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सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 12 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

गियर और गियर ट्रेन

परस्पर जुड़े गियर: n₁·N₁ = n₂·N₂
बलाघूर्ण: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
शक्ति: P = T·ω, ω = 2π·n/60
संयुक्त गियर ट्रेन: कुल अनुपात = चरण अनुपातों का गुणनफल

शाफ़्ट का मरोड़

अपरूपण प्रतिबल: τ = T·r/J
ठोस शाफ़्ट: J = πd⁴/32
खोखला शाफ़्ट: J = π(D⁴ − d⁴)/32
मरोड़ कोण: φ = TL/(GJ)
शक्ति: P = T·ω = 2πnT/60

विधि

ध्रुवीय क्षेत्र आघूर्ण ज्ञात करें: ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32।
सतह पर अपरूपण प्रतिबल: τ = T·r/J, जहाँ r बाहरी त्रिज्या है।
ऐंठन कोण: रेडियन में φ = TL/(GJ)।
यदि शक्ति दी गई है, तो पहले P = T·ω, ω = 2πn/60 से बलाघूर्ण ज्ञात करें।

मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

केंद्र: C = (σ_x + σ_y)/2
त्रिज्या: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
मुख्य प्रतिबल: σ_1,2 = C ± R
मुख्य दिशा: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
झुका हुआ तल: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

विधि

मोर वृत्त का केंद्र निकालें: C = (σx + σy)/2।
त्रिज्या निकालें: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)।
मुख्य प्रतिबल C ± R हैं और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।
वृत्त पर कोण अवयव पर कोणों के दोगुने होते हैं: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)।

अक्षीय प्रतिबल और विकृति

अभिलंब प्रतिबल: σ = F/A
विकृति: ε = ΔL/L
हुक का नियम: σ = E·ε
दीर्घीकरण: ΔL = FL/(EA)
तापीय विकृति: ε_T = α·ΔT

स्तंभ बकलिंग

ऑयलर भार: P_cr = π²EI/(KL)²
प्रभावी लंबाई गुणांक: K = 1 पिन–पिन, 0.5 स्थिर–स्थिर, 0.7 स्थिर–पिन, 2 स्थिर–मुक्त
क्रांतिक प्रतिबल: σ_cr = P_cr/A
पतलापन अनुपात: λ = KL/r, r = √(I/A)

यांत्रिक कंपन

प्राकृतिक आवृत्ति: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
स्थैतिक विक्षेप से: ω_n = √(g/δ_st)
क्रांतिक अवमंदन: c_c = 2√(km) = 2mω_n
अवमंदन अनुपात: ζ = c/c_c
अवमंदित आवृत्ति: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
लघुगणकीय ह्रास: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
समांतर में स्प्रिंग: k = k₁ + k₂
श्रेणी में स्प्रिंग: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2अभ्यास प्रश्न

1.गियर और गियर ट्रेनमध्यम

2900 rpm पर चल रही एक 7.5 kW मोटर 40 दाँतों वाले पिनियन को चलाती है, जो 45 दाँतों वाले गियर से जुड़ा है। हानियों को नगण्य मानें। गियर शाफ़्ट पर निर्गत बलाघूर्ण T₂ ज्ञात कीजिए।

P = 7.5 kWn₁ = 2900 rpmN₁ = 40N₂ = 45η = 100%

T₂ = N·m

2.गियर और गियर ट्रेनकठिन

एक संयुक्त गियर ट्रेन में, 2900 rpm पर घूम रहे निवेश शाफ़्ट पर लगा गियर A (30 दाँत) गियर B (50 दाँत) को चलाता है। गियर C (18 दाँत) B वाले शाफ़्ट पर ही लगा है और निर्गत शाफ़्ट पर लगे गियर D (50 दाँत) को चलाता है। निर्गत चाल n_out ज्ञात कीजिए।

n_in = 2900 rpmA = 30B = 50C = 18D = 50

n_out = rpm

3.शाफ़्ट का मरोड़मध्यम

0.8 m लंबा एक ठोस स्टील शाफ़्ट 200 N·m का बलाघूर्ण वहन करता है। उसके सिरों के बीच मरोड़ कोण 2° से अधिक नहीं होना चाहिए। इस सीमा को पूरा करने वाला सबसे छोटा व्यास d ज्ञात कीजिए।

