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सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 12 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

गियर और गियर ट्रेन

परस्पर जुड़े गियर: n₁·N₁ = n₂·N₂
बलाघूर्ण: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
शक्ति: P = T·ω, ω = 2π·n/60
संयुक्त गियर ट्रेन: कुल अनुपात = चरण अनुपातों का गुणनफल

शाफ़्ट का मरोड़

अपरूपण प्रतिबल: τ = T·r/J
ठोस शाफ़्ट: J = πd⁴/32
खोखला शाफ़्ट: J = π(D⁴ − d⁴)/32
मरोड़ कोण: φ = TL/(GJ)
शक्ति: P = T·ω = 2πnT/60

विधि

ध्रुवीय क्षेत्र आघूर्ण ज्ञात करें: ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32।
सतह पर अपरूपण प्रतिबल: τ = T·r/J, जहाँ r बाहरी त्रिज्या है।
ऐंठन कोण: रेडियन में φ = TL/(GJ)।
यदि शक्ति दी गई है, तो पहले P = T·ω, ω = 2πn/60 से बलाघूर्ण ज्ञात करें।

मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

केंद्र: C = (σ_x + σ_y)/2
त्रिज्या: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
मुख्य प्रतिबल: σ_1,2 = C ± R
मुख्य दिशा: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
झुका हुआ तल: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

विधि

मोर वृत्त का केंद्र निकालें: C = (σx + σy)/2।
त्रिज्या निकालें: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)।
मुख्य प्रतिबल C ± R हैं और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।
वृत्त पर कोण अवयव पर कोणों के दोगुने होते हैं: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)।

अक्षीय प्रतिबल और विकृति

अभिलंब प्रतिबल: σ = F/A
विकृति: ε = ΔL/L
हुक का नियम: σ = E·ε
दीर्घीकरण: ΔL = FL/(EA)
तापीय विकृति: ε_T = α·ΔT

स्तंभ बकलिंग

ऑयलर भार: P_cr = π²EI/(KL)²
प्रभावी लंबाई गुणांक: K = 1 पिन–पिन, 0.5 स्थिर–स्थिर, 0.7 स्थिर–पिन, 2 स्थिर–मुक्त
क्रांतिक प्रतिबल: σ_cr = P_cr/A
पतलापन अनुपात: λ = KL/r, r = √(I/A)

यांत्रिक कंपन

प्राकृतिक आवृत्ति: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
स्थैतिक विक्षेप से: ω_n = √(g/δ_st)
क्रांतिक अवमंदन: c_c = 2√(km) = 2mω_n
अवमंदन अनुपात: ζ = c/c_c
अवमंदित आवृत्ति: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
लघुगणकीय ह्रास: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
समांतर में स्प्रिंग: k = k₁ + k₂
श्रेणी में स्प्रिंग: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2अभ्यास प्रश्न

1.गियर और गियर ट्रेनमध्यम

दो समांतर शाफ़्ट 100 mm दूर हैं। इन्हें 2 mm मॉड्यूल और 4 : 1 चाल अपचयन वाले स्पर गियरों की एक जोड़ी से जोड़ना है। गियर में कितने दाँत N₂ होने चाहिए?

a = 100 mmm = 2 mmi = 4

N₂ =

2.गियर और गियर ट्रेनकठिन

एक संयुक्त गियर ट्रेन में, 1440 rpm पर घूम रहे निवेश शाफ़्ट पर लगा गियर A (15 दाँत) गियर B (40 दाँत) को चलाता है। गियर C (60 दाँत) B वाले शाफ़्ट पर ही लगा है और निर्गत शाफ़्ट पर लगे गियर D (80 दाँत) को चलाता है। निर्गत चाल n_out ज्ञात कीजिए।

n_in = 1440 rpmA = 15B = 40C = 60D = 80

n_out = rpm

3.शाफ़्ट का मरोड़मध्यम

पीतल का एक ठोस शाफ़्ट दीवार में जड़ित है और मुक्त सिरे पर बलाघूर्ण T से मरोड़ा जाता है। मुक्त सिरे का मरोड़ कोण φ डिग्री में ज्ञात कीजिए।

