मशीन डिज़ाइन: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 12 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

गियर और गियर ट्रेन

परस्पर जुड़े गियर: n₁·N₁ = n₂·N₂
बलाघूर्ण: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
शक्ति: P = T·ω, ω = 2π·n/60
संयुक्त गियर ट्रेन: कुल अनुपात = चरण अनुपातों का गुणनफल

शाफ़्ट का मरोड़

अपरूपण प्रतिबल: τ = T·r/J
ठोस शाफ़्ट: J = πd⁴/32
खोखला शाफ़्ट: J = π(D⁴ − d⁴)/32
मरोड़ कोण: φ = TL/(GJ)
शक्ति: P = T·ω = 2πnT/60

विधि

ध्रुवीय क्षेत्र आघूर्ण ज्ञात करें: ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32।
सतह पर अपरूपण प्रतिबल: τ = T·r/J, जहाँ r बाहरी त्रिज्या है।
ऐंठन कोण: रेडियन में φ = TL/(GJ)।
यदि शक्ति दी गई है, तो पहले P = T·ω, ω = 2πn/60 से बलाघूर्ण ज्ञात करें।

मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

केंद्र: C = (σ_x + σ_y)/2
त्रिज्या: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
मुख्य प्रतिबल: σ_1,2 = C ± R
मुख्य दिशा: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
झुका हुआ तल: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

विधि

मोर वृत्त का केंद्र निकालें: C = (σx + σy)/2।
त्रिज्या निकालें: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)।
मुख्य प्रतिबल C ± R हैं और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।
वृत्त पर कोण अवयव पर कोणों के दोगुने होते हैं: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)।

अक्षीय प्रतिबल और विकृति

अभिलंब प्रतिबल: σ = F/A
विकृति: ε = ΔL/L
हुक का नियम: σ = E·ε
दीर्घीकरण: ΔL = FL/(EA)
तापीय विकृति: ε_T = α·ΔT

स्तंभ बकलिंग

ऑयलर भार: P_cr = π²EI/(KL)²
प्रभावी लंबाई गुणांक: K = 1 पिन–पिन, 0.5 स्थिर–स्थिर, 0.7 स्थिर–पिन, 2 स्थिर–मुक्त
क्रांतिक प्रतिबल: σ_cr = P_cr/A
पतलापन अनुपात: λ = KL/r, r = √(I/A)

यांत्रिक कंपन

प्राकृतिक आवृत्ति: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
स्थैतिक विक्षेप से: ω_n = √(g/δ_st)
क्रांतिक अवमंदन: c_c = 2√(km) = 2mω_n
अवमंदन अनुपात: ζ = c/c_c
अवमंदित आवृत्ति: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
लघुगणकीय ह्रास: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
समांतर में स्प्रिंग: k = k₁ + k₂
श्रेणी में स्प्रिंग: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2अभ्यास प्रश्न

1.गियर और गियर ट्रेनमध्यम

दो समांतर शाफ़्ट 90 mm दूर हैं। इन्हें 3 mm मॉड्यूल और 2 : 1 चाल अपचयन वाले स्पर गियरों की एक जोड़ी से जोड़ना है। पिनियन में कितने दाँत N₁ होने चाहिए?

a = 90 mmm = 3 mmi = 2

N₁ =

2.गियर और गियर ट्रेनकठिन

एक खुला पट्टा 400 mm की घिरनी को 150 mm की चालक घिरनी से, जो 720 rpm पर है, जोड़ता है; केंद्र 600 mm दूर हैं। घर्षण गुणांक 0.25 है और कसी हुई ओर का तनाव 600 N से अधिक नहीं हो सकता। पट्टा बिना फिसले जो सबसे बड़ी शक्ति P संचरित कर सकता है, kW में ज्ञात कीजिए (अपकेंद्री प्रभाव अनदेखा करें)।

d₁ = 150 mmn₁ = 720 rpmd₂ = 400 mmC = 600 mmμ = 0.25T₁ = 600 N

P = kW

3.शाफ़्ट का मरोड़मध्यम

स्टील का एक ठोस शाफ़्ट दीवार में जड़ित है और मुक्त सिरे पर बलाघूर्ण T से मरोड़ा जाता है। मुक्त सिरे का मरोड़ कोण φ डिग्री में ज्ञात कीजिए।

T = 750 N·md = 25 mmL = 0.8 mG = 80 GPa

φ = °

4.शाफ़्ट का मरोड़कठिन

एक ठोस शाफ़्ट को 300 rpm पर 30 kW संचारित करना है, बिना अपरूपण प्रतिबल के 50 MPa से अधिक हुए। उपयुक्त सबसे छोटा व्यास d ज्ञात कीजिए।

