गियर और गियर ट्रेन
- परस्पर जुड़े गियर
- n1·N1 = n2·N2
- बलाघूर्ण
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- शक्ति
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- संयुक्त गियर ट्रेन
- कुल अनुपात = चरण अनुपातों का गुणनफल
मशीन डिज़ाइन: क्रैम पैक
सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 12 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।
1सूत्र और विधियाँ
शाफ़्ट का मरोड़
- अपरूपण प्रतिबल
- τ = T·r/J
- ठोस शाफ़्ट
- J = πd⁴/32
- खोखला शाफ़्ट
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- मरोड़ कोण
- φ = TL/(GJ)
- शक्ति
- P = T·ω = 2πnT/60
विधि
- ध्रुवीय क्षेत्र आघूर्ण ज्ञात करें: ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32।
- सतह पर अपरूपण प्रतिबल: τ = T·r/J, जहाँ r बाहरी त्रिज्या है।
- ऐंठन कोण: रेडियन में φ = TL/(GJ)।
- यदि शक्ति दी गई है, तो पहले P = T·ω, ω = 2πn/60 से बलाघूर्ण ज्ञात करें।
मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण
- केंद्र
- C = (σx + σy)/2
- त्रिज्या
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- मुख्य प्रतिबल
- σ1,2 = C ± R
- मुख्य दिशा
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- झुका हुआ तल
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
विधि
- मोर वृत्त का केंद्र निकालें: C = (σx + σy)/2।
- त्रिज्या निकालें: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)।
- मुख्य प्रतिबल C ± R हैं और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।
- वृत्त पर कोण अवयव पर कोणों के दोगुने होते हैं: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)।
अक्षीय प्रतिबल और विकृति
- अभिलंब प्रतिबल
- σ = F/A
- विकृति
- ε = ΔL/L
- हुक का नियम
- σ = E·ε
- दीर्घीकरण
- ΔL = FL/(EA)
- तापीय विकृति
- εT = α·ΔT
स्तंभ बकलिंग
- ऑयलर भार
- Pcr = π²EI/(KL)²
- प्रभावी लंबाई गुणांक
- K = 1 पिन–पिन, 0.5 स्थिर–स्थिर, 0.7 स्थिर–पिन, 2 स्थिर–मुक्त
- क्रांतिक प्रतिबल
- σcr = Pcr/A
- पतलापन अनुपात
- λ = KL/r, r = √(I/A)
यांत्रिक कंपन
- प्राकृतिक आवृत्ति
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- स्थैतिक विक्षेप से
- ωn = √(g/δst)
- क्रांतिक अवमंदन
- cc = 2√(km) = 2mωn
- अवमंदन अनुपात
- ζ = c/cc
- अवमंदित आवृत्ति
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- लघुगणकीय ह्रास
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- समांतर में स्प्रिंग
- k = k1 + k2
- श्रेणी में स्प्रिंग
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2अभ्यास प्रश्न
1.गियर और गियर ट्रेनमध्यम
एक पट्टा 80 mm की चालक घिरनी पर 960 rpm पर चलता है। कसी हुई ओर तनाव 1500 N और ढीली ओर 300 N है। संचरित शक्ति P kW में ज्ञात कीजिए।
d1 = 80 mmn1 = 960 rpmT1 = 1500 NT2 = 300 N
P = kW
2.गियर और गियर ट्रेनकठिन
