गियर और गियर ट्रेन
- परस्पर जुड़े गियर
- n1·N1 = n2·N2
- बलाघूर्ण
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- शक्ति
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- संयुक्त गियर ट्रेन
- कुल अनुपात = चरण अनुपातों का गुणनफल
मशीन डिज़ाइन: क्रैम पैक
सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 12 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।
1सूत्र और विधियाँ
शाफ़्ट का मरोड़
- अपरूपण प्रतिबल
- τ = T·r/J
- ठोस शाफ़्ट
- J = πd⁴/32
- खोखला शाफ़्ट
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- मरोड़ कोण
- φ = TL/(GJ)
- शक्ति
- P = T·ω = 2πnT/60
विधि
- ध्रुवीय क्षेत्र आघूर्ण ज्ञात करें: ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32।
- सतह पर अपरूपण प्रतिबल: τ = T·r/J, जहाँ r बाहरी त्रिज्या है।
- ऐंठन कोण: रेडियन में φ = TL/(GJ)।
- यदि शक्ति दी गई है, तो पहले P = T·ω, ω = 2πn/60 से बलाघूर्ण ज्ञात करें।
मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण
- केंद्र
- C = (σx + σy)/2
- त्रिज्या
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- मुख्य प्रतिबल
- σ1,2 = C ± R
- मुख्य दिशा
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- झुका हुआ तल
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
विधि
- मोर वृत्त का केंद्र निकालें: C = (σx + σy)/2।
- त्रिज्या निकालें: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)।
- मुख्य प्रतिबल C ± R हैं और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।
- वृत्त पर कोण अवयव पर कोणों के दोगुने होते हैं: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)।
अक्षीय प्रतिबल और विकृति
- अभिलंब प्रतिबल
- σ = F/A
- विकृति
- ε = ΔL/L
- हुक का नियम
- σ = E·ε
- दीर्घीकरण
- ΔL = FL/(EA)
- तापीय विकृति
- εT = α·ΔT
स्तंभ बकलिंग
- ऑयलर भार
- Pcr = π²EI/(KL)²
- प्रभावी लंबाई गुणांक
- K = 1 पिन–पिन, 0.5 स्थिर–स्थिर, 0.7 स्थिर–पिन, 2 स्थिर–मुक्त
- क्रांतिक प्रतिबल
- σcr = Pcr/A
- पतलापन अनुपात
- λ = KL/r, r = √(I/A)
यांत्रिक कंपन
- प्राकृतिक आवृत्ति
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- स्थैतिक विक्षेप से
- ωn = √(g/δst)
- क्रांतिक अवमंदन
- cc = 2√(km) = 2mωn
- अवमंदन अनुपात
- ζ = c/cc
- अवमंदित आवृत्ति
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- लघुगणकीय ह्रास
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- समांतर में स्प्रिंग
- k = k1 + k2
- श्रेणी में स्प्रिंग
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2अभ्यास प्रश्न
1.गियर और गियर ट्रेनमध्यम
1440 rpm पर चल रही एक 0.75 kW मोटर 15 दाँतों वाले पिनियन को चलाती है, जो 30 दाँतों वाले गियर से जुड़ा है। गियर युग्म की दक्षता 95% है। मोटर शाफ़्ट पर बलाघूर्ण T1 ज्ञात कीजिए।
P = 0.75 kWn1 = 1440 rpmN1 = 15N2 = 30η = 95%
T1 = N·m
2.गियर और गियर ट्रेनकठिन
एक खुला पट्टा 200 mm की घिरनी और 400 mm की घिरनी को जोड़ता है, जिनके केंद्र 500 mm दूर हैं। छोटी घिरनी पर लपेट कोण θ डिग्री में ज्ञात कीजिए।
d1 = 200 mmd2 = 400 mmC = 500 mm
θ = °
3.शाफ़्ट का मरोड़मध्यम
स्टील का एक ठोस शाफ़्ट दीवार में जड़ित है और मुक्त सिरे पर बलाघूर्ण T से मरोड़ा जाता है। मुक्त सिरे का मरोड़ कोण φ डिग्री में ज्ञात कीजिए।
T = 500 N·md = 50 mmL = 2 mG = 80 GPa
φ = °
4.शाफ़्ट का मरोड़कठिन
40 mm व्यास वाला एक ठोस एल्युमिनियम शाफ़्ट A पर स्थिर है। A से 2.5 m पर B पर 200 N·m का बलाघूर्ण कार्य करता है, और 1.2 m और आगे मुक्त सिरे C पर विपरीत दिशा में 100 N·m का बलाघूर्ण कार्य करता है। शाफ़्ट में अधिकतम अपरूपण प्रतिबल τmax ज्ञात कीजिए।
d = 40 mmTB = 200 N·mTC = 100 N·mAB = 2.5 mBC = 1.2 m
τmax = MPa
5.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणमध्यम
एक बिंदु पर σₓ = 0 MPa और σᵧ = −60 MPa है। सबसे बड़े मुख्य प्रतिबल के 55 MPa तक पहुँचने से पहले अपरूपण प्रतिबल τxy (परिमाण) कितना बड़ा हो सकता है?
