गियर और गियर ट्रेन
- परस्पर जुड़े गियर
- n1·N1 = n2·N2
- बलाघूर्ण
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- शक्ति
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- संयुक्त गियर ट्रेन
- कुल अनुपात = चरण अनुपातों का गुणनफल
मशीन डिज़ाइन: क्रैम पैक
सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 12 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।
1सूत्र और विधियाँ
शाफ़्ट का मरोड़
- अपरूपण प्रतिबल
- τ = T·r/J
- ठोस शाफ़्ट
- J = πd⁴/32
- खोखला शाफ़्ट
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- मरोड़ कोण
- φ = TL/(GJ)
- शक्ति
- P = T·ω = 2πnT/60
विधि
- ध्रुवीय क्षेत्र आघूर्ण ज्ञात करें: ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32।
- सतह पर अपरूपण प्रतिबल: τ = T·r/J, जहाँ r बाहरी त्रिज्या है।
- ऐंठन कोण: रेडियन में φ = TL/(GJ)।
- यदि शक्ति दी गई है, तो पहले P = T·ω, ω = 2πn/60 से बलाघूर्ण ज्ञात करें।
मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण
- केंद्र
- C = (σx + σy)/2
- त्रिज्या
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- मुख्य प्रतिबल
- σ1,2 = C ± R
- मुख्य दिशा
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- झुका हुआ तल
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
विधि
- मोर वृत्त का केंद्र निकालें: C = (σx + σy)/2।
- त्रिज्या निकालें: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)।
- मुख्य प्रतिबल C ± R हैं और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।
- वृत्त पर कोण अवयव पर कोणों के दोगुने होते हैं: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)।
अक्षीय प्रतिबल और विकृति
- अभिलंब प्रतिबल
- σ = F/A
- विकृति
- ε = ΔL/L
- हुक का नियम
- σ = E·ε
- दीर्घीकरण
- ΔL = FL/(EA)
- तापीय विकृति
- εT = α·ΔT
स्तंभ बकलिंग
- ऑयलर भार
- Pcr = π²EI/(KL)²
- प्रभावी लंबाई गुणांक
- K = 1 पिन–पिन, 0.5 स्थिर–स्थिर, 0.7 स्थिर–पिन, 2 स्थिर–मुक्त
- क्रांतिक प्रतिबल
- σcr = Pcr/A
- पतलापन अनुपात
- λ = KL/r, r = √(I/A)
यांत्रिक कंपन
- प्राकृतिक आवृत्ति
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- स्थैतिक विक्षेप से
- ωn = √(g/δst)
- क्रांतिक अवमंदन
- cc = 2√(km) = 2mωn
- अवमंदन अनुपात
- ζ = c/cc
- अवमंदित आवृत्ति
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- लघुगणकीय ह्रास
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- समांतर में स्प्रिंग
- k = k1 + k2
- श्रेणी में स्प्रिंग
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2अभ्यास प्रश्न
1.गियर और गियर ट्रेनमध्यम
1450 rpm पर चल रही एक 7.5 kW मोटर 30 दाँतों वाले पिनियन को चलाती है, जो 40 दाँतों वाले गियर से जुड़ा है। गियर युग्म की दक्षता 96% है। मोटर शाफ़्ट पर बलाघूर्ण T1 ज्ञात कीजिए।
P = 7.5 kWn1 = 1450 rpmN1 = 30N2 = 40η = 96%
T1 = N·m
2.गियर और गियर ट्रेनकठिन
एक संयुक्त गियर ट्रेन में, 1500 rpm पर घूम रहे निवेश शाफ़्ट पर लगा गियर A (12 दाँत) गियर B (72 दाँत) को चलाता है। गियर C (36 दाँत) B वाले शाफ़्ट पर ही लगा है और निर्गत शाफ़्ट पर लगे गियर D (40 दाँत) को चलाता है। निर्गत चाल nout ज्ञात कीजिए।
nin = 1500 rpmA = 12B = 72C = 36D = 40
nout = rpm
3.शाफ़्ट का मरोड़मध्यम
एक खोखले शाफ़्ट को 1000 N·m का बलाघूर्ण वहन करना है। इसका भीतरी व्यास इसके बाहरी व्यास का 0.8 गुना होना है, और अपरूपण प्रतिबल 80 MPa से अधिक नहीं होना चाहिए। सबसे छोटा बाहरी व्यास do ज्ञात कीजिए।
