गियर और गियर ट्रेन
- परस्पर जुड़े गियर
- n1·N1 = n2·N2
- बलाघूर्ण
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- शक्ति
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- संयुक्त गियर ट्रेन
- कुल अनुपात = चरण अनुपातों का गुणनफल
मशीन डिज़ाइन: क्रैम पैक
सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 12 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।
1सूत्र और विधियाँ
शाफ़्ट का मरोड़
- अपरूपण प्रतिबल
- τ = T·r/J
- ठोस शाफ़्ट
- J = πd⁴/32
- खोखला शाफ़्ट
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- मरोड़ कोण
- φ = TL/(GJ)
- शक्ति
- P = T·ω = 2πnT/60
विधि
- ध्रुवीय क्षेत्र आघूर्ण ज्ञात करें: ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32।
- सतह पर अपरूपण प्रतिबल: τ = T·r/J, जहाँ r बाहरी त्रिज्या है।
- ऐंठन कोण: रेडियन में φ = TL/(GJ)।
- यदि शक्ति दी गई है, तो पहले P = T·ω, ω = 2πn/60 से बलाघूर्ण ज्ञात करें।
मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण
- केंद्र
- C = (σx + σy)/2
- त्रिज्या
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- मुख्य प्रतिबल
- σ1,2 = C ± R
- मुख्य दिशा
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- झुका हुआ तल
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
विधि
- मोर वृत्त का केंद्र निकालें: C = (σx + σy)/2।
- त्रिज्या निकालें: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)।
- मुख्य प्रतिबल C ± R हैं और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।
- वृत्त पर कोण अवयव पर कोणों के दोगुने होते हैं: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)।
अक्षीय प्रतिबल और विकृति
- अभिलंब प्रतिबल
- σ = F/A
- विकृति
- ε = ΔL/L
- हुक का नियम
- σ = E·ε
- दीर्घीकरण
- ΔL = FL/(EA)
- तापीय विकृति
- εT = α·ΔT
स्तंभ बकलिंग
- ऑयलर भार
- Pcr = π²EI/(KL)²
- प्रभावी लंबाई गुणांक
- K = 1 पिन–पिन, 0.5 स्थिर–स्थिर, 0.7 स्थिर–पिन, 2 स्थिर–मुक्त
- क्रांतिक प्रतिबल
- σcr = Pcr/A
- पतलापन अनुपात
- λ = KL/r, r = √(I/A)
यांत्रिक कंपन
- प्राकृतिक आवृत्ति
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- स्थैतिक विक्षेप से
- ωn = √(g/δst)
- क्रांतिक अवमंदन
- cc = 2√(km) = 2mωn
- अवमंदन अनुपात
- ζ = c/cc
- अवमंदित आवृत्ति
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- लघुगणकीय ह्रास
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- समांतर में स्प्रिंग
- k = k1 + k2
- श्रेणी में स्प्रिंग
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2अभ्यास प्रश्न
1.गियर और गियर ट्रेनमध्यम
एक पट्टा 150 mm की चालक घिरनी पर 960 rpm पर चलता है। कसी हुई ओर तनाव 600 N और ढीली ओर 180 N है। संचरित शक्ति P kW में ज्ञात कीजिए।
d1 = 150 mmn1 = 960 rpmT1 = 600 NT2 = 180 N
P = kW
2.गियर और गियर ट्रेनकठिन
एक संयुक्त गियर ट्रेन में निवेश शाफ़्ट पर गियर A (12 दाँत) 1450 rpm पर घूमता है और गियर B (36 दाँत) को चलाता है। गियर C (36 दाँत) B के ही शाफ़्ट पर लगा है और निर्गम शाफ़्ट पर गियर D को चलाता है। निर्गम को 348 rpm पर घूमना है। गियर D में कितने दाँत ND होने चाहिए?