P = 30 kWN = 300 rpmτ_allow = 50 MPa

d = mm

5.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणमध्यम

एक पतली प्लेट का एक बिंदु समतल प्रतिबल में है: σₓ = −40 MPa, σᵧ = −70 MPa और τₓᵧ = 20 MPa, σ_z = 0 के साथ। बिंदु पर निरपेक्ष अधिकतम अपरूपण प्रतिबल τ_abs ज्ञात कीजिए (तीन विमाओं में सभी तलों पर विचार करते हुए)।

σ_x = −40 MPaσ_y = −70 MPaτ_xy = 20 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

6.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणकठिन

600 mm भीतरी व्यास और 10 mm दीवार मोटाई वाली एक पतली दीवार की बेलनाकार टंकी में 1.2 MPa गेज दाब पर गैस है। यह बेलन की अक्ष से 20° पर एक सर्पिल सीवन के साथ वेल्ड की गई प्लेट से बनी है। वेल्ड सीवन के साथ कार्य करने वाले अपरूपण प्रतिबल |τ_n| का परिमाण ज्ञात कीजिए।

D = 600 mmt = 10 mmp = 1.2 MPaα = 20°

|τ_n| = MPa

7.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिमध्यम

अक्षीय भार के अंतर्गत स्टील छड़ का दीर्घीकरण δ ज्ञात कीजिए।

P = 55 kNd = 25 mmL = 2.5 mE = 200 GPa

δ = mm

8.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिकठिन

एक स्टील खंड (व्यास 40 mm, लंबाई 500 mm, E = 200 GPa) और एल्युमिनियम का बना खंड (व्यास 60 mm, लंबाई 500 mm, E = 70 GPa) सिरे से सिरा जोड़कर दो दृढ़ दीवारों के बीच जकड़े हैं। जोड़ पर खंड 2 की ओर 100 kN का अक्षीय भार लगता है। खंड 2 में प्रतिबल σ₂ का परिमाण ज्ञात कीजिए।

खंड 1: स्टील, Ø40 mm, 500 mm, E = 200 GPaखंड 2: एल्युमिनियम, Ø60 mm, 500 mm, E = 70 GPaP = 100 kN

σ₂ = MPa

9.स्तंभ बकलिंगमध्यम

एल्युमिनियम से बना L लंबाई का एक स्तंभ दोनों सिरों पर पिन किया हुआ है। ऑयलर सूत्र से उसका क्रांतिक बकलिंग भार P_cr ज्ञात कीजिए।

L = 1 mE = 70 GPa (एल्युमिनियम)b × h = 30 × 60 mm

P_cr = kN

10.स्तंभ बकलिंगकठिन

एल्युमिनियम से बना L लंबाई का एक स्तंभ आधार पर जड़ित और शीर्ष पर पिन किया हुआ है। उसकी तनुता और ऑयलर सूत्र से क्रांतिक बकलिंग प्रतिबल σ_cr ज्ञात कीजिए।

L = 2.5 mE = 70 GPa (एल्युमिनियम)d = 50 mm

σ_cr = MPa

11.यांत्रिक कंपनमध्यम

एक 12 kg द्रव्यमान 5 kN/m दृढ़ता वाले स्प्रिंग और 70 N·s/m अवमंदन गुणांक वाले श्यान अवमंदक पर टिका है। अवमंदन अनुपात ζ ज्ञात कीजिए।

m = 12 kgk = 5 kN/mc = 70 N·s/m

ζ =

12.यांत्रिक कंपनकठिन

एक 20 kg द्रव्यमान स्प्रिंग k₃ = 20 kN/m से लटका है। k₃ का ऊपरी सिरा एक दृढ़ छड़ से जुड़ा है जो अगल-बगल दो स्प्रिंगों k₁ = 10 kN/m और k₂ = 12 kN/m से लटकी है; छड़ समतल रहती है। अवमंदन तथा स्प्रिंगों और छड़ के द्रव्यमान की उपेक्षा करें। ऊर्ध्वाधर कंपन की प्राकृतिक आवृत्ति f_n Hz में ज्ञात कीजिए।

