गियर और गियर ट्रेन
- परस्पर जुड़े गियर
- n1·N1 = n2·N2
- बलाघूर्ण
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- शक्ति
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- संयुक्त गियर ट्रेन
- कुल अनुपात = चरण अनुपातों का गुणनफल
मशीन डिज़ाइन: क्रैम पैक
सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 12 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।
1सूत्र और विधियाँ
शाफ़्ट का मरोड़
- अपरूपण प्रतिबल
- τ = T·r/J
- ठोस शाफ़्ट
- J = πd⁴/32
- खोखला शाफ़्ट
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- मरोड़ कोण
- φ = TL/(GJ)
- शक्ति
- P = T·ω = 2πnT/60
विधि
- ध्रुवीय क्षेत्र आघूर्ण ज्ञात करें: ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32।
- सतह पर अपरूपण प्रतिबल: τ = T·r/J, जहाँ r बाहरी त्रिज्या है।
- ऐंठन कोण: रेडियन में φ = TL/(GJ)।
- यदि शक्ति दी गई है, तो पहले P = T·ω, ω = 2πn/60 से बलाघूर्ण ज्ञात करें।
मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण
- केंद्र
- C = (σx + σy)/2
- त्रिज्या
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- मुख्य प्रतिबल
- σ1,2 = C ± R
- मुख्य दिशा
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- झुका हुआ तल
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
विधि
- मोर वृत्त का केंद्र निकालें: C = (σx + σy)/2।
- त्रिज्या निकालें: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)।
- मुख्य प्रतिबल C ± R हैं और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।
- वृत्त पर कोण अवयव पर कोणों के दोगुने होते हैं: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)।
अक्षीय प्रतिबल और विकृति
- अभिलंब प्रतिबल
- σ = F/A
- विकृति
- ε = ΔL/L
- हुक का नियम
- σ = E·ε
- दीर्घीकरण
- ΔL = FL/(EA)
- तापीय विकृति
- εT = α·ΔT
स्तंभ बकलिंग
- ऑयलर भार
- Pcr = π²EI/(KL)²
- प्रभावी लंबाई गुणांक
- K = 1 पिन–पिन, 0.5 स्थिर–स्थिर, 0.7 स्थिर–पिन, 2 स्थिर–मुक्त
- क्रांतिक प्रतिबल
- σcr = Pcr/A
- पतलापन अनुपात
- λ = KL/r, r = √(I/A)
यांत्रिक कंपन
- प्राकृतिक आवृत्ति
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- स्थैतिक विक्षेप से
- ωn = √(g/δst)
- क्रांतिक अवमंदन
- cc = 2√(km) = 2mωn
- अवमंदन अनुपात
- ζ = c/cc
- अवमंदित आवृत्ति
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- लघुगणकीय ह्रास
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- समांतर में स्प्रिंग
- k = k1 + k2
- श्रेणी में स्प्रिंग
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2अभ्यास प्रश्न
1.गियर और गियर ट्रेनमध्यम
960 rpm पर चल रही एक 1.5 kW मोटर 24 दाँतों और 2.5 mm मॉड्यूल वाले पिनियन को चलाती है। पिनियन के दाँतों पर स्पर्शरेखीय बल Ft ज्ञात कीजिए।
P = 1.5 kWn = 960 rpmN1 = 24m = 2.5 mm
Ft = N
2.गियर और गियर ट्रेनकठिन
एक संयुक्त गियर ट्रेन में, 3000 rpm पर घूम रहे निवेश शाफ़्ट पर लगा गियर A (25 दाँत) गियर B (72 दाँत) को चलाता है। गियर C (15 दाँत) B वाले शाफ़्ट पर ही लगा है और निर्गत शाफ़्ट पर लगे गियर D (80 दाँत) को चलाता है। निर्गत चाल nout ज्ञात कीजिए।