T = 200 N·mL = 0.8 mG = 80 GPaφ_allow = 2°

d = mm

4.शाफ़्ट का मरोड़कठिन

एक खोखला शाफ़्ट 500 rpm पर 20 kW संचारित करता है। शाफ़्ट में अधिकतम अपरूपण प्रतिबल τ_max ज्ञात कीजिए।

P = 20 kWN = 500 rpmd_o = 60 mmd_i = 48 mm

τ_max = MPa

5.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणमध्यम

किसी भारित पुर्ज़े के एक बिंदु पर σₓ = 130 MPa, σᵧ = −40 MPa और τₓᵧ = 60 MPa है (तनन धनात्मक)। x-अक्ष से सबसे बड़े मुख्य प्रतिबल की दिशा तक का कोण θ_p, −90° और 90° के बीच, ज्ञात कीजिए।

σ_x = 130 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = 60 MPa

θ_p = °

6.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणकठिन

किसी भारित पुर्ज़े के एक बिंदु पर σₓ = 10 MPa, σᵧ = 120 MPa और τₓᵧ = 60 MPa है (तनन धनात्मक)। उस तल पर अभिलंब प्रतिबल σ_θ ज्ञात कीजिए जिसका अभिलंब x-अक्ष से 25° वामावर्त घुमाया गया है।

σ_x = 10 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = 60 MPaθ = 25°

σ_θ = MPa

7.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिमध्यम

एल्युमिनियम छड़ में अक्षीय विकृति ε माइक्रोस्ट्रेन (µε = 10⁻⁶) में ज्ञात कीजिए।

P = 40 kNd = 20 mmL = 3 mE = 70 GPa

ε = µε

8.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिकठिन

सोपानी छड़ दीवार में जड़ित है और अपने मुक्त सिरे पर भारित है। कुल दीर्घीकरण δ ज्ञात कीजिए।

P = 10 kNखंड 1: Ø40 mm, 1.5 m, स्टील (E = 200 GPa)खंड 2: Ø20 mm, 0.5 m, स्टील (E = 200 GPa)

δ = mm

9.स्तंभ बकलिंगमध्यम

स्टील से बना L लंबाई का एक स्तंभ आधार पर जड़ित और शीर्ष पर मुक्त है। ऑयलर सूत्र से उसका क्रांतिक बकलिंग भार P_cr ज्ञात कीजिए।

L = 3 mE = 200 GPa (स्टील)b × h = 25 × 50 mm

P_cr = kN

10.स्तंभ बकलिंगकठिन

स्टील से बना L लंबाई का एक ठोस गोल स्तंभ दोनों सिरों पर पिन किया हुआ है। इसे बकलिंग के विरुद्ध 2 के सुरक्षा गुणक के साथ 25 kN वहन करना है। न्यूनतम व्यास d ज्ञात कीजिए।

P = 25 kNn = 2L = 4 mE = 200 GPa (स्टील)

d = mm

11.यांत्रिक कंपनमध्यम

एक 25 kg द्रव्यमान 8 kN/m दृढ़ता वाले स्प्रिंग और 270 N·s/m अवमंदन गुणांक वाले श्यान अवमंदक पर टिका है। अवमंदन अनुपात ζ ज्ञात कीजिए।

m = 25 kgk = 8 kN/mc = 270 N·s/m

ζ =

12.यांत्रिक कंपनकठिन

एक 25 kg द्रव्यमान स्प्रिंग k₃ = 10 kN/m से लटका है। k₃ का ऊपरी सिरा एक दृढ़ छड़ से जुड़ा है जो अगल-बगल दो स्प्रिंगों k₁ = 15 kN/m और k₂ = 12 kN/m से लटकी है; छड़ समतल रहती है। अवमंदन तथा स्प्रिंगों और छड़ के द्रव्यमान की उपेक्षा करें। ऊर्ध्वाधर कंपन की प्राकृतिक आवृत्ति f_n Hz में ज्ञात कीजिए।