एक संयुक्त गियर ट्रेन में, 2900 rpm पर घूम रहे निवेश शाफ़्ट पर लगा गियर A (12 दाँत) गियर B (32 दाँत) को चलाता है। गियर C (12 दाँत) B वाले शाफ़्ट पर ही लगा है और निर्गत शाफ़्ट पर लगे गियर D (24 दाँत) को चलाता है। निर्गत चाल nout ज्ञात कीजिए।
nin = 2900 rpmA = 12B = 32C = 12D = 24
nout = rpm
3.शाफ़्ट का मरोड़मध्यम
पीतल का एक ठोस शाफ़्ट दीवार में जड़ित है और मुक्त सिरे पर बलाघूर्ण T से मरोड़ा जाता है। मुक्त सिरे का मरोड़ कोण φ डिग्री में ज्ञात कीजिए।
T = 100 N·md = 25 mmL = 0.8 mG = 39 GPa
φ = °
4.शाफ़्ट का मरोड़कठिन
एक खोखला शाफ़्ट 300 rpm पर 30 kW संचारित करता है। शाफ़्ट में अधिकतम अपरूपण प्रतिबल τmax ज्ञात कीजिए।
P = 30 kWN = 300 rpmdo = 50 mmdi = 35 mm
τmax = MPa
5.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणमध्यम
एक बिंदु पर σₓ = 140 MPa, σᵧ = 90 MPa और τₓᵧ = −50 MPa है (तनन धनात्मक)। x-अक्ष से उस तल के अभिलंब तक का कोण θs, −90° और 90° के बीच, ज्ञात कीजिए जिस पर अपरूपण प्रतिबल का अधिकतम धनात्मक मान +R है (अपरूपण τₓᵧ की ही दिशा में धनात्मक)।
σx = 140 MPaσy = 90 MPaτxy = −50 MPa
θs = °
6.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणकठिन
एक पतली प्लेट का एक बिंदु समतल प्रतिबल में है: σₓ = −30 MPa, σᵧ = 90 MPa और τₓᵧ = 60 MPa (σz = 0)। पदार्थ का पराभव सामर्थ्य 275 MPa है। वॉन मीज़ेस (विरूपण ऊर्जा) मानदंड से पराभव के विरुद्ध सुरक्षा गुणक n ज्ञात कीजिए।
σx = −30 MPaσy = 90 MPaτxy = 60 MPaσY = 275 MPa
n =
7.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिमध्यम
एक छड़ स्टील के खंड (व्यास 40 mm, लंबाई 300 mm, E = 200 GPa) से बनी है, जो काँसा के बने खंड (व्यास 40 mm, लंबाई 500 mm, E = 110 GPa) से सिरे से सिरा जोड़कर जुड़ा है। वह एक सिरे पर स्थिर है और दूसरे पर खींची जाती है। वह अक्षीय भार P ज्ञात कीजिए जो उसे कुल 0.4 mm खींचता है।
खंड 1: स्टील, Ø40 mm, 300 mm, E = 200 GPaखंड 2: काँसा, Ø40 mm, 500 mm, E = 110 GPaδ = 0.4 mm
P = kN
8.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिकठिन
सोपानी छड़ दीवार में जड़ित है और अपने मुक्त सिरे पर भारित है। छड़ में सबसे बड़ा अभिलंब प्रतिबल σmax ज्ञात कीजिए।
P = 75 kNखंड 1: Ø25 mm, 2 m, एल्युमिनियम (E = 70 GPa)खंड 2: Ø20 mm, 1.5 m, स्टील (E = 200 GPa)
σmax = MPa
9.स्तंभ बकलिंगमध्यम
एल्युमिनियम से बना L लंबाई का एक स्तंभ दोनों सिरों पर जड़ित है। ऑयलर सूत्र से उसका क्रांतिक बकलिंग भार Pcr ज्ञात कीजिए।
L = 4 mE = 70 GPa (एल्युमिनियम)d = 80 mm
Pcr = kN
10.स्तंभ बकलिंगकठिन
स्टील से बना L लंबाई का एक स्तंभ आधार पर जड़ित और शीर्ष पर मुक्त है। उसकी तनुता और ऑयलर सूत्र से क्रांतिक बकलिंग प्रतिबल σcr ज्ञात कीजिए।
L = 3 mE = 200 GPa (स्टील)d = 50 mm
σcr = MPa
11.यांत्रिक कंपनमध्यम
40 kN/m दृढ़ता वाले स्प्रिंग पर एक 5 kg द्रव्यमान के साथ एक श्यान अवमंदक है जो 0.3 का अवमंदन अनुपात देता है। इसके मुक्त कंपन की अवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति fd Hz में ज्ञात कीजिए।
m = 5 kgk = 40 kN/mζ = 0.3
fd = Hz
12.यांत्रिक कंपनकठिन
