द्रवस्थैतिक बल
- गहराई पर दाब
- p = ρgh
- ऊर्ध्वाधर दीवार पर बल
- F = ρg·hc·A
- दाब केंद्र
- yp = yc + Ic/(ycA)
- आयत
- Ic = bH³/12
द्रवचालित इंजीनियरिंग: क्रैम पैक
सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 10 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।
1सूत्र और विधियाँ
सांतत्य और बर्नूली
- सांतत्य
- A1v1 = A2v2
- बर्नूली
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- प्रवाह दर
- Q = A·v
- वृत्त का क्षेत्रफल
- A = πd²/4
पाइप घर्षण और शीर्ष हानि
- रेनॉल्ड्स संख्या
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- प्रवाह व्यवस्था
- Re ≈ 2000 से नीचे स्तरीय, Re ≈ 4000 से ऊपर विक्षुब्ध
- औसत वेग
- V = Q/A, A = π·D²/4
- डार्सी–वाइसबाख
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- लघु हानियाँ
- hm = ΣK·V²/(2g)
- K के सामान्य मान
- प्रवेश 0.5, निकास 1.0, 90° मोड़ ≈ 0.3
- दाब पात
- Δp = ρ·g·hf
- दो खुले जलाशय
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- मुक्त निकास
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
पंप और पंप शक्ति
- द्रवीय शक्ति
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- शाफ़्ट शक्ति
- Pshaft = Ph/ηpump
- विद्युत शक्ति
- Pel = Pshaft/ηmotor
- पंप शीर्ष
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- तंत्र हानियाँ
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
खुली वाहिका प्रवाह (मैनिंग)
- मैनिंग समीकरण
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- प्रवाह दर
- Q = A·V
- द्रवीय त्रिज्या
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- आयत
- A = b·y, P = b + 2y
- समलंब (पार्श्व ढाल z:1)
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- वृत्ताकार पाइप, पूरा या आधा भरा
- R = D/4
- आवश्यक ढाल
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
2अभ्यास प्रश्न
1.द्रवस्थैतिक बलमध्यम
2 m चौड़ा एक ऊर्ध्वाधर आयताकार फाटक पानी वाली टंकी की दीवार में है, उसका ऊपरी किनारा सतह से 0.5 m नीचे है। फाटक पर परिणामी द्रवस्थैतिक बल F ज्ञात कीजिए।
d = 0.5 mH = 3 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
2.द्रवस्थैतिक बलकठिन
1 m चौड़ा एक ऊर्ध्वाधर आयताकार फाटक ग्लिसरीन वाली टंकी की दीवार में है, उसका ऊपरी किनारा सतह से 4 m नीचे है। सतह के नीचे दाब केंद्र की गहराई ycp ज्ञात कीजिए।
d = 4 mH = 1 mb = 1 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²
ycp = m
3.सांतत्य और बर्नूलीमध्यम
पानी एक क्षैतिज वेंचुरी मीटर से बहता है जिसका प्रवेश व्यास 150 mm और कंठ व्यास 75 mm है। प्रवेश पर दाब कंठ की तुलना में 8 kPa अधिक है। हानियों को नगण्य मानते हुए प्रवाह दर Q ज्ञात कीजिए।
d1 = 150 mmd2 = 75 mmp1 − p2 = 8 kPaρ = 1000 kg/m³
Q = L/s
4.सांतत्य और बर्नूलीकठिन
पानी एक पाइप में ऊपर की ओर बहता है जो 75 mm से 50 mm तक संकरा होता है और 7 m ऊपर उठता है। खंड 1 पर दाब 280 kPa और वेग 2.25 m/s है। हानियाँ नगण्य मानकर खंड 2 पर दाब p2 ज्ञात कीजिए।
d1 = 75 mmd2 = 50 mmp1 = 280 kPav1 = 2.25 m/sΔz = 7 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
5.पाइप घर्षण और शीर्ष हानिमध्यम
जल 50 mm आंतरिक व्यास वाले 200 m लंबे पाइप से 2 L/s पर बहता है। डार्सी घर्षण गुणांक f = 0.022 और g = 9.81 m/s² लें। घर्षण शीर्ष हानि hf ज्ञात कीजिए।
Q = 2 L/sL = 200 mD = 50 mmf = 0.022g = 9.81 m/s²
hf = m
6.पाइप घर्षण और शीर्ष हानिकठिन
दो खुले जलाशय 200 m लंबे, 200 mm आंतरिक व्यास और डार्सी घर्षण गुणांक f = 0.018 वाले पाइप से जुड़े हैं। लघु हानियाँ हैं: एक तीखे किनारे वाला प्रवेश (K = 0.5), 2 मोड़ (हर एक K = 0.3), एक वाल्व (K = 2) और निचले जलाशय में निकास (K = 1.0)। g = 9.81 m/s² लें। जलाशयों के बीच जल स्तर का कितना अंतर Δz, 100 L/s की प्रवाह दर देता है?