m = 25 kgk₁ = 15 kN/mk₂ = 12 kN/mk₃ = 10 kN/m

f_n = Hz

3विलयन

1.गियर और गियर ट्रेन

उत्तर: T₂ = 27.78 N·m

गियर ट्रेन: परस्पर जुड़े गियरों के दाँतों पर चाल समान होती है, इसलिए n₁·N₁ = n₂·N₂: कम दाँतों वाला गियर तेज़ घूमता है। एक ही शाफ़्ट पर लगे गियर समान चाल से घूमते हैं। शक्ति आगे पहुँचती है (हानियों को घटाकर), इसलिए चाल घटने पर बलाघूर्ण बढ़ता है: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, और P = T·ω, जहाँ ω = 2π·n/60।

मोटर बलाघूर्ण

ω₁ = 2π·2900/60 = 303.7 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 7500/303.7 = 24.7 N·m

निर्गत बलाघूर्ण

T₂ = 24.7·45/40·1 = 27.78 N·m

उत्तर

T₂ = 27.78 N·m

2.गियर और गियर ट्रेन

उत्तर: n_out = 626.4 rpm

पहला चरण

n_B = 2900·30/50 = 1740 rpm = n_C

दूसरा चरण

n_out = 1740·18/50 = 626.4 rpm

उत्तर

n_out = 626.4 rpm

कुल अनुपात = 4.63 : 1

3.शाफ़्ट का मरोड़

उत्तर: d = 27.64 mm

वृत्ताकार शाफ़्ट का मरोड़: अपरूपण प्रतिबल केंद्र पर शून्य से सतह पर τ_max = T·r/J तक रैखिक रूप से बढ़ता है, ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32 और खोखले के लिए J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32। मरोड़ कोण रेडियन में φ = TL/(GJ) है। शक्ति और बलाघूर्ण P = T·ω से जुड़े हैं।

आवश्यक ध्रुवीय आघूर्ण

T = 200 N·m = 200000 N·mm

L = 0.8 m = 800 mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ = 2·π/180 = 0.03491 rad

J = TL/(Gφ) = 200000·800/(80000·0.03491) = 57296 mm⁴

व्यास

d = (32J/π)^1/4 = 27.64 mm

उत्तर

d = 27.64 mm

व्यवहार में आप अगले मानक आकार तक पूर्णांकित करेंगे।

4.शाफ़्ट का मरोड़

उत्तर: τ_max = 15.25 MPa

बलाघूर्ण

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52.36 rad/s

T = P/ω = 20000/52.36 = 382 N·m

ध्रुवीय जड़त्व आघूर्ण

J = π(60⁴ − 48⁴)/32 = 751193 mm⁴

अधिकतम अपरूपण प्रतिबल

τ_max = T·(d_o/2)/J = 381972·30/751193 = 15.25 MPa

उत्तर

τ_max = 15.25 MPa

5.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

उत्तर: θ_p = 17.61 °

समतल प्रतिबल रूपांतरण: θ से घुमाए गए तल पर σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ। मोर वृत्त सभी तलों को एक साथ दिखाता है: उसका केंद्र C = (σₓ + σᵧ)/2 पर और त्रिज्या R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) है। मुख्य प्रतिबल C ± R हैं, और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।

वृत्त पर कोण

मोर वृत्त पर बिंदु x, σ-अक्ष से 2θp कोण पर होता है; चतुर्थांश σₓ − σᵧ और τₓᵧ के चिह्नों से तय होता है।

2θ_p = atan2(2·60, 130 − −40) = 35.22°

अवयव पर कोण

θ_p = 17.61°

उत्तर

θ_p = 17.61°

धनात्मक कोण वामावर्त होते हैं।

6.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

उत्तर: σ_θ = 75.61 MPa

रूपांतरण समीकरण

σ_θ = 65 + −55·0.6428 + 60·0.766 = 75.61 MPa

उत्तर

σ_θ = 75.61 MPa

7.अक्षीय प्रतिबल और विकृति

उत्तर: ε = 1819 µε

हुक का नियम: प्रत्यास्थ सीमा में σ = E·ε। σ = P/A और ε = δ/L के साथ मिलाने पर δ = PL/(AE) मिलता है।

