गियर और गियर ट्रेन
- परस्पर जुड़े गियर
- n1·N1 = n2·N2
- बलाघूर्ण
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- शक्ति
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- संयुक्त गियर ट्रेन
- कुल अनुपात = चरण अनुपातों का गुणनफल
मशीन डिज़ाइन: क्रैम पैक
सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 12 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।
1सूत्र और विधियाँ
शाफ़्ट का मरोड़
- अपरूपण प्रतिबल
- τ = T·r/J
- ठोस शाफ़्ट
- J = πd⁴/32
- खोखला शाफ़्ट
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- मरोड़ कोण
- φ = TL/(GJ)
- शक्ति
- P = T·ω = 2πnT/60
विधि
- ध्रुवीय क्षेत्र आघूर्ण ज्ञात करें: ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32।
- सतह पर अपरूपण प्रतिबल: τ = T·r/J, जहाँ r बाहरी त्रिज्या है।
- ऐंठन कोण: रेडियन में φ = TL/(GJ)।
- यदि शक्ति दी गई है, तो पहले P = T·ω, ω = 2πn/60 से बलाघूर्ण ज्ञात करें।
मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण
- केंद्र
- C = (σx + σy)/2
- त्रिज्या
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- मुख्य प्रतिबल
- σ1,2 = C ± R
- मुख्य दिशा
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- झुका हुआ तल
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
विधि
- मोर वृत्त का केंद्र निकालें: C = (σx + σy)/2।
- त्रिज्या निकालें: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)।
- मुख्य प्रतिबल C ± R हैं और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।
- वृत्त पर कोण अवयव पर कोणों के दोगुने होते हैं: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)।
अक्षीय प्रतिबल और विकृति
- अभिलंब प्रतिबल
- σ = F/A
- विकृति
- ε = ΔL/L
- हुक का नियम
- σ = E·ε
- दीर्घीकरण
- ΔL = FL/(EA)
- तापीय विकृति
- εT = α·ΔT
स्तंभ बकलिंग
- ऑयलर भार
- Pcr = π²EI/(KL)²
- प्रभावी लंबाई गुणांक
- K = 1 पिन–पिन, 0.5 स्थिर–स्थिर, 0.7 स्थिर–पिन, 2 स्थिर–मुक्त
- क्रांतिक प्रतिबल
- σcr = Pcr/A
- पतलापन अनुपात
- λ = KL/r, r = √(I/A)
यांत्रिक कंपन
- प्राकृतिक आवृत्ति
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- स्थैतिक विक्षेप से
- ωn = √(g/δst)
- क्रांतिक अवमंदन
- cc = 2√(km) = 2mωn
- अवमंदन अनुपात
- ζ = c/cc
- अवमंदित आवृत्ति
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- लघुगणकीय ह्रास
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- समांतर में स्प्रिंग
- k = k1 + k2
- श्रेणी में स्प्रिंग
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2अभ्यास प्रश्न
1.गियर और गियर ट्रेनमध्यम
