गियर और गियर ट्रेन
- परस्पर जुड़े गियर
- n1·N1 = n2·N2
- बलाघूर्ण
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- शक्ति
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- संयुक्त गियर ट्रेन
- कुल अनुपात = चरण अनुपातों का गुणनफल
मशीन डिज़ाइन: क्रैम पैक
सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 12 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।
1सूत्र और विधियाँ
शाफ़्ट का मरोड़
- अपरूपण प्रतिबल
- τ = T·r/J
- ठोस शाफ़्ट
- J = πd⁴/32
- खोखला शाफ़्ट
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- मरोड़ कोण
- φ = TL/(GJ)
- शक्ति
- P = T·ω = 2πnT/60
विधि
- ध्रुवीय क्षेत्र आघूर्ण ज्ञात करें: ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32।
- सतह पर अपरूपण प्रतिबल: τ = T·r/J, जहाँ r बाहरी त्रिज्या है।
- ऐंठन कोण: रेडियन में φ = TL/(GJ)।
- यदि शक्ति दी गई है, तो पहले P = T·ω, ω = 2πn/60 से बलाघूर्ण ज्ञात करें।
मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण
- केंद्र
- C = (σx + σy)/2
- त्रिज्या
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- मुख्य प्रतिबल
- σ1,2 = C ± R
- मुख्य दिशा
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- झुका हुआ तल
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
विधि
- मोर वृत्त का केंद्र निकालें: C = (σx + σy)/2।
- त्रिज्या निकालें: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)।
- मुख्य प्रतिबल C ± R हैं और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।
- वृत्त पर कोण अवयव पर कोणों के दोगुने होते हैं: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)।
अक्षीय प्रतिबल और विकृति
- अभिलंब प्रतिबल
- σ = F/A
- विकृति
- ε = ΔL/L
- हुक का नियम
- σ = E·ε
- दीर्घीकरण
- ΔL = FL/(EA)
- तापीय विकृति
- εT = α·ΔT
स्तंभ बकलिंग
- ऑयलर भार
- Pcr = π²EI/(KL)²
- प्रभावी लंबाई गुणांक
- K = 1 पिन–पिन, 0.5 स्थिर–स्थिर, 0.7 स्थिर–पिन, 2 स्थिर–मुक्त
- क्रांतिक प्रतिबल
- σcr = Pcr/A
- पतलापन अनुपात
- λ = KL/r, r = √(I/A)
यांत्रिक कंपन
- प्राकृतिक आवृत्ति
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- स्थैतिक विक्षेप से
- ωn = √(g/δst)
- क्रांतिक अवमंदन
- cc = 2√(km) = 2mωn
- अवमंदन अनुपात
- ζ = c/cc
- अवमंदित आवृत्ति
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- लघुगणकीय ह्रास
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- समांतर में स्प्रिंग
- k = k1 + k2
- श्रेणी में स्प्रिंग
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2अभ्यास प्रश्न
1.गियर और गियर ट्रेनमध्यम
1500 rpm पर चल रही एक 15 kW मोटर 45 दाँतों वाले पिनियन को चलाती है, जो 80 दाँतों वाले गियर से जुड़ा है। हानियों को नगण्य मानें। मोटर शाफ़्ट पर बलाघूर्ण T1 ज्ञात कीजिए।
P = 15 kWn1 = 1500 rpmN1 = 45N2 = 80η = 100%
T1 = N·m
2.गियर और गियर ट्रेनकठिन
एक ग्रहीय गियर सेट में सन गियर के 20 दाँत हैं और हर प्लैनेट गियर के 12 दाँत हैं। प्लैनेट कैरियर स्थिर रखा गया है और सन को 1200 rpm पर चलाया जाता है। रिंग गियर की चाल nr (परिमाण) ज्ञात कीजिए।
Ns = 20Np = 12ns = 1200 rpm
nr = rpm
3.शाफ़्ट का मरोड़मध्यम
एक खोखला एल्युमिनियम शाफ़्ट (बाहरी व्यास 40 mm, भीतरी व्यास 20 mm, लंबाई 1 m) एक सिरे पर स्थिर है और दूसरे सिरे पर 200 N·m के बलाघूर्ण से मरोड़ा जाता है। मरोड़ कोण φ डिग्री में ज्ञात कीजिए।