σx = 0 MPaσy = −60 MPaσ1 = 55 MPa
τxy = MPa
6.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणकठिन
किसी भारित पुर्ज़े के एक बिंदु पर σₓ = −50 MPa, σᵧ = 0 MPa और τₓᵧ = 40 MPa है (तनन धनात्मक)। उस तल पर अभिलंब प्रतिबल σθ ज्ञात कीजिए जिसका अभिलंब x-अक्ष से 20° वामावर्त घुमाया गया है।
σx = −50 MPaσy = 0 MPaτxy = 40 MPaθ = 20°
σθ = MPa
7.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिमध्यम
एक छड़ स्टील के खंड (व्यास 25 mm, लंबाई 300 mm, E = 200 GPa) से बनी है, जो काँसा के बने खंड (व्यास 60 mm, लंबाई 200 mm, E = 110 GPa) से सिरे से सिरा जोड़कर जुड़ा है। वह एक सिरे पर स्थिर है और दूसरे पर खींची जाती है। वह अक्षीय भार P ज्ञात कीजिए जो उसे कुल 0.25 mm खींचता है।
खंड 1: स्टील, Ø25 mm, 300 mm, E = 200 GPaखंड 2: काँसा, Ø60 mm, 200 mm, E = 110 GPaδ = 0.25 mm
P = kN
8.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिकठिन
सोपानी छड़ दीवार में जड़ित है और अपने मुक्त सिरे पर भारित है। कुल दीर्घीकरण δ ज्ञात कीजिए।
P = 20 kNखंड 1: Ø25 mm, 0.5 m, पीतल (E = 100 GPa)खंड 2: Ø12 mm, 1.5 m, एल्युमिनियम (E = 70 GPa)
δ = mm
9.स्तंभ बकलिंगमध्यम
स्टील से बना L लंबाई का एक स्तंभ आधार पर जड़ित और शीर्ष पर पिन किया हुआ है। ऑयलर सूत्र से उसका क्रांतिक बकलिंग भार Pcr ज्ञात कीजिए।
L = 5 mE = 200 GPa (स्टील)d = 50 mm
Pcr = kN
10.स्तंभ बकलिंगकठिन
स्टील से बना L लंबाई का एक ठोस गोल स्तंभ आधार पर जड़ित और शीर्ष पर पिन किया हुआ है। इसे बकलिंग के विरुद्ध 3 के सुरक्षा गुणक के साथ 60 kN वहन करना है। न्यूनतम व्यास d ज्ञात कीजिए।
P = 60 kNn = 3L = 1.5 mE = 200 GPa (स्टील)
d = mm
11.यांत्रिक कंपनमध्यम
एक अवमंदित द्रव्यमान–स्प्रिंग तंत्र के मुक्त-कंपन परीक्षण में 40 mm के विस्थापन शिखर के 2 चक्र बाद 24.2 mm का शिखर आता है। अवमंदन अनुपात ζ ज्ञात कीजिए।
x0 = 40 mmx2 = 24.2 mmn = 2
ζ =
12.यांत्रिक कंपनकठिन
एक 40 kg द्रव्यमान स्प्रिंग k₃ = 40 kN/m से लटका है। k₃ का ऊपरी सिरा एक दृढ़ छड़ से जुड़ा है जो अगल-बगल दो स्प्रिंगों k₁ = 100 kN/m और k₂ = 10 kN/m से लटकी है; छड़ समतल रहती है। अवमंदन तथा स्प्रिंगों और छड़ के द्रव्यमान की उपेक्षा करें। ऊर्ध्वाधर कंपन की प्राकृतिक आवृत्ति fn Hz में ज्ञात कीजिए।
m = 40 kgk1 = 100 kN/mk2 = 10 kN/mk3 = 40 kN/m
fn = Hz
3विलयन
1.गियर और गियर ट्रेन
उत्तर: T1 = 4.974 N·m
गियर ट्रेन: परस्पर जुड़े गियरों के दाँतों पर चाल समान होती है, इसलिए n₁·N₁ = n₂·N₂: कम दाँतों वाला गियर तेज़ घूमता है। एक ही शाफ़्ट पर लगे गियर समान चाल से घूमते हैं। शक्ति आगे पहुँचती है (हानियों को घटाकर), इसलिए चाल घटने पर बलाघूर्ण बढ़ता है: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, और P = T·ω, जहाँ ω = 2π·n/60।
मोटर बलाघूर्ण
ω₁ = 2π·1440/60 = 150.8 rad/s
T1 = P/ω₁ = 750/150.8 = 4.974 N·m
उत्तर
T1 = 4.974 N·m
2.गियर और गियर ट्रेन
उत्तर: θ = 156.9 °
पट्टा चालन: फिसलन के बिना दोनों घिरनियों की कोर की चाल समान होती है v = π·d·n/60, इसलिए n₁·d₁ = n₂·d₂ और गति अनुपात d₂/d₁ है। फिसलन s चालित घिरनी को थोड़ा धीमा कर देती है: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)। संचरित शक्ति P = (T₁ − T₂)·v है, जहाँ T₁ कसी हुई ओर का तनाव और T₂ ढीली ओर का। घर्षण तनावों के अनुपात को सीमित करता है: T₁/T₂ = eμθ, जहाँ θ छोटी घिरनी पर लपेट कोण रेडियन में है; खुले पट्टे के लिए θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), जहाँ C केंद्र दूरी है।
