गियर और गियर ट्रेन
- परस्पर जुड़े गियर
- n1·N1 = n2·N2
- बलाघूर्ण
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- शक्ति
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- संयुक्त गियर ट्रेन
- कुल अनुपात = चरण अनुपातों का गुणनफल
मशीन डिज़ाइन: क्रैम पैक
सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 12 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।
1सूत्र और विधियाँ
शाफ़्ट का मरोड़
- अपरूपण प्रतिबल
- τ = T·r/J
- ठोस शाफ़्ट
- J = πd⁴/32
- खोखला शाफ़्ट
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- मरोड़ कोण
- φ = TL/(GJ)
- शक्ति
- P = T·ω = 2πnT/60
विधि
- ध्रुवीय क्षेत्र आघूर्ण ज्ञात करें: ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32।
- सतह पर अपरूपण प्रतिबल: τ = T·r/J, जहाँ r बाहरी त्रिज्या है।
- ऐंठन कोण: रेडियन में φ = TL/(GJ)।
- यदि शक्ति दी गई है, तो पहले P = T·ω, ω = 2πn/60 से बलाघूर्ण ज्ञात करें।
मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण
- केंद्र
- C = (σx + σy)/2
- त्रिज्या
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- मुख्य प्रतिबल
- σ1,2 = C ± R
- मुख्य दिशा
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- झुका हुआ तल
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
विधि
- मोर वृत्त का केंद्र निकालें: C = (σx + σy)/2।
- त्रिज्या निकालें: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)।
- मुख्य प्रतिबल C ± R हैं और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।
- वृत्त पर कोण अवयव पर कोणों के दोगुने होते हैं: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)।
अक्षीय प्रतिबल और विकृति
- अभिलंब प्रतिबल
- σ = F/A
- विकृति
- ε = ΔL/L
- हुक का नियम
- σ = E·ε
- दीर्घीकरण
- ΔL = FL/(EA)
- तापीय विकृति
- εT = α·ΔT
स्तंभ बकलिंग
- ऑयलर भार
- Pcr = π²EI/(KL)²
- प्रभावी लंबाई गुणांक
- K = 1 पिन–पिन, 0.5 स्थिर–स्थिर, 0.7 स्थिर–पिन, 2 स्थिर–मुक्त
- क्रांतिक प्रतिबल
- σcr = Pcr/A
- पतलापन अनुपात
- λ = KL/r, r = √(I/A)
यांत्रिक कंपन
- प्राकृतिक आवृत्ति
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- स्थैतिक विक्षेप से
- ωn = √(g/δst)
- क्रांतिक अवमंदन
- cc = 2√(km) = 2mωn
- अवमंदन अनुपात
- ζ = c/cc
- अवमंदित आवृत्ति
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- लघुगणकीय ह्रास
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- समांतर में स्प्रिंग
- k = k1 + k2
- श्रेणी में स्प्रिंग
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2अभ्यास प्रश्न
1.गियर और गियर ट्रेनमध्यम
एक पट्टा 150 mm की चालक घिरनी पर 1450 rpm पर चलता है। कसी हुई ओर तनाव 1200 N और ढीली ओर 300 N है। संचरित शक्ति P kW में ज्ञात कीजिए।
d1 = 150 mmn1 = 1450 rpmT1 = 1200 NT2 = 300 N
P = kW
2.गियर और गियर ट्रेनकठिन
एक खुला पट्टा 450 mm की घिरनी को 80 mm की चालक घिरनी से, जो 960 rpm पर है, जोड़ता है; केंद्र 500 mm दूर हैं। घर्षण गुणांक 0.25 है और कसी हुई ओर का तनाव 600 N से अधिक नहीं हो सकता। पट्टा बिना फिसले जो सबसे बड़ी शक्ति P संचरित कर सकता है, kW में ज्ञात कीजिए (अपकेंद्री प्रभाव अनदेखा करें)।
d1 = 80 mmn1 = 960 rpmd2 = 450 mmC = 500 mmμ = 0.25T1 = 600 N
P = kW
3.शाफ़्ट का मरोड़मध्यम
एक खोखला स्टील शाफ़्ट (बाहरी व्यास 30 mm, भीतरी व्यास 21 mm, लंबाई 0.8 m) एक सिरे पर स्थिर है और दूसरे सिरे पर 2000 N·m के बलाघूर्ण से मरोड़ा जाता है। मरोड़ कोण φ डिग्री में ज्ञात कीजिए।
T = 2000 N·mdo = 30 mmdi = 21 mmL = 0.8 mG = 80 GPa
φ = °
4.शाफ़्ट का मरोड़कठिन
एक खोखला शाफ़्ट 750 rpm पर 20 kW संचारित करता है। शाफ़्ट में अधिकतम अपरूपण प्रतिबल τmax ज्ञात कीजिए।
P = 20 kWN = 750 rpmdo = 80 mmdi = 56 mm
τmax = MPa
5.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणमध्यम
एक बिंदु पर σₓ = 40 MPa और σᵧ = 100 MPa है। सबसे बड़े मुख्य प्रतिबल के 155 MPa तक पहुँचने से पहले अपरूपण प्रतिबल τxy (परिमाण) कितना बड़ा हो सकता है?