T = 400 N·md = 50 mmL = 2 mG = 39 GPa

φ = °

4.शाफ़्ट का मरोड़कठिन

एक खोखले शाफ़्ट को 500 rpm पर 5 kW संचारित करना है। इसका भीतरी व्यास इसके बाहरी व्यास का 0.75 गुना होना है, और अपरूपण प्रतिबल 50 MPa से अधिक नहीं होना चाहिए। सबसे छोटा बाहरी व्यास d_o ज्ञात कीजिए।

P = 5 kWN = 500 rpmd_i/d_o = 0.75τ_allow = 50 MPa

d_o = mm

5.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणमध्यम

एक बिंदु पर σₓ = 60 MPa, σᵧ = −70 MPa और τₓᵧ = −40 MPa है (तनन धनात्मक)। x-अक्ष से उस तल के अभिलंब तक का कोण θ_s, −90° और 90° के बीच, ज्ञात कीजिए जिस पर अपरूपण प्रतिबल का अधिकतम धनात्मक मान +R है (अपरूपण τₓᵧ की ही दिशा में धनात्मक)।

σ_x = 60 MPaσ_y = −70 MPaτ_xy = −40 MPa

θ_s = °

6.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणकठिन

600 mm भीतरी व्यास और 15 mm दीवार मोटाई वाली एक पतली दीवार की बेलनाकार टंकी में 2 MPa गेज दाब पर गैस है। यह बेलन की अक्ष से 60° पर एक सर्पिल सीवन के साथ वेल्ड की गई प्लेट से बनी है। वेल्ड सीवन के आर-पार कार्य करने वाला अभिलंब प्रतिबल σ_n ज्ञात कीजिए।

D = 600 mmt = 15 mmp = 2 MPaα = 60°

σ_n = MPa

7.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिमध्यम

एक छड़ स्टील के खंड (व्यास 20 mm, लंबाई 500 mm, E = 200 GPa) से बनी है, जो पीतल के बने खंड (व्यास 40 mm, लंबाई 200 mm, E = 100 GPa) से सिरे से सिरा जोड़कर जुड़ा है। वह एक सिरे पर स्थिर है और दूसरे पर खींची जाती है। वह अक्षीय भार P ज्ञात कीजिए जो उसे कुल 0.3 mm खींचता है।

खंड 1: स्टील, Ø20 mm, 500 mm, E = 200 GPaखंड 2: पीतल, Ø40 mm, 200 mm, E = 100 GPaδ = 0.3 mm

P = kN

8.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिकठिन

सोपानी छड़ दीवार में जड़ित है और अपने मुक्त सिरे पर भारित है। छड़ में सबसे बड़ा अभिलंब प्रतिबल σ_max ज्ञात कीजिए।

P = 45 kNखंड 1: Ø35 mm, 1.5 m, एल्युमिनियम (E = 70 GPa)खंड 2: Ø12 mm, 2 m, एल्युमिनियम (E = 70 GPa)

σ_max = MPa

9.स्तंभ बकलिंगमध्यम

एल्युमिनियम से बना L लंबाई का एक स्तंभ आधार पर जड़ित और शीर्ष पर मुक्त है। ऑयलर सूत्र से उसका क्रांतिक बकलिंग भार P_cr ज्ञात कीजिए।

L = 1.5 mE = 70 GPa (एल्युमिनियम)d = 60 mm

P_cr = kN

10.स्तंभ बकलिंगकठिन

एल्युमिनियम से बना L लंबाई का एक ठोस गोल स्तंभ आधार पर जड़ित और शीर्ष पर पिन किया हुआ है। इसे बकलिंग के विरुद्ध 3 के सुरक्षा गुणक के साथ 65 kN वहन करना है। न्यूनतम व्यास d ज्ञात कीजिए।

P = 65 kNn = 3L = 3 mE = 70 GPa (एल्युमिनियम)

d = mm

11.यांत्रिक कंपनमध्यम

एक अवमंदित द्रव्यमान–स्प्रिंग तंत्र के मुक्त-कंपन परीक्षण में 40 mm के विस्थापन शिखर के 2 चक्र बाद 18.8 mm का शिखर आता है। अवमंदन अनुपात ζ ज्ञात कीजिए।

x₀ = 40 mmx₂ = 18.8 mmn = 2

ζ =

12.यांत्रिक कंपनकठिन

एक 50 kg द्रव्यमान सिरे-से-सिरे जुड़े (श्रेणी में) दो स्प्रिंगों से लटका है: ऊपरी स्प्रिंग k₁ = 25 kN/m और निचला k₂ = 30 kN/m है। स्प्रिंग तंत्र की तुल्य दृढ़ता k_eq kN/m में ज्ञात कीजिए।