m = 20 kgk₁ = 10 kN/mk₂ = 12 kN/mk₃ = 20 kN/m

f_n = Hz

3विलयन

1.गियर और गियर ट्रेन

उत्तर: N₁ = 20

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

दाँतों की कुल संख्या

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·90/3 = 60

अनुपात से बाँटें

N₁ = 60/(1 + 2) = 20

उत्तर

N₁ = 20

2.गियर और गियर ट्रेन

उत्तर: P = 1.675 kW

पट्टा चालन: फिसलन के बिना दोनों घिरनियों की कोर की चाल समान होती है v = π·d·n/60, इसलिए n₁·d₁ = n₂·d₂ और गति अनुपात d₂/d₁ है। फिसलन s चालित घिरनी को थोड़ा धीमा कर देती है: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)। संचरित शक्ति P = (T₁ − T₂)·v है, जहाँ T₁ कसी हुई ओर का तनाव और T₂ ढीली ओर का। घर्षण तनावों के अनुपात को सीमित करता है: T₁/T₂ = e^μθ, जहाँ θ छोटी घिरनी पर लपेट कोण रेडियन में है; खुले पट्टे के लिए θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), जहाँ C केंद्र दूरी है।

लपेट कोण

θ = 2.722 rad

ढीली ओर का तनाव

e^μθ = e^0.6805 = 1.975, T₂ = 600/1.975 = 303.8 N

शक्ति

P = (600 − 303.8)·5.655 = 1.675 kW

उत्तर

P = 1.675 kW

3.शाफ़्ट का मरोड़

उत्तर: φ = 11.21 °

वृत्ताकार शाफ़्ट का मरोड़: अपरूपण प्रतिबल केंद्र पर शून्य से सतह पर τ_max = T·r/J तक रैखिक रूप से बढ़ता है, ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32 और खोखले के लिए J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32। मरोड़ कोण रेडियन में φ = TL/(GJ) है। शक्ति और बलाघूर्ण P = T·ω से जुड़े हैं।

ध्रुवीय जड़त्व आघूर्ण

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

मरोड़ कोण

φ = TL/(GJ) = 750·1000·800/(80000·38350) = 0.1956 rad

φ = 0.1956·180/π = 11.21°

उत्तर

φ = 11.21°

4.शाफ़्ट का मरोड़

उत्तर: d = 45.99 mm

बलाघूर्ण

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31.42 rad/s

T = P/ω = 30000/31.42 = 954.9 N·m

अनुमेय प्रतिबल से व्यास

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·954930/(π·50)) = 45.99 mm

उत्तर

d = 45.99 mm

व्यवहार में आप अगले मानक आकार तक पूर्णांकित करेंगे।

5.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

उत्तर: τ_abs = 40 MPa

समतल प्रतिबल रूपांतरण: θ से घुमाए गए तल पर σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ। मोर वृत्त सभी तलों को एक साथ दिखाता है: उसका केंद्र C = (σₓ + σᵧ)/2 पर और त्रिज्या R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) है। मुख्य प्रतिबल C ± R हैं, और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है। तीन विमाओं में निरपेक्ष अधिकतम अपरूपण प्रतिबल तीनों मुख्य प्रतिबलों पर (σ_max − σ_min)/2 है; समतल प्रतिबल में तीसरा शून्य होता है।

तलीय मुख्य प्रतिबल

C = −55 MPa, R = √(15² + 20²) = 25 MPa

σ₁ = −30 MPa, σ₂ = −80 MPa, σ_z = 0

तीनों वृत्तों में सबसे बड़ा

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(50, 30, 80)/2 = 40 MPa

उत्तर

τ_abs = 40 MPa

यहाँ तल से बाहर वाला वृत्त निर्णायक है: निरपेक्ष अधिकतम तलीय अधिकतम R से बड़ा है।

6.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

उत्तर: |τ_n| = 5.785 MPa

समतल प्रतिबल रूपांतरण: θ से घुमाए गए तल पर σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ। मोर वृत्त सभी तलों को एक साथ दिखाता है: उसका केंद्र C = (σₓ + σᵧ)/2 पर और त्रिज्या R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) है। मुख्य प्रतिबल C ± R हैं, और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है। पतली दीवार का बेलन: परिधीय प्रतिबल σ_h = pr/t और अक्षीय प्रतिबल σ_a = pr/(2t); ये दीवार में मुख्य प्रतिबल हैं।

दीवार के प्रतिबल

r = 600/2 = 300 mm

σ_h = pr/t = 1.2·300/10 = 36 MPa

σ_a = pr/(2t) = 18 MPa

सीवन पर रूपांतरित करें

x को अक्ष के साथ (σ_a) और y को परिधि के साथ (σ_h) लें। सीवन का अभिलंब अक्ष से 90° − α बनाता है।

|τ_n| = (36 − 18)·sin 20°·cos 20° = 5.785 MPa

उत्तर

|τ_n| = 5.785 MPa

7.अक्षीय प्रतिबल और विकृति

उत्तर: δ = 1.401 mm

हुक का नियम: प्रत्यास्थ सीमा में σ = E·ε। σ = P/A और ε = δ/L के साथ मिलाने पर δ = PL/(AE) मिलता है।