nin = 3000 rpmA = 25B = 72C = 15D = 80
nout = rpm
3.शाफ़्ट का मरोड़मध्यम
एक खोखले शाफ़्ट को 2000 N·m का बलाघूर्ण वहन करना है। इसका भीतरी व्यास इसके बाहरी व्यास का 0.7 गुना होना है, और अपरूपण प्रतिबल 80 MPa से अधिक नहीं होना चाहिए। सबसे छोटा बाहरी व्यास do ज्ञात कीजिए।
T = 2000 N·mdi/do = 0.7τallow = 80 MPa
do = mm
4.शाफ़्ट का मरोड़कठिन
एक ठोस शाफ़्ट को 1000 rpm पर 20 kW संचारित करना है, बिना अपरूपण प्रतिबल के 80 MPa से अधिक हुए। उपयुक्त सबसे छोटा व्यास d ज्ञात कीजिए।
P = 20 kWN = 1000 rpmτallow = 80 MPa
d = mm
5.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणमध्यम
एक पतली प्लेट का एक बिंदु समतल प्रतिबल में है: σₓ = 150 MPa, σᵧ = 80 MPa और τₓᵧ = 10 MPa, σz = 0 के साथ। बिंदु पर निरपेक्ष अधिकतम अपरूपण प्रतिबल τabs ज्ञात कीजिए (तीन विमाओं में सभी तलों पर विचार करते हुए)।
σx = 150 MPaσy = 80 MPaτxy = 10 MPaσz = 0
τabs = MPa
6.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणकठिन
किसी भारित पुर्ज़े के एक बिंदु पर σₓ = −60 MPa, σᵧ = 0 MPa और τₓᵧ = −30 MPa है (तनन धनात्मक)। उस तल पर अभिलंब प्रतिबल σθ ज्ञात कीजिए जिसका अभिलंब x-अक्ष से 35° वामावर्त घुमाया गया है।
σx = −60 MPaσy = 0 MPaτxy = −30 MPaθ = 35°
σθ = MPa
7.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिमध्यम
अक्षीय भार के अंतर्गत ताँबा छड़ का दीर्घीकरण δ ज्ञात कीजिए।
P = 30 kNd = 10 mmL = 1.5 mE = 117 GPa
δ = mm
8.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिकठिन
सोपानी छड़ दीवार में जड़ित है और अपने मुक्त सिरे पर भारित है। कुल दीर्घीकरण δ ज्ञात कीजिए।
P = 75 kNखंड 1: Ø25 mm, 0.5 m, एल्युमिनियम (E = 70 GPa)खंड 2: Ø20 mm, 1.5 m, ताँबा (E = 117 GPa)
δ = mm
9.स्तंभ बकलिंगमध्यम
एल्युमिनियम से बना L लंबाई का एक स्तंभ आधार पर जड़ित और शीर्ष पर पिन किया हुआ है। ऑयलर सूत्र से उसका क्रांतिक बकलिंग भार Pcr ज्ञात कीजिए।
L = 5 mE = 70 GPa (एल्युमिनियम)b × h = 25 × 40 mm
Pcr = kN
10.स्तंभ बकलिंगकठिन
एल्युमिनियम से बना L लंबाई का एक ठोस गोल स्तंभ दोनों सिरों पर पिन किया हुआ है। इसे बकलिंग के विरुद्ध 2 के सुरक्षा गुणक के साथ 145 kN वहन करना है। न्यूनतम व्यास d ज्ञात कीजिए।
P = 145 kNn = 2L = 1.5 mE = 70 GPa (एल्युमिनियम)
d = mm
11.यांत्रिक कंपनमध्यम
25 kN/m दृढ़ता वाले स्प्रिंग पर एक 100 kg द्रव्यमान के साथ एक श्यान अवमंदक है जो 0.45 का अवमंदन अनुपात देता है। इसके मुक्त कंपन की अवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति fd Hz में ज्ञात कीजिए।
m = 100 kgk = 25 kN/mζ = 0.45
fd = Hz
12.यांत्रिक कंपनकठिन
एक 20 kg द्रव्यमान सिरे-से-सिरे जुड़े (श्रेणी में) दो स्प्रिंगों से लटका है: ऊपरी स्प्रिंग k₁ = 10 kN/m और निचला k₂ = 40 kN/m है। अवमंदन और स्प्रिंगों के द्रव्यमान की उपेक्षा करें। ऊर्ध्वाधर कंपन की प्राकृतिक आवृत्ति fn Hz में ज्ञात कीजिए।
m = 20 kgk1 = 10 kN/mk2 = 40 kN/m
fn = Hz
3विलयन
1.गियर और गियर ट्रेन
उत्तर: Ft = 497.4 N
Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: Ft = 2T/d.