T = 200 N·mdo = 40 mmdi = 20 mmL = 1 mG = 26 GPa
φ = °
4.शाफ़्ट का मरोड़कठिन
60 mm व्यास वाला एक ठोस स्टील शाफ़्ट A पर स्थिर है। A से 2.5 m पर B पर 400 N·m का बलाघूर्ण कार्य करता है, और 1.2 m और आगे मुक्त सिरे C पर उसी दिशा में 2000 N·m का बलाघूर्ण कार्य करता है। शाफ़्ट में अधिकतम अपरूपण प्रतिबल τmax ज्ञात कीजिए।
d = 60 mmTB = 400 N·mTC = 2000 N·mAB = 2.5 mBC = 1.2 m
τmax = MPa
5.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणमध्यम
किसी भारित पुर्ज़े के एक बिंदु पर σₓ = −20 MPa, σᵧ = 120 MPa और τₓᵧ = −60 MPa है (तनन धनात्मक)। x-अक्ष से सबसे बड़े मुख्य प्रतिबल की दिशा तक का कोण θp, −90° और 90° के बीच, ज्ञात कीजिए।
σx = −20 MPaσy = 120 MPaτxy = −60 MPa
θp = °
6.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणकठिन
किसी भारित पुर्ज़े के एक बिंदु पर σₓ = 110 MPa, σᵧ = 50 MPa और τₓᵧ = −20 MPa है (तनन धनात्मक)। उस तल पर अभिलंब प्रतिबल σθ ज्ञात कीजिए जिसका अभिलंब x-अक्ष से 25° वामावर्त घुमाया गया है।
σx = 110 MPaσy = 50 MPaτxy = −20 MPaθ = 25°
σθ = MPa
7.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिमध्यम
ताँबा छड़ में अक्षीय विकृति ε माइक्रोस्ट्रेन (µε = 10⁻⁶) में ज्ञात कीजिए।
P = 60 kNd = 30 mmL = 2.5 mE = 117 GPa
ε = µε
8.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिकठिन
सोपानी छड़ दीवार में जड़ित है और अपने मुक्त सिरे पर भारित है। कुल दीर्घीकरण δ ज्ञात कीजिए।
P = 65 kNखंड 1: Ø30 mm, 1 m, ताँबा (E = 117 GPa)खंड 2: Ø12 mm, 2 m, ताँबा (E = 117 GPa)
δ = mm
9.स्तंभ बकलिंगमध्यम
एल्युमिनियम से बना L लंबाई का एक स्तंभ आधार पर जड़ित और शीर्ष पर मुक्त है। ऑयलर सूत्र से उसका क्रांतिक बकलिंग भार Pcr ज्ञात कीजिए।
L = 2 mE = 70 GPa (एल्युमिनियम)b × h = 30 × 50 mm
Pcr = kN
10.स्तंभ बकलिंगकठिन
स्टील से बना L लंबाई का एक स्तंभ दोनों सिरों पर जड़ित है। उसकी तनुता और ऑयलर सूत्र से क्रांतिक बकलिंग प्रतिबल σcr ज्ञात कीजिए।
L = 2.5 mE = 200 GPa (स्टील)d = 25 mm
σcr = MPa
11.यांत्रिक कंपनमध्यम
50 kN/m दृढ़ता वाले स्प्रिंग पर एक 100 kg द्रव्यमान के साथ एक श्यान अवमंदक है जो 0.35 का अवमंदन अनुपात देता है। इसके मुक्त कंपन की अवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति fd Hz में ज्ञात कीजिए।
m = 100 kgk = 50 kN/mζ = 0.35
fd = Hz
12.यांत्रिक कंपनकठिन
एक 20 kg द्रव्यमान अगल-बगल (समांतर में) दो स्प्रिंगों से लटका है, जिनकी दृढ़ताएँ k₁ = 50 kN/m और k₂ = 100 kN/m हैं। द्रव्यमान समतल रहता है। अवमंदन और स्प्रिंगों के द्रव्यमान की उपेक्षा करें। ऊर्ध्वाधर कंपन की प्राकृतिक आवृत्ति fn Hz में ज्ञात कीजिए।
m = 20 kgk1 = 50 kN/mk2 = 100 kN/m
fn = Hz
3विलयन
1.गियर और गियर ट्रेन
उत्तर: T1 = 95.49 N·m
गियर ट्रेन: परस्पर जुड़े गियरों के दाँतों पर चाल समान होती है, इसलिए n₁·N₁ = n₂·N₂: कम दाँतों वाला गियर तेज़ घूमता है। एक ही शाफ़्ट पर लगे गियर समान चाल से घूमते हैं। शक्ति आगे पहुँचती है (हानियों को घटाकर), इसलिए चाल घटने पर बलाघूर्ण बढ़ता है: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, और P = T·ω, जहाँ ω = 2π·n/60।
मोटर बलाघूर्ण
ω₁ = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s
T1 = P/ω₁ = 15000/157.1 = 95.49 N·m
उत्तर
T1 = 95.49 N·m
2.गियर और गियर ट्रेन
उत्तर: nr = 545.5 rpm