σx = 40 MPaσy = 100 MPaσ1 = 155 MPa
τxy = MPa
6.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणकठिन
25 mm व्यास वाला एक ठोस शाफ़्ट 1000 N·m के बलाघूर्ण के साथ 90 kN का अक्षीय तनन बल वहन करता है। शाफ़्ट की सतह पर, सबसे बड़ा मुख्य प्रतिबल σ1 ज्ञात कीजिए।
d = 25 mmF = 90 kNT = 1000 N·m
σ1 = MPa
7.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिमध्यम
ताँबा छड़ में अक्षीय विकृति ε माइक्रोस्ट्रेन (µε = 10⁻⁶) में ज्ञात कीजिए।
P = 60 kNd = 12 mmL = 2.5 mE = 117 GPa
ε = µε
8.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिकठिन
एक स्टील छड़ (व्यास 20 mm, E = 200 GPa, अनुमेय प्रतिबल 120 MPa) काँसा की बनी नलिका (बाहरी व्यास 80 mm, भीतरी व्यास 60 mm, E = 110 GPa, अनुमेय प्रतिबल 60 MPa) के भीतर है। दोनों को दृढ़ प्लेटों के बीच साथ-साथ संपीडित किया जाता है। सबसे बड़ा भार Pmax ज्ञात कीजिए।
छड़: Ø20 mm, E = 200 GPa, σallow = 120 MPaनलिका: Ø80/Ø60 mm, E = 110 GPa, σallow = 60 MPa
Pmax = kN
9.स्तंभ बकलिंगमध्यम
स्टील से बना L लंबाई का एक स्तंभ आधार पर जड़ित और शीर्ष पर पिन किया हुआ है। ऑयलर सूत्र से उसका क्रांतिक बकलिंग भार Pcr ज्ञात कीजिए।
L = 2 mE = 200 GPa (स्टील)d = 60 mm
Pcr = kN
10.स्तंभ बकलिंगकठिन
स्टील से बना L लंबाई का एक स्तंभ दोनों सिरों पर पिन किया हुआ है। उसकी तनुता और ऑयलर सूत्र से क्रांतिक बकलिंग प्रतिबल σcr ज्ञात कीजिए।
L = 2.5 mE = 200 GPa (स्टील)d = 50 mm
σcr = MPa
11.यांत्रिक कंपनमध्यम
100 kN/m दृढ़ता वाले स्प्रिंग पर एक 100 kg द्रव्यमान के साथ एक श्यान अवमंदक है जो 0.7 का अवमंदन अनुपात देता है। इसके मुक्त कंपन की अवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति fd Hz में ज्ञात कीजिए।
m = 100 kgk = 100 kN/mζ = 0.7
fd = Hz
12.यांत्रिक कंपनकठिन
एक 5 kg द्रव्यमान सिरे-से-सिरे जुड़े (श्रेणी में) दो स्प्रिंगों से लटका है: ऊपरी स्प्रिंग k₁ = 30 kN/m और निचला k₂ = 30 kN/m है। स्प्रिंग तंत्र की तुल्य दृढ़ता keq kN/m में ज्ञात कीजिए।
m = 5 kgk1 = 30 kN/mk2 = 30 kN/m
keq = kN/m
3विलयन
1.गियर और गियर ट्रेन
उत्तर: P = 10.25 kW
पट्टा चालन: फिसलन के बिना दोनों घिरनियों की कोर की चाल समान होती है v = π·d·n/60, इसलिए n₁·d₁ = n₂·d₂ और गति अनुपात d₂/d₁ है। फिसलन s चालित घिरनी को थोड़ा धीमा कर देती है: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)। संचरित शक्ति P = (T₁ − T₂)·v है, जहाँ T₁ कसी हुई ओर का तनाव और T₂ ढीली ओर का। घर्षण तनावों के अनुपात को सीमित करता है: T₁/T₂ = eμθ, जहाँ θ छोटी घिरनी पर लपेट कोण रेडियन में है; खुले पट्टे के लिए θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), जहाँ C केंद्र दूरी है।
पट्टे की चाल
v = 11.39 m/s
शक्ति
P = (1200 − 300)·11.39 = 10249 W = 10.25 kW
उत्तर
P = 10.25 kW
2.गियर और गियर ट्रेन
उत्तर: P = 1.083 kW
पट्टा चालन: फिसलन के बिना दोनों घिरनियों की कोर की चाल समान होती है v = π·d·n/60, इसलिए n₁·d₁ = n₂·d₂ और गति अनुपात d₂/d₁ है। फिसलन s चालित घिरनी को थोड़ा धीमा कर देती है: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)। संचरित शक्ति P = (T₁ − T₂)·v है, जहाँ T₁ कसी हुई ओर का तनाव और T₂ ढीली ओर का। घर्षण तनावों के अनुपात को सीमित करता है: T₁/T₂ = eμθ, जहाँ θ छोटी घिरनी पर लपेट कोण रेडियन में है; खुले पट्टे के लिए θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), जहाँ C केंद्र दूरी है।
