गियर और गियर ट्रेन
- परस्पर जुड़े गियर
- n1·N1 = n2·N2
- बलाघूर्ण
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- शक्ति
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- संयुक्त गियर ट्रेन
- कुल अनुपात = चरण अनुपातों का गुणनफल
मशीन डिज़ाइन: क्रैम पैक
सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 12 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।
1सूत्र और विधियाँ
शाफ़्ट का मरोड़
- अपरूपण प्रतिबल
- τ = T·r/J
- ठोस शाफ़्ट
- J = πd⁴/32
- खोखला शाफ़्ट
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- मरोड़ कोण
- φ = TL/(GJ)
- शक्ति
- P = T·ω = 2πnT/60
विधि
- ध्रुवीय क्षेत्र आघूर्ण ज्ञात करें: ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32।
- सतह पर अपरूपण प्रतिबल: τ = T·r/J, जहाँ r बाहरी त्रिज्या है।
- ऐंठन कोण: रेडियन में φ = TL/(GJ)।
- यदि शक्ति दी गई है, तो पहले P = T·ω, ω = 2πn/60 से बलाघूर्ण ज्ञात करें।
मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण
- केंद्र
- C = (σx + σy)/2
- त्रिज्या
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- मुख्य प्रतिबल
- σ1,2 = C ± R
- मुख्य दिशा
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- झुका हुआ तल
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
विधि
- मोर वृत्त का केंद्र निकालें: C = (σx + σy)/2।
- त्रिज्या निकालें: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)।
- मुख्य प्रतिबल C ± R हैं और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।
- वृत्त पर कोण अवयव पर कोणों के दोगुने होते हैं: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)।
अक्षीय प्रतिबल और विकृति
- अभिलंब प्रतिबल
- σ = F/A
- विकृति
- ε = ΔL/L
- हुक का नियम
- σ = E·ε
- दीर्घीकरण
- ΔL = FL/(EA)
- तापीय विकृति
- εT = α·ΔT
स्तंभ बकलिंग
- ऑयलर भार
- Pcr = π²EI/(KL)²
- प्रभावी लंबाई गुणांक
- K = 1 पिन–पिन, 0.5 स्थिर–स्थिर, 0.7 स्थिर–पिन, 2 स्थिर–मुक्त
- क्रांतिक प्रतिबल
- σcr = Pcr/A
- पतलापन अनुपात
- λ = KL/r, r = √(I/A)
यांत्रिक कंपन
- प्राकृतिक आवृत्ति
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- स्थैतिक विक्षेप से
- ωn = √(g/δst)
- क्रांतिक अवमंदन
- cc = 2√(km) = 2mωn
- अवमंदन अनुपात
- ζ = c/cc
- अवमंदित आवृत्ति
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- लघुगणकीय ह्रास
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- समांतर में स्प्रिंग
- k = k1 + k2
- श्रेणी में स्प्रिंग
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2अभ्यास प्रश्न
1.गियर और गियर ट्रेनमध्यम
100 mm की घिरनी 1450 rpm पर पट्टे से 250 mm की घिरनी को 4 % फिसलन के साथ चलाती है। चालित घिरनी की गति n2 ज्ञात कीजिए।
n1 = 1450 rpmd1 = 100 mmd2 = 250 mms = 4 %
n2 = rpm
2.गियर और गियर ट्रेनकठिन
एक खुला पट्टा 300 mm की घिरनी को 160 mm की चालक घिरनी से, जो 720 rpm पर है, जोड़ता है; केंद्र 1200 mm दूर हैं। घर्षण गुणांक 0.35 है और कसी हुई ओर का तनाव 500 N से अधिक नहीं हो सकता। पट्टा बिना फिसले जो सबसे बड़ी शक्ति P संचरित कर सकता है, kW में ज्ञात कीजिए (अपकेंद्री प्रभाव अनदेखा करें)।
