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सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 12 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

गियर और गियर ट्रेन

परस्पर जुड़े गियर: n₁·N₁ = n₂·N₂
बलाघूर्ण: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
शक्ति: P = T·ω, ω = 2π·n/60
संयुक्त गियर ट्रेन: कुल अनुपात = चरण अनुपातों का गुणनफल

शाफ़्ट का मरोड़

अपरूपण प्रतिबल: τ = T·r/J
ठोस शाफ़्ट: J = πd⁴/32
खोखला शाफ़्ट: J = π(D⁴ − d⁴)/32
मरोड़ कोण: φ = TL/(GJ)
शक्ति: P = T·ω = 2πnT/60

विधि

ध्रुवीय क्षेत्र आघूर्ण ज्ञात करें: ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32।
सतह पर अपरूपण प्रतिबल: τ = T·r/J, जहाँ r बाहरी त्रिज्या है।
ऐंठन कोण: रेडियन में φ = TL/(GJ)।
यदि शक्ति दी गई है, तो पहले P = T·ω, ω = 2πn/60 से बलाघूर्ण ज्ञात करें।

मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

केंद्र: C = (σ_x + σ_y)/2
त्रिज्या: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
मुख्य प्रतिबल: σ_1,2 = C ± R
मुख्य दिशा: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
झुका हुआ तल: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

विधि

मोर वृत्त का केंद्र निकालें: C = (σx + σy)/2।
त्रिज्या निकालें: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)।
मुख्य प्रतिबल C ± R हैं और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।
वृत्त पर कोण अवयव पर कोणों के दोगुने होते हैं: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)।

अक्षीय प्रतिबल और विकृति

अभिलंब प्रतिबल: σ = F/A
विकृति: ε = ΔL/L
हुक का नियम: σ = E·ε
दीर्घीकरण: ΔL = FL/(EA)
तापीय विकृति: ε_T = α·ΔT

स्तंभ बकलिंग

ऑयलर भार: P_cr = π²EI/(KL)²
प्रभावी लंबाई गुणांक: K = 1 पिन–पिन, 0.5 स्थिर–स्थिर, 0.7 स्थिर–पिन, 2 स्थिर–मुक्त
क्रांतिक प्रतिबल: σ_cr = P_cr/A
पतलापन अनुपात: λ = KL/r, r = √(I/A)

यांत्रिक कंपन

प्राकृतिक आवृत्ति: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
स्थैतिक विक्षेप से: ω_n = √(g/δ_st)
क्रांतिक अवमंदन: c_c = 2√(km) = 2mω_n
अवमंदन अनुपात: ζ = c/c_c
अवमंदित आवृत्ति: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
लघुगणकीय ह्रास: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
समांतर में स्प्रिंग: k = k₁ + k₂
श्रेणी में स्प्रिंग: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2अभ्यास प्रश्न

1.गियर और गियर ट्रेनमध्यम

एक पट्टा 150 mm की चालक घिरनी पर 1440 rpm पर चलता है। कसी हुई ओर तनाव 500 N और ढीली ओर 125 N है। संचरित शक्ति P kW में ज्ञात कीजिए।

d₁ = 150 mmn₁ = 1440 rpmT₁ = 500 NT₂ = 125 N

P = kW

2.गियर और गियर ट्रेनकठिन

एक संयुक्त गियर ट्रेन में निवेश शाफ़्ट पर गियर A (30 दाँत) 960 rpm पर घूमता है और गियर B (36 दाँत) को चलाता है। गियर C (18 दाँत) B के ही शाफ़्ट पर लगा है और निर्गम शाफ़्ट पर गियर D को चलाता है। निर्गम को 360 rpm पर घूमना है। गियर D में कितने दाँत N_D होने चाहिए?

n_in = 960 rpmA = 30B = 36C = 18n_out = 360 rpm

N_D =

3.शाफ़्ट का मरोड़मध्यम

0.8 m लंबा एक ठोस एल्युमिनियम शाफ़्ट 1500 N·m का बलाघूर्ण वहन करता है। उसके सिरों के बीच मरोड़ कोण 1° से अधिक नहीं होना चाहिए। इस सीमा को पूरा करने वाला सबसे छोटा व्यास d ज्ञात कीजिए।

