द्रवचालित इंजीनियरिंग: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 10 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

द्रवस्थैतिक बल

गहराई पर दाब: p = ρgh
ऊर्ध्वाधर दीवार पर बल: F = ρg·h_c·A
दाब केंद्र: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
आयत: I_c = bH³/12

सांतत्य और बर्नूली

सांतत्य: A₁v₁ = A₂v₂
बर्नूली: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
प्रवाह दर: Q = A·v
वृत्त का क्षेत्रफल: A = πd²/4

पाइप घर्षण और शीर्ष हानि

रेनॉल्ड्स संख्या: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
प्रवाह व्यवस्था: Re ≈ 2000 से नीचे स्तरीय, Re ≈ 4000 से ऊपर विक्षुब्ध
औसत वेग: V = Q/A, A = π·D²/4
डार्सी–वाइसबाख: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
लघु हानियाँ: h_m = ΣK·V²/(2g)
K के सामान्य मान: प्रवेश 0.5, निकास 1.0, 90° मोड़ ≈ 0.3
दाब पात: Δp = ρ·g·h_f
दो खुले जलाशय: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
मुक्त निकास: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

पंप और पंप शक्ति

द्रवीय शक्ति: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
शाफ़्ट शक्ति: P_shaft = P_h/η_pump
विद्युत शक्ति: P_el = P_shaft/η_motor
पंप शीर्ष: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
तंत्र हानियाँ: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

खुली वाहिका प्रवाह (मैनिंग)

मैनिंग समीकरण: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
प्रवाह दर: Q = A·V
द्रवीय त्रिज्या: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
आयत: A = b·y, P = b + 2y
समलंब (पार्श्व ढाल z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
वृत्ताकार पाइप, पूरा या आधा भरा: R = D/4
आवश्यक ढाल: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2अभ्यास प्रश्न

1.द्रवस्थैतिक बलमध्यम

3 m चौड़ा एक ऊर्ध्वाधर आयताकार फाटक पानी वाली टंकी की दीवार में है, उसका ऊपरी किनारा सतह से 0.5 m नीचे है। फाटक पर परिणामी द्रवस्थैतिक बल F ज्ञात कीजिए।

d = 0.5 mH = 1.5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

2.द्रवस्थैतिक बलकठिन

3 m चौड़ा एक ऊर्ध्वाधर आयताकार फाटक तेल वाली टंकी की दीवार में है, उसका ऊपरी किनारा सतह से 3 m नीचे है। सतह के नीचे दाब केंद्र की गहराई y_cp ज्ञात कीजिए।

d = 3 mH = 3 mb = 3 mρ = 880 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

3.सांतत्य और बर्नूलीमध्यम

पवन सुरंग में एक पिटो-स्थैतिक नली अवरोध दाब और स्थैतिक दाब के बीच 1350 Pa का अंतर दिखाती है। वायु घनत्व 1.2 kg/m³ है। वायु चाल v ज्ञात कीजिए।

p₀ − p = 1350 Paρ = 1.2 kg/m³

v = m/s

4.सांतत्य और बर्नूलीकठिन

एक फ़व्वारे का नोज़ल सीधे ऊपर की ओर है। नोज़ल के ठीक नीचे आपूर्ति पाइप का व्यास 100 mm और गेज दाब 130 kPa है। नोज़ल निकास व्यास 20 mm है, और नोज़ल के आर-पार ऊँचाई अंतर नगण्य है। हानियों और वायु प्रतिरोध को नगण्य मानते हुए वह ऊँचाई H ज्ञात कीजिए जिस तक जेट नोज़ल से ऊपर उठता है। g = 9.81 m/s² लें।

d₁ = 100 mmp₁ = 130 kPa (गेज)d₂ = 20 mmρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

H = m

5.पाइप घर्षण और शीर्ष हानिमध्यम

जल (ρ = 1000 kg/m³) 150 mm आंतरिक व्यास वाले 1000 m लंबे क्षैतिज पाइप से 1.6 m/s पर बहता है। डार्सी घर्षण गुणांक f = 0.03 और g = 9.81 m/s² लें। पाइप पर दाब पात Δp kPa में ज्ञात कीजिए।

V = 1.6 m/sL = 1000 mD = 150 mmf = 0.03ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

6.पाइप घर्षण और शीर्ष हानिकठिन

100 mm आंतरिक व्यास (डार्सी घर्षण गुणांक f = 0.015) वाला 200 m लंबा पाइप एक खुले जलाशय से निकलता है और वायु में मुक्त जेट के रूप में निकास करता है। लघु हानियाँ हैं: एक तीखे किनारे वाला प्रवेश (K = 0.5), 2 मोड़ (हर एक K = 0.3) और एक वाल्व (K = 10)। g = 9.81 m/s² लें। 15 L/s की प्रवाह दर के लिए जलाशय की सतह पाइप निकास से कितनी H ऊपर होनी चाहिए?

