका प्रवाह (मैनिंग)

मैनिंग समीकरण: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
प्रवाह दर: Q = A·V
द्रवीय त्रिज्या: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
आयत: A = b·y, P = b + 2y
समलंब (पार्श्व ढाल z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
वृत्ताकार पाइप, पूरा या आधा भरा: R = D/4
आवश्यक ढाल: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2अभ्यास प्रश्न

1.द्रवस्थैतिक बलमध्यम

1.5 m चौड़ा एक ऊर्ध्वाधर आयताकार फाटक पानी वाली टंकी की दीवार में है, उसका ऊपरी किनारा सतह से 0.5 m नीचे है। फाटक पर परिणामी द्रवस्थैतिक बल F ज्ञात कीजिए।

d = 0.5 mH = 3 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

2.द्रवस्थैतिक बलकठिन

3 m चौड़ा एक ऊर्ध्वाधर आयताकार फाटक तेल वाली टंकी की दीवार में है, उसका ऊपरी किनारा सतह से 0.5 m नीचे है। सतह के नीचे दाब केंद्र की गहराई y_cp ज्ञात कीजिए।

d = 0.5 mH = 2 mb = 3 mρ = 880 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

3.सांतत्य और बर्नूलीमध्यम

पानी 26 L/s की दर से एक क्षैतिज पाइप में बहता है जो 200 mm से 100 mm तक संकरा होता है। संकरे भाग में दाब 100 kPa है। हानियों को नगण्य मानते हुए चौड़े भाग में दाब p₁ ज्ञात कीजिए।

Q = 26 L/sd₁ = 200 mmd₂ = 100 mmp₂ = 100 kPaρ = 1000 kg/m³

p₁ = kPa

4.सांतत्य और बर्नूलीकठिन

एक फ़व्वारे का नोज़ल सीधे ऊपर की ओर है। नोज़ल के ठीक नीचे आपूर्ति पाइप का व्यास 50 mm और गेज दाब 20 kPa है। नोज़ल निकास व्यास 25 mm है, और नोज़ल के आर-पार ऊँचाई अंतर नगण्य है। हानियों और वायु प्रतिरोध को नगण्य मानते हुए वह ऊँचाई H ज्ञात कीजिए जिस तक जेट नोज़ल से ऊपर उठता है। g = 9.81 m/s² लें।

d₁ = 50 mmp₁ = 20 kPa (गेज)d₂ = 25 mmρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

H = m

5.पाइप घर्षण और शीर्ष हानिमध्यम

जल 150 mm आंतरिक व्यास वाले 1000 m लंबे पाइप से 20 L/s पर बहता है। डार्सी घर्षण गुणांक f = 0.03 और g = 9.81 m/s² लें। घर्षण शीर्ष हानि h_f ज्ञात कीजिए।

Q = 20 L/sL = 1000 mD = 150 mmf = 0.03g = 9.81 m/s²

h_f = m

6.पाइप घर्षण और शीर्ष हानिकठिन

150 mm आंतरिक व्यास (डार्सी घर्षण गुणांक f = 0.02) वाला 200 m लंबा पाइप एक खुले जलाशय से निकलता है और वायु में मुक्त जेट के रूप में निकास करता है। लघु हानियाँ हैं: एक तीखे किनारे वाला प्रवेश (K = 0.5), 4 मोड़ (हर एक K = 0.3) और एक वाल्व (K = 2)। g = 9.81 m/s² लें। 60 L/s की प्रवाह दर के लिए जलाशय की सतह पाइप निकास से कितनी H ऊपर होनी चाहिए?

Q = 60 L/sL = 200 mD = 150 mmf = 0.02K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×4)K_valve = 2

H = m

7.पंप और पंप शक्तिमध्यम

70% दक्षता वाला एक पंप 36 m शीर्ष के विरुद्ध 40 L/s जल (ρ = 1000 kg/m³) देता है। g = 9.81 m/s² लें। आवश्यक शाफ़्ट शक्ति P_shaft kW में ज्ञात कीजिए।

Q = 40 L/sH = 36 mη = 70%g = 9.81 m/s²

P_shaft = kW

8.पंप और पंप शक्तिकठिन

एक पंप 30 L/s जल (ρ = 1000 kg/m³) को एक खुले निचले जलाशय से एक ऊपरी टैंक तक ले जाता है, जिसकी जल सतह 5 m ऊँची है। पाइप 300 m लंबा है, उसका आंतरिक व्यास 150 mm और डार्सी घर्षण गुणांक f = 0.015 है; लघु-हानि गुणांकों का योग ΣK = 6 है (प्रवेश और निकास सहित)। g = 9.81 m/s² लें। पंप दक्षता 70% है। शाफ़्ट शक्ति P_shaft kW में ज्ञात कीजिए।