m = 50 kgk₁ = 25 kN/mk₂ = 30 kN/m

k_eq = kN/m

3विलयन

1.गियर और गियर ट्रेन

उत्तर: N₂ = 80

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

दाँतों की कुल संख्या

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·100/2 = 100

अनुपात से बाँटें

N₁ = 100/(1 + 4) = 20

N₂ = 4·20 = 80

उत्तर

N₂ = 80

2.गियर और गियर ट्रेन

उत्तर: n_out = 405 rpm

गियर ट्रेन: परस्पर जुड़े गियरों के दाँतों पर चाल समान होती है, इसलिए n₁·N₁ = n₂·N₂: कम दाँतों वाला गियर तेज़ घूमता है। एक ही शाफ़्ट पर लगे गियर समान चाल से घूमते हैं। शक्ति आगे पहुँचती है (हानियों को घटाकर), इसलिए चाल घटने पर बलाघूर्ण बढ़ता है: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, और P = T·ω, जहाँ ω = 2π·n/60।

पहला चरण

n_B = 1440·15/40 = 540 rpm = n_C

दूसरा चरण

n_out = 540·60/80 = 405 rpm

उत्तर

n_out = 405 rpm

कुल अनुपात = 3.556 : 1

3.शाफ़्ट का मरोड़

उत्तर: φ = 1.915 °

वृत्ताकार शाफ़्ट का मरोड़: अपरूपण प्रतिबल केंद्र पर शून्य से सतह पर τ_max = T·r/J तक रैखिक रूप से बढ़ता है, ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32 और खोखले के लिए J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32। मरोड़ कोण रेडियन में φ = TL/(GJ) है। शक्ति और बलाघूर्ण P = T·ω से जुड़े हैं।

ध्रुवीय जड़त्व आघूर्ण

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

मरोड़ कोण

φ = TL/(GJ) = 400·1000·2000/(39000·613592) = 0.03343 rad

φ = 0.03343·180/π = 1.915°

उत्तर

φ = 1.915°

4.शाफ़्ट का मरोड़

उत्तर: d_o = 24.23 mm

बलाघूर्ण

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52.36 rad/s

T = P/ω = 5000/52.36 = 95.49 N·m

स्वीकार्य प्रतिबल से बाहरी व्यास

T = 95.49 N·m = 95493 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0.75⁴ = 0.6836

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·95493/(π·50·0.6836)) = 24.23 mm

d_i = 0.75·24.23 = 18.17 mm

उत्तर

d_o = 24.23 mm

ठोस शाफ़्ट को d = 21.35 mm चाहिए होता; खोखला थोड़ा बड़ा है पर बहुत हल्का है।

5.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

उत्तर: θ_s = −60.8 °

समतल प्रतिबल रूपांतरण: θ से घुमाए गए तल पर σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ। मोर वृत्त सभी तलों को एक साथ दिखाता है: उसका केंद्र C = (σₓ + σᵧ)/2 पर और त्रिज्या R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) है। मुख्य प्रतिबल C ± R हैं, और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।

वृत्त पर कोण

मोर वृत्त पर शीर्ष बिंदु (+R) मुख्य बिंदु σ₁ से 90° पर है; अवयव पर यह 45° है।

cos 2θ_s = −40/76.32 = −0.5241, sin 2θ_s = −65/76.32 = −0.8517

2θ_s = atan2(−65, −40) = −121.6°

अवयव पर कोण

θ_s = −60.8°

जाँच: θ_s − θ_p = −60.8 − (−15.8) = −45°

उत्तर

θ_s = −60.8°

धनात्मक कोण वामावर्त होते हैं।

6.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

उत्तर: σ_n = 25 MPa

दीवार के प्रतिबल

r = 600/2 = 300 mm

σ_h = pr/t = 2·300/15 = 40 MPa

σ_a = pr/(2t) = 20 MPa

सीवन पर रूपांतरित करें

x को अक्ष के साथ (σ_a) और y को परिधि के साथ (σ_h) लें। सीवन का अभिलंब अक्ष से 90° − α बनाता है।