Q = 15 L/sL = 200 mD = 100 mmf = 0.015K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×2)K_valve = 10

H = m

7.पंप और पंप शक्तिमध्यम

60% दक्षता वाला एक पंप 42 m शीर्ष के विरुद्ध 150 L/s जल (ρ = 1000 kg/m³) देता है। g = 9.81 m/s² लें। आवश्यक शाफ़्ट शक्ति P_shaft kW में ज्ञात कीजिए।

Q = 150 L/sH = 42 mη = 60%g = 9.81 m/s²

P_shaft = kW

8.पंप और पंप शक्तिकठिन

एक पंप 50 L/s जल (ρ = 1000 kg/m³) को एक खुले निचले जलाशय से एक ऊपरी टैंक तक ले जाता है, जिसकी जल सतह 14 m ऊँची है। पाइप 600 m लंबा है, उसका आंतरिक व्यास 150 mm और डार्सी घर्षण गुणांक f = 0.018 है; लघु-हानि गुणांकों का योग ΣK = 6 है (प्रवेश और निकास सहित)। g = 9.81 m/s² लें। ऊपरी टैंक बंद है और उसके जल के ऊपर की वायु 350 kPa के गेज दाब पर है। पंप द्वारा जोड़ा जाने वाला शीर्ष H ज्ञात कीजिए।

Q = 50 L/sΔz = 14 mL = 600 mD = 150 mmf = 0.018ΣK = 6p_tank = 350 kPa

H = m

9.खुली वाहिका प्रवाह (मैनिंग)मध्यम

एक समलंबाकार परिष्कृत कंक्रीट वाहिका की तल चौड़ाई 6 m और पार्श्व ढाल 3:1 (क्षैतिज:ऊर्ध्वाधर) है। जल 0.9 m गहराई पर एकसमान रूप से बहता है। मैनिंग n = 0.012 और तल ढाल S = 0.003 है। प्रवाह दर Q m³/s में ज्ञात कीजिए।

b = 6 my = 0.9 mz = 3n = 0.012S = 0.003

Q = m³/s

10.खुली वाहिका प्रवाह (मैनिंग)कठिन

2.5 m चौड़ी एक आयताकार अपरिष्कृत कंक्रीट वाहिका को 1.2 m गहराई पर एकसमान प्रवाह में 6 m³/s वहन करना है। मैनिंग n = 0.014। आवश्यक तल ढाल S (m/m में) ज्ञात कीजिए।

Q = 6 m³/sb = 2.5 my = 1.2 mn = 0.014

S = m/m

3विलयन

1.द्रवस्थैतिक बल

उत्तर: F = 55.18 kN

समतल सतह पर द्रवस्थैतिक बल: F = ρ·g·y_c·A। यह दाब केंद्र y_cp = y_c + I_c/(y_cA) पर कार्य करता है, जो हमेशा केंद्रक के नीचे होता है।

केंद्रक की गहराई और क्षेत्रफल

y_c = d + H/2 = 0.5 + 1.5/2 = 1.25 m

A = H·b = 1.5·3 = 4.5 m²

परिणामी बल

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·1.25·4.5 = 55.18 kN

उत्तर

F = 55.18 kN

2.द्रवस्थैतिक बल

उत्तर: y_cp = 4.667 m

केंद्रक की गहराई और क्षेत्रफल

y_c = d + H/2 = 3 + 3/2 = 4.5 m

A = H·b = 3·3 = 9 m²

परिणामी बल

F = ρ·g·y_c·A = 880·9.81·4.5·9 = 349.6 kN

दाब केंद्र

दाब गहराई के साथ बढ़ता है, इसलिए परिणामी केंद्रक के नीचे कार्य करता है।

I_c = b·H³/12 = 3·3³/12 = 6.75 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 4.5 + 6.75/(4.5·9) = 4.667 m

उत्तर

y_cp = 4.667 m

3.सांतत्य और बर्नूली

उत्तर: v = 47.43 m/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

अवरोध बिंदु तक बर्नूली

प्रवाह सिरे पर विराम में आता है, इसलिए उसकी गतिज ऊर्जा अतिरिक्त दाब के रूप में दिखती है।

p₀ − p = ½ρv²

v = √(2·1350/1.2) = 47.43 m/s

उत्तर

v = 47.43 m/s

4.सांतत्य और बर्नूली

उत्तर: H = 13.27 m

निकास वेग

β = 20/100 = 0.2

v₂ = √(2p₁/(ρ(1 − β⁴))) = √(2·130000/(1000·0.9984)) = 16.14 m/s

जेट की ऊँचाई

जेट के साथ बर्नूली: शीर्ष पर वेग शून्य है और दाब फिर से वायुमंडलीय है।

H = v₂²/(2g) = 16.14²/(2·9.81) = 13.27 m

उत्तर

H = 13.27 m

5.पाइप घर्षण और शीर्ष हानि

उत्तर: Δp = 256 kPa

पाइप प्रवाह: रेनॉल्ड्स संख्या Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ स्तरीय प्रवाह (Re लगभग 2000 से कम) को विक्षुब्ध प्रवाह (लगभग 4000 से अधिक) से अलग करती है। पाइप के अनुदिश घर्षण से डार्सी–वाइसबाख शीर्ष हानि h_f = f·(L/D)·V²/(2g) होती है। फ़िटिंग, वाल्व, प्रवेश और निकास लघु हानियाँ h_m = ΣK·V²/(2g) जोड़ते हैं। दो खुले जलाशय सतहों के बीच ऊर्जा समीकरण Δz = h_f + h_m देता है, जिसमें निकास हानि K = 1 शामिल है।