Q = 30 L/sΔz = 5 mL = 300 mD = 150 mmf = 0.015ΣK = 6η = 70%

P_shaft = kW

9.खुली वाहिका प्रवाह (मैनिंग)मध्यम

एक समलंबाकार घास-आच्छादित मिट्टी वाहिका की तल चौड़ाई 3 m और पार्श्व ढाल 3:1 (क्षैतिज:ऊर्ध्वाधर) है। जल 1 m गहराई पर एकसमान रूप से बहता है। मैनिंग n = 0.03 और तल ढाल S = 0.001 है। प्रवाह दर Q m³/s में ज्ञात कीजिए।

b = 3 my = 1 mz = 3n = 0.03S = 0.001

Q = m³/s

10.खुली वाहिका प्रवाह (मैनिंग)कठिन

2.5 m चौड़ी एक आयताकार बजरी वाहिका को 1.7 m गहराई पर एकसमान प्रवाह में 3.9 m³/s वहन करना है। मैनिंग n = 0.025। आवश्यक तल ढाल S (m/m में) ज्ञात कीजिए।

Q = 3.9 m³/sb = 2.5 my = 1.7 mn = 0.025

S = m/m

3विलयन

1.द्रवस्थैतिक बल

उत्तर: F = 88.29 kN

समतल सतह पर द्रवस्थैतिक बल: F = ρ·g·y_c·A। यह दाब केंद्र y_cp = y_c + I_c/(y_cA) पर कार्य करता है, जो हमेशा केंद्रक के नीचे होता है।

केंद्रक की गहराई और क्षेत्रफल

y_c = d + H/2 = 0.5 + 3/2 = 2 m

A = H·b = 3·1.5 = 4.5 m²

परिणामी बल

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2·4.5 = 88.29 kN

उत्तर

F = 88.29 kN

2.द्रवस्थैतिक बल

उत्तर: y_cp = 1.722 m

केंद्रक की गहराई और क्षेत्रफल

y_c = d + H/2 = 0.5 + 2/2 = 1.5 m

A = H·b = 2·3 = 6 m²

परिणामी बल

F = ρ·g·y_c·A = 880·9.81·1.5·6 = 77.7 kN

दाब केंद्र

दाब गहराई के साथ बढ़ता है, इसलिए परिणामी केंद्रक के नीचे कार्य करता है।

I_c = b·H³/12 = 3·2³/12 = 2 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 1.5 + 2/(1.5·6) = 1.722 m

उत्तर

y_cp = 1.722 m

3.सांतत्य और बर्नूली

उत्तर: p₁ = 105.1 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

वेग

v₁ = Q/A₁ = 0.026/0.03142 = 0.8276 m/s

v₂ = Q/A₂ = 0.026/0.007854 = 3.31 m/s

बर्नूली

p₁ = p₂ + ½ρ(v₂² − v₁²) = 100 + ½·1000·(3.31² − 0.8276²)/1000 = 100 + 5.137 = 105.1 kPa

उत्तर

p₁ = 105.1 kPa

4.सांतत्य और बर्नूली

उत्तर: H = 2.175 m

निकास वेग

β = 25/50 = 0.5

v₂ = √(2p₁/(ρ(1 − β⁴))) = √(2·20000/(1000·0.9375)) = 6.532 m/s

जेट की ऊँचाई

जेट के साथ बर्नूली: शीर्ष पर वेग शून्य है और दाब फिर से वायुमंडलीय है।

H = v₂²/(2g) = 6.532²/(2·9.81) = 2.175 m

उत्तर

H = 2.175 m

5.पाइप घर्षण और शीर्ष हानि

उत्तर: h_f = 13.06 m

पाइप प्रवाह: रेनॉल्ड्स संख्या Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ स्तरीय प्रवाह (Re लगभग 2000 से कम) को विक्षुब्ध प्रवाह (लगभग 4000 से अधिक) से अलग करती है। पाइप के अनुदिश घर्षण से डार्सी–वाइसबाख शीर्ष हानि h_f = f·(L/D)·V²/(2g) होती है। फ़िटिंग, वाल्व, प्रवेश और निकास लघु हानियाँ h_m = ΣK·V²/(2g) जोड़ते हैं। दो खुले जलाशय सतहों के बीच ऊर्जा समीकरण Δz = h_f + h_m देता है, जिसमें निकास हानि K = 1 शामिल है।