पिनियन पर बलाघूर्ण
ω = 2π·960/60 = 100.5 rad/s
T = P/ω = 1500/100.5 = 14.92 N·m
पिच व्यास
d = m·N = 2.5·24 = 60 mm
स्पर्शरेखीय बल
Ft = 2T/d = 2·14.92/0.06 = 497.4 N
उत्तर
Ft = 497.4 N
2.गियर और गियर ट्रेन
उत्तर: nout = 195.3 rpm
गियर ट्रेन: परस्पर जुड़े गियरों के दाँतों पर चाल समान होती है, इसलिए n₁·N₁ = n₂·N₂: कम दाँतों वाला गियर तेज़ घूमता है। एक ही शाफ़्ट पर लगे गियर समान चाल से घूमते हैं। शक्ति आगे पहुँचती है (हानियों को घटाकर), इसलिए चाल घटने पर बलाघूर्ण बढ़ता है: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, और P = T·ω, जहाँ ω = 2π·n/60।
पहला चरण
nB = 3000·25/72 = 1042 rpm = nC
दूसरा चरण
nout = 1042·15/80 = 195.3 rpm
उत्तर
nout = 195.3 rpm
कुल अनुपात = 15.36 : 1
3.शाफ़्ट का मरोड़
उत्तर: do = 55.13 mm
वृत्ताकार शाफ़्ट का मरोड़: अपरूपण प्रतिबल केंद्र पर शून्य से सतह पर τmax = T·r/J तक रैखिक रूप से बढ़ता है, ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32 और खोखले के लिए J = π(do⁴ − di⁴)/32। मरोड़ कोण रेडियन में φ = TL/(GJ) है। शक्ति और बलाघूर्ण P = T·ω से जुड़े हैं।
स्वीकार्य प्रतिबल से बाहरी व्यास
T = 2000 N·m = 2 × 10⁶ N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.7⁴ = 0.7599
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·2 × 10⁶/(π·80·0.7599)) = 55.13 mm
di = 0.7·55.13 = 38.59 mm
उत्तर
do = 55.13 mm
ठोस शाफ़्ट को d = 50.31 mm चाहिए होता; खोखला थोड़ा बड़ा है पर बहुत हल्का है।
4.शाफ़्ट का मरोड़
उत्तर: d = 22.99 mm
वृत्ताकार शाफ़्ट का मरोड़: अपरूपण प्रतिबल केंद्र पर शून्य से सतह पर τmax = T·r/J तक रैखिक रूप से बढ़ता है, ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32 और खोखले के लिए J = π(do⁴ − di⁴)/32। मरोड़ कोण रेडियन में φ = TL/(GJ) है। शक्ति और बलाघूर्ण P = T·ω से जुड़े हैं।
बलाघूर्ण
ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104.7 rad/s
T = P/ω = 20000/104.7 = 191 N·m
अनुमेय प्रतिबल से व्यास
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·190986/(π·80)) = 22.99 mm
उत्तर
d = 22.99 mm
व्यवहार में आप अगले मानक आकार तक पूर्णांकित करेंगे।
5.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण
उत्तर: τabs = 75.7 MPa
समतल प्रतिबल रूपांतरण: θ से घुमाए गए तल पर σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ। मोर वृत्त सभी तलों को एक साथ दिखाता है: उसका केंद्र C = (σₓ + σᵧ)/2 पर और त्रिज्या R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) है। मुख्य प्रतिबल C ± R हैं, और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है। तीन विमाओं में निरपेक्ष अधिकतम अपरूपण प्रतिबल तीनों मुख्य प्रतिबलों पर (σmax − σmin)/2 है; समतल प्रतिबल में तीसरा शून्य होता है।
तलीय मुख्य प्रतिबल
C = 115 MPa, R = √(35² + 10²) = 36.4 MPa
σ1 = 151.4 MPa, σ2 = 78.6 MPa, σz = 0
तीनों वृत्तों में सबसे बड़ा
τ = max(|σ1 − σ2|, |σ1|, |σ2|)/2 = max(72.8, 151.4, 78.6)/2 = 75.7 MPa
उत्तर
τabs = 75.7 MPa
यहाँ तल से बाहर वाला वृत्त निर्णायक है: निरपेक्ष अधिकतम तलीय अधिकतम R से बड़ा है।
6.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण
उत्तर: σθ = −68.45 MPa
समतल प्रतिबल रूपांतरण: θ से घुमाए गए तल पर σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ। मोर वृत्त सभी तलों को एक साथ दिखाता है: उसका केंद्र C = (σₓ + σᵧ)/2 पर और त्रिज्या R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) है। मुख्य प्रतिबल C ± R हैं, और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।
रूपांतरण समीकरण
σθ = −30 + −30·0.342 + −30·0.9397 = −68.45 MPa
उत्तर
σθ = −68.45 MPa
7.अक्षीय प्रतिबल और विकृति
उत्तर: δ = 4.897 mm
हुक का नियम: प्रत्यास्थ सीमा में σ = E·ε। σ = P/A और ε = δ/L के साथ मिलाने पर δ = PL/(AE) मिलता है।
प्रतिबल
A = π·10²/4 = 78.54 mm²
σ = P/A = 30·1000/78.54 = 382 MPa
विकृति (हुक का नियम)
E for ताँबा = 117 GPa = 117000 MPa.