T = 1000 N·mdi/do = 0.8τallow = 80 MPa
do = mm
4.शाफ़्ट का मरोड़कठिन
एक खोखला शाफ़्ट 1000 rpm पर 100 kW संचारित करता है। शाफ़्ट में अधिकतम अपरूपण प्रतिबल τmax ज्ञात कीजिए।
P = 100 kWN = 1000 rpmdo = 80 mmdi = 56 mm
τmax = MPa
5.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणमध्यम
किसी भारित पुर्ज़े के एक बिंदु पर σₓ = −50 MPa, σᵧ = −60 MPa और τₓᵧ = 60 MPa है (तनन धनात्मक)। तल में अधिकतम अपरूपण प्रतिबल τmax ज्ञात कीजिए।
σx = −50 MPaσy = −60 MPaτxy = 60 MPa
τmax = MPa
6.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणकठिन
एक पतली प्लेट का एक बिंदु समतल प्रतिबल में है: σₓ = 0 MPa, σᵧ = −30 MPa और τₓᵧ = 30 MPa (σz = 0)। पदार्थ का पराभव सामर्थ्य 300 MPa है। ट्रेस्का (अधिकतम अपरूपण प्रतिबल) मानदंड से पराभव के विरुद्ध सुरक्षा गुणक n ज्ञात कीजिए।
σx = 0 MPaσy = −30 MPaτxy = 30 MPaσY = 300 MPa
n =
7.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिमध्यम
अक्षीय भार के अंतर्गत एल्युमिनियम छड़ का दीर्घीकरण δ ज्ञात कीजिए।
P = 75 kNd = 16 mmL = 2 mE = 70 GPa
δ = mm
8.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिकठिन
सोपानी छड़ दीवार में जड़ित है और अपने मुक्त सिरे पर भारित है। कुल दीर्घीकरण δ ज्ञात कीजिए।
P = 120 kNखंड 1: Ø35 mm, 1.5 m, एल्युमिनियम (E = 70 GPa)खंड 2: Ø16 mm, 1.5 m, ताँबा (E = 117 GPa)
δ = mm
9.स्तंभ बकलिंगमध्यम
स्टील से बना L लंबाई का एक स्तंभ आधार पर जड़ित और शीर्ष पर मुक्त है। ऑयलर सूत्र से उसका क्रांतिक बकलिंग भार Pcr ज्ञात कीजिए।
L = 5 mE = 200 GPa (स्टील)b × h = 50 × 100 mm
Pcr = kN
10.स्तंभ बकलिंगकठिन
स्टील से बना L लंबाई का एक ठोस गोल स्तंभ दोनों सिरों पर पिन किया हुआ है। इसे बकलिंग के विरुद्ध 3 के सुरक्षा गुणक के साथ 145 kN वहन करना है। न्यूनतम व्यास d ज्ञात कीजिए।
P = 145 kNn = 3L = 3 mE = 200 GPa (स्टील)
d = mm
11.यांत्रिक कंपनमध्यम
एक अवमंदित द्रव्यमान–स्प्रिंग तंत्र के मुक्त-कंपन परीक्षण में 30 mm के विस्थापन शिखर के 2 चक्र बाद 10.9 mm का शिखर आता है। अवमंदन अनुपात ζ ज्ञात कीजिए।
x0 = 30 mmx2 = 10.9 mmn = 2
ζ =
12.यांत्रिक कंपनकठिन
एक 25 kg द्रव्यमान अगल-बगल (समांतर में) दो स्प्रिंगों से लटका है, जिनकी दृढ़ताएँ k₁ = 12 kN/m और k₂ = 80 kN/m हैं। द्रव्यमान समतल रहता है। अवमंदन और स्प्रिंगों के द्रव्यमान की उपेक्षा करें। ऊर्ध्वाधर कंपन की प्राकृतिक आवृत्ति fn Hz में ज्ञात कीजिए।
m = 25 kgk1 = 12 kN/mk2 = 80 kN/m
fn = Hz
3विलयन
1.गियर और गियर ट्रेन
उत्तर: T1 = 49.39 N·m
गियर ट्रेन: परस्पर जुड़े गियरों के दाँतों पर चाल समान होती है, इसलिए n₁·N₁ = n₂·N₂: कम दाँतों वाला गियर तेज़ घूमता है। एक ही शाफ़्ट पर लगे गियर समान चाल से घूमते हैं। शक्ति आगे पहुँचती है (हानियों को घटाकर), इसलिए चाल घटने पर बलाघूर्ण बढ़ता है: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, और P = T·ω, जहाँ ω = 2π·n/60।
मोटर बलाघूर्ण
ω₁ = 2π·1450/60 = 151.8 rad/s
T1 = P/ω₁ = 7500/151.8 = 49.39 N·m
उत्तर
T1 = 49.39 N·m
2.गियर और गियर ट्रेन
उत्तर: nout = 225 rpm
गियर ट्रेन: परस्पर जुड़े गियरों के दाँतों पर चाल समान होती है, इसलिए n₁·N₁ = n₂·N₂: कम दाँतों वाला गियर तेज़ घूमता है। एक ही शाफ़्ट पर लगे गियर समान चाल से घूमते हैं। शक्ति आगे पहुँचती है (हानियों को घटाकर), इसलिए चाल घटने पर बलाघूर्ण बढ़ता है: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, और P = T·ω, जहाँ ω = 2π·n/60।
