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सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 12 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

गियर और गियर ट्रेन

परस्पर जुड़े गियर: n₁·N₁ = n₂·N₂
बलाघूर्ण: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
शक्ति: P = T·ω, ω = 2π·n/60
संयुक्त गियर ट्रेन: कुल अनुपात = चरण अनुपातों का गुणनफल

शाफ़्ट का मरोड़

अपरूपण प्रतिबल: τ = T·r/J
ठोस शाफ़्ट: J = πd⁴/32
खोखला शाफ़्ट: J = π(D⁴ − d⁴)/32
मरोड़ कोण: φ = TL/(GJ)
शक्ति: P = T·ω = 2πnT/60

विधि

ध्रुवीय क्षेत्र आघूर्ण ज्ञात करें: ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32।
सतह पर अपरूपण प्रतिबल: τ = T·r/J, जहाँ r बाहरी त्रिज्या है।
ऐंठन कोण: रेडियन में φ = TL/(GJ)।
यदि शक्ति दी गई है, तो पहले P = T·ω, ω = 2πn/60 से बलाघूर्ण ज्ञात करें।

मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

केंद्र: C = (σ_x + σ_y)/2
त्रिज्या: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
मुख्य प्रतिबल: σ_1,2 = C ± R
मुख्य दिशा: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
झुका हुआ तल: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

विधि

मोर वृत्त का केंद्र निकालें: C = (σx + σy)/2।
त्रिज्या निकालें: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)।
मुख्य प्रतिबल C ± R हैं और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।
वृत्त पर कोण अवयव पर कोणों के दोगुने होते हैं: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)।

अक्षीय प्रतिबल और विकृति

अभिलंब प्रतिबल: σ = F/A
विकृति: ε = ΔL/L
हुक का नियम: σ = E·ε
दीर्घीकरण: ΔL = FL/(EA)
तापीय विकृति: ε_T = α·ΔT

स्तंभ बकलिंग

ऑयलर भार: P_cr = π²EI/(KL)²
प्रभावी लंबाई गुणांक: K = 1 पिन–पिन, 0.5 स्थिर–स्थिर, 0.7 स्थिर–पिन, 2 स्थिर–मुक्त
क्रांतिक प्रतिबल: σ_cr = P_cr/A
पतलापन अनुपात: λ = KL/r, r = √(I/A)

यांत्रिक कंपन

प्राकृतिक आवृत्ति: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
स्थैतिक विक्षेप से: ω_n = √(g/δ_st)
क्रांतिक अवमंदन: c_c = 2√(km) = 2mω_n
अवमंदन अनुपात: ζ = c/c_c
अवमंदित आवृत्ति: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
लघुगणकीय ह्रास: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
समांतर में स्प्रिंग: k = k₁ + k₂
श्रेणी में स्प्रिंग: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2अभ्यास प्रश्न

1.गियर और गियर ट्रेनमध्यम

दो समांतर शाफ़्ट 121.5 mm दूर हैं। इन्हें 3 mm मॉड्यूल और 3.5 : 1 चाल अपचयन वाले स्पर गियरों की एक जोड़ी से जोड़ना है। गियर में कितने दाँत N₂ होने चाहिए?

a = 121.5 mmm = 3 mmi = 3.5

N₂ =

2.गियर और गियर ट्रेनकठिन

एक ग्रहीय गियर सेट में सन गियर के 20 दाँत हैं और हर प्लैनेट गियर के 20 दाँत हैं। रिंग गियर स्थिर रखा गया है और सन को 900 rpm पर चलाया जाता है। प्लैनेट कैरियर की चाल n_c ज्ञात कीजिए।

N_s = 20N_p = 20n_s = 900 rpm

n_c = rpm

3.शाफ़्ट का मरोड़मध्यम

2 m लंबा एक ठोस एल्युमिनियम शाफ़्ट 500 N·m का बलाघूर्ण वहन करता है। उसके सिरों के बीच मरोड़ कोण 2° से अधिक नहीं होना चाहिए। इस सीमा को पूरा करने वाला सबसे छोटा व्यास d ज्ञात कीजिए।

