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सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 12 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

गियर और गियर ट्रेन

परस्पर जुड़े गियर: n₁·N₁ = n₂·N₂
बलाघूर्ण: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
शक्ति: P = T·ω, ω = 2π·n/60
संयुक्त गियर ट्रेन: कुल अनुपात = चरण अनुपातों का गुणनफल

शाफ़्ट का मरोड़

अपरूपण प्रतिबल: τ = T·r/J
ठोस शाफ़्ट: J = πd⁴/32
खोखला शाफ़्ट: J = π(D⁴ − d⁴)/32
मरोड़ कोण: φ = TL/(GJ)
शक्ति: P = T·ω = 2πnT/60

विधि

ध्रुवीय क्षेत्र आघूर्ण ज्ञात करें: ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32।
सतह पर अपरूपण प्रतिबल: τ = T·r/J, जहाँ r बाहरी त्रिज्या है।
ऐंठन कोण: रेडियन में φ = TL/(GJ)।
यदि शक्ति दी गई है, तो पहले P = T·ω, ω = 2πn/60 से बलाघूर्ण ज्ञात करें।

मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

केंद्र: C = (σ_x + σ_y)/2
त्रिज्या: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
मुख्य प्रतिबल: σ_1,2 = C ± R
मुख्य दिशा: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
झुका हुआ तल: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

विधि

मोर वृत्त का केंद्र निकालें: C = (σx + σy)/2।
त्रिज्या निकालें: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)।
मुख्य प्रतिबल C ± R हैं और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।
वृत्त पर कोण अवयव पर कोणों के दोगुने होते हैं: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)।

अक्षीय प्रतिबल और विकृति

अभिलंब प्रतिबल: σ = F/A
विकृति: ε = ΔL/L
हुक का नियम: σ = E·ε
दीर्घीकरण: ΔL = FL/(EA)
तापीय विकृति: ε_T = α·ΔT

स्तंभ बकलिंग

ऑयलर भार: P_cr = π²EI/(KL)²
प्रभावी लंबाई गुणांक: K = 1 पिन–पिन, 0.5 स्थिर–स्थिर, 0.7 स्थिर–पिन, 2 स्थिर–मुक्त
क्रांतिक प्रतिबल: σ_cr = P_cr/A
पतलापन अनुपात: λ = KL/r, r = √(I/A)

यांत्रिक कंपन

प्राकृतिक आवृत्ति: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
स्थैतिक विक्षेप से: ω_n = √(g/δ_st)
क्रांतिक अवमंदन: c_c = 2√(km) = 2mω_n
अवमंदन अनुपात: ζ = c/c_c
अवमंदित आवृत्ति: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
लघुगणकीय ह्रास: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
समांतर में स्प्रिंग: k = k₁ + k₂
श्रेणी में स्प्रिंग: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2अभ्यास प्रश्न

1.गियर और गियर ट्रेनमध्यम

दो समांतर शाफ़्ट 60 mm दूर हैं। इन्हें 2.5 mm मॉड्यूल और 2 : 1 चाल अपचयन वाले स्पर गियरों की एक जोड़ी से जोड़ना है। पिनियन में कितने दाँत N₁ होने चाहिए?

a = 60 mmm = 2.5 mmi = 2

N₁ =

2.गियर और गियर ट्रेनकठिन

एक संयुक्त गियर ट्रेन में, 1440 rpm पर घूम रहे निवेश शाफ़्ट पर लगा गियर A (18 दाँत) गियर B (40 दाँत) को चलाता है। गियर C (15 दाँत) B वाले शाफ़्ट पर ही लगा है और निर्गत शाफ़्ट पर लगे गियर D (60 दाँत) को चलाता है। निर्गत चाल n_out ज्ञात कीजिए।

n_in = 1440 rpmA = 18B = 40C = 15D = 60

n_out = rpm

3.शाफ़्ट का मरोड़मध्यम

स्टील का एक ठोस शाफ़्ट दीवार में जड़ित है और मुक्त सिरे पर बलाघूर्ण T से मरोड़ा जाता है। मुक्त सिरे का मरोड़ कोण φ डिग्री में ज्ञात कीजिए।