ε = σ/E = 382/117000 = 0.003265 = 3265 µε
दीर्घीकरण
δ = ε·L = 0.003265·1500 mm = 4.897 mm
उत्तर
δ = 4.897 mm
8.अक्षीय प्रतिबल और विकृति
उत्तर: δ = 4.152 mm
अक्षीय भारित अवयव: हर प्रिज़्मीय खंड δ = PL/(AE) का पालन करता है। श्रेणी में अवयवों के दीर्घीकरण जुड़ते हैं।
दोनों खंडों में समान बल
मुक्त सिरा P वहन करता है, इसलिए छड़ का हर खंड वही अक्षीय बल P वहन करता है। केवल क्षेत्रफल और पदार्थ बदलते हैं।
A1 = π·25²/4 = 490.9 mm², A2 = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ1 = 152.8 MPa
σ2 = 238.7 MPa
खंडों का दीर्घीकरण जोड़ें
δ1 = σ1L1/E1 = 152.8·500/70000 = 1.091 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 238.7·1500/117000 = 3.061 mm
δ = δ1 + δ2 = 4.152 mm
उत्तर
δ = 4.152 mm
9.स्तंभ बकलिंग
उत्तर: Pcr = 2.937 kN
ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ Pcr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।
न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण
आयत अपनी कमज़ोर अक्ष के परितः, छोटी विमा के घन के साथ मुड़ता है।
Imin = h·b³/12 = 40·25³/12 = 52083 mm⁴
प्रभावी लंबाई
KL = 0.7·5000 = 3500 mm
क्रांतिक भार
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·52083/3500² = 2937 N = 2.937 kN
उत्तर
Pcr = 2.937 kN
10.स्तंभ बकलिंग
उत्तर: d = 66.23 mm
ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ Pcr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।
आवश्यक क्रांतिक भार
Pcr = n·P = 2·145000 = 290000 N
KL = 1·1500 = 1500 mm
व्यास के लिए हल करें
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·290000·1500²/(π³·70000))^(1/4) = 66.23 mm
उत्तर
d = 66.23 mm
जाँच: तनुता KL/r = 90.59 है, इसलिए स्तंभ पतला है और ऑयलर लागू होता है।
11.यांत्रिक कंपन
उत्तर: fd = 2.247 Hz
द्रव्यमान–स्प्रिंग तंत्र का मुक्त कंपन: अनवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति rad/s में ωn = √(k/m) है, और Hz में fn = ωn/(2π)। एक श्यान अवमंदक c अवमंदन अनुपात ζ = c/cc देता है, जहाँ क्रांतिक अवमंदन cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn। अल्प-अवमंदित तंत्र (ζ < 1) ωd = ωn·√(1 − ζ²) पर दोलन करता है। समांतर में स्प्रिंग जुड़ते हैं, k = k₁ + k₂; श्रेणी में स्प्रिंग व्युत्क्रम के रूप में जुड़ते हैं, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂।
अनवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति
ωn = √(25000/100) = 15.81 rad/s
fn = 15.81/(2π) = 2.516 Hz
अवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति
fd = fn·√(1 − ζ²) = 2.516·√(1 − 0.45²) = 2.247 Hz
उत्तर
fd = 2.247 Hz
12.यांत्रिक कंपन
उत्तर: fn = 3.183 Hz
द्रव्यमान–स्प्रिंग तंत्र का मुक्त कंपन: अनवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति rad/s में ωn = √(k/m) है, और Hz में fn = ωn/(2π)। एक श्यान अवमंदक c अवमंदन अनुपात ζ = c/cc देता है, जहाँ क्रांतिक अवमंदन cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn। अल्प-अवमंदित तंत्र (ζ < 1) ωd = ωn·√(1 − ζ²) पर दोलन करता है। समांतर में स्प्रिंग जुड़ते हैं, k = k₁ + k₂; श्रेणी में स्प्रिंग व्युत्क्रम के रूप में जुड़ते हैं, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂।
तुल्य दृढ़ता
श्रेणी में स्प्रिंग समान बल साझा करते हैं और उनके विक्षेप जुड़ते हैं, इसलिए वे व्युत्क्रम के रूप में मिलते हैं: 1/k = 1/k1 + 1/k2।
1/keq = 1/10 + 1/40 → keq = 10·40/(10 + 40) = 8 kN/m
प्राकृतिक आवृत्ति
ωn = √(8000/20) = 20 rad/s
fn = 20/(2π) = 3.183 Hz
उत्तर
fn = 3.183 Hz
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