एक 40 kg द्रव्यमान सिरे-से-सिरे जुड़े (श्रेणी में) दो स्प्रिंगों से लटका है: ऊपरी स्प्रिंग k₁ = 80 kN/m और निचला k₂ = 5 kN/m है। स्प्रिंग तंत्र की तुल्य दृढ़ता keq kN/m में ज्ञात कीजिए।
m = 40 kgk1 = 80 kN/mk2 = 5 kN/m
keq = kN/m
3विलयन
1.गियर और गियर ट्रेन
उत्तर: P = 4.825 kW
पट्टा चालन: फिसलन के बिना दोनों घिरनियों की कोर की चाल समान होती है v = π·d·n/60, इसलिए n₁·d₁ = n₂·d₂ और गति अनुपात d₂/d₁ है। फिसलन s चालित घिरनी को थोड़ा धीमा कर देती है: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)। संचरित शक्ति P = (T₁ − T₂)·v है, जहाँ T₁ कसी हुई ओर का तनाव और T₂ ढीली ओर का। घर्षण तनावों के अनुपात को सीमित करता है: T₁/T₂ = eμθ, जहाँ θ छोटी घिरनी पर लपेट कोण रेडियन में है; खुले पट्टे के लिए θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), जहाँ C केंद्र दूरी है।
पट्टे की चाल
v = 4.021 m/s
शक्ति
P = (1500 − 300)·4.021 = 4825 W = 4.825 kW
उत्तर
P = 4.825 kW
2.गियर और गियर ट्रेन
उत्तर: nout = 543.8 rpm
गियर ट्रेन: परस्पर जुड़े गियरों के दाँतों पर चाल समान होती है, इसलिए n₁·N₁ = n₂·N₂: कम दाँतों वाला गियर तेज़ घूमता है। एक ही शाफ़्ट पर लगे गियर समान चाल से घूमते हैं। शक्ति आगे पहुँचती है (हानियों को घटाकर), इसलिए चाल घटने पर बलाघूर्ण बढ़ता है: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, और P = T·ω, जहाँ ω = 2π·n/60।
पहला चरण
nB = 2900·12/32 = 1088 rpm = nC
दूसरा चरण
nout = 1088·12/24 = 543.8 rpm
उत्तर
nout = 543.8 rpm
कुल अनुपात = 5.333 : 1
3.शाफ़्ट का मरोड़
उत्तर: φ = 3.065 °
वृत्ताकार शाफ़्ट का मरोड़: अपरूपण प्रतिबल केंद्र पर शून्य से सतह पर τmax = T·r/J तक रैखिक रूप से बढ़ता है, ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32 और खोखले के लिए J = π(do⁴ − di⁴)/32। मरोड़ कोण रेडियन में φ = TL/(GJ) है। शक्ति और बलाघूर्ण P = T·ω से जुड़े हैं।
ध्रुवीय जड़त्व आघूर्ण
J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴
मरोड़ कोण
φ = TL/(GJ) = 100·1000·800/(39000·38350) = 0.05349 rad
φ = 0.05349·180/π = 3.065°
उत्तर
φ = 3.065°
4.शाफ़्ट का मरोड़
उत्तर: τmax = 51.2 MPa
वृत्ताकार शाफ़्ट का मरोड़: अपरूपण प्रतिबल केंद्र पर शून्य से सतह पर τmax = T·r/J तक रैखिक रूप से बढ़ता है, ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32 और खोखले के लिए J = π(do⁴ − di⁴)/32। मरोड़ कोण रेडियन में φ = TL/(GJ) है। शक्ति और बलाघूर्ण P = T·ω से जुड़े हैं।
बलाघूर्ण
ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31.42 rad/s
T = P/ω = 30000/31.42 = 954.9 N·m
ध्रुवीय जड़त्व आघूर्ण
J = π(50⁴ − 35⁴)/32 = 466269 mm⁴
अधिकतम अपरूपण प्रतिबल
τmax = T·(do/2)/J = 954930·25/466269 = 51.2 MPa
उत्तर
τmax = 51.2 MPa
5.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण
उत्तर: θs = −76.72 °