nin = 1450 rpmA = 12B = 36C = 36nout = 348 rpm
ND =
3.शाफ़्ट का मरोड़मध्यम
एक खोखला एल्युमिनियम शाफ़्ट (बाहरी व्यास 40 mm, भीतरी व्यास 20 mm, लंबाई 1.5 m) एक सिरे पर स्थिर है और दूसरे सिरे पर 750 N·m के बलाघूर्ण से मरोड़ा जाता है। मरोड़ कोण φ डिग्री में ज्ञात कीजिए।
T = 750 N·mdo = 40 mmdi = 20 mmL = 1.5 mG = 26 GPa
φ = °
4.शाफ़्ट का मरोड़कठिन
एक ठोस शाफ़्ट को 300 rpm पर 75 kW संचारित करना है, बिना अपरूपण प्रतिबल के 50 MPa से अधिक हुए। उपयुक्त सबसे छोटा व्यास d ज्ञात कीजिए।
P = 75 kWN = 300 rpmτallow = 50 MPa
d = mm
5.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणमध्यम
किसी भारित पुर्ज़े के एक बिंदु पर σₓ = 140 MPa, σᵧ = −20 MPa और τₓᵧ = 30 MPa है (तनन धनात्मक)। तल में अधिकतम अपरूपण प्रतिबल τmax ज्ञात कीजिए।
σx = 140 MPaσy = −20 MPaτxy = 30 MPa
τmax = MPa
6.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणकठिन
30 mm व्यास वाला एक ठोस शाफ़्ट 500 N·m के बलाघूर्ण के साथ 170 kN का अक्षीय तनन बल वहन करता है। शाफ़्ट की सतह पर, सबसे बड़ा मुख्य प्रतिबल σ1 ज्ञात कीजिए।
d = 30 mmF = 170 kNT = 500 N·m
σ1 = MPa
7.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिमध्यम
एक छड़ स्टील के खंड (व्यास 25 mm, लंबाई 300 mm, E = 200 GPa) से बनी है, जो पीतल के बने खंड (व्यास 40 mm, लंबाई 400 mm, E = 100 GPa) से सिरे से सिरा जोड़कर जुड़ा है। वह एक सिरे पर स्थिर है और दूसरे पर खींची जाती है। वह अक्षीय भार P ज्ञात कीजिए जो उसे कुल 0.25 mm खींचता है।
खंड 1: स्टील, Ø25 mm, 300 mm, E = 200 GPaखंड 2: पीतल, Ø40 mm, 400 mm, E = 100 GPaδ = 0.25 mm
P = kN
8.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिकठिन
सोपानी छड़ दीवार में जड़ित है और अपने मुक्त सिरे पर भारित है। कुल दीर्घीकरण δ ज्ञात कीजिए।
P = 25 kNखंड 1: Ø30 mm, 1 m, ताँबा (E = 117 GPa)खंड 2: Ø12 mm, 2 m, स्टील (E = 200 GPa)
δ = mm
9.स्तंभ बकलिंगमध्यम
स्टील से बना L लंबाई का एक स्तंभ दोनों सिरों पर जड़ित है। ऑयलर सूत्र से उसका क्रांतिक बकलिंग भार Pcr ज्ञात कीजिए।
L = 3 mE = 200 GPa (स्टील)d = 50 mm
Pcr = kN
10.स्तंभ बकलिंगकठिन
स्टील से बना L लंबाई का एक स्तंभ दोनों सिरों पर पिन किया हुआ है। उसकी तनुता और ऑयलर सूत्र से क्रांतिक बकलिंग प्रतिबल σcr ज्ञात कीजिए।
L = 2 mE = 200 GPa (स्टील)d = 40 mm
σcr = MPa
11.यांत्रिक कंपनमध्यम
एक 40 kg द्रव्यमान 200 kN/m दृढ़ता वाले स्प्रिंग और 450 N·s/m अवमंदन गुणांक वाले श्यान अवमंदक पर टिका है। अवमंदन अनुपात ζ ज्ञात कीजिए।
m = 40 kgk = 200 kN/mc = 450 N·s/m
ζ =
12.यांत्रिक कंपनकठिन
एक 25 kg द्रव्यमान स्प्रिंग k₃ = 15 kN/m से लटका है। k₃ का ऊपरी सिरा एक दृढ़ छड़ से जुड़ा है जो अगल-बगल दो स्प्रिंगों k₁ = 60 kN/m और k₂ = 100 kN/m से लटकी है; छड़ समतल रहती है। अवमंदन तथा स्प्रिंगों और छड़ के द्रव्यमान की उपेक्षा करें। ऊर्ध्वाधर कंपन की प्राकृतिक आवृत्ति fn Hz में ज्ञात कीजिए।
m = 25 kgk1 = 60 kN/mk2 = 100 kN/mk3 = 15 kN/m
fn = Hz
3विलयन
1.गियर और गियर ट्रेन
उत्तर: P = 3.167 kW
पट्टा चालन: फिसलन के बिना दोनों घिरनियों की कोर की चाल समान होती है v = π·d·n/60, इसलिए n₁·d₁ = n₂·d₂ और गति अनुपात d₂/d₁ है। फिसलन s चालित घिरनी को थोड़ा धीमा कर देती है: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)। संचरित शक्ति P = (T₁ − T₂)·v है, जहाँ T₁ कसी हुई ओर का तनाव और T₂ ढीली ओर का। घर्षण तनावों के अनुपात को सीमित करता है: T₁/T₂ = eμθ, जहाँ θ छोटी घिरनी पर लपेट कोण रेडियन में है; खुले पट्टे के लिए θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), जहाँ C केंद्र दूरी है।
पट्टे की चाल
v = 7.54 m/s
शक्ति
P = (600 − 180)·7.54 = 3167 W = 3.167 kW