d1 = 160 mmn1 = 720 rpmd2 = 300 mmC = 1200 mmμ = 0.35T1 = 500 N
P = kW
3.शाफ़्ट का मरोड़मध्यम
पीतल का एक ठोस शाफ़्ट दीवार में जड़ित है और मुक्त सिरे पर बलाघूर्ण T से मरोड़ा जाता है। मुक्त सिरे का मरोड़ कोण φ डिग्री में ज्ञात कीजिए।
T = 250 N·md = 40 mmL = 2.5 mG = 39 GPa
φ = °
4.शाफ़्ट का मरोड़कठिन
30 mm व्यास वाला एक ठोस एल्युमिनियम शाफ़्ट दोनों सिरों A और B पर दृढ़ दीवारों में स्थिर है। A से 0.8 m और B से 1.2 m पर C पर 250 N·m का बलाघूर्ण लगाया जाता है। शाफ़्ट में अधिकतम अपरूपण प्रतिबल τmax ज्ञात कीजिए।
d = 30 mmT0 = 250 N·ma = 0.8 mb = 1.2 m
τmax = MPa
5.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणमध्यम
एक बिंदु पर σₓ = −20 MPa, σᵧ = 20 MPa और τₓᵧ = −40 MPa है (तनन धनात्मक)। x-अक्ष से उस तल के अभिलंब तक का कोण θs, −90° और 90° के बीच, ज्ञात कीजिए जिस पर अपरूपण प्रतिबल का अधिकतम धनात्मक मान +R है (अपरूपण τₓᵧ की ही दिशा में धनात्मक)।
σx = −20 MPaσy = 20 MPaτxy = −40 MPa
θs = °
6.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणकठिन
किसी भारित पुर्ज़े के एक बिंदु पर σₓ = 120 MPa, σᵧ = −30 MPa और τₓᵧ = 30 MPa है (तनन धनात्मक)। उस तल पर अपरूपण प्रतिबल τθ ज्ञात कीजिए जिसका अभिलंब x-अक्ष से 45° वामावर्त घुमाया गया है (τₓᵧ की ही दिशा में धनात्मक)।
σx = 120 MPaσy = −30 MPaτxy = 30 MPaθ = 45°
τθ = MPa
7.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिमध्यम
एक छड़ स्टील के खंड (व्यास 30 mm, लंबाई 300 mm, E = 200 GPa) से बनी है, जो ताँबा के बने खंड (व्यास 60 mm, लंबाई 500 mm, E = 120 GPa) से सिरे से सिरा जोड़कर जुड़ा है। वह एक सिरे पर स्थिर है और दूसरे पर खींची जाती है। वह अक्षीय भार P ज्ञात कीजिए जो उसे कुल 0.3 mm खींचता है।
खंड 1: स्टील, Ø30 mm, 300 mm, E = 200 GPaखंड 2: ताँबा, Ø60 mm, 500 mm, E = 120 GPaδ = 0.3 mm
P = kN
8.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिकठिन
एक स्टील छड़ (व्यास 20 mm, E = 200 GPa, अनुमेय प्रतिबल 160 MPa) काँसा की बनी नलिका (बाहरी व्यास 100 mm, भीतरी व्यास 60 mm, E = 110 GPa, अनुमेय प्रतिबल 80 MPa) के भीतर है। दोनों को दृढ़ प्लेटों के बीच साथ-साथ संपीडित किया जाता है। सबसे बड़ा भार Pmax ज्ञात कीजिए।
छड़: Ø20 mm, E = 200 GPa, σallow = 160 MPaनलिका: Ø100/Ø60 mm, E = 110 GPa, σallow = 80 MPa
Pmax = kN
9.स्तंभ बकलिंगमध्यम
एल्युमिनियम से बना L लंबाई का एक स्तंभ दोनों सिरों पर पिन किया हुआ है। ऑयलर सूत्र से उसका क्रांतिक बकलिंग भार Pcr ज्ञात कीजिए।
L = 4 mE = 70 GPa (एल्युमिनियम)d = 50 mm
Pcr = kN
10.स्तंभ बकलिंगकठिन
स्टील से बना L लंबाई का एक ठोस गोल स्तंभ दोनों सिरों पर पिन किया हुआ है। इसे बकलिंग के विरुद्ध 2 के सुरक्षा गुणक के साथ 35 kN वहन करना है। न्यूनतम व्यास d ज्ञात कीजिए।
P = 35 kNn = 2L = 4 mE = 200 GPa (स्टील)
d = mm
11.यांत्रिक कंपनमध्यम