ग्रहीय गियर सेट: सन, रिंग और कैरियर की चालें विलिस समीकरण (ns − nc)/(nr − nc) = −Nr/Ns से जुड़ी हैं: कैरियर से देखने पर सेट एक साधारण गियर ट्रेन है जिसमें प्लैनेट आइडलर हैं। एक सदस्य को स्थिर रखने से सेट एकल-अनुपात अपचायक बन जाता है।
रिंग गियर के दाँत
Nr = Ns + 2·Np = 20 + 2·12 = 44
कैरियर स्थिर होने पर विलिस समीकरण
nc = 0 होने पर सन प्लैनेटों के माध्यम से रिंग को चलाता है, जो आइडलर की तरह कार्य करते हैं।
nr = −ns·Ns/Nr = −1200·20/44 = −545.5 rpm
|nr| = 545.5 rpm
उत्तर
nr = 545.5 rpm
रिंग सन की विपरीत दिशा में घूमता है।
3.शाफ़्ट का मरोड़
उत्तर: φ = 1.871 °
वृत्ताकार शाफ़्ट का मरोड़: अपरूपण प्रतिबल केंद्र पर शून्य से सतह पर τmax = T·r/J तक रैखिक रूप से बढ़ता है, ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32 और खोखले के लिए J = π(do⁴ − di⁴)/32। मरोड़ कोण रेडियन में φ = TL/(GJ) है। शक्ति और बलाघूर्ण P = T·ω से जुड़े हैं।
ध्रुवीय जड़त्व आघूर्ण
J = π(40⁴ − 20⁴)/32 = 235619 mm⁴
मरोड़ कोण
T = 200 N·m = 200000 N·mm
L = 1 m = 1000 mm
G = 26 GPa = 26000 MPa
φ = TL/(GJ) = 200000·1000/(26000·235619) = 0.03265 rad
φ = 0.03265·180/π = 1.871°
उत्तर
φ = 1.871°
4.शाफ़्ट का मरोड़
उत्तर: τmax = 56.59 MPa
वृत्ताकार शाफ़्ट का मरोड़: अपरूपण प्रतिबल केंद्र पर शून्य से सतह पर τmax = T·r/J तक रैखिक रूप से बढ़ता है, ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32 और खोखले के लिए J = π(do⁴ − di⁴)/32। मरोड़ कोण रेडियन में φ = TL/(GJ) है। शक्ति और बलाघूर्ण P = T·ω से जुड़े हैं।
आंतरिक बलाघूर्ण
TC की दिशा धनात्मक ली गई है।
TBC = TC = 2000 N·m
TAB = TC + TB = 2000 + 400 = 2400 N·m
अधिकतम अपरूपण प्रतिबल
सबसे बड़े आंतरिक बलाघूर्ण वाले खंड में प्रतिबल सबसे बड़ा है (समान व्यास)।
|T|max = 2400 N·m
τmax = 16·2.4 × 10⁶/(π·60³) = 56.59 MPa
उत्तर
τmax = 56.59 MPa
5.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण
उत्तर: θp = −69.7 °
समतल प्रतिबल रूपांतरण: θ से घुमाए गए तल पर σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ। मोर वृत्त सभी तलों को एक साथ दिखाता है: उसका केंद्र C = (σₓ + σᵧ)/2 पर और त्रिज्या R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) है। मुख्य प्रतिबल C ± R हैं, और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।
वृत्त पर कोण
मोर वृत्त पर बिंदु x, σ-अक्ष से 2θp कोण पर होता है; चतुर्थांश σₓ − σᵧ और τₓᵧ के चिह्नों से तय होता है।
2θp = atan2(2·−60, −20 − 120) = −139.4°
अवयव पर कोण
θp = −69.7°
उत्तर
θp = −69.7°
धनात्मक कोण वामावर्त होते हैं।
6.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण
उत्तर: σθ = 83.96 MPa
समतल प्रतिबल रूपांतरण: θ से घुमाए गए तल पर σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ। मोर वृत्त सभी तलों को एक साथ दिखाता है: उसका केंद्र C = (σₓ + σᵧ)/2 पर और त्रिज्या R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) है। मुख्य प्रतिबल C ± R हैं, और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।
रूपांतरण समीकरण
σθ = 80 + 30·0.6428 + −20·0.766 = 83.96 MPa
उत्तर
σθ = 83.96 MPa
7.अक्षीय प्रतिबल और विकृति
उत्तर: ε = 725.5 µε
हुक का नियम: प्रत्यास्थ सीमा में σ = E·ε। σ = P/A और ε = δ/L के साथ मिलाने पर δ = PL/(AE) मिलता है।
प्रतिबल
A = π·30²/4 = 706.9 mm²
σ = P/A = 60·1000/706.9 = 84.88 MPa
विकृति (हुक का नियम)
E for ताँबा = 117 GPa = 117000 MPa.