उत्तर
P = 3.167 kW
2.गियर और गियर ट्रेन
उत्तर: ND = 50
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
मध्यवर्ती शाफ़्ट की चाल
nB = nC = 1450·12/36 = 483.3 rpm
गियर D के दाँत
ND = C·nC/nout = 36·483.3/348 = 50
उत्तर
ND = 50
3.शाफ़्ट का मरोड़
उत्तर: φ = 10.52 °
वृत्ताकार शाफ़्ट का मरोड़: अपरूपण प्रतिबल केंद्र पर शून्य से सतह पर τmax = T·r/J तक रैखिक रूप से बढ़ता है, ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32 और खोखले के लिए J = π(do⁴ − di⁴)/32। मरोड़ कोण रेडियन में φ = TL/(GJ) है। शक्ति और बलाघूर्ण P = T·ω से जुड़े हैं।
ध्रुवीय जड़त्व आघूर्ण
J = π(40⁴ − 20⁴)/32 = 235619 mm⁴
मरोड़ कोण
T = 750 N·m = 750000 N·mm
L = 1.5 m = 1500 mm
G = 26 GPa = 26000 MPa
φ = TL/(GJ) = 750000·1500/(26000·235619) = 0.1836 rad
φ = 0.1836·180/π = 10.52°
उत्तर
φ = 10.52°
4.शाफ़्ट का मरोड़
उत्तर: d = 62.42 mm
वृत्ताकार शाफ़्ट का मरोड़: अपरूपण प्रतिबल केंद्र पर शून्य से सतह पर τmax = T·r/J तक रैखिक रूप से बढ़ता है, ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32 और खोखले के लिए J = π(do⁴ − di⁴)/32। मरोड़ कोण रेडियन में φ = TL/(GJ) है। शक्ति और बलाघूर्ण P = T·ω से जुड़े हैं।
बलाघूर्ण
ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31.42 rad/s
T = P/ω = 75000/31.42 = 2387 N·m
अनुमेय प्रतिबल से व्यास
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·2.387 × 10⁶/(π·50)) = 62.42 mm
उत्तर
d = 62.42 mm
व्यवहार में आप अगले मानक आकार तक पूर्णांकित करेंगे।
5.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण
उत्तर: τmax = 85.44 MPa
समतल प्रतिबल रूपांतरण: θ से घुमाए गए तल पर σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ। मोर वृत्त सभी तलों को एक साथ दिखाता है: उसका केंद्र C = (σₓ + σᵧ)/2 पर और त्रिज्या R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) है। मुख्य प्रतिबल C ± R हैं, और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।
मोर वृत्त की त्रिज्या
τmax = R = √(((140 − −20)/2)² + 30²) = 85.44 MPa
उत्तर
τmax = 85.44 MPa
6.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण
उत्तर: σ1 = 273.1 MPa
समतल प्रतिबल रूपांतरण: θ से घुमाए गए तल पर σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ। मोर वृत्त सभी तलों को एक साथ दिखाता है: उसका केंद्र C = (σₓ + σᵧ)/2 पर और त्रिज्या R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) है। मुख्य प्रतिबल C ± R हैं, और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।
सतह पर प्रतिबल
σ = F/A = 170000/(π·30²/4) = 170000/706.9 = 240.5 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·500000/(π·30³) = 94.31 MPa
मोर वृत्त
C = σ/2 = 120.3 MPa
R = √(120.3² + 94.31²) = 152.8 MPa
σ1 = C + R = 273.1 MPa
σ2 = C − R = −32.57 MPa
उत्तर
σ1 = 273.1 MPa
7.अक्षीय प्रतिबल और विकृति
उत्तर: P = 40.07 kN
दो पदार्थ: श्रेणी में (एक के बाद एक) हर खंड समान बल वहन करता है और विस्तार जुड़ते हैं: δ = P·Σ L/(E·A)। समानांतर में (दृढ़ प्लेटों के बीच अगल-बगल) दोनों भाग समान मात्रा से छोटे होते हैं, इसलिए उनके विकृति समान हैं: अधिक कठोर भाग बड़ा हिस्सा लेता है, Pi = P·EiAi/ΣEA, और σi = Ei·ε। दो दृढ़ दीवारों के बीच जकड़ी छड़, जिसके जोड़ पर भार लगा है, स्थैतिक रूप से अनिर्धार्य है: दोनों खंड भार को अपनी कठोरता k = EA/L के अनुपात में बाँटते हैं।
क्षेत्रफल
A₁ = 490.9 mm², A₂ = 1257 mm²
नम्यताएँ
L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·490.9) = 3.056 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 400/(100000·1257) = 3.183 × 10⁻⁶ mm/N