एक 20 kg द्रव्यमान 15 kN/m दृढ़ता वाले स्प्रिंग और 660 N·s/m अवमंदन गुणांक वाले श्यान अवमंदक पर टिका है। अवमंदन अनुपात ζ ज्ञात कीजिए।
m = 20 kgk = 15 kN/mc = 660 N·s/m
ζ =
12.यांत्रिक कंपनकठिन
एक 10 kg द्रव्यमान अगल-बगल (समांतर में) दो स्प्रिंगों से लटका है, जिनकी दृढ़ताएँ k₁ = 40 kN/m और k₂ = 80 kN/m हैं। द्रव्यमान समतल रहता है। अवमंदन और स्प्रिंगों के द्रव्यमान की उपेक्षा करें। ऊर्ध्वाधर कंपन की प्राकृतिक आवृत्ति fn Hz में ज्ञात कीजिए।
m = 10 kgk1 = 40 kN/mk2 = 80 kN/m
fn = Hz
3विलयन
1.गियर और गियर ट्रेन
उत्तर: n2 = 556.8 rpm
पट्टा चालन: फिसलन के बिना दोनों घिरनियों की कोर की चाल समान होती है v = π·d·n/60, इसलिए n₁·d₁ = n₂·d₂ और गति अनुपात d₂/d₁ है। फिसलन s चालित घिरनी को थोड़ा धीमा कर देती है: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)। संचरित शक्ति P = (T₁ − T₂)·v है, जहाँ T₁ कसी हुई ओर का तनाव और T₂ ढीली ओर का। घर्षण तनावों के अनुपात को सीमित करता है: T₁/T₂ = eμθ, जहाँ θ छोटी घिरनी पर लपेट कोण रेडियन में है; खुले पट्टे के लिए θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), जहाँ C केंद्र दूरी है।
फिसलन के बिना गति
1450·100/250 = 580 rpm
फिसलन सहित
n2 = 580·0.96 = 556.8 rpm
उत्तर
n2 = 556.8 rpm
2.गियर और गियर ट्रेन
उत्तर: P = 1.97 kW
पट्टा चालन: फिसलन के बिना दोनों घिरनियों की कोर की चाल समान होती है v = π·d·n/60, इसलिए n₁·d₁ = n₂·d₂ और गति अनुपात d₂/d₁ है। फिसलन s चालित घिरनी को थोड़ा धीमा कर देती है: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)। संचरित शक्ति P = (T₁ − T₂)·v है, जहाँ T₁ कसी हुई ओर का तनाव और T₂ ढीली ओर का। घर्षण तनावों के अनुपात को सीमित करता है: T₁/T₂ = eμθ, जहाँ θ छोटी घिरनी पर लपेट कोण रेडियन में है; खुले पट्टे के लिए θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), जहाँ C केंद्र दूरी है।
लपेट कोण
θ = 3.025 rad
ढीली ओर का तनाव
eμθ = e1.059 = 2.883, T₂ = 500/2.883 = 173.5 N
शक्ति
P = (500 − 173.5)·6.032 = 1.97 kW
उत्तर
P = 1.97 kW
3.शाफ़्ट का मरोड़
उत्तर: φ = 3.653 °
वृत्ताकार शाफ़्ट का मरोड़: अपरूपण प्रतिबल केंद्र पर शून्य से सतह पर τmax = T·r/J तक रैखिक रूप से बढ़ता है, ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32 और खोखले के लिए J = π(do⁴ − di⁴)/32। मरोड़ कोण रेडियन में φ = TL/(GJ) है। शक्ति और बलाघूर्ण P = T·ω से जुड़े हैं।
ध्रुवीय जड़त्व आघूर्ण
J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴
मरोड़ कोण
φ = TL/(GJ) = 250·1000·2500/(39000·251327) = 0.06376 rad
φ = 0.06376·180/π = 3.653°
उत्तर
φ = 3.653°
4.शाफ़्ट का मरोड़
उत्तर: τmax = 28.29 MPa
वृत्ताकार शाफ़्ट का मरोड़: अपरूपण प्रतिबल केंद्र पर शून्य से सतह पर τmax = T·r/J तक रैखिक रूप से बढ़ता है, ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32 और खोखले के लिए J = π(do⁴ − di⁴)/32। मरोड़ कोण रेडियन में φ = TL/(GJ) है। शक्ति और बलाघूर्ण P = T·ω से जुड़े हैं। जब दोनों सिरे स्थिर हों, तो स्थैतिकी अकेले केवल TA + TB = T₀ देती है; दूसरा समीकरण संगतता है (भारित खंड पर दोनों भागों का समान मरोड़)।