T = 500 N·mL = 2 mG = 26 GPaφ_allow = 2°

d = mm

4.शाफ़्ट का मरोड़कठिन

60 mm व्यास वाला एक ठोस पीतल शाफ़्ट दोनों सिरों A और B पर दृढ़ दीवारों में स्थिर है। A से 1 m और B से 1.2 m पर C पर 400 N·m का बलाघूर्ण लगाया जाता है। खंड C का घूर्णन कोण φ_C डिग्री में ज्ञात कीजिए।

d = 60 mmT₀ = 400 N·ma = 1 mb = 1.2 mG = 39 GPa

φ_C = °

5.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणमध्यम

एक बिंदु पर σₓ = 140 MPa, σᵧ = 40 MPa और τₓᵧ = 60 MPa है (तनन धनात्मक)। अवयव को 15° वामावर्त घुमाया जाता है। घुमाए गए अवयव के उन फलकों पर अभिलंब प्रतिबल σ_y′ ज्ञात कीजिए जो घुमाई गई y′-अक्ष के लंबवत हैं।

σ_x = 140 MPaσ_y = 40 MPaτ_xy = 60 MPaθ = 15°

σ_y′ = MPa

6.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणकठिन

40 mm व्यास वाला एक ठोस शाफ़्ट 1500 N·m के बलाघूर्ण के साथ 1000 N·m का बंकन आघूर्ण वहन करता है। ऊपरी सतह पर, जहाँ बंकन प्रतिबल तनन और सबसे बड़ा है, सबसे बड़ा मुख्य प्रतिबल σ₁ ज्ञात कीजिए।

d = 40 mmM = 1000 N·mT = 1500 N·m

σ₁ = MPa

7.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिमध्यम

अक्षीय भार के अंतर्गत पीतल छड़ का दीर्घीकरण δ ज्ञात कीजिए।

P = 90 kNd = 20 mmL = 1.5 mE = 100 GPa

δ = mm

8.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिकठिन

एक स्टील छड़ (व्यास 30 mm, E = 200 GPa, अनुमेय प्रतिबल 160 MPa) काँसा की बनी नलिका (बाहरी व्यास 80 mm, भीतरी व्यास 60 mm, E = 110 GPa, अनुमेय प्रतिबल 70 MPa) के भीतर है। दोनों को दृढ़ प्लेटों के बीच साथ-साथ संपीडित किया जाता है। सबसे बड़ा भार P_max ज्ञात कीजिए।

छड़: Ø30 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 160 MPaनलिका: Ø80/Ø60 mm, E = 110 GPa, σ_allow = 70 MPa

P_max = kN

9.स्तंभ बकलिंगमध्यम

स्टील से बना L लंबाई का एक स्तंभ दोनों सिरों पर पिन किया हुआ है। ऑयलर सूत्र से उसका क्रांतिक बकलिंग भार P_cr ज्ञात कीजिए।

L = 4 mE = 200 GPa (स्टील)d = 30 mm

P_cr = kN

10.स्तंभ बकलिंगकठिन

एल्युमिनियम से बना L लंबाई का एक ठोस गोल स्तंभ दोनों सिरों पर पिन किया हुआ है। इसे बकलिंग के विरुद्ध 3 के सुरक्षा गुणक के साथ 115 kN वहन करना है। न्यूनतम व्यास d ज्ञात कीजिए।

P = 115 kNn = 3L = 2.5 mE = 70 GPa (एल्युमिनियम)

d = mm

11.यांत्रिक कंपनमध्यम

150 kN/m दृढ़ता वाले स्प्रिंग पर एक 250 kg द्रव्यमान के साथ एक श्यान अवमंदक है जो 0.4 का अवमंदन अनुपात देता है। इसके मुक्त कंपन की अवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति f_d Hz में ज्ञात कीजिए।

m = 250 kgk = 150 kN/mζ = 0.4

f_d = Hz

12.यांत्रिक कंपनकठिन

एक 50 kg द्रव्यमान स्प्रिंग k₃ = 50 kN/m से लटका है। k₃ का ऊपरी सिरा एक दृढ़ छड़ से जुड़ा है जो अगल-बगल दो स्प्रिंगों k₁ = 80 kN/m और k₂ = 5 kN/m से लटकी है; छड़ समतल रहती है। अवमंदन तथा स्प्रिंगों और छड़ के द्रव्यमान की उपेक्षा करें। ऊर्ध्वाधर कंपन की प्राकृतिक आवृत्ति f_n Hz में ज्ञात कीजिए।