पट्टे का कोण
asin(0.2) = 11.54°
लपेट कोण
θ = 180 − 2·11.54 = 156.9°
उत्तर
θ = 156.9°
3.शाफ़्ट का मरोड़
उत्तर: φ = 1.167 °
वृत्ताकार शाफ़्ट का मरोड़: अपरूपण प्रतिबल केंद्र पर शून्य से सतह पर τmax = T·r/J तक रैखिक रूप से बढ़ता है, ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32 और खोखले के लिए J = π(do⁴ − di⁴)/32। मरोड़ कोण रेडियन में φ = TL/(GJ) है। शक्ति और बलाघूर्ण P = T·ω से जुड़े हैं।
ध्रुवीय जड़त्व आघूर्ण
J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴
मरोड़ कोण
φ = TL/(GJ) = 500·1000·2000/(80000·613592) = 0.02037 rad
φ = 0.02037·180/π = 1.167°
उत्तर
φ = 1.167°
4.शाफ़्ट का मरोड़
उत्तर: τmax = 7.958 MPa
वृत्ताकार शाफ़्ट का मरोड़: अपरूपण प्रतिबल केंद्र पर शून्य से सतह पर τmax = T·r/J तक रैखिक रूप से बढ़ता है, ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32 और खोखले के लिए J = π(do⁴ − di⁴)/32। मरोड़ कोण रेडियन में φ = TL/(GJ) है। शक्ति और बलाघूर्ण P = T·ω से जुड़े हैं।
आंतरिक बलाघूर्ण
TC की दिशा धनात्मक ली गई है।
TBC = TC = 100 N·m
TAB = TC − TB = 100 − 200 = −100 N·m
अधिकतम अपरूपण प्रतिबल
सबसे बड़े आंतरिक बलाघूर्ण वाले खंड में प्रतिबल सबसे बड़ा है (समान व्यास)।
|T|max = 100 N·m
τmax = 16·100000/(π·40³) = 7.958 MPa
उत्तर
τmax = 7.958 MPa
5.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण
उत्तर: τxy = 79.53 MPa
समतल प्रतिबल रूपांतरण: θ से घुमाए गए तल पर σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ। मोर वृत्त सभी तलों को एक साथ दिखाता है: उसका केंद्र C = (σₓ + σᵧ)/2 पर और त्रिज्या R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) है। मुख्य प्रतिबल C ± R हैं, और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।
आवश्यक त्रिज्या
C = (0 + (−60))/2 = −30 MPa
R = σ1 − C = 55 − (−30) = 85 MPa
अपरूपण प्रतिबल
τxy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(85² − 30²) = 79.53 MPa
उत्तर
τxy = 79.53 MPa
6.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण
उत्तर: σθ = −18.44 MPa
समतल प्रतिबल रूपांतरण: θ से घुमाए गए तल पर σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ। मोर वृत्त सभी तलों को एक साथ दिखाता है: उसका केंद्र C = (σₓ + σᵧ)/2 पर और त्रिज्या R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) है। मुख्य प्रतिबल C ± R हैं, और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।
रूपांतरण समीकरण
σθ = −25 + −25·0.766 + 40·0.6428 = −18.44 MPa
उत्तर
σθ = −18.44 MPa
7.अक्षीय प्रतिबल और विकृति
उत्तर: P = 67.59 kN
दो पदार्थ: श्रेणी में (एक के बाद एक) हर खंड समान बल वहन करता है और विस्तार जुड़ते हैं: δ = P·Σ L/(E·A)। समानांतर में (दृढ़ प्लेटों के बीच अगल-बगल) दोनों भाग समान मात्रा से छोटे होते हैं, इसलिए उनके विकृति समान हैं: अधिक कठोर भाग बड़ा हिस्सा लेता है, Pi = P·EiAi/ΣEA, और σi = Ei·ε। दो दृढ़ दीवारों के बीच जकड़ी छड़, जिसके जोड़ पर भार लगा है, स्थैतिक रूप से अनिर्धार्य है: दोनों खंड भार को अपनी कठोरता k = EA/L के अनुपात में बाँटते हैं।
क्षेत्रफल
A₁ = 490.9 mm², A₂ = 2827 mm²
नम्यताएँ
L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·490.9) = 3.056 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 200/(110000·2827) = 6.431 × 10⁻⁷ mm/N
भार
P = 0.25/3.699 × 10⁻⁶ = 67589 N = 67.59 kN
उत्तर