Q = 100 L/sL = 200 mD = 200 mmf = 0.018Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×2)Kvalve = 2Kexit = 1.0
Δz = m
7.पंप और पंप शक्तिमध्यम
एक पंप 30 m शीर्ष के विरुद्ध 100 L/s जल (ρ = 1000 kg/m³) देता है। पंप दक्षता 65% है और उसे चलाने वाली विद्युत मोटर की दक्षता 90% है। g = 9.81 m/s² लें। मोटर द्वारा ली गई विद्युत शक्ति Pel kW में ज्ञात कीजिए।
Q = 100 L/sH = 30 mηpump = 65%ηmotor = 90%g = 9.81 m/s²
Pel = kW
8.पंप और पंप शक्तिकठिन
एक पंप 20 L/s जल (ρ = 1000 kg/m³) को एक खुले निचले जलाशय से एक ऊपरी टैंक तक ले जाता है, जिसकी जल सतह 13 m ऊँची है। पाइप 500 m लंबा है, उसका आंतरिक व्यास 100 mm और डार्सी घर्षण गुणांक f = 0.018 है; लघु-हानि गुणांकों का योग ΣK = 8 है (प्रवेश और निकास सहित)। g = 9.81 m/s² लें। पंप दक्षता 80% है। शाफ़्ट शक्ति Pshaft kW में ज्ञात कीजिए।
Q = 20 L/sΔz = 13 mL = 500 mD = 100 mmf = 0.018ΣK = 8η = 80%
Pshaft = kW
9.खुली वाहिका प्रवाह (मैनिंग)मध्यम
एक समलंबाकार ईंट की चिनाई वाहिका की तल चौड़ाई 3.5 m और पार्श्व ढाल 1.5:1 (क्षैतिज:ऊर्ध्वाधर) है। जल 0.6 m गहराई पर एकसमान रूप से बहता है। मैनिंग n = 0.015 और तल ढाल S = 0.003 है। प्रवाह दर Q m³/s में ज्ञात कीजिए।
b = 3.5 my = 0.6 mz = 1.5n = 0.015S = 0.003
Q = m³/s
10.खुली वाहिका प्रवाह (मैनिंग)कठिन
250 mm आंतरिक व्यास (मैनिंग n = 0.013) वाले एक कंक्रीट सीवर को ठीक पूरा भरा बहते समय 0.9 m/s का स्व-सफ़ाई वेग पाना है। न्यूनतम ढाल S (m/m में) ज्ञात कीजिए।
D = 250 mmn = 0.013V = 0.9 m/s
S = m/m
3विलयन
1.द्रवस्थैतिक बल
उत्तर: F = 117.7 kN
समतल सतह पर द्रवस्थैतिक बल: F = ρ·g·yc·A। यह दाब केंद्र ycp = yc + Ic/(ycA) पर कार्य करता है, जो हमेशा केंद्रक के नीचे होता है।
केंद्रक की गहराई और क्षेत्रफल
yc = d + H/2 = 0.5 + 3/2 = 2 m
A = H·b = 3·2 = 6 m²
परिणामी बल
F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·2·6 = 117.7 kN
उत्तर
F = 117.7 kN
2.द्रवस्थैतिक बल
उत्तर: ycp = 4.519 m
समतल सतह पर द्रवस्थैतिक बल: F = ρ·g·yc·A। यह दाब केंद्र ycp = yc + Ic/(ycA) पर कार्य करता है, जो हमेशा केंद्रक के नीचे होता है।
केंद्रक की गहराई और क्षेत्रफल
yc = d + H/2 = 4 + 1/2 = 4.5 m
A = H·b = 1·1 = 1 m²
परिणामी बल
F = ρ·g·yc·A = 1260·9.81·4.5·1 = 55.62 kN
दाब केंद्र
दाब गहराई के साथ बढ़ता है, इसलिए परिणामी केंद्रक के नीचे कार्य करता है।
Ic = b·H³/12 = 1·1³/12 = 0.08333 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 4.5 + 0.08333/(4.5·1) = 4.519 m
उत्तर
ycp = 4.519 m
3.सांतत्य और बर्नूली
उत्तर: Q = 18.25 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
सांतत्य
v1 = v2·(75/150)² = 0.25·v2
प्रवेश और कंठ के बीच बर्नूली
पाइप क्षैतिज है, इसलिए केवल दाब और वेग बदलते हैं।