भार
P = 0.25/6.239 × 10⁻⁶ = 40071 N = 40.07 kN
उत्तर
P = 40.07 kN
8.अक्षीय प्रतिबल और विकृति
उत्तर: δ = 2.513 mm
अक्षीय भारित अवयव: हर प्रिज़्मीय खंड δ = PL/(AE) का पालन करता है। श्रेणी में अवयवों के दीर्घीकरण जुड़ते हैं।
दोनों खंडों में समान बल
मुक्त सिरा P वहन करता है, इसलिए छड़ का हर खंड वही अक्षीय बल P वहन करता है। केवल क्षेत्रफल और पदार्थ बदलते हैं।
A1 = π·30²/4 = 706.9 mm², A2 = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ1 = 35.37 MPa
σ2 = 221 MPa
खंडों का दीर्घीकरण जोड़ें
δ1 = σ1L1/E1 = 35.37·1000/117000 = 0.3023 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 221·2000/200000 = 2.21 mm
δ = δ1 + δ2 = 2.513 mm
उत्तर
δ = 2.513 mm
9.स्तंभ बकलिंग
उत्तर: Pcr = 269.2 kN
ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ Pcr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।
न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण
गोल खंड का I हर अक्ष के परितः समान होता है।
I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴
प्रभावी लंबाई
KL = 0.5·3000 = 1500 mm
क्रांतिक भार
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/1500² = 269152 N = 269.2 kN
उत्तर
Pcr = 269.2 kN
10.स्तंभ बकलिंग
उत्तर: σcr = 49.35 MPa
ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ Pcr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।
न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण
गोल खंड का I हर अक्ष के परितः समान होता है।
I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴
परिभ्रमण त्रिज्या और तनुता
A = 1257 mm²
r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm
KL = 1·2000 = 2000 mm
KL/r = 2000/10 = 200
क्रांतिक प्रतिबल
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/200² = 49.35 MPa
उत्तर
σcr = 49.35 MPa
11.यांत्रिक कंपन
उत्तर: ζ = 0.07955
द्रव्यमान–स्प्रिंग तंत्र का मुक्त कंपन: अनवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति rad/s में ωn = √(k/m) है, और Hz में fn = ωn/(2π)। एक श्यान अवमंदक c अवमंदन अनुपात ζ = c/cc देता है, जहाँ क्रांतिक अवमंदन cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn। अल्प-अवमंदित तंत्र (ζ < 1) ωd = ωn·√(1 − ζ²) पर दोलन करता है। समांतर में स्प्रिंग जुड़ते हैं, k = k₁ + k₂; श्रेणी में स्प्रिंग व्युत्क्रम के रूप में जुड़ते हैं, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂।
क्रांतिक अवमंदन
cc = 2·√(k·m) = 2·√(200000·40) = 5657 N·s/m
अवमंदन अनुपात
ζ = c/cc = 450/5657 = 0.07955
उत्तर
ζ = 0.07955
ζ < 1, इसलिए तंत्र अल्प-अवमंदित है और क्षीण होते हुए दोलन करता है।
12.यांत्रिक कंपन
उत्तर: fn = 3.728 Hz
द्रव्यमान–स्प्रिंग तंत्र का मुक्त कंपन: अनवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति rad/s में ωn = √(k/m) है, और Hz में fn = ωn/(2π)। एक श्यान अवमंदक c अवमंदन अनुपात ζ = c/cc देता है, जहाँ क्रांतिक अवमंदन cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn। अल्प-अवमंदित तंत्र (ζ < 1) ωd = ωn·√(1 − ζ²) पर दोलन करता है। समांतर में स्प्रिंग जुड़ते हैं, k = k₁ + k₂; श्रेणी में स्प्रिंग व्युत्क्रम के रूप में जुड़ते हैं, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂।
तुल्य दृढ़ता
केवल k1 और k2 समांतर में हैं। वह जोड़ी k3 के श्रेणी में है, इसलिए उन्हें व्युत्क्रम के रूप में मिलाएँ।
k12 = 60 + 100 = 160 kN/m
keq = 160·15/(160 + 15) = 13.71 kN/m
प्राकृतिक आवृत्ति
ωn = √(13714/25) = 23.42 rad/s
fn = 23.42/(2π) = 3.728 Hz
उत्तर
fn = 3.728 Hz
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