125 mm की घिरनी 960 rpm पर पट्टे से 500 mm की घिरनी को 1.5 % फिसलन के साथ चलाती है। चालित घिरनी की गति n2 ज्ञात कीजिए।
n1 = 960 rpmd1 = 125 mmd2 = 500 mms = 1.5 %
n2 = rpm
2.गियर और गियर ट्रेनकठिन
एक संयुक्त गियर ट्रेन में, 960 rpm पर घूम रहे निवेश शाफ़्ट पर लगा गियर A (18 दाँत) गियर B (32 दाँत) को चलाता है। गियर C (12 दाँत) B वाले शाफ़्ट पर ही लगा है और निर्गत शाफ़्ट पर लगे गियर D (20 दाँत) को चलाता है। निर्गत चाल nout ज्ञात कीजिए।
nin = 960 rpmA = 18B = 32C = 12D = 20
nout = rpm
3.शाफ़्ट का मरोड़मध्यम
पीतल का एक ठोस शाफ़्ट दीवार में जड़ित है और मुक्त सिरे पर बलाघूर्ण T से मरोड़ा जाता है। मुक्त सिरे का मरोड़ कोण φ डिग्री में ज्ञात कीजिए।
T = 250 N·md = 40 mmL = 3 mG = 39 GPa
φ = °
4.शाफ़्ट का मरोड़कठिन
40 mm व्यास वाला एक ठोस स्टील शाफ़्ट दोनों सिरों A और B पर दृढ़ दीवारों में स्थिर है। A से 2 m और B से 1.2 m पर C पर 1000 N·m का बलाघूर्ण लगाया जाता है। शाफ़्ट में अधिकतम अपरूपण प्रतिबल τmax ज्ञात कीजिए।
d = 40 mmT0 = 1000 N·ma = 2 mb = 1.2 m
τmax = MPa
5.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणमध्यम
एक पतली प्लेट का एक बिंदु समतल प्रतिबल में है: σₓ = −50 MPa, σᵧ = 20 MPa और τₓᵧ = −40 MPa, σz = 0 के साथ। बिंदु पर निरपेक्ष अधिकतम अपरूपण प्रतिबल τabs ज्ञात कीजिए (तीन विमाओं में सभी तलों पर विचार करते हुए)।
σx = −50 MPaσy = 20 MPaτxy = −40 MPaσz = 0
τabs = MPa
6.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणकठिन
किसी भारित पुर्ज़े के एक बिंदु पर σₓ = 130 MPa, σᵧ = 0 MPa और τₓᵧ = −60 MPa है (तनन धनात्मक)। उस तल पर अभिलंब प्रतिबल σθ ज्ञात कीजिए जिसका अभिलंब x-अक्ष से 20° दक्षिणावर्त घुमाया गया है।
σx = 130 MPaσy = 0 MPaτxy = −60 MPaθ = -20°
σθ = MPa
7.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिमध्यम
ताँबा छड़ में अक्षीय विकृति ε माइक्रोस्ट्रेन (µε = 10⁻⁶) में ज्ञात कीजिए।
P = 110 kNd = 30 mmL = 1.5 mE = 117 GPa
ε = µε
8.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिकठिन
एक स्टील छड़ (व्यास 25 mm, E = 200 GPa, अनुमेय प्रतिबल 120 MPa) एल्युमिनियम की बनी नलिका (बाहरी व्यास 100 mm, भीतरी व्यास 60 mm, E = 70 GPa, अनुमेय प्रतिबल 80 MPa) के भीतर है। दोनों को दृढ़ प्लेटों के बीच साथ-साथ संपीडित किया जाता है। सबसे बड़ा भार Pmax ज्ञात कीजिए।
छड़: Ø25 mm, E = 200 GPa, σallow = 120 MPaनलिका: Ø100/Ø60 mm, E = 70 GPa, σallow = 80 MPa
Pmax = kN
9.स्तंभ बकलिंगमध्यम
एल्युमिनियम से बना L लंबाई का एक स्तंभ दोनों सिरों पर जड़ित है। ऑयलर सूत्र से उसका क्रांतिक बकलिंग भार Pcr ज्ञात कीजिए।
L = 6 mE = 70 GPa (एल्युमिनियम)b × h = 25 × 40 mm