लपेट कोण
θ = 2.384 rad
ढीली ओर का तनाव
eμθ = e0.5959 = 1.815, T₂ = 600/1.815 = 330.6 N
शक्ति
P = (600 − 330.6)·4.021 = 1.083 kW
उत्तर
P = 1.083 kW
3.शाफ़्ट का मरोड़
उत्तर: φ = 18.96 °
वृत्ताकार शाफ़्ट का मरोड़: अपरूपण प्रतिबल केंद्र पर शून्य से सतह पर τmax = T·r/J तक रैखिक रूप से बढ़ता है, ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32 और खोखले के लिए J = π(do⁴ − di⁴)/32। मरोड़ कोण रेडियन में φ = TL/(GJ) है। शक्ति और बलाघूर्ण P = T·ω से जुड़े हैं।
ध्रुवीय जड़त्व आघूर्ण
J = π(30⁴ − 21⁴)/32 = 60428 mm⁴
मरोड़ कोण
T = 2000 N·m = 2 × 10⁶ N·mm
L = 0.8 m = 800 mm
G = 80 GPa = 80000 MPa
φ = TL/(GJ) = 2 × 10⁶·800/(80000·60428) = 0.331 rad
φ = 0.331·180/π = 18.96°
उत्तर
φ = 18.96°
4.शाफ़्ट का मरोड़
उत्तर: τmax = 3.333 MPa
वृत्ताकार शाफ़्ट का मरोड़: अपरूपण प्रतिबल केंद्र पर शून्य से सतह पर τmax = T·r/J तक रैखिक रूप से बढ़ता है, ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32 और खोखले के लिए J = π(do⁴ − di⁴)/32। मरोड़ कोण रेडियन में φ = TL/(GJ) है। शक्ति और बलाघूर्ण P = T·ω से जुड़े हैं।
बलाघूर्ण
ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78.54 rad/s
T = P/ω = 20000/78.54 = 254.6 N·m
ध्रुवीय जड़त्व आघूर्ण
J = π(80⁴ − 56⁴)/32 = 3.056 × 10⁶ mm⁴
अधिकतम अपरूपण प्रतिबल
τmax = T·(do/2)/J = 254648·40/3.056 × 10⁶ = 3.333 MPa
उत्तर
τmax = 3.333 MPa
5.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण
उत्तर: τxy = 79.53 MPa
समतल प्रतिबल रूपांतरण: θ से घुमाए गए तल पर σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ। मोर वृत्त सभी तलों को एक साथ दिखाता है: उसका केंद्र C = (σₓ + σᵧ)/2 पर और त्रिज्या R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) है। मुख्य प्रतिबल C ± R हैं, और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।
आवश्यक त्रिज्या
C = (40 + 100)/2 = 70 MPa
R = σ1 − C = 155 − 70 = 85 MPa
अपरूपण प्रतिबल
τxy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(85² − 30²) = 79.53 MPa
उत्तर
τxy = 79.53 MPa
6.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण
उत्तर: σ1 = 430.3 MPa
समतल प्रतिबल रूपांतरण: θ से घुमाए गए तल पर σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ। मोर वृत्त सभी तलों को एक साथ दिखाता है: उसका केंद्र C = (σₓ + σᵧ)/2 पर और त्रिज्या R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) है। मुख्य प्रतिबल C ± R हैं, और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।
सतह पर प्रतिबल
σ = F/A = 90000/(π·25²/4) = 90000/490.9 = 183.3 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·1000000/(π·25³) = 325.9 MPa
मोर वृत्त
C = σ/2 = 91.67 MPa
R = √(91.67² + 325.9²) = 338.6 MPa
σ1 = C + R = 430.3 MPa
σ2 = C − R = −246.9 MPa
उत्तर
σ1 = 430.3 MPa
7.अक्षीय प्रतिबल और विकृति
उत्तर: ε = 4534 µε
हुक का नियम: प्रत्यास्थ सीमा में σ = E·ε। σ = P/A और ε = δ/L के साथ मिलाने पर δ = PL/(AE) मिलता है।
प्रतिबल
A = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ = P/A = 60·1000/113.1 = 530.5 MPa
विकृति (हुक का नियम)
E for ताँबा = 117 GPa = 117000 MPa.