प्रतिबल

A = π·25²/4 = 490.9 mm²

σ = P/A = 55·1000/490.9 = 112 MPa

विकृति (हुक का नियम)

E for स्टील = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 112/200000 = 0.0005602 = 560.2 µε

दीर्घीकरण

δ = ε·L = 0.0005602·2500 mm = 1.401 mm

उत्तर

δ = 1.401 mm

8.अक्षीय प्रतिबल और विकृति

उत्तर: σ₂ = 15.58 MPa

दो पदार्थ: श्रेणी में (एक के बाद एक) हर खंड समान बल वहन करता है और विस्तार जुड़ते हैं: δ = P·Σ L/(E·A)। समानांतर में (दृढ़ प्लेटों के बीच अगल-बगल) दोनों भाग समान मात्रा से छोटे होते हैं, इसलिए उनके विकृति समान हैं: अधिक कठोर भाग बड़ा हिस्सा लेता है, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, और σ_i = E_i·ε। दो दृढ़ दीवारों के बीच जकड़ी छड़, जिसके जोड़ पर भार लगा है, स्थैतिक रूप से अनिर्धार्य है: दोनों खंड भार को अपनी कठोरता k = EA/L के अनुपात में बाँटते हैं।

कठोरताएँ

k₁ = 200000·1257/500 = 502655 N/mm

k₂ = 70000·2827/500 = 395841 N/mm

खंड 2 का हिस्सा

F₂ = 100000·395841/898495 = 44056 N

प्रतिबल

σ₂ = 44056/2827 = 15.58 MPa (संपीडन)

उत्तर

σ₂ = 15.58 MPa

9.स्तंभ बकलिंग

उत्तर: P_cr = 93.27 kN

ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ P_cr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।

न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण

आयत अपनी कमज़ोर अक्ष के परितः, छोटी विमा के घन के साथ मुड़ता है।

I_min = h·b³/12 = 60·30³/12 = 135000 mm⁴

प्रभावी लंबाई

KL = 1·1000 = 1000 mm

क्रांतिक भार

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·135000/1000² = 93268 N = 93.27 kN

उत्तर

P_cr = 93.27 kN

10.स्तंभ बकलिंग

उत्तर: σ_cr = 35.25 MPa

न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण

गोल खंड का I हर अक्ष के परितः समान होता है।

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

परिभ्रमण त्रिज्या और तनुता

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12.5 mm

KL = 0.7·2500 = 1750 mm

KL/r = 1750/12.5 = 140

क्रांतिक प्रतिबल

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/140² = 35.25 MPa

उत्तर

σ_cr = 35.25 MPa

11.यांत्रिक कंपन

उत्तर: ζ = 0.1429

द्रव्यमान–स्प्रिंग तंत्र का मुक्त कंपन: अनवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति rad/s में ω_n = √(k/m) है, और Hz में f_n = ω_n/(2π)। एक श्यान अवमंदक c अवमंदन अनुपात ζ = c/c_c देता है, जहाँ क्रांतिक अवमंदन c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n। अल्प-अवमंदित तंत्र (ζ < 1) ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) पर दोलन करता है। समांतर में स्प्रिंग जुड़ते हैं, k = k₁ + k₂; श्रेणी में स्प्रिंग व्युत्क्रम के रूप में जुड़ते हैं, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂।

क्रांतिक अवमंदन

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(5000·12) = 489.9 N·s/m

अवमंदन अनुपात

ζ = c/c_c = 70/489.9 = 0.1429

उत्तर

ζ = 0.1429

ζ < 1, इसलिए तंत्र अल्प-अवमंदित है और क्षीण होते हुए दोलन करता है।

12.यांत्रिक कंपन

उत्तर: f_n = 3.643 Hz

तुल्य दृढ़ता

केवल k₁ और k₂ समांतर में हैं। वह जोड़ी k₃ के श्रेणी में है, इसलिए उन्हें व्युत्क्रम के रूप में मिलाएँ।

k₁₂ = 10 + 12 = 22 kN/m

k_eq = 22·20/(22 + 20) = 10.48 kN/m

प्राकृतिक आवृत्ति

ω_n = √(10476/20) = 22.89 rad/s

f_n = 22.89/(2π) = 3.643 Hz

उत्तर

f_n = 3.643 Hz

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