Pcr = kN
10.स्तंभ बकलिंगकठिन
एल्युमिनियम से बना L लंबाई का एक ठोस गोल स्तंभ आधार पर जड़ित और शीर्ष पर मुक्त है। इसे बकलिंग के विरुद्ध 3 के सुरक्षा गुणक के साथ 110 kN वहन करना है। न्यूनतम व्यास d ज्ञात कीजिए।
P = 110 kNn = 3L = 2.5 mE = 70 GPa (एल्युमिनियम)
d = mm
11.यांत्रिक कंपनमध्यम
एक अवमंदित द्रव्यमान–स्प्रिंग तंत्र के मुक्त-कंपन परीक्षण में 30 mm के विस्थापन शिखर के 3 चक्र बाद 4.5 mm का शिखर आता है। अवमंदन अनुपात ζ ज्ञात कीजिए।
x0 = 30 mmx3 = 4.5 mmn = 3
ζ =
12.यांत्रिक कंपनकठिन
एक 10 kg द्रव्यमान अगल-बगल (समांतर में) दो स्प्रिंगों से लटका है, जिनकी दृढ़ताएँ k₁ = 15 kN/m और k₂ = 50 kN/m हैं। द्रव्यमान समतल रहता है। स्प्रिंग तंत्र की तुल्य दृढ़ता keq kN/m में ज्ञात कीजिए।
m = 10 kgk1 = 15 kN/mk2 = 50 kN/m
keq = kN/m
3विलयन
1.गियर और गियर ट्रेन
उत्तर: n2 = 236.4 rpm
पट्टा चालन: फिसलन के बिना दोनों घिरनियों की कोर की चाल समान होती है v = π·d·n/60, इसलिए n₁·d₁ = n₂·d₂ और गति अनुपात d₂/d₁ है। फिसलन s चालित घिरनी को थोड़ा धीमा कर देती है: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)। संचरित शक्ति P = (T₁ − T₂)·v है, जहाँ T₁ कसी हुई ओर का तनाव और T₂ ढीली ओर का। घर्षण तनावों के अनुपात को सीमित करता है: T₁/T₂ = eμθ, जहाँ θ छोटी घिरनी पर लपेट कोण रेडियन में है; खुले पट्टे के लिए θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), जहाँ C केंद्र दूरी है।
फिसलन के बिना गति
960·125/500 = 240 rpm
फिसलन सहित
n2 = 240·0.985 = 236.4 rpm
उत्तर
n2 = 236.4 rpm
2.गियर और गियर ट्रेन
उत्तर: nout = 324 rpm
गियर ट्रेन: परस्पर जुड़े गियरों के दाँतों पर चाल समान होती है, इसलिए n₁·N₁ = n₂·N₂: कम दाँतों वाला गियर तेज़ घूमता है। एक ही शाफ़्ट पर लगे गियर समान चाल से घूमते हैं। शक्ति आगे पहुँचती है (हानियों को घटाकर), इसलिए चाल घटने पर बलाघूर्ण बढ़ता है: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, और P = T·ω, जहाँ ω = 2π·n/60।
पहला चरण
nB = 960·18/32 = 540 rpm = nC
दूसरा चरण
nout = 540·12/20 = 324 rpm
उत्तर
nout = 324 rpm
कुल अनुपात = 2.963 : 1
3.शाफ़्ट का मरोड़
उत्तर: φ = 4.384 °
वृत्ताकार शाफ़्ट का मरोड़: अपरूपण प्रतिबल केंद्र पर शून्य से सतह पर τmax = T·r/J तक रैखिक रूप से बढ़ता है, ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32 और खोखले के लिए J = π(do⁴ − di⁴)/32। मरोड़ कोण रेडियन में φ = TL/(GJ) है। शक्ति और बलाघूर्ण P = T·ω से जुड़े हैं।
ध्रुवीय जड़त्व आघूर्ण
J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴
मरोड़ कोण
φ = TL/(GJ) = 250·1000·3000/(39000·251327) = 0.07652 rad