औसत वेग

A = π·0.15²/4 = 0.01767 m²

V = Q/A = 0.02/0.01767 = 1.132 m/s

वेग शीर्ष

V²/(2g) = 1.132²/(2·9.81) = 0.06529 m

डार्सी–वाइसबाख

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.03·(1000/0.15)·1.132²/(2·9.81) = 13.06 m

उत्तर

h_f = 13.06 m

6.पाइप घर्षण और शीर्ष हानि

उत्तर: H = 18.43 m

वेग

V = Q/A = 0.06/0.01767 = 3.395 m/s

V²/(2g) = 0.5876 m

हानि गुणांक

f·L/D = 0.02·200/0.15 = 26.67

ΣK = 0.5 + 4·0.3 + 2 = 3.7

ऊर्जा समीकरण

निकास जेट अभी भी अपना वेग शीर्ष वहन करता है; यह हानि नहीं है, पर इसे देना पड़ता है।

H = (1 + 26.67 + 3.7)·0.5876 = 18.43 m

उत्तर

H = 18.43 m

7.पंप और पंप शक्ति

उत्तर: P_shaft = 20.18 kW

पंप शक्ति: जल को दी गई शक्ति द्रवीय शक्ति P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp है। शाफ़्ट को अधिक देना पड़ता है क्योंकि पंप में कुछ हानि होती है: P_shaft = P_h/η_pump, और मोटर P_el = P_shaft/η_motor लेती है। पंप शीर्ष H ऊर्जा समीकरण से मिलता है: स्थैतिक उठान + दाब शीर्ष + सभी घर्षण और लघु हानियाँ।

द्रवीय शक्ति

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.04·36 = 14.13 kW

शाफ़्ट शक्ति

P_shaft = P_h/η = 14.13/0.7 = 20.18 kW

उत्तर

P_shaft = 20.18 kW

8.पंप और पंप शक्ति

उत्तर: P_shaft = 4.325 kW

वेग

V = Q/A = 0.03/0.01767 = 1.698 m/s

V²/(2g) = 0.1469 m

शीर्ष हानियाँ

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (30 + 6)·0.1469 = 5.288 m

पंप शीर्ष

H = Δz + h_L = 5 + 5.288 = 10.29 m

शाफ़्ट शक्ति

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9.81·0.03·10.29/0.7 = 4.325 kW

उत्तर

P_shaft = 4.325 kW

9.खुली वाहिका प्रवाह (मैनिंग)

उत्तर: Q = 4.714 m³/s

मैनिंग समीकरण (SI): खुली वाहिका में एकसमान प्रवाह के लिए V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 और Q = A·V, जहाँ n खुरदरापन गुणांक, S तल ढाल (m/m) और R = A/P द्रवीय त्रिज्या है: प्रवाह क्षेत्रफल बटा आर्द्र परिमाप। P में केवल जल के संपर्क वाली सीमा गिनी जाती है, मुक्त सतह नहीं। आयत: A = b·y, P = b + 2y। z:1 (क्षैतिज:ऊर्ध्वाधर) पार्श्व ढाल वाला समलंब: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)। पूरे या आधे भरे बहते वृत्ताकार पाइप के लिए R = D/4।

ज्यामिति

A = (b + z·y)·y = (3 + 3·1)·1 = 6 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 3 + 2·1·√(1 + 3²) = 9.325 m

R = A/P = 0.6435 m

वेग

V = (1/0.03)·0.6435^2/3·0.001^1/2 = 0.7856 m/s

प्रवाह दर

Q = A·V = 6·0.7856 = 4.714 m³/s

उत्तर

Q = 4.714 m³/s

10.खुली वाहिका प्रवाह (मैनिंग)

उत्तर: S = 0.000815 m/m

ज्यामिति

A = b·y = 2.5·1.7 = 4.25 m²

P = b + 2y = 2.5 + 2·1.7 = 5.9 m

R = A/P = 0.7203 m

S के लिए मैनिंग हल करें

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0.025·3.9/(4.25·0.8036) = 0.02855

S = 0.02855² = 0.000815

उत्तर

S = 0.000815

यह प्रति किलोमीटर 0.815 m की गिरावट है।

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