T = 750 N·md = 40 mmL = 2 mG = 80 GPa

φ = °

4.शाफ़्ट का मरोड़कठिन

60 mm व्यास वाला एक ठोस एल्युमिनियम शाफ़्ट A पर स्थिर है। A से 1 m पर B पर 250 N·m का बलाघूर्ण कार्य करता है, और 1.5 m और आगे मुक्त सिरे C पर उसी दिशा में 500 N·m का बलाघूर्ण कार्य करता है। सिरे C के मरोड़ कोण φ_C का परिमाण डिग्री में ज्ञात कीजिए।

d = 60 mmT_B = 250 N·mT_C = 500 N·mAB = 1 mBC = 1.5 mG = 26 GPa

φ_C = °

5.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणमध्यम

एक बिंदु पर σₓ = 80 MPa, σᵧ = 0 MPa और τₓᵧ = 50 MPa है (तनन धनात्मक)। x-अक्ष से उस तल के अभिलंब तक का कोण θ_s, −90° और 90° के बीच, ज्ञात कीजिए जिस पर अपरूपण प्रतिबल का अधिकतम धनात्मक मान +R है (अपरूपण τₓᵧ की ही दिशा में धनात्मक)।

σ_x = 80 MPaσ_y = 0 MPaτ_xy = 50 MPa

θ_s = °

6.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणकठिन

किसी भारित पुर्ज़े के एक बिंदु पर σₓ = 160 MPa, σᵧ = −50 MPa और τₓᵧ = −60 MPa है (तनन धनात्मक)। उस तल पर अभिलंब प्रतिबल σ_θ ज्ञात कीजिए जिसका अभिलंब x-अक्ष से 30° वामावर्त घुमाया गया है।

σ_x = 160 MPaσ_y = −50 MPaτ_xy = −60 MPaθ = 30°

σ_θ = MPa

7.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिमध्यम

अक्षीय भार के अंतर्गत पीतल छड़ का दीर्घीकरण δ ज्ञात कीजिए।

P = 115 kNd = 20 mmL = 3 mE = 100 GPa

δ = mm

8.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिकठिन

एक स्टील छड़ (व्यास 30 mm, E = 200 GPa, अनुमेय प्रतिबल 200 MPa) ताँबा की बनी नलिका (बाहरी व्यास 120 mm, भीतरी व्यास 60 mm, E = 120 GPa, अनुमेय प्रतिबल 100 MPa) के भीतर है। दोनों को दृढ़ प्लेटों के बीच साथ-साथ संपीडित किया जाता है। सबसे बड़ा भार P_max ज्ञात कीजिए।

छड़: Ø30 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 200 MPaनलिका: Ø120/Ø60 mm, E = 120 GPa, σ_allow = 100 MPa

P_max = kN

9.स्तंभ बकलिंगमध्यम

एल्युमिनियम से बना L लंबाई का एक स्तंभ दोनों सिरों पर पिन किया हुआ है। ऑयलर सूत्र से उसका क्रांतिक बकलिंग भार P_cr ज्ञात कीजिए।

L = 1 mE = 70 GPa (एल्युमिनियम)d = 20 mm

P_cr = kN

10.स्तंभ बकलिंगकठिन

स्टील से बना L लंबाई का एक ठोस गोल स्तंभ दोनों सिरों पर पिन किया हुआ है। इसे बकलिंग के विरुद्ध 2 के सुरक्षा गुणक के साथ 95 kN वहन करना है। न्यूनतम व्यास d ज्ञात कीजिए।

P = 95 kNn = 2L = 4 mE = 200 GPa (स्टील)

d = mm

11.यांत्रिक कंपनमध्यम

एक 15 kg द्रव्यमान 4 kN/m दृढ़ता वाले स्प्रिंग और 200 N·s/m अवमंदन गुणांक वाले श्यान अवमंदक पर टिका है। अवमंदन अनुपात ζ ज्ञात कीजिए।

m = 15 kgk = 4 kN/mc = 200 N·s/m

ζ =

12.यांत्रिक कंपनकठिन

एक 20 kg द्रव्यमान सिरे-से-सिरे जुड़े (श्रेणी में) दो स्प्रिंगों से लटका है: ऊपरी स्प्रिंग k₁ = 50 kN/m और निचला k₂ = 50 kN/m है। अवमंदन और स्प्रिंगों के द्रव्यमान की उपेक्षा करें। ऊर्ध्वाधर कंपन की प्राकृतिक आवृत्ति f_n Hz में ज्ञात कीजिए।