φ = 0.07652·180/π = 4.384°
उत्तर
φ = 4.384°
4.शाफ़्ट का मरोड़
उत्तर: τmax = 49.74 MPa
वृत्ताकार शाफ़्ट का मरोड़: अपरूपण प्रतिबल केंद्र पर शून्य से सतह पर τmax = T·r/J तक रैखिक रूप से बढ़ता है, ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32 और खोखले के लिए J = π(do⁴ − di⁴)/32। मरोड़ कोण रेडियन में φ = TL/(GJ) है। शक्ति और बलाघूर्ण P = T·ω से जुड़े हैं। जब दोनों सिरे स्थिर हों, तो स्थैतिकी अकेले केवल TA + TB = T₀ देती है; दूसरा समीकरण संगतता है (भारित खंड पर दोनों भागों का समान मरोड़)।
संतुलन और संगतता
TA + TB = 1000
TA·a = TB·b
TA = 1000·1.2/3.2 = 375 N·m
TB = 1000·2/3.2 = 625 N·m
अधिकतम अपरूपण प्रतिबल
दोनों बलाघूर्णों में से बड़ा निर्णायक है (समान व्यास)।
τmax = 16·625000/(π·40³) = 49.74 MPa
उत्तर
τmax = 49.74 MPa
5.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण
उत्तर: τabs = 53.15 MPa
समतल प्रतिबल रूपांतरण: θ से घुमाए गए तल पर σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ। मोर वृत्त सभी तलों को एक साथ दिखाता है: उसका केंद्र C = (σₓ + σᵧ)/2 पर और त्रिज्या R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) है। मुख्य प्रतिबल C ± R हैं, और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है। तीन विमाओं में निरपेक्ष अधिकतम अपरूपण प्रतिबल तीनों मुख्य प्रतिबलों पर (σmax − σmin)/2 है; समतल प्रतिबल में तीसरा शून्य होता है।
तलीय मुख्य प्रतिबल
C = −15 MPa, R = √((−35)² + (−40)²) = 53.15 MPa
σ1 = 38.15 MPa, σ2 = −68.15 MPa, σz = 0
तीनों वृत्तों में सबसे बड़ा
τ = max(|σ1 − σ2|, |σ1|, |σ2|)/2 = max(106.3, 38.15, 68.15)/2 = 53.15 MPa
उत्तर
τabs = 53.15 MPa
यहाँ σ₁ और σ₂ के चिह्न विपरीत हैं, इसलिए तलीय अधिकतम R ही निरपेक्ष अधिकतम भी है।
6.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण
उत्तर: σθ = 153.4 MPa
समतल प्रतिबल रूपांतरण: θ से घुमाए गए तल पर σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ। मोर वृत्त सभी तलों को एक साथ दिखाता है: उसका केंद्र C = (σₓ + σᵧ)/2 पर और त्रिज्या R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) है। मुख्य प्रतिबल C ± R हैं, और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।
रूपांतरण समीकरण
σθ = 65 + 65·0.766 + −60·−0.6428 = 153.4 MPa
उत्तर
σθ = 153.4 MPa
7.अक्षीय प्रतिबल और विकृति
उत्तर: ε = 1330 µε
हुक का नियम: प्रत्यास्थ सीमा में σ = E·ε। σ = P/A और ε = δ/L के साथ मिलाने पर δ = PL/(AE) मिलता है।
प्रतिबल
A = π·30²/4 = 706.9 mm²
σ = P/A = 110·1000/706.9 = 155.6 MPa
विकृति (हुक का नियम)
E for ताँबा = 117 GPa = 117000 MPa.