प्रतिबल

A = π·20²/4 = 314.2 mm²

σ = P/A = 40·1000/314.2 = 127.3 MPa

विकृति (हुक का नियम)

E for एल्युमिनियम = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 127.3/70000 = 0.001819 = 1819 µε

उत्तर

ε = 1819 µε

8.अक्षीय प्रतिबल और विकृति

उत्तर: δ = 0.1393 mm

अक्षीय भारित अवयव: हर प्रिज़्मीय खंड δ = PL/(AE) का पालन करता है। श्रेणी में अवयवों के दीर्घीकरण जुड़ते हैं।

दोनों खंडों में समान बल

मुक्त सिरा P वहन करता है, इसलिए छड़ का हर खंड वही अक्षीय बल P वहन करता है। केवल क्षेत्रफल और पदार्थ बदलते हैं।

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·20²/4 = 314.2 mm²

σ₁ = 7.958 MPa

σ₂ = 31.83 MPa

खंडों का दीर्घीकरण जोड़ें

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 7.958·1500/200000 = 0.05968 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 31.83·500/200000 = 0.07958 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 0.1393 mm

उत्तर

δ = 0.1393 mm

9.स्तंभ बकलिंग

उत्तर: P_cr = 3.57 kN

ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ P_cr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।

न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण

आयत अपनी कमज़ोर अक्ष के परितः, छोटी विमा के घन के साथ मुड़ता है।

I_min = h·b³/12 = 50·25³/12 = 65104 mm⁴

प्रभावी लंबाई

KL = 2·3000 = 6000 mm

क्रांतिक भार

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·65104/6000² = 3570 N = 3.57 kN

उत्तर

P_cr = 3.57 kN

10.स्तंभ बकलिंग

उत्तर: d = 53.6 mm

आवश्यक क्रांतिक भार

P_cr = n·P = 2·25000 = 50000 N

KL = 1·4000 = 4000 mm

व्यास के लिए हल करें

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·50000·4000²/(π³·200000))^(1/4) = 53.6 mm

उत्तर

d = 53.6 mm

जाँच: तनुता KL/r = 298.5 है, इसलिए स्तंभ पतला है और ऑयलर लागू होता है।

11.यांत्रिक कंपन

उत्तर: ζ = 0.3019

द्रव्यमान–स्प्रिंग तंत्र का मुक्त कंपन: अनवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति rad/s में ω_n = √(k/m) है, और Hz में f_n = ω_n/(2π)। एक श्यान अवमंदक c अवमंदन अनुपात ζ = c/c_c देता है, जहाँ क्रांतिक अवमंदन c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n। अल्प-अवमंदित तंत्र (ζ < 1) ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) पर दोलन करता है। समांतर में स्प्रिंग जुड़ते हैं, k = k₁ + k₂; श्रेणी में स्प्रिंग व्युत्क्रम के रूप में जुड़ते हैं, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂।

क्रांतिक अवमंदन

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(8000·25) = 894.4 N·s/m

अवमंदन अनुपात

ζ = c/c_c = 270/894.4 = 0.3019

उत्तर

ζ = 0.3019

ζ < 1, इसलिए तंत्र अल्प-अवमंदित है और क्षीण होते हुए दोलन करता है।

12.यांत्रिक कंपन

उत्तर: f_n = 2.719 Hz

तुल्य दृढ़ता

केवल k₁ और k₂ समांतर में हैं। वह जोड़ी k₃ के श्रेणी में है, इसलिए उन्हें व्युत्क्रम के रूप में मिलाएँ।

k₁₂ = 15 + 12 = 27 kN/m

k_eq = 27·10/(27 + 10) = 7.297 kN/m

प्राकृतिक आवृत्ति

ω_n = √(7297/25) = 17.08 rad/s

f_n = 17.08/(2π) = 2.719 Hz

उत्तर

f_n = 2.719 Hz

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