संतुलन और संगतता
TA + TB = 250
TA·a = TB·b
TA = 250·1.2/2 = 150 N·m
TB = 250·0.8/2 = 100 N·m
अधिकतम अपरूपण प्रतिबल
दोनों बलाघूर्णों में से बड़ा निर्णायक है (समान व्यास)।
τmax = 16·150000/(π·30³) = 28.29 MPa
उत्तर
τmax = 28.29 MPa
5.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण
उत्तर: θs = 76.72 °
समतल प्रतिबल रूपांतरण: θ से घुमाए गए तल पर σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ। मोर वृत्त सभी तलों को एक साथ दिखाता है: उसका केंद्र C = (σₓ + σᵧ)/2 पर और त्रिज्या R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) है। मुख्य प्रतिबल C ± R हैं, और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।
वृत्त पर कोण
मोर वृत्त पर शीर्ष बिंदु (+R) मुख्य बिंदु σ₁ से 90° पर है; अवयव पर यह 45° है।
cos 2θs = −40/44.72 = −0.8944, sin 2θs = −(−20)/44.72 = 0.4472
2θs = atan2(20, −40) = 153.4°
अवयव पर कोण
θs = 76.72°
जाँच: θs − θp = 76.72 − (−58.28) = 135°
उत्तर
θs = 76.72°
धनात्मक कोण वामावर्त होते हैं।
6.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण
उत्तर: τθ = −75 MPa
समतल प्रतिबल रूपांतरण: θ से घुमाए गए तल पर σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ। मोर वृत्त सभी तलों को एक साथ दिखाता है: उसका केंद्र C = (σₓ + σᵧ)/2 पर और त्रिज्या R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) है। मुख्य प्रतिबल C ± R हैं, और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।
रूपांतरण समीकरण
τθ = −75·1 + 30·0 = −75 MPa
उत्तर
τθ = −75 MPa
7.अक्षीय प्रतिबल और विकृति
उत्तर: P = 83.43 kN
दो पदार्थ: श्रेणी में (एक के बाद एक) हर खंड समान बल वहन करता है और विस्तार जुड़ते हैं: δ = P·Σ L/(E·A)। समानांतर में (दृढ़ प्लेटों के बीच अगल-बगल) दोनों भाग समान मात्रा से छोटे होते हैं, इसलिए उनके विकृति समान हैं: अधिक कठोर भाग बड़ा हिस्सा लेता है, Pi = P·EiAi/ΣEA, और σi = Ei·ε। दो दृढ़ दीवारों के बीच जकड़ी छड़, जिसके जोड़ पर भार लगा है, स्थैतिक रूप से अनिर्धार्य है: दोनों खंड भार को अपनी कठोरता k = EA/L के अनुपात में बाँटते हैं।
क्षेत्रफल
A₁ = 706.9 mm², A₂ = 2827 mm²
नम्यताएँ
L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·706.9) = 2.122 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 500/(120000·2827) = 1.474 × 10⁻⁶ mm/N
भार
P = 0.3/3.596 × 10⁻⁶ = 83432 N = 83.43 kN
उत्तर
P = 83.43 kN
8.अक्षीय प्रतिबल और विकृति
उत्तर: Pmax = 447.8 kN
दो पदार्थ: श्रेणी में (एक के बाद एक) हर खंड समान बल वहन करता है और विस्तार जुड़ते हैं: δ = P·Σ L/(E·A)। समानांतर में (दृढ़ प्लेटों के बीच अगल-बगल) दोनों भाग समान मात्रा से छोटे होते हैं, इसलिए उनके विकृति समान हैं: अधिक कठोर भाग बड़ा हिस्सा लेता है, Pi = P·EiAi/ΣEA, और σi = Ei·ε। दो दृढ़ दीवारों के बीच जकड़ी छड़, जिसके जोड़ पर भार लगा है, स्थैतिक रूप से अनिर्धार्य है: दोनों खंड भार को अपनी कठोरता k = EA/L के अनुपात में बाँटते हैं।
क्षेत्रफल
Ar = π·20²/4 = 314.2 mm²
At = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²
संयुक्त अक्षीय कठोरता
ΣEA = 200·10³·314.2 + 110·10³·5027 = 6.158 × 10⁸ N
निर्धारक विकृति
ε = min(0.0008, 0.0007273) = 0.0007273 (काँसा)
सबसे बड़ा भार
Pmax = 0.0007273·6.158 × 10⁸ = 447820 N = 447.8 kN
उत्तर
Pmax = 447.8 kN
9.स्तंभ बकलिंग
उत्तर: Pcr = 13.25 kN
ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ Pcr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।
न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण
गोल खंड का I हर अक्ष के परितः समान होता है।
I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴
प्रभावी लंबाई
KL = 1·4000 = 4000 mm
क्रांतिक भार
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/4000² = 13247 N = 13.25 kN
उत्तर
Pcr = 13.25 kN
10.स्तंभ बकलिंग
उत्तर: d = 58.31 mm
ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ Pcr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।
आवश्यक क्रांतिक भार
Pcr = n·P = 2·35000 = 70000 N
KL = 1·4000 = 4000 mm
व्यास के लिए हल करें
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·70000·4000²/(π³·200000))^(1/4) = 58.31 mm
उत्तर
d = 58.31 mm
जाँच: तनुता KL/r = 274.4 है, इसलिए स्तंभ पतला है और ऑयलर लागू होता है।
11.यांत्रिक कंपन
उत्तर: ζ = 0.6025
द्रव्यमान–स्प्रिंग तंत्र का मुक्त कंपन: अनवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति rad/s में ωn = √(k/m) है, और Hz में fn = ωn/(2π)। एक श्यान अवमंदक c अवमंदन अनुपात ζ = c/cc देता है, जहाँ क्रांतिक अवमंदन cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn। अल्प-अवमंदित तंत्र (ζ < 1) ωd = ωn·√(1 − ζ²) पर दोलन करता है। समांतर में स्प्रिंग जुड़ते हैं, k = k₁ + k₂; श्रेणी में स्प्रिंग व्युत्क्रम के रूप में जुड़ते हैं, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂।
क्रांतिक अवमंदन
cc = 2·√(k·m) = 2·√(15000·20) = 1095 N·s/m
अवमंदन अनुपात
ζ = c/cc = 660/1095 = 0.6025
उत्तर
ζ = 0.6025
ζ < 1, इसलिए तंत्र अल्प-अवमंदित है और क्षीण होते हुए दोलन करता है।
12.यांत्रिक कंपन
उत्तर: fn = 17.43 Hz
द्रव्यमान–स्प्रिंग तंत्र का मुक्त कंपन: अनवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति rad/s में ωn = √(k/m) है, और Hz में fn = ωn/(2π)। एक श्यान अवमंदक c अवमंदन अनुपात ζ = c/cc देता है, जहाँ क्रांतिक अवमंदन cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn। अल्प-अवमंदित तंत्र (ζ < 1) ωd = ωn·√(1 − ζ²) पर दोलन करता है। समांतर में स्प्रिंग जुड़ते हैं, k = k₁ + k₂; श्रेणी में स्प्रिंग व्युत्क्रम के रूप में जुड़ते हैं, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂।
तुल्य दृढ़ता
अगल-बगल के स्प्रिंग विक्षेप साझा करते हैं और उनके बल जुड़ते हैं, इसलिए उनकी दृढ़ताएँ सीधे जुड़ती हैं: k = k1 + k2।
keq = 40 + 80 = 120 kN/m
प्राकृतिक आवृत्ति
ωn = √(120000/10) = 109.5 rad/s
fn = 109.5/(2π) = 17.43 Hz
उत्तर
fn = 17.43 Hz
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