पहला चरण
nB = 1500·12/72 = 250 rpm = nC
दूसरा चरण
nout = 250·36/40 = 225 rpm
उत्तर
nout = 225 rpm
कुल अनुपात = 6.667 : 1
3.शाफ़्ट का मरोड़
उत्तर: do = 47.6 mm
वृत्ताकार शाफ़्ट का मरोड़: अपरूपण प्रतिबल केंद्र पर शून्य से सतह पर τmax = T·r/J तक रैखिक रूप से बढ़ता है, ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32 और खोखले के लिए J = π(do⁴ − di⁴)/32। मरोड़ कोण रेडियन में φ = TL/(GJ) है। शक्ति और बलाघूर्ण P = T·ω से जुड़े हैं।
स्वीकार्य प्रतिबल से बाहरी व्यास
T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.8⁴ = 0.5904
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·1 × 10⁶/(π·80·0.5904)) = 47.6 mm
di = 0.8·47.6 = 38.08 mm
उत्तर
do = 47.6 mm
ठोस शाफ़्ट को d = 39.93 mm चाहिए होता; खोखला थोड़ा बड़ा है पर बहुत हल्का है।
4.शाफ़्ट का मरोड़
उत्तर: τmax = 12.5 MPa
वृत्ताकार शाफ़्ट का मरोड़: अपरूपण प्रतिबल केंद्र पर शून्य से सतह पर τmax = T·r/J तक रैखिक रूप से बढ़ता है, ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32 और खोखले के लिए J = π(do⁴ − di⁴)/32। मरोड़ कोण रेडियन में φ = TL/(GJ) है। शक्ति और बलाघूर्ण P = T·ω से जुड़े हैं।
बलाघूर्ण
ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104.7 rad/s
T = P/ω = 100000/104.7 = 954.9 N·m
ध्रुवीय जड़त्व आघूर्ण
J = π(80⁴ − 56⁴)/32 = 3.056 × 10⁶ mm⁴
अधिकतम अपरूपण प्रतिबल
τmax = T·(do/2)/J = 954930·40/3.056 × 10⁶ = 12.5 MPa
उत्तर
τmax = 12.5 MPa
5.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण
उत्तर: τmax = 60.21 MPa
समतल प्रतिबल रूपांतरण: θ से घुमाए गए तल पर σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ। मोर वृत्त सभी तलों को एक साथ दिखाता है: उसका केंद्र C = (σₓ + σᵧ)/2 पर और त्रिज्या R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) है। मुख्य प्रतिबल C ± R हैं, और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।
मोर वृत्त की त्रिज्या
τmax = R = √(((−50 − −60)/2)² + 60²) = 60.21 MPa
उत्तर
τmax = 60.21 MPa
6.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण
उत्तर: n = 4.472
समतल प्रतिबल रूपांतरण: θ से घुमाए गए तल पर σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ। मोर वृत्त सभी तलों को एक साथ दिखाता है: उसका केंद्र C = (σₓ + σᵧ)/2 पर और त्रिज्या R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) है। मुख्य प्रतिबल C ± R हैं, और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है। पराभव मानदंड: वॉन मीज़ेस के अनुसार पराभव तब होता है जब σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²), σY तक पहुँचे; ट्रेस्का के अनुसार तब जब निरपेक्ष अधिकतम अपरूपण प्रतिबल σY/2 तक पहुँचे।
मुख्य प्रतिबल
C = −15 MPa, R = 33.54 MPa
σ1 = 18.54 MPa, σ2 = −48.54 MPa, σ3 = 0
ट्रेस्का
σmax − σmin = 67.08 MPa
n = 300/67.08 = 4.472
उत्तर
n = 4.472
n > 1 का अर्थ है कि बिंदु पराभव नहीं करता; ट्रेस्का वॉन मीज़ेस से थोड़ा अधिक रूढ़िवादी (सुरक्षित पक्ष का) है।
7.अक्षीय प्रतिबल और विकृति
उत्तर: δ = 10.66 mm
हुक का नियम: प्रत्यास्थ सीमा में σ = E·ε। σ = P/A और ε = δ/L के साथ मिलाने पर δ = PL/(AE) मिलता है।
प्रतिबल
A = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ = P/A = 75·1000/201.1 = 373 MPa
विकृति (हुक का नियम)
E for एल्युमिनियम = 70 GPa = 70000 MPa.