P = 67.59 kN
8.अक्षीय प्रतिबल और विकृति
उत्तर: δ = 3.993 mm
अक्षीय भारित अवयव: हर प्रिज़्मीय खंड δ = PL/(AE) का पालन करता है। श्रेणी में अवयवों के दीर्घीकरण जुड़ते हैं।
दोनों खंडों में समान बल
मुक्त सिरा P वहन करता है, इसलिए छड़ का हर खंड वही अक्षीय बल P वहन करता है। केवल क्षेत्रफल और पदार्थ बदलते हैं।
A1 = π·25²/4 = 490.9 mm², A2 = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ1 = 40.74 MPa
σ2 = 176.8 MPa
खंडों का दीर्घीकरण जोड़ें
δ1 = σ1L1/E1 = 40.74·500/100000 = 0.2037 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 176.8·1500/70000 = 3.789 mm
δ = δ1 + δ2 = 3.993 mm
उत्तर
δ = 3.993 mm
9.स्तंभ बकलिंग
उत्तर: Pcr = 49.44 kN
ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ Pcr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।
न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण
गोल खंड का I हर अक्ष के परितः समान होता है।
I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴
प्रभावी लंबाई
KL = 0.7·5000 = 3500 mm
क्रांतिक भार
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/3500² = 49436 N = 49.44 kN
उत्तर
Pcr = 49.44 kN
10.स्तंभ बकलिंग
उत्तर: d = 37.83 mm
ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ Pcr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।
आवश्यक क्रांतिक भार
Pcr = n·P = 3·60000 = 180000 N
KL = 0.7·1500 = 1050 mm
व्यास के लिए हल करें
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·180000·1050²/(π³·200000))^(1/4) = 37.83 mm
उत्तर
d = 37.83 mm
जाँच: तनुता KL/r = 111 है, इसलिए स्तंभ पतला है और ऑयलर लागू होता है।
11.यांत्रिक कंपन
उत्तर: ζ = 0.03996
द्रव्यमान–स्प्रिंग तंत्र का मुक्त कंपन: अनवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति rad/s में ωn = √(k/m) है, और Hz में fn = ωn/(2π)। एक श्यान अवमंदक c अवमंदन अनुपात ζ = c/cc देता है, जहाँ क्रांतिक अवमंदन cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn। अल्प-अवमंदित तंत्र (ζ < 1) ωd = ωn·√(1 − ζ²) पर दोलन करता है। समांतर में स्प्रिंग जुड़ते हैं, k = k₁ + k₂; श्रेणी में स्प्रिंग व्युत्क्रम के रूप में जुड़ते हैं, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂।
लघुगणकीय ह्रास
δ = (1/2)·ln(40/24.2) = 0.2513
अवमंदन अनुपात
ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.2513/√(39.48 + 0.06313) = 0.03996
उत्तर
ζ = 0.03996
12.यांत्रिक कंपन
उत्तर: fn = 4.31 Hz
द्रव्यमान–स्प्रिंग तंत्र का मुक्त कंपन: अनवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति rad/s में ωn = √(k/m) है, और Hz में fn = ωn/(2π)। एक श्यान अवमंदक c अवमंदन अनुपात ζ = c/cc देता है, जहाँ क्रांतिक अवमंदन cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn। अल्प-अवमंदित तंत्र (ζ < 1) ωd = ωn·√(1 − ζ²) पर दोलन करता है। समांतर में स्प्रिंग जुड़ते हैं, k = k₁ + k₂; श्रेणी में स्प्रिंग व्युत्क्रम के रूप में जुड़ते हैं, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂।
तुल्य दृढ़ता
केवल k1 और k2 समांतर में हैं। वह जोड़ी k3 के श्रेणी में है, इसलिए उन्हें व्युत्क्रम के रूप में मिलाएँ।
k12 = 100 + 10 = 110 kN/m
keq = 110·40/(110 + 40) = 29.33 kN/m
प्राकृतिक आवृत्ति
ωn = √(29333/40) = 27.08 rad/s
fn = 27.08/(2π) = 4.31 Hz
उत्तर
fn = 4.31 Hz
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