σ_n = 20·sin²60° + 40·cos²60° = 25 MPa

उत्तर

σ_n = 25 MPa

7.अक्षीय प्रतिबल और विकृति

उत्तर: P = 31.42 kN

दो पदार्थ: श्रेणी में (एक के बाद एक) हर खंड समान बल वहन करता है और विस्तार जुड़ते हैं: δ = P·Σ L/(E·A)। समानांतर में (दृढ़ प्लेटों के बीच अगल-बगल) दोनों भाग समान मात्रा से छोटे होते हैं, इसलिए उनके विकृति समान हैं: अधिक कठोर भाग बड़ा हिस्सा लेता है, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, और σ_i = E_i·ε। दो दृढ़ दीवारों के बीच जकड़ी छड़, जिसके जोड़ पर भार लगा है, स्थैतिक रूप से अनिर्धार्य है: दोनों खंड भार को अपनी कठोरता k = EA/L के अनुपात में बाँटते हैं।

क्षेत्रफल

A₁ = 314.2 mm², A₂ = 1257 mm²

नम्यताएँ

L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·314.2) = 7.958 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 200/(100000·1257) = 1.592 × 10⁻⁶ mm/N

भार

P = 0.3/9.549 × 10⁻⁶ = 31416 N = 31.42 kN

उत्तर

P = 31.42 kN

8.अक्षीय प्रतिबल और विकृति

उत्तर: σ_max = 397.9 MPa

अक्षीय भारित अवयव: हर प्रिज़्मीय खंड δ = PL/(AE) का पालन करता है। श्रेणी में अवयवों के दीर्घीकरण जुड़ते हैं।

दोनों खंडों में समान बल

मुक्त सिरा P वहन करता है, इसलिए छड़ का हर खंड वही अक्षीय बल P वहन करता है। केवल क्षेत्रफल और पदार्थ बदलते हैं।

A₁ = π·35²/4 = 962.1 mm², A₂ = π·12²/4 = 113.1 mm²

σ₁ = 46.77 MPa

σ₂ = 397.9 MPa

सबसे बड़ा प्रतिबल

पतले खंड का क्षेत्रफल छोटा है, इसलिए उसमें प्रतिबल अधिक है।

σ_max = 397.9 MPa

उत्तर

σ_max = 397.9 MPa

9.स्तंभ बकलिंग

उत्तर: P_cr = 48.83 kN

ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ P_cr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।

न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण

गोल खंड का I हर अक्ष के परितः समान होता है।

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

प्रभावी लंबाई

KL = 2·1500 = 3000 mm

क्रांतिक भार

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·636173/3000² = 48835 N = 48.83 kN

उत्तर

P_cr = 48.83 kN

10.स्तंभ बकलिंग

उत्तर: d = 70.96 mm

आवश्यक क्रांतिक भार

P_cr = n·P = 3·65000 = 195000 N

KL = 0.7·3000 = 2100 mm

व्यास के लिए हल करें

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·195000·2100²/(π³·70000))^(1/4) = 70.96 mm

उत्तर

d = 70.96 mm

जाँच: तनुता KL/r = 118.4 है, इसलिए स्तंभ पतला है और ऑयलर लागू होता है।

11.यांत्रिक कंपन

उत्तर: ζ = 0.05997

द्रव्यमान–स्प्रिंग तंत्र का मुक्त कंपन: अनवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति rad/s में ω_n = √(k/m) है, और Hz में f_n = ω_n/(2π)। एक श्यान अवमंदक c अवमंदन अनुपात ζ = c/c_c देता है, जहाँ क्रांतिक अवमंदन c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n। अल्प-अवमंदित तंत्र (ζ < 1) ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) पर दोलन करता है। समांतर में स्प्रिंग जुड़ते हैं, k = k₁ + k₂; श्रेणी में स्प्रिंग व्युत्क्रम के रूप में जुड़ते हैं, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂।

लघुगणकीय ह्रास

δ = (1/2)·ln(40/18.8) = 0.3775

अवमंदन अनुपात

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.3775/√(39.48 + 0.1425) = 0.05997

उत्तर

ζ = 0.05997

12.यांत्रिक कंपन

उत्तर: k_eq = 13.64 kN/m

तुल्य दृढ़ता

श्रेणी में स्प्रिंग समान बल साझा करते हैं और उनके विक्षेप जुड़ते हैं, इसलिए वे व्युत्क्रम के रूप में मिलते हैं: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂।

1/k_eq = 1/25 + 1/30 → k_eq = 25·30/(25 + 30) = 13.64 kN/m

उत्तर

k_eq = 13.64 kN/m

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