p1 − p2 = ½ρv2²(1 − β⁴)
v2 = √(2·8000/(1000·(1 − 0.0625))) = 4.131 m/s
v1 = 1.033 m/s
प्रवाह दर
Q = A2·v2 = 0.004418·4.131 = 0.01825 m³/s = 18.25 L/s
उत्तर
Q = 18.25 L/s
4.सांतत्य और बर्नूली
उत्तर: p2 = 201 kPa
सांतत्य और बर्नूली: असंपीड्य तरल के लिए हर खंड पर प्रवाह दर समान है, Q = A₁v₁ = A₂v₂। बिना हानि के धारारेखा के साथ p + ½ρv² + ρgz स्थिर रहता है, इसलिए जहाँ तरल तेज़ या ऊँचा हो वहाँ उसका दाब कम होता है।
सांतत्य और बर्नूली
Pa में काम करें, फिर kPa पाने के लिए 1000 से भाग दें।
v2 = v1·(d1/d2)² = 2.25·(75/50)² = 5.063 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(2.25² − 5.063²)/1000 = −10.28 kPa
ρgΔz = 1000·9.81·7/1000 = 68.67 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 280 + (−10.28) − 68.67 = 201 kPa
उत्तर
p2 = 201 kPa
5.पाइप घर्षण और शीर्ष हानि
उत्तर: hf = 4.654 m
पाइप प्रवाह: रेनॉल्ड्स संख्या Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ स्तरीय प्रवाह (Re लगभग 2000 से कम) को विक्षुब्ध प्रवाह (लगभग 4000 से अधिक) से अलग करती है। पाइप के अनुदिश घर्षण से डार्सी–वाइसबाख शीर्ष हानि hf = f·(L/D)·V²/(2g) होती है। फ़िटिंग, वाल्व, प्रवेश और निकास लघु हानियाँ hm = ΣK·V²/(2g) जोड़ते हैं। दो खुले जलाशय सतहों के बीच ऊर्जा समीकरण Δz = hf + hm देता है, जिसमें निकास हानि K = 1 शामिल है।
औसत वेग
A = π·0.05²/4 = 0.001963 m²
V = Q/A = 0.002/0.001963 = 1.019 m/s
वेग शीर्ष
V²/(2g) = 1.019²/(2·9.81) = 0.05288 m
डार्सी–वाइसबाख
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.022·(200/0.05)·1.019²/(2·9.81) = 4.654 m
उत्तर
hf = 4.654 m
6.पाइप घर्षण और शीर्ष हानि
उत्तर: Δz = 11.41 m
पाइप प्रवाह: रेनॉल्ड्स संख्या Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ स्तरीय प्रवाह (Re लगभग 2000 से कम) को विक्षुब्ध प्रवाह (लगभग 4000 से अधिक) से अलग करती है। पाइप के अनुदिश घर्षण से डार्सी–वाइसबाख शीर्ष हानि hf = f·(L/D)·V²/(2g) होती है। फ़िटिंग, वाल्व, प्रवेश और निकास लघु हानियाँ hm = ΣK·V²/(2g) जोड़ते हैं। दो खुले जलाशय सतहों के बीच ऊर्जा समीकरण Δz = hf + hm देता है, जिसमें निकास हानि K = 1 शामिल है।
वेग
V = Q/A = 0.1/0.03142 = 3.183 m/s
V²/(2g) = 0.5164 m
हानि गुणांक
f·L/D = 0.018·200/0.2 = 18
ΣK = 0.5 + 2·0.3 + 2 + 1.0 = 4.1
कुल शीर्ष हानि
hf = 18·0.5164 = 9.296 m
hm = 4.1·0.5164 = 2.117 m
Δz = hf + hm = 11.41 m
उत्तर
Δz = 11.41 m
7.पंप और पंप शक्ति
उत्तर: Pel = 50.31 kW
पंप शक्ति: जल को दी गई शक्ति द्रवीय शक्ति Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp है। शाफ़्ट को अधिक देना पड़ता है क्योंकि पंप में कुछ हानि होती है: Pshaft = Ph/ηpump, और मोटर Pel = Pshaft/ηmotor लेती है। पंप शीर्ष H ऊर्जा समीकरण से मिलता है: स्थैतिक उठान + दाब शीर्ष + सभी घर्षण और लघु हानियाँ।