T = 1500 N·mL = 0.8 mG = 26 GPaφ_allow = 1°

d = mm

4.शाफ़्ट का मरोड़कठिन

एक ठोस शाफ़्ट को 1450 rpm पर 20 kW संचारित करना है, बिना अपरूपण प्रतिबल के 50 MPa से अधिक हुए। उपयुक्त सबसे छोटा व्यास d ज्ञात कीजिए।

P = 20 kWN = 1450 rpmτ_allow = 50 MPa

d = mm

5.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणमध्यम

एक पतली प्लेट का एक बिंदु समतल प्रतिबल में है: σₓ = 150 MPa, σᵧ = 110 MPa और τₓᵧ = 20 MPa, σ_z = 0 के साथ। बिंदु पर निरपेक्ष अधिकतम अपरूपण प्रतिबल τ_abs ज्ञात कीजिए (तीन विमाओं में सभी तलों पर विचार करते हुए)।

σ_x = 150 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = 20 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

6.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणकठिन

किसी भारित पुर्ज़े के एक बिंदु पर σₓ = 60 MPa, σᵧ = 0 MPa और τₓᵧ = −60 MPa है (तनन धनात्मक)। उस तल पर अभिलंब प्रतिबल σ_θ ज्ञात कीजिए जिसका अभिलंब x-अक्ष से 45° वामावर्त घुमाया गया है।

σ_x = 60 MPaσ_y = 0 MPaτ_xy = −60 MPaθ = 45°

σ_θ = MPa

7.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिमध्यम

अक्षीय भार के अंतर्गत स्टील छड़ का दीर्घीकरण δ ज्ञात कीजिए।

P = 50 kNd = 30 mmL = 2 mE = 200 GPa

δ = mm

8.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिकठिन

एक स्टील खंड (व्यास 25 mm, लंबाई 400 mm, E = 200 GPa) और काँसा का बना खंड (व्यास 60 mm, लंबाई 200 mm, E = 110 GPa) सिरे से सिरा जोड़कर दो दृढ़ दीवारों के बीच जकड़े हैं। जोड़ पर खंड 2 की ओर 30 kN का अक्षीय भार लगता है। खंड 2 में प्रतिबल σ₂ का परिमाण ज्ञात कीजिए।

खंड 1: स्टील, Ø25 mm, 400 mm, E = 200 GPaखंड 2: काँसा, Ø60 mm, 200 mm, E = 110 GPaP = 30 kN

σ₂ = MPa

9.स्तंभ बकलिंगमध्यम

स्टील से बना L लंबाई का एक स्तंभ आधार पर जड़ित और शीर्ष पर मुक्त है। ऑयलर सूत्र से उसका क्रांतिक बकलिंग भार P_cr ज्ञात कीजिए।

L = 1.5 mE = 200 GPa (स्टील)b × h = 50 × 100 mm

P_cr = kN

10.स्तंभ बकलिंगकठिन

स्टील से बना L लंबाई का एक ठोस गोल स्तंभ दोनों सिरों पर जड़ित है। इसे बकलिंग के विरुद्ध 2.5 के सुरक्षा गुणक के साथ 25 kN वहन करना है। न्यूनतम व्यास d ज्ञात कीजिए।

P = 25 kNn = 2.5L = 2.5 mE = 200 GPa (स्टील)

d = mm

11.यांत्रिक कंपनमध्यम

एक अवमंदित द्रव्यमान–स्प्रिंग तंत्र के मुक्त-कंपन परीक्षण में 20 mm के विस्थापन शिखर के 5 चक्र बाद 1.6 mm का शिखर आता है। अवमंदन अनुपात ζ ज्ञात कीजिए।

x₀ = 20 mmx₅ = 1.6 mmn = 5

ζ =

12.यांत्रिक कंपनकठिन

एक 40 kg द्रव्यमान स्प्रिंग k₃ = 20 kN/m से लटका है। k₃ का ऊपरी सिरा एक दृढ़ छड़ से जुड़ा है जो अगल-बगल दो स्प्रिंगों k₁ = 10 kN/m और k₂ = 80 kN/m से लटकी है; छड़ समतल रहती है। अवमंदन तथा स्प्रिंगों और छड़ के द्रव्यमान की उपेक्षा करें। ऊर्ध्वाधर कंपन की प्राकृतिक आवृत्ति f_n Hz में ज्ञात कीजिए।