ε = σ/E = 373/70000 = 0.005329 = 5329 µε
दीर्घीकरण
δ = ε·L = 0.005329·2000 mm = 10.66 mm
उत्तर
δ = 10.66 mm
8.अक्षीय प्रतिबल और विकृति
उत्तर: δ = 10.32 mm
अक्षीय भारित अवयव: हर प्रिज़्मीय खंड δ = PL/(AE) का पालन करता है। श्रेणी में अवयवों के दीर्घीकरण जुड़ते हैं।
दोनों खंडों में समान बल
मुक्त सिरा P वहन करता है, इसलिए छड़ का हर खंड वही अक्षीय बल P वहन करता है। केवल क्षेत्रफल और पदार्थ बदलते हैं।
A1 = π·35²/4 = 962.1 mm², A2 = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ1 = 124.7 MPa
σ2 = 596.8 MPa
खंडों का दीर्घीकरण जोड़ें
δ1 = σ1L1/E1 = 124.7·1500/70000 = 2.673 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 596.8·1500/117000 = 7.652 mm
δ = δ1 + δ2 = 10.32 mm
उत्तर
δ = 10.32 mm
9.स्तंभ बकलिंग
उत्तर: Pcr = 20.56 kN
ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ Pcr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।
न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण
आयत अपनी कमज़ोर अक्ष के परितः, छोटी विमा के घन के साथ मुड़ता है।
Imin = h·b³/12 = 100·50³/12 = 1.042 × 10⁶ mm⁴
प्रभावी लंबाई
KL = 2·5000 = 10000 mm
क्रांतिक भार
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·1.042 × 10⁶/10000² = 20562 N = 20.56 kN
उत्तर
Pcr = 20.56 kN
10.स्तंभ बकलिंग
उत्तर: d = 79.73 mm
ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ Pcr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।
आवश्यक क्रांतिक भार
Pcr = n·P = 3·145000 = 435000 N
KL = 1·3000 = 3000 mm
व्यास के लिए हल करें
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·435000·3000²/(π³·200000))^(1/4) = 79.73 mm
उत्तर
d = 79.73 mm
जाँच: तनुता KL/r = 150.5 है, इसलिए स्तंभ पतला है और ऑयलर लागू होता है।
11.यांत्रिक कंपन
उत्तर: ζ = 0.08031
द्रव्यमान–स्प्रिंग तंत्र का मुक्त कंपन: अनवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति rad/s में ωn = √(k/m) है, और Hz में fn = ωn/(2π)। एक श्यान अवमंदक c अवमंदन अनुपात ζ = c/cc देता है, जहाँ क्रांतिक अवमंदन cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn। अल्प-अवमंदित तंत्र (ζ < 1) ωd = ωn·√(1 − ζ²) पर दोलन करता है। समांतर में स्प्रिंग जुड़ते हैं, k = k₁ + k₂; श्रेणी में स्प्रिंग व्युत्क्रम के रूप में जुड़ते हैं, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂।
लघुगणकीय ह्रास
δ = (1/2)·ln(30/10.9) = 0.5062
अवमंदन अनुपात
ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.5062/√(39.48 + 0.2563) = 0.08031
उत्तर
ζ = 0.08031
12.यांत्रिक कंपन
उत्तर: fn = 9.655 Hz
द्रव्यमान–स्प्रिंग तंत्र का मुक्त कंपन: अनवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति rad/s में ωn = √(k/m) है, और Hz में fn = ωn/(2π)। एक श्यान अवमंदक c अवमंदन अनुपात ζ = c/cc देता है, जहाँ क्रांतिक अवमंदन cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn। अल्प-अवमंदित तंत्र (ζ < 1) ωd = ωn·√(1 − ζ²) पर दोलन करता है। समांतर में स्प्रिंग जुड़ते हैं, k = k₁ + k₂; श्रेणी में स्प्रिंग व्युत्क्रम के रूप में जुड़ते हैं, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂।
तुल्य दृढ़ता
अगल-बगल के स्प्रिंग विक्षेप साझा करते हैं और उनके बल जुड़ते हैं, इसलिए उनकी दृढ़ताएँ सीधे जुड़ती हैं: k = k1 + k2।
keq = 12 + 80 = 92 kN/m
प्राकृतिक आवृत्ति
ωn = √(92000/25) = 60.66 rad/s
fn = 60.66/(2π) = 9.655 Hz
उत्तर
fn = 9.655 Hz
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