m = 50 kgk₁ = 80 kN/mk₂ = 5 kN/mk₃ = 50 kN/m

f_n = Hz

3विलयन

1.गियर और गियर ट्रेन

उत्तर: N₂ = 63

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

दाँतों की कुल संख्या

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·121.5/3 = 81

अनुपात से बाँटें

N₁ = 81/(1 + 3.5) = 18

N₂ = 3.5·18 = 63

उत्तर

N₂ = 63

2.गियर और गियर ट्रेन

उत्तर: n_c = 225 rpm

ग्रहीय गियर सेट: सन, रिंग और कैरियर की चालें विलिस समीकरण (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s से जुड़ी हैं: कैरियर से देखने पर सेट एक साधारण गियर ट्रेन है जिसमें प्लैनेट आइडलर हैं। एक सदस्य को स्थिर रखने से सेट एकल-अनुपात अपचायक बन जाता है।

रिंग गियर के दाँत

N_r = N_s + 2·N_p = 20 + 2·20 = 60

रिंग स्थिर होने पर विलिस समीकरण

n_r = 0 रखें और कैरियर की चाल के लिए हल करें।

(900 − n_c)/(0 − n_c) = −60/20

n_c = n_s·N_s/(N_s + N_r) = 900·20/80 = 225 rpm

उत्तर

n_c = 225 rpm

कैरियर सन की ही दिशा में घूमता है।

3.शाफ़्ट का मरोड़

उत्तर: d = 57.88 mm

आवश्यक ध्रुवीय आघूर्ण

T = 500 N·m = 500000 N·mm

L = 2 m = 2000 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = 2·π/180 = 0.03491 rad

J = TL/(Gφ) = 500000·2000/(26000·0.03491) = 1.102 × 10⁶ mm⁴

व्यास

d = (32J/π)^1/4 = 57.88 mm

उत्तर

d = 57.88 mm

व्यवहार में आप अगले मानक आकार तक पूर्णांकित करेंगे।

4.शाफ़्ट का मरोड़

उत्तर: φ_C = 0.2519 °

वृत्ताकार शाफ़्ट का मरोड़: अपरूपण प्रतिबल केंद्र पर शून्य से सतह पर τ_max = T·r/J तक रैखिक रूप से बढ़ता है, ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32 और खोखले के लिए J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32। मरोड़ कोण रेडियन में φ = TL/(GJ) है। शक्ति और बलाघूर्ण P = T·ω से जुड़े हैं। जब दोनों सिरे स्थिर हों, तो स्थैतिकी अकेले केवल T_A + T_B = T₀ देती है; दूसरा समीकरण संगतता है (भारित खंड पर दोनों भागों का समान मरोड़)।

संतुलन और संगतता

T_A + T_B = 400

T_A·a = T_B·b

T_A = 400·1.2/2.2 = 218.2 N·m

T_B = 400·1/2.2 = 181.8 N·m

C का घूर्णन

खंड AC का उपयोग करें: यह A पर स्थिर है और T_A वहन करता है।

J = π·60⁴/32 = 1.272 × 10⁶ mm⁴

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ_C = T_A·a/(GJ) = 218182·1000/(39000·1.272 × 10⁶) = 0.004397 rad = 0.2519°

उत्तर

φ_C = 0.2519°

5.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

उत्तर: σ_y′ = 16.7 MPa

समतल प्रतिबल रूपांतरण: θ से घुमाए गए तल पर σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ। मोर वृत्त सभी तलों को एक साथ दिखाता है: उसका केंद्र C = (σₓ + σᵧ)/2 पर और त्रिज्या R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) है। मुख्य प्रतिबल C ± R हैं, और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।

y′ फलक के लिए रूपांतरण समीकरण

σ_y′ = 90 − 50·0.866 − 60·0.5 = 16.7 MPa

जाँच

घुमाने से अभिलंब प्रतिबलों का योग नहीं बदलता।

σ_x′ = 163.3 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 180 = σ_x + σ_y

उत्तर

σ_y′ = 16.7 MPa

6.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

उत्तर: σ₁ = 223 MPa

सतह पर प्रतिबल

σ = 32M/(πd³) = 32·1000000/(π·40³) = 159.2 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·1500000/(π·40³) = 119.4 MPa

मोर वृत्त

C = σ/2 = 79.58 MPa

R = √(79.58² + 119.4²) = 143.5 MPa

σ₁ = C + R = 223 MPa

σ₂ = C − R = −63.88 MPa

उत्तर

σ₁ = 223 MPa

7.अक्षीय प्रतिबल और विकृति

उत्तर: δ = 4.297 mm

हुक का नियम: प्रत्यास्थ सीमा में σ = E·ε। σ = P/A और ε = δ/L के साथ मिलाने पर δ = PL/(AE) मिलता है।