m = 40 kgk₁ = 10 kN/mk₂ = 80 kN/mk₃ = 20 kN/m

f_n = Hz

3विलयन

1.गियर और गियर ट्रेन

उत्तर: P = 4.241 kW

पट्टा चालन: फिसलन के बिना दोनों घिरनियों की कोर की चाल समान होती है v = π·d·n/60, इसलिए n₁·d₁ = n₂·d₂ और गति अनुपात d₂/d₁ है। फिसलन s चालित घिरनी को थोड़ा धीमा कर देती है: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)। संचरित शक्ति P = (T₁ − T₂)·v है, जहाँ T₁ कसी हुई ओर का तनाव और T₂ ढीली ओर का। घर्षण तनावों के अनुपात को सीमित करता है: T₁/T₂ = e^μθ, जहाँ θ छोटी घिरनी पर लपेट कोण रेडियन में है; खुले पट्टे के लिए θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), जहाँ C केंद्र दूरी है।

पट्टे की चाल

v = 11.31 m/s

शक्ति

P = (500 − 125)·11.31 = 4241 W = 4.241 kW

उत्तर

P = 4.241 kW

2.गियर और गियर ट्रेन

उत्तर: N_D = 40

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

मध्यवर्ती शाफ़्ट की चाल

n_B = n_C = 960·30/36 = 800 rpm

गियर D के दाँत

N_D = C·n_C/n_out = 18·800/360 = 40

उत्तर

N_D = 40

3.शाफ़्ट का मरोड़

उत्तर: d = 72.04 mm

वृत्ताकार शाफ़्ट का मरोड़: अपरूपण प्रतिबल केंद्र पर शून्य से सतह पर τ_max = T·r/J तक रैखिक रूप से बढ़ता है, ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32 और खोखले के लिए J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32। मरोड़ कोण रेडियन में φ = TL/(GJ) है। शक्ति और बलाघूर्ण P = T·ω से जुड़े हैं।

आवश्यक ध्रुवीय आघूर्ण

T = 1500 N·m = 1.5 × 10⁶ N·mm

L = 0.8 m = 800 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = 1·π/180 = 0.01745 rad

J = TL/(Gφ) = 1.5 × 10⁶·800/(26000·0.01745) = 2.644 × 10⁶ mm⁴

व्यास

d = (32J/π)^1/4 = 72.04 mm

उत्तर

d = 72.04 mm

व्यवहार में आप अगले मानक आकार तक पूर्णांकित करेंगे।

4.शाफ़्ट का मरोड़

उत्तर: d = 23.76 mm

बलाघूर्ण

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151.8 rad/s

T = P/ω = 20000/151.8 = 131.7 N·m

अनुमेय प्रतिबल से व्यास

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·131714/(π·50)) = 23.76 mm

उत्तर

d = 23.76 mm

व्यवहार में आप अगले मानक आकार तक पूर्णांकित करेंगे।

5.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

उत्तर: τ_abs = 79.14 MPa

समतल प्रतिबल रूपांतरण: θ से घुमाए गए तल पर σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ। मोर वृत्त सभी तलों को एक साथ दिखाता है: उसका केंद्र C = (σₓ + σᵧ)/2 पर और त्रिज्या R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) है। मुख्य प्रतिबल C ± R हैं, और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है। तीन विमाओं में निरपेक्ष अधिकतम अपरूपण प्रतिबल तीनों मुख्य प्रतिबलों पर (σ_max − σ_min)/2 है; समतल प्रतिबल में तीसरा शून्य होता है।

तलीय मुख्य प्रतिबल

C = 130 MPa, R = √(20² + 20²) = 28.28 MPa

σ₁ = 158.3 MPa, σ₂ = 101.7 MPa, σ_z = 0

तीनों वृत्तों में सबसे बड़ा

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(56.57, 158.3, 101.7)/2 = 79.14 MPa

उत्तर

τ_abs = 79.14 MPa

यहाँ तल से बाहर वाला वृत्त निर्णायक है: निरपेक्ष अधिकतम तलीय अधिकतम R से बड़ा है।

6.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

उत्तर: σ_θ = −30 MPa

रूपांतरण समीकरण

σ_θ = 30 + 30·0 + −60·1 = −30 MPa

उत्तर

σ_θ = −30 MPa

7.अक्षीय प्रतिबल और विकृति

उत्तर: δ = 0.7074 mm

हुक का नियम: प्रत्यास्थ सीमा में σ = E·ε। σ = P/A और ε = δ/L के साथ मिलाने पर δ = PL/(AE) मिलता है।