ε = σ/E = 84.88/117000 = 0.0007255 = 725.5 µε
उत्तर
ε = 725.5 µε
8.अक्षीय प्रतिबल और विकृति
उत्तर: δ = 10.61 mm
अक्षीय भारित अवयव: हर प्रिज़्मीय खंड δ = PL/(AE) का पालन करता है। श्रेणी में अवयवों के दीर्घीकरण जुड़ते हैं।
दोनों खंडों में समान बल
मुक्त सिरा P वहन करता है, इसलिए छड़ का हर खंड वही अक्षीय बल P वहन करता है। केवल क्षेत्रफल और पदार्थ बदलते हैं।
A1 = π·30²/4 = 706.9 mm², A2 = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ1 = 91.96 MPa
σ2 = 574.7 MPa
खंडों का दीर्घीकरण जोड़ें
δ1 = σ1L1/E1 = 91.96·1000/117000 = 0.786 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 574.7·2000/117000 = 9.824 mm
δ = δ1 + δ2 = 10.61 mm
उत्तर
δ = 10.61 mm
9.स्तंभ बकलिंग
उत्तर: Pcr = 4.858 kN
ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ Pcr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।
न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण
आयत अपनी कमज़ोर अक्ष के परितः, छोटी विमा के घन के साथ मुड़ता है।
Imin = h·b³/12 = 50·30³/12 = 112500 mm⁴
प्रभावी लंबाई
KL = 2·2000 = 4000 mm
क्रांतिक भार
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·112500/4000² = 4858 N = 4.858 kN
उत्तर
Pcr = 4.858 kN
10.स्तंभ बकलिंग
उत्तर: σcr = 49.35 MPa
ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ Pcr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।
न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण
गोल खंड का I हर अक्ष के परितः समान होता है।
I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴
परिभ्रमण त्रिज्या और तनुता
A = 490.9 mm²
r = √(I/A) = √(19175/490.9) = 6.25 mm
KL = 0.5·2500 = 1250 mm
KL/r = 1250/6.25 = 200
क्रांतिक प्रतिबल
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/200² = 49.35 MPa
उत्तर
σcr = 49.35 MPa
11.यांत्रिक कंपन
उत्तर: fd = 3.334 Hz
द्रव्यमान–स्प्रिंग तंत्र का मुक्त कंपन: अनवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति rad/s में ωn = √(k/m) है, और Hz में fn = ωn/(2π)। एक श्यान अवमंदक c अवमंदन अनुपात ζ = c/cc देता है, जहाँ क्रांतिक अवमंदन cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn। अल्प-अवमंदित तंत्र (ζ < 1) ωd = ωn·√(1 − ζ²) पर दोलन करता है। समांतर में स्प्रिंग जुड़ते हैं, k = k₁ + k₂; श्रेणी में स्प्रिंग व्युत्क्रम के रूप में जुड़ते हैं, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂।
अनवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति
ωn = √(50000/100) = 22.36 rad/s
fn = 22.36/(2π) = 3.559 Hz
अवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति
fd = fn·√(1 − ζ²) = 3.559·√(1 − 0.35²) = 3.334 Hz
उत्तर
fd = 3.334 Hz
12.यांत्रिक कंपन
उत्तर: fn = 13.78 Hz
द्रव्यमान–स्प्रिंग तंत्र का मुक्त कंपन: अनवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति rad/s में ωn = √(k/m) है, और Hz में fn = ωn/(2π)। एक श्यान अवमंदक c अवमंदन अनुपात ζ = c/cc देता है, जहाँ क्रांतिक अवमंदन cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn। अल्प-अवमंदित तंत्र (ζ < 1) ωd = ωn·√(1 − ζ²) पर दोलन करता है। समांतर में स्प्रिंग जुड़ते हैं, k = k₁ + k₂; श्रेणी में स्प्रिंग व्युत्क्रम के रूप में जुड़ते हैं, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂।
तुल्य दृढ़ता
अगल-बगल के स्प्रिंग विक्षेप साझा करते हैं और उनके बल जुड़ते हैं, इसलिए उनकी दृढ़ताएँ सीधे जुड़ती हैं: k = k1 + k2।
keq = 50 + 100 = 150 kN/m
प्राकृतिक आवृत्ति
ωn = √(150000/20) = 86.6 rad/s
fn = 86.6/(2π) = 13.78 Hz
उत्तर
fn = 13.78 Hz
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