द्रवीय शक्ति
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.1·30 = 29.43 kW
शाफ़्ट शक्ति
Pshaft = 29.43/0.65 = 45.28 kW
विद्युत शक्ति
Pel = 45.28/0.9 = 50.31 kW
उत्तर
Pel = 50.31 kW
8.पंप और पंप शक्ति
उत्तर: Pshaft = 11.13 kW
पंप शक्ति: जल को दी गई शक्ति द्रवीय शक्ति Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp है। शाफ़्ट को अधिक देना पड़ता है क्योंकि पंप में कुछ हानि होती है: Pshaft = Ph/ηpump, और मोटर Pel = Pshaft/ηmotor लेती है। पंप शीर्ष H ऊर्जा समीकरण से मिलता है: स्थैतिक उठान + दाब शीर्ष + सभी घर्षण और लघु हानियाँ।
वेग
V = Q/A = 0.02/0.007854 = 2.546 m/s
V²/(2g) = 0.3305 m
शीर्ष हानियाँ
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (90 + 8)·0.3305 = 32.39 m
पंप शीर्ष
H = Δz + hL = 13 + 32.39 = 45.39 m
शाफ़्ट शक्ति
Pshaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9.81·0.02·45.39/0.8 = 11.13 kW
उत्तर
Pshaft = 11.13 kW
9.खुली वाहिका प्रवाह (मैनिंग)
उत्तर: Q = 5.796 m³/s
मैनिंग समीकरण (SI): खुली वाहिका में एकसमान प्रवाह के लिए V = (1/n)·R2/3·S1/2 और Q = A·V, जहाँ n खुरदरापन गुणांक, S तल ढाल (m/m) और R = A/P द्रवीय त्रिज्या है: प्रवाह क्षेत्रफल बटा आर्द्र परिमाप। P में केवल जल के संपर्क वाली सीमा गिनी जाती है, मुक्त सतह नहीं। आयत: A = b·y, P = b + 2y। z:1 (क्षैतिज:ऊर्ध्वाधर) पार्श्व ढाल वाला समलंब: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)। पूरे या आधे भरे बहते वृत्ताकार पाइप के लिए R = D/4।
ज्यामिति
A = (b + z·y)·y = (3.5 + 1.5·0.6)·0.6 = 2.64 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 3.5 + 2·0.6·√(1 + 1.5²) = 5.663 m
R = A/P = 0.4662 m
वेग
V = (1/0.015)·0.46622/3·0.0031/2 = 2.195 m/s
प्रवाह दर
Q = A·V = 2.64·2.195 = 5.796 m³/s
उत्तर
Q = 5.796 m³/s
10.खुली वाहिका प्रवाह (मैनिंग)
उत्तर: S = 0.005519 m/m
मैनिंग समीकरण (SI): खुली वाहिका में एकसमान प्रवाह के लिए V = (1/n)·R2/3·S1/2 और Q = A·V, जहाँ n खुरदरापन गुणांक, S तल ढाल (m/m) और R = A/P द्रवीय त्रिज्या है: प्रवाह क्षेत्रफल बटा आर्द्र परिमाप। P में केवल जल के संपर्क वाली सीमा गिनी जाती है, मुक्त सतह नहीं। आयत: A = b·y, P = b + 2y। z:1 (क्षैतिज:ऊर्ध्वाधर) पार्श्व ढाल वाला समलंब: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)। पूरे या आधे भरे बहते वृत्ताकार पाइप के लिए R = D/4।
द्रवीय त्रिज्या
R = D/4 = 0.25/4 = 0.0625 m
S के लिए मैनिंग हल करें
S = (n·V/R2/3)² = (0.013·0.9/0.1575)² = 0.005519
उत्तर
S = 0.005519
यह प्रति किलोमीटर 5.519 m की गिरावट है।
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