m = 20 kgk₁ = 50 kN/mk₂ = 50 kN/m

f_n = Hz

3विलयन

1.गियर और गियर ट्रेन

उत्तर: N₁ = 16

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

दाँतों की कुल संख्या

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·60/2.5 = 48

अनुपात से बाँटें

N₁ = 48/(1 + 2) = 16

उत्तर

N₁ = 16

2.गियर और गियर ट्रेन

उत्तर: n_out = 162 rpm

गियर ट्रेन: परस्पर जुड़े गियरों के दाँतों पर चाल समान होती है, इसलिए n₁·N₁ = n₂·N₂: कम दाँतों वाला गियर तेज़ घूमता है। एक ही शाफ़्ट पर लगे गियर समान चाल से घूमते हैं। शक्ति आगे पहुँचती है (हानियों को घटाकर), इसलिए चाल घटने पर बलाघूर्ण बढ़ता है: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, और P = T·ω, जहाँ ω = 2π·n/60।

पहला चरण

n_B = 1440·18/40 = 648 rpm = n_C

दूसरा चरण

n_out = 648·15/60 = 162 rpm

उत्तर

n_out = 162 rpm

कुल अनुपात = 8.889 : 1

3.शाफ़्ट का मरोड़

उत्तर: φ = 4.274 °

वृत्ताकार शाफ़्ट का मरोड़: अपरूपण प्रतिबल केंद्र पर शून्य से सतह पर τ_max = T·r/J तक रैखिक रूप से बढ़ता है, ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32 और खोखले के लिए J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32। मरोड़ कोण रेडियन में φ = TL/(GJ) है। शक्ति और बलाघूर्ण P = T·ω से जुड़े हैं।

ध्रुवीय जड़त्व आघूर्ण

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

मरोड़ कोण

φ = TL/(GJ) = 750·1000·2000/(80000·251327) = 0.0746 rad

φ = 0.0746·180/π = 4.274°

उत्तर

φ = 4.274°

4.शाफ़्ट का मरोड़

उत्तर: φ_C = 2.598 °

आंतरिक बलाघूर्ण

T_C की दिशा धनात्मक ली गई है।

T_BC = T_C = 500 N·m

T_AB = T_C + T_B = 500 + 250 = 750 N·m

हर खंड का मरोड़

J = π·60⁴/32 = 1.272 × 10⁶ mm⁴

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ_AB = 750000·1000/(26000·1.272 × 10⁶) = 0.02267 rad

φ_BC = 500000·1500/(26000·1.272 × 10⁶) = 0.02267 rad

सिरे C का मरोड़

φ_C = 0.02267 + 0.02267 = 0.04534 rad → |φ_C| = 2.598°

उत्तर

φ_C = 2.598°

5.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

उत्तर: θ_s = −19.33 °

समतल प्रतिबल रूपांतरण: θ से घुमाए गए तल पर σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ। मोर वृत्त सभी तलों को एक साथ दिखाता है: उसका केंद्र C = (σₓ + σᵧ)/2 पर और त्रिज्या R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) है। मुख्य प्रतिबल C ± R हैं, और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।

वृत्त पर कोण

मोर वृत्त पर शीर्ष बिंदु (+R) मुख्य बिंदु σ₁ से 90° पर है; अवयव पर यह 45° है।

cos 2θ_s = 50/64.03 = 0.7809, sin 2θ_s = −40/64.03 = −0.6247

2θ_s = atan2(−40, 50) = −38.66°

अवयव पर कोण

θ_s = −19.33°

जाँच: θ_s − θ_p = −19.33 − 25.67 = −45°

उत्तर

θ_s = −19.33°

धनात्मक कोण वामावर्त होते हैं।

6.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

उत्तर: σ_θ = 55.54 MPa

रूपांतरण समीकरण

σ_θ = 55 + 105·0.5 + −60·0.866 = 55.54 MPa

उत्तर

σ_θ = 55.54 MPa

7.अक्षीय प्रतिबल और विकृति

उत्तर: δ = 10.98 mm

हुक का नियम: प्रत्यास्थ सीमा में σ = E·ε। σ = P/A और ε = δ/L के साथ मिलाने पर δ = PL/(AE) मिलता है।