ε = σ/E = 155.6/117000 = 0.00133 = 1330 µε
उत्तर
ε = 1330 µε
8.अक्षीय प्रतिबल और विकृति
उत्तर: Pmax = 270 kN
दो पदार्थ: श्रेणी में (एक के बाद एक) हर खंड समान बल वहन करता है और विस्तार जुड़ते हैं: δ = P·Σ L/(E·A)। समानांतर में (दृढ़ प्लेटों के बीच अगल-बगल) दोनों भाग समान मात्रा से छोटे होते हैं, इसलिए उनके विकृति समान हैं: अधिक कठोर भाग बड़ा हिस्सा लेता है, Pi = P·EiAi/ΣEA, और σi = Ei·ε। दो दृढ़ दीवारों के बीच जकड़ी छड़, जिसके जोड़ पर भार लगा है, स्थैतिक रूप से अनिर्धार्य है: दोनों खंड भार को अपनी कठोरता k = EA/L के अनुपात में बाँटते हैं।
क्षेत्रफल
Ar = π·25²/4 = 490.9 mm²
At = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²
संयुक्त अक्षीय कठोरता
ΣEA = 200·10³·490.9 + 70·10³·5027 = 4.5 × 10⁸ N
निर्धारक विकृति
ε = min(0.0006, 0.001143) = 0.0006 (स्टील)
सबसे बड़ा भार
Pmax = 0.0006·4.5 × 10⁸ = 270020 N = 270 kN
उत्तर
Pmax = 270 kN
9.स्तंभ बकलिंग
उत्तर: Pcr = 3.998 kN
ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ Pcr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।
न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण
आयत अपनी कमज़ोर अक्ष के परितः, छोटी विमा के घन के साथ मुड़ता है।
Imin = h·b³/12 = 40·25³/12 = 52083 mm⁴
प्रभावी लंबाई
KL = 0.5·6000 = 3000 mm
क्रांतिक भार
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·52083/3000² = 3998 N = 3.998 kN
उत्तर
Pcr = 3.998 kN
10.स्तंभ बकलिंग
उत्तर: d = 124.9 mm
ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ Pcr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।
आवश्यक क्रांतिक भार
Pcr = n·P = 3·110000 = 330000 N
KL = 2·2500 = 5000 mm
व्यास के लिए हल करें
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·330000·5000²/(π³·70000))^(1/4) = 124.9 mm
उत्तर
d = 124.9 mm
जाँच: तनुता KL/r = 160.1 है, इसलिए स्तंभ पतला है और ऑयलर लागू होता है।
11.यांत्रिक कंपन
उत्तर: ζ = 0.1001
द्रव्यमान–स्प्रिंग तंत्र का मुक्त कंपन: अनवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति rad/s में ωn = √(k/m) है, और Hz में fn = ωn/(2π)। एक श्यान अवमंदक c अवमंदन अनुपात ζ = c/cc देता है, जहाँ क्रांतिक अवमंदन cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn। अल्प-अवमंदित तंत्र (ζ < 1) ωd = ωn·√(1 − ζ²) पर दोलन करता है। समांतर में स्प्रिंग जुड़ते हैं, k = k₁ + k₂; श्रेणी में स्प्रिंग व्युत्क्रम के रूप में जुड़ते हैं, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂।
लघुगणकीय ह्रास
δ = (1/3)·ln(30/4.5) = 0.6324
अवमंदन अनुपात
ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.6324/√(39.48 + 0.3999) = 0.1001
उत्तर
ζ = 0.1001
12.यांत्रिक कंपन
उत्तर: keq = 65 kN/m
द्रव्यमान–स्प्रिंग तंत्र का मुक्त कंपन: अनवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति rad/s में ωn = √(k/m) है, और Hz में fn = ωn/(2π)। एक श्यान अवमंदक c अवमंदन अनुपात ζ = c/cc देता है, जहाँ क्रांतिक अवमंदन cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn। अल्प-अवमंदित तंत्र (ζ < 1) ωd = ωn·√(1 − ζ²) पर दोलन करता है। समांतर में स्प्रिंग जुड़ते हैं, k = k₁ + k₂; श्रेणी में स्प्रिंग व्युत्क्रम के रूप में जुड़ते हैं, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂।
तुल्य दृढ़ता
अगल-बगल के स्प्रिंग विक्षेप साझा करते हैं और उनके बल जुड़ते हैं, इसलिए उनकी दृढ़ताएँ सीधे जुड़ती हैं: k = k1 + k2।
keq = 15 + 50 = 65 kN/m
उत्तर
keq = 65 kN/m
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