प्रतिबल

A = π·30²/4 = 706.9 mm²

σ = P/A = 50·1000/706.9 = 70.74 MPa

विकृति (हुक का नियम)

E for स्टील = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 70.74/200000 = 0.0003537 = 353.7 µε

दीर्घीकरण

δ = ε·L = 0.0003537·2000 mm = 0.7074 mm

उत्तर

δ = 0.7074 mm

8.अक्षीय प्रतिबल और विकृति

उत्तर: σ₂ = 9.164 MPa

दो पदार्थ: श्रेणी में (एक के बाद एक) हर खंड समान बल वहन करता है और विस्तार जुड़ते हैं: δ = P·Σ L/(E·A)। समानांतर में (दृढ़ प्लेटों के बीच अगल-बगल) दोनों भाग समान मात्रा से छोटे होते हैं, इसलिए उनके विकृति समान हैं: अधिक कठोर भाग बड़ा हिस्सा लेता है, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, और σ_i = E_i·ε। दो दृढ़ दीवारों के बीच जकड़ी छड़, जिसके जोड़ पर भार लगा है, स्थैतिक रूप से अनिर्धार्य है: दोनों खंड भार को अपनी कठोरता k = EA/L के अनुपात में बाँटते हैं।

कठोरताएँ

k₁ = 200000·490.9/400 = 245437 N/mm

k₂ = 110000·2827/200 = 1.555 × 10⁶ N/mm

खंड 2 का हिस्सा

F₂ = 30000·1.555 × 10⁶/1.801 × 10⁶ = 25911 N

प्रतिबल

σ₂ = 25911/2827 = 9.164 MPa (संपीडन)

उत्तर

σ₂ = 9.164 MPa

9.स्तंभ बकलिंग

उत्तर: P_cr = 228.5 kN

ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ P_cr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।

न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण

आयत अपनी कमज़ोर अक्ष के परितः, छोटी विमा के घन के साथ मुड़ता है।

I_min = h·b³/12 = 100·50³/12 = 1.042 × 10⁶ mm⁴

प्रभावी लंबाई

KL = 2·1500 = 3000 mm

क्रांतिक भार

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·1.042 × 10⁶/3000² = 228463 N = 228.5 kN

उत्तर

P_cr = 228.5 kN

10.स्तंभ बकलिंग

उत्तर: d = 31.68 mm

आवश्यक क्रांतिक भार

P_cr = n·P = 2.5·25000 = 62500 N

KL = 0.5·2500 = 1250 mm

व्यास के लिए हल करें

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·62500·1250²/(π³·200000))^(1/4) = 31.68 mm

उत्तर

d = 31.68 mm

जाँच: तनुता KL/r = 157.8 है, इसलिए स्तंभ पतला है और ऑयलर लागू होता है।

11.यांत्रिक कंपन

उत्तर: ζ = 0.08014

द्रव्यमान–स्प्रिंग तंत्र का मुक्त कंपन: अनवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति rad/s में ω_n = √(k/m) है, और Hz में f_n = ω_n/(2π)। एक श्यान अवमंदक c अवमंदन अनुपात ζ = c/c_c देता है, जहाँ क्रांतिक अवमंदन c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n। अल्प-अवमंदित तंत्र (ζ < 1) ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) पर दोलन करता है। समांतर में स्प्रिंग जुड़ते हैं, k = k₁ + k₂; श्रेणी में स्प्रिंग व्युत्क्रम के रूप में जुड़ते हैं, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂।

लघुगणकीय ह्रास

δ = (1/5)·ln(20/1.6) = 0.5051

अवमंदन अनुपात

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.5051/√(39.48 + 0.2552) = 0.08014

उत्तर

ζ = 0.08014

12.यांत्रिक कंपन

उत्तर: f_n = 3.219 Hz

तुल्य दृढ़ता

केवल k₁ और k₂ समांतर में हैं। वह जोड़ी k₃ के श्रेणी में है, इसलिए उन्हें व्युत्क्रम के रूप में मिलाएँ।

k₁₂ = 10 + 80 = 90 kN/m

k_eq = 90·20/(90 + 20) = 16.36 kN/m

प्राकृतिक आवृत्ति

ω_n = √(16364/40) = 20.23 rad/s

f_n = 20.23/(2π) = 3.219 Hz

उत्तर

f_n = 3.219 Hz

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