प्रतिबल

A = π·20²/4 = 314.2 mm²

σ = P/A = 115·1000/314.2 = 366.1 MPa

विकृति (हुक का नियम)

E for पीतल = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 366.1/100000 = 0.003661 = 3661 µε

दीर्घीकरण

δ = ε·L = 0.003661·3000 mm = 10.98 mm

उत्तर

δ = 10.98 mm

8.अक्षीय प्रतिबल और विकृति

उत्तर: P_max = 966 kN

दो पदार्थ: श्रेणी में (एक के बाद एक) हर खंड समान बल वहन करता है और विस्तार जुड़ते हैं: δ = P·Σ L/(E·A)। समानांतर में (दृढ़ प्लेटों के बीच अगल-बगल) दोनों भाग समान मात्रा से छोटे होते हैं, इसलिए उनके विकृति समान हैं: अधिक कठोर भाग बड़ा हिस्सा लेता है, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, और σ_i = E_i·ε। दो दृढ़ दीवारों के बीच जकड़ी छड़, जिसके जोड़ पर भार लगा है, स्थैतिक रूप से अनिर्धार्य है: दोनों खंड भार को अपनी कठोरता k = EA/L के अनुपात में बाँटते हैं।

क्षेत्रफल

A_r = π·30²/4 = 706.9 mm²

A_t = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

संयुक्त अक्षीय कठोरता

ΣEA = 200·10³·706.9 + 120·10³·8482 = 1.159 × 10⁹ N

निर्धारक विकृति

ε = min(0.001, 0.0008333) = 0.0008333 (ताँबा)

सबसे बड़ा भार

P_max = 0.0008333·1.159 × 10⁹ = 966040 N = 966 kN

उत्तर

P_max = 966 kN

9.स्तंभ बकलिंग

उत्तर: P_cr = 5.426 kN

ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ P_cr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।

न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण

गोल खंड का I हर अक्ष के परितः समान होता है।

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

प्रभावी लंबाई

KL = 1·1000 = 1000 mm

क्रांतिक भार

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·7854/1000² = 5426 N = 5.426 kN

उत्तर

P_cr = 5.426 kN

10.स्तंभ बकलिंग

उत्तर: d = 74.84 mm

आवश्यक क्रांतिक भार

P_cr = n·P = 2·95000 = 190000 N

KL = 1·4000 = 4000 mm

व्यास के लिए हल करें

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·190000·4000²/(π³·200000))^(1/4) = 74.84 mm

उत्तर

d = 74.84 mm

जाँच: तनुता KL/r = 213.8 है, इसलिए स्तंभ पतला है और ऑयलर लागू होता है।

11.यांत्रिक कंपन

उत्तर: ζ = 0.4082

द्रव्यमान–स्प्रिंग तंत्र का मुक्त कंपन: अनवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति rad/s में ω_n = √(k/m) है, और Hz में f_n = ω_n/(2π)। एक श्यान अवमंदक c अवमंदन अनुपात ζ = c/c_c देता है, जहाँ क्रांतिक अवमंदन c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n। अल्प-अवमंदित तंत्र (ζ < 1) ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) पर दोलन करता है। समांतर में स्प्रिंग जुड़ते हैं, k = k₁ + k₂; श्रेणी में स्प्रिंग व्युत्क्रम के रूप में जुड़ते हैं, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂।

क्रांतिक अवमंदन

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(4000·15) = 489.9 N·s/m

अवमंदन अनुपात

ζ = c/c_c = 200/489.9 = 0.4082

उत्तर

ζ = 0.4082

ζ < 1, इसलिए तंत्र अल्प-अवमंदित है और क्षीण होते हुए दोलन करता है।

12.यांत्रिक कंपन

उत्तर: f_n = 5.627 Hz

तुल्य दृढ़ता

श्रेणी में स्प्रिंग समान बल साझा करते हैं और उनके विक्षेप जुड़ते हैं, इसलिए वे व्युत्क्रम के रूप में मिलते हैं: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂।

1/k_eq = 1/50 + 1/50 → k_eq = 50·50/(50 + 50) = 25 kN/m

प्राकृतिक आवृत्ति

ω_n = √(25000/20) = 35.36 rad/s

f_n = 35.36/(2π) = 5.627 Hz

उत्तर

f_n = 5.627 Hz

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