शीर्ष हानि

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.03·(1000/0.15)·1.6²/(2·9.81) = 26.1 m

दाब पात

पाइप क्षैतिज है और वेग नहीं बदलता, इसलिए ऊर्जा समीकरण Δp = ρ·g·h_f बन जाता है।

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9.81·26.1 = 256000 Pa = 256 kPa

उत्तर

Δp = 256 kPa

6.पाइप घर्षण और शीर्ष हानि

उत्तर: H = 7.827 m

वेग

V = Q/A = 0.015/0.007854 = 1.91 m/s

V²/(2g) = 0.1859 m

हानि गुणांक

f·L/D = 0.015·200/0.1 = 30

ΣK = 0.5 + 2·0.3 + 10 = 11.1

ऊर्जा समीकरण

निकास जेट अभी भी अपना वेग शीर्ष वहन करता है; यह हानि नहीं है, पर इसे देना पड़ता है।

H = (1 + 30 + 11.1)·0.1859 = 7.827 m

उत्तर

H = 7.827 m

7.पंप और पंप शक्ति

उत्तर: P_shaft = 103 kW

पंप शक्ति: जल को दी गई शक्ति द्रवीय शक्ति P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp है। शाफ़्ट को अधिक देना पड़ता है क्योंकि पंप में कुछ हानि होती है: P_shaft = P_h/η_pump, और मोटर P_el = P_shaft/η_motor लेती है। पंप शीर्ष H ऊर्जा समीकरण से मिलता है: स्थैतिक उठान + दाब शीर्ष + सभी घर्षण और लघु हानियाँ।

द्रवीय शक्ति

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.15·42 = 61.8 kW

शाफ़्ट शक्ति

P_shaft = P_h/η = 61.8/0.6 = 103 kW

उत्तर

P_shaft = 103 kW

8.पंप और पंप शक्ति

उत्तर: H = 81.5 m

वेग

V = Q/A = 0.05/0.01767 = 2.829 m/s

V²/(2g) = 0.408 m

शीर्ष हानियाँ

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (72 + 6)·0.408 = 31.83 m

दाब शीर्ष

p/(ρ·g) = 350000/(1000·9.81) = 35.68 m

पंप शीर्ष

दोनों सतहें लगभग विराम में हैं, इसलिए कोई वेग शीर्ष पद नहीं है।

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 14 + 35.68 + 31.83 = 81.5 m

उत्तर

H = 81.5 m

9.खुली वाहिका प्रवाह (मैनिंग)

उत्तर: Q = 27.36 m³/s

मैनिंग समीकरण (SI): खुली वाहिका में एकसमान प्रवाह के लिए V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 और Q = A·V, जहाँ n खुरदरापन गुणांक, S तल ढाल (m/m) और R = A/P द्रवीय त्रिज्या है: प्रवाह क्षेत्रफल बटा आर्द्र परिमाप। P में केवल जल के संपर्क वाली सीमा गिनी जाती है, मुक्त सतह नहीं। आयत: A = b·y, P = b + 2y। z:1 (क्षैतिज:ऊर्ध्वाधर) पार्श्व ढाल वाला समलंब: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)। पूरे या आधे भरे बहते वृत्ताकार पाइप के लिए R = D/4।

ज्यामिति

A = (b + z·y)·y = (6 + 3·0.9)·0.9 = 7.83 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 6 + 2·0.9·√(1 + 3²) = 11.69 m

R = A/P = 0.6697 m

वेग

V = (1/0.012)·0.6697^2/3·0.003^1/2 = 3.494 m/s

प्रवाह दर

Q = A·V = 7.83·3.494 = 27.36 m³/s

उत्तर

Q = 27.36 m³/s

10.खुली वाहिका प्रवाह (मैनिंग)

उत्तर: S = 0.001508 m/m

ज्यामिति

A = b·y = 2.5·1.2 = 3 m²

P = b + 2y = 2.5 + 2·1.2 = 4.9 m

R = A/P = 0.6122 m

S के लिए मैनिंग हल करें

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0.014·6/(3·0.721) = 0.03883

S = 0.03883² = 0.001508

उत्तर

S = 0.001508

यह प्रति किलोमीटर 1.508 m की गिरावट है।

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