समतल प्रतिबल रूपांतरण: θ से घुमाए गए तल पर σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ। मोर वृत्त सभी तलों को एक साथ दिखाता है: उसका केंद्र C = (σₓ + σᵧ)/2 पर और त्रिज्या R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) है। मुख्य प्रतिबल C ± R हैं, और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।
वृत्त पर कोण
मोर वृत्त पर शीर्ष बिंदु (+R) मुख्य बिंदु σ₁ से 90° पर है; अवयव पर यह 45° है।
cos 2θs = −50/55.9 = −0.8944, sin 2θs = −25/55.9 = −0.4472
2θs = atan2(−25, −50) = −153.4°
अवयव पर कोण
θs = −76.72°
जाँच: θs − θp = −76.72 − (−31.72) = −45°
उत्तर
θs = −76.72°
धनात्मक कोण वामावर्त होते हैं।
6.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण
उत्तर: n = 1.833
समतल प्रतिबल रूपांतरण: θ से घुमाए गए तल पर σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ। मोर वृत्त सभी तलों को एक साथ दिखाता है: उसका केंद्र C = (σₓ + σᵧ)/2 पर और त्रिज्या R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) है। मुख्य प्रतिबल C ± R हैं, और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है। पराभव मानदंड: वॉन मीज़ेस के अनुसार पराभव तब होता है जब σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²), σY तक पहुँचे; ट्रेस्का के अनुसार तब जब निरपेक्ष अधिकतम अपरूपण प्रतिबल σY/2 तक पहुँचे।
मुख्य प्रतिबल
C = 30 MPa, R = 84.85 MPa
σ1 = 114.9 MPa, σ2 = −54.85 MPa, σ3 = 0
वॉन मीज़ेस
σvM = √(114.9² − 114.9·(−54.85) + (−54.85)²) = 150 MPa
n = 275/150 = 1.833
उत्तर
n = 1.833
n > 1 का अर्थ है कि बिंदु पराभव नहीं करता; ट्रेस्का वॉन मीज़ेस से थोड़ा अधिक रूढ़िवादी (सुरक्षित पक्ष का) है।
7.अक्षीय प्रतिबल और विकृति
उत्तर: P = 83.15 kN
दो पदार्थ: श्रेणी में (एक के बाद एक) हर खंड समान बल वहन करता है और विस्तार जुड़ते हैं: δ = P·Σ L/(E·A)। समानांतर में (दृढ़ प्लेटों के बीच अगल-बगल) दोनों भाग समान मात्रा से छोटे होते हैं, इसलिए उनके विकृति समान हैं: अधिक कठोर भाग बड़ा हिस्सा लेता है, Pi = P·EiAi/ΣEA, और σi = Ei·ε। दो दृढ़ दीवारों के बीच जकड़ी छड़, जिसके जोड़ पर भार लगा है, स्थैतिक रूप से अनिर्धार्य है: दोनों खंड भार को अपनी कठोरता k = EA/L के अनुपात में बाँटते हैं।
क्षेत्रफल
A₁ = 1257 mm², A₂ = 1257 mm²
नम्यताएँ
L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·1257) = 1.194 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 500/(110000·1257) = 3.617 × 10⁻⁶ mm/N
भार
P = 0.4/4.811 × 10⁻⁶ = 83146 N = 83.15 kN
उत्तर
P = 83.15 kN
8.अक्षीय प्रतिबल और विकृति
उत्तर: σmax = 238.7 MPa
अक्षीय भारित अवयव: हर प्रिज़्मीय खंड δ = PL/(AE) का पालन करता है। श्रेणी में अवयवों के दीर्घीकरण जुड़ते हैं।
दोनों खंडों में समान बल
मुक्त सिरा P वहन करता है, इसलिए छड़ का हर खंड वही अक्षीय बल P वहन करता है। केवल क्षेत्रफल और पदार्थ बदलते हैं।
A1 = π·25²/4 = 490.9 mm², A2 = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ1 = 152.8 MPa
σ2 = 238.7 MPa
सबसे बड़ा प्रतिबल
पतले खंड का क्षेत्रफल छोटा है, इसलिए उसमें प्रतिबल अधिक है।
σmax = 238.7 MPa
उत्तर