प्रतिबल

A = π·20²/4 = 314.2 mm²

σ = P/A = 90·1000/314.2 = 286.5 MPa

विकृति (हुक का नियम)

E for पीतल = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 286.5/100000 = 0.002865 = 2865 µε

दीर्घीकरण

δ = ε·L = 0.002865·1500 mm = 4.297 mm

उत्तर

δ = 4.297 mm

8.अक्षीय प्रतिबल और विकृति

उत्तर: P_max = 243.9 kN

दो पदार्थ: श्रेणी में (एक के बाद एक) हर खंड समान बल वहन करता है और विस्तार जुड़ते हैं: δ = P·Σ L/(E·A)। समानांतर में (दृढ़ प्लेटों के बीच अगल-बगल) दोनों भाग समान मात्रा से छोटे होते हैं, इसलिए उनके विकृति समान हैं: अधिक कठोर भाग बड़ा हिस्सा लेता है, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, और σ_i = E_i·ε। दो दृढ़ दीवारों के बीच जकड़ी छड़, जिसके जोड़ पर भार लगा है, स्थैतिक रूप से अनिर्धार्य है: दोनों खंड भार को अपनी कठोरता k = EA/L के अनुपात में बाँटते हैं।

क्षेत्रफल

A_r = π·30²/4 = 706.9 mm²

A_t = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²

संयुक्त अक्षीय कठोरता

ΣEA = 200·10³·706.9 + 110·10³·2199 = 3.833 × 10⁸ N

निर्धारक विकृति

ε = min(0.0008, 0.0006364) = 0.0006364 (काँसा)

सबसे बड़ा भार

P_max = 0.0006364·3.833 × 10⁸ = 243902 N = 243.9 kN

उत्तर

P_max = 243.9 kN

9.स्तंभ बकलिंग

उत्तर: P_cr = 4.905 kN

ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ P_cr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।

न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण

गोल खंड का I हर अक्ष के परितः समान होता है।

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

प्रभावी लंबाई

KL = 1·4000 = 4000 mm

क्रांतिक भार

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/4000² = 4905 N = 4.905 kN

उत्तर

P_cr = 4.905 kN

10.स्तंभ बकलिंग

उत्तर: d = 89.3 mm

आवश्यक क्रांतिक भार

P_cr = n·P = 3·115000 = 345000 N

KL = 1·2500 = 2500 mm

व्यास के लिए हल करें

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·345000·2500²/(π³·70000))^(1/4) = 89.3 mm

उत्तर

d = 89.3 mm

जाँच: तनुता KL/r = 112 है, इसलिए स्तंभ पतला है और ऑयलर लागू होता है।

11.यांत्रिक कंपन

उत्तर: f_d = 3.573 Hz

द्रव्यमान–स्प्रिंग तंत्र का मुक्त कंपन: अनवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति rad/s में ω_n = √(k/m) है, और Hz में f_n = ω_n/(2π)। एक श्यान अवमंदक c अवमंदन अनुपात ζ = c/c_c देता है, जहाँ क्रांतिक अवमंदन c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n। अल्प-अवमंदित तंत्र (ζ < 1) ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) पर दोलन करता है। समांतर में स्प्रिंग जुड़ते हैं, k = k₁ + k₂; श्रेणी में स्प्रिंग व्युत्क्रम के रूप में जुड़ते हैं, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂।

अनवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति

ω_n = √(150000/250) = 24.49 rad/s

f_n = 24.49/(2π) = 3.898 Hz

अवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 3.898·√(1 − 0.4²) = 3.573 Hz

उत्तर

f_d = 3.573 Hz

12.यांत्रिक कंपन

उत्तर: f_n = 3.994 Hz

तुल्य दृढ़ता

केवल k₁ और k₂ समांतर में हैं। वह जोड़ी k₃ के श्रेणी में है, इसलिए उन्हें व्युत्क्रम के रूप में मिलाएँ।

k₁₂ = 80 + 5 = 85 kN/m

k_eq = 85·50/(85 + 50) = 31.48 kN/m

प्राकृतिक आवृत्ति

ω_n = √(31481/50) = 25.09 rad/s

f_n = 25.09/(2π) = 3.994 Hz

उत्तर

f_n = 3.994 Hz

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