ε = σ/E = 530.5/117000 = 0.004534 = 4534 µε
उत्तर
ε = 4534 µε
8.अक्षीय प्रतिबल और विकृति
उत्तर: Pmax = 166.2 kN
दो पदार्थ: श्रेणी में (एक के बाद एक) हर खंड समान बल वहन करता है और विस्तार जुड़ते हैं: δ = P·Σ L/(E·A)। समानांतर में (दृढ़ प्लेटों के बीच अगल-बगल) दोनों भाग समान मात्रा से छोटे होते हैं, इसलिए उनके विकृति समान हैं: अधिक कठोर भाग बड़ा हिस्सा लेता है, Pi = P·EiAi/ΣEA, और σi = Ei·ε। दो दृढ़ दीवारों के बीच जकड़ी छड़, जिसके जोड़ पर भार लगा है, स्थैतिक रूप से अनिर्धार्य है: दोनों खंड भार को अपनी कठोरता k = EA/L के अनुपात में बाँटते हैं।
क्षेत्रफल
Ar = π·20²/4 = 314.2 mm²
At = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²
संयुक्त अक्षीय कठोरता
ΣEA = 200·10³·314.2 + 110·10³·2199 = 3.047 × 10⁸ N
निर्धारक विकृति
ε = min(0.0006, 0.0005455) = 0.0005455 (काँसा)
सबसे बड़ा भार
Pmax = 0.0005455·3.047 × 10⁸ = 166219 N = 166.2 kN
उत्तर
Pmax = 166.2 kN
9.स्तंभ बकलिंग
उत्तर: Pcr = 640.7 kN
ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ Pcr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।
न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण
गोल खंड का I हर अक्ष के परितः समान होता है।
I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴
प्रभावी लंबाई
KL = 0.7·2000 = 1400 mm
क्रांतिक भार
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/1400² = 640691 N = 640.7 kN
उत्तर
Pcr = 640.7 kN
10.स्तंभ बकलिंग
उत्तर: σcr = 49.35 MPa
ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ Pcr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।
न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण
गोल खंड का I हर अक्ष के परितः समान होता है।
I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴
परिभ्रमण त्रिज्या और तनुता
A = 1963 mm²
r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12.5 mm
KL = 1·2500 = 2500 mm
KL/r = 2500/12.5 = 200
क्रांतिक प्रतिबल
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/200² = 49.35 MPa
उत्तर
σcr = 49.35 MPa
11.यांत्रिक कंपन
उत्तर: fd = 3.594 Hz
द्रव्यमान–स्प्रिंग तंत्र का मुक्त कंपन: अनवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति rad/s में ωn = √(k/m) है, और Hz में fn = ωn/(2π)। एक श्यान अवमंदक c अवमंदन अनुपात ζ = c/cc देता है, जहाँ क्रांतिक अवमंदन cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn। अल्प-अवमंदित तंत्र (ζ < 1) ωd = ωn·√(1 − ζ²) पर दोलन करता है। समांतर में स्प्रिंग जुड़ते हैं, k = k₁ + k₂; श्रेणी में स्प्रिंग व्युत्क्रम के रूप में जुड़ते हैं, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂।
अनवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति
ωn = √(100000/100) = 31.62 rad/s
fn = 31.62/(2π) = 5.033 Hz
अवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति
fd = fn·√(1 − ζ²) = 5.033·√(1 − 0.7²) = 3.594 Hz
उत्तर
fd = 3.594 Hz
12.यांत्रिक कंपन
उत्तर: keq = 15 kN/m
द्रव्यमान–स्प्रिंग तंत्र का मुक्त कंपन: अनवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति rad/s में ωn = √(k/m) है, और Hz में fn = ωn/(2π)। एक श्यान अवमंदक c अवमंदन अनुपात ζ = c/cc देता है, जहाँ क्रांतिक अवमंदन cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn। अल्प-अवमंदित तंत्र (ζ < 1) ωd = ωn·√(1 − ζ²) पर दोलन करता है। समांतर में स्प्रिंग जुड़ते हैं, k = k₁ + k₂; श्रेणी में स्प्रिंग व्युत्क्रम के रूप में जुड़ते हैं, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂।
तुल्य दृढ़ता
श्रेणी में स्प्रिंग समान बल साझा करते हैं और उनके विक्षेप जुड़ते हैं, इसलिए वे व्युत्क्रम के रूप में मिलते हैं: 1/k = 1/k1 + 1/k2।
1/keq = 1/30 + 1/30 → keq = 30·30/(30 + 30) = 15 kN/m
उत्तर
keq = 15 kN/m
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