σmax = 238.7 MPa
9.स्तंभ बकलिंग
उत्तर: Pcr = 347.3 kN
ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ Pcr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।
न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण
गोल खंड का I हर अक्ष के परितः समान होता है।
I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴
प्रभावी लंबाई
KL = 0.5·4000 = 2000 mm
क्रांतिक भार
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·2.011 × 10⁶/2000² = 347270 N = 347.3 kN
उत्तर
Pcr = 347.3 kN
10.स्तंभ बकलिंग
उत्तर: σcr = 8.567 MPa
ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ Pcr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।
न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण
गोल खंड का I हर अक्ष के परितः समान होता है।
I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴
परिभ्रमण त्रिज्या और तनुता
A = 1963 mm²
r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12.5 mm
KL = 2·3000 = 6000 mm
KL/r = 6000/12.5 = 480
क्रांतिक प्रतिबल
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/480² = 8.567 MPa
उत्तर
σcr = 8.567 MPa
11.यांत्रिक कंपन
उत्तर: fd = 13.58 Hz
द्रव्यमान–स्प्रिंग तंत्र का मुक्त कंपन: अनवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति rad/s में ωn = √(k/m) है, और Hz में fn = ωn/(2π)। एक श्यान अवमंदक c अवमंदन अनुपात ζ = c/cc देता है, जहाँ क्रांतिक अवमंदन cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn। अल्प-अवमंदित तंत्र (ζ < 1) ωd = ωn·√(1 − ζ²) पर दोलन करता है। समांतर में स्प्रिंग जुड़ते हैं, k = k₁ + k₂; श्रेणी में स्प्रिंग व्युत्क्रम के रूप में जुड़ते हैं, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂।
अनवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति
ωn = √(40000/5) = 89.44 rad/s
fn = 89.44/(2π) = 14.24 Hz
अवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति
fd = fn·√(1 − ζ²) = 14.24·√(1 − 0.3²) = 13.58 Hz
उत्तर
fd = 13.58 Hz
12.यांत्रिक कंपन
उत्तर: keq = 4.706 kN/m
द्रव्यमान–स्प्रिंग तंत्र का मुक्त कंपन: अनवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति rad/s में ωn = √(k/m) है, और Hz में fn = ωn/(2π)। एक श्यान अवमंदक c अवमंदन अनुपात ζ = c/cc देता है, जहाँ क्रांतिक अवमंदन cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn। अल्प-अवमंदित तंत्र (ζ < 1) ωd = ωn·√(1 − ζ²) पर दोलन करता है। समांतर में स्प्रिंग जुड़ते हैं, k = k₁ + k₂; श्रेणी में स्प्रिंग व्युत्क्रम के रूप में जुड़ते हैं, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂।
तुल्य दृढ़ता
श्रेणी में स्प्रिंग समान बल साझा करते हैं और उनके विक्षेप जुड़ते हैं, इसलिए वे व्युत्क्रम के रूप में मिलते हैं: 1/k = 1/k1 + 1/k2।
1/keq = 1/80 + 1/5 → keq = 80·5/(80 + 5) = 4.706 kN/m
उत्तर
keq = 4.706 kN/m
ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design