गियर और गियर ट्रेन
- परस्पर जुड़े गियर
- n1·N1 = n2·N2
- बलाघूर्ण
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- शक्ति
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- संयुक्त गियर ट्रेन
- कुल अनुपात = चरण अनुपातों का गुणनफल
मशीन डिज़ाइन: क्रैम पैक
सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 12 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।
1सूत्र और विधियाँ
शाफ़्ट का मरोड़
- अपरूपण प्रतिबल
- τ = T·r/J
- ठोस शाफ़्ट
- J = πd⁴/32
- खोखला शाफ़्ट
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- मरोड़ कोण
- φ = TL/(GJ)
- शक्ति
- P = T·ω = 2πnT/60
विधि
- ध्रुवीय क्षेत्र आघूर्ण ज्ञात करें: ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32।
- सतह पर अपरूपण प्रतिबल: τ = T·r/J, जहाँ r बाहरी त्रिज्या है।
- ऐंठन कोण: रेडियन में φ = TL/(GJ)।
- यदि शक्ति दी गई है, तो पहले P = T·ω, ω = 2πn/60 से बलाघूर्ण ज्ञात करें।
मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण
- केंद्र
- C = (σx + σy)/2
- त्रिज्या
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- मुख्य प्रतिबल
- σ1,2 = C ± R
- मुख्य दिशा
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- झुका हुआ तल
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
विधि
- मोर वृत्त का केंद्र निकालें: C = (σx + σy)/2।
- त्रिज्या निकालें: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)।
- मुख्य प्रतिबल C ± R हैं और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।
- वृत्त पर कोण अवयव पर कोणों के दोगुने होते हैं: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)।
अक्षीय प्रतिबल और विकृति
- अभिलंब प्रतिबल
- σ = F/A
- विकृति
- ε = ΔL/L
- हुक का नियम
- σ = E·ε
- दीर्घीकरण
- ΔL = FL/(EA)
- तापीय विकृति
- εT = α·ΔT
स्तंभ बकलिंग
- ऑयलर भार
- Pcr = π²EI/(KL)²
- प्रभावी लंबाई गुणांक
- K = 1 पिन–पिन, 0.5 स्थिर–स्थिर, 0.7 स्थिर–पिन, 2 स्थिर–मुक्त
- क्रांतिक प्रतिबल
- σcr = Pcr/A
- पतलापन अनुपात
- λ = KL/r, r = √(I/A)
यांत्रिक कंपन
- प्राकृतिक आवृत्ति
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- स्थैतिक विक्षेप से
- ωn = √(g/δst)
- क्रांतिक अवमंदन
- cc = 2√(km) = 2mωn
- अवमंदन अनुपात
- ζ = c/cc
- अवमंदित आवृत्ति
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- लघुगणकीय ह्रास
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- समांतर में स्प्रिंग
- k = k1 + k2
- श्रेणी में स्प्रिंग
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2अभ्यास प्रश्न
1.गियर और गियर ट्रेनमध्यम
एक पट्टा 125 mm की चालक घिरनी पर 960 rpm पर चलता है। कसी हुई ओर तनाव 1500 N और ढीली ओर 600 N है। संचरित शक्ति P kW में ज्ञात कीजिए।
d1 = 125 mmn1 = 960 rpmT1 = 1500 NT2 = 600 N
P = kW
2.गियर और गियर ट्रेनकठिन
960 rpm पर एक 1.1 kW मोटर गियर A (45 दाँत) को चलाती है, जो गियर B (80 दाँत) से जुड़ा है। B के ही शाफ़्ट पर लगा गियर C (25 दाँत) निर्गम शाफ़्ट पर गियर D (80 दाँत) को चलाता है। हर गियर जोड़ की दक्षता 97% है। निर्गम बलाघूर्ण Tout ज्ञात कीजिए।
P = 1.1 kWnin = 960 rpmA = 45B = 80C = 25D = 80ηmesh = 97%
Tout = N·m
3.शाफ़्ट का मरोड़मध्यम
एल्युमिनियम का एक ठोस शाफ़्ट दीवार में जड़ित है और मुक्त सिरे पर बलाघूर्ण T से मरोड़ा जाता है। मुक्त सिरे का मरोड़ कोण φ डिग्री में ज्ञात कीजिए।
T = 1000 N·md = 50 mmL = 2.5 mG = 26 GPa
φ = °
4.शाफ़्ट का मरोड़कठिन
40 mm व्यास वाला एक ठोस पीतल शाफ़्ट A पर स्थिर है। A से 1.5 m पर B पर 750 N·m का बलाघूर्ण कार्य करता है, और 1.5 m और आगे मुक्त सिरे C पर विपरीत दिशा में 1500 N·m का बलाघूर्ण कार्य करता है। सिरे C के मरोड़ कोण φC का परिमाण डिग्री में ज्ञात कीजिए।
d = 40 mmTB = 750 N·mTC = 1500 N·mAB = 1.5 mBC = 1.5 mG = 39 GPa
φC = °
5.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणमध्यम
एक बिंदु पर σₓ = 140 MPa और σᵧ = −10 MPa है। सबसे बड़े मुख्य प्रतिबल के 180 MPa तक पहुँचने से पहले अपरूपण प्रतिबल τxy (परिमाण) कितना बड़ा हो सकता है?
σx = 140 MPaσy = −10 MPaσ1 = 180 MPa
τxy = MPa
6.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणकठिन
600 mm भीतरी व्यास और 6 mm दीवार मोटाई वाली एक पतली दीवार की बेलनाकार टंकी में 1.2 MPa गेज दाब पर गैस है। यह बेलन की अक्ष से 35° पर एक सर्पिल सीवन के साथ वेल्ड की गई प्लेट से बनी है। वेल्ड सीवन के आर-पार कार्य करने वाला अभिलंब प्रतिबल σn ज्ञात कीजिए।
D = 600 mmt = 6 mmp = 1.2 MPaα = 35°
σn = MPa
7.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिमध्यम
एक स्टील छड़ (व्यास 25 mm, E = 200 GPa) एल्युमिनियम की बनी नलिका (बाहरी व्यास 100 mm, भीतरी व्यास 50 mm, E = 70 GPa) के भीतर है। दोनों 600 mm लंबे हैं और दृढ़ प्लेटों के बीच 300 kN से साथ-साथ संपीडित किए जाते हैं। संकुचन δ ज्ञात कीजिए।
P = 300 kNछड़: Ø25 mm, E = 200 GPaनलिका: Ø100/Ø50 mm, E = 70 GPaL = 600 mm
δ = mm
8.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिकठिन
सोपानी छड़ दीवार में जड़ित है और अपने मुक्त सिरे पर भारित है। छड़ में सबसे बड़ा अभिलंब प्रतिबल σmax ज्ञात कीजिए।
P = 50 kNखंड 1: Ø25 mm, 1 m, स्टील (E = 200 GPa)खंड 2: Ø12 mm, 0.5 m, स्टील (E = 200 GPa)
σmax = MPa
9.स्तंभ बकलिंगमध्यम
एल्युमिनियम से बना L लंबाई का एक स्तंभ दोनों सिरों पर पिन किया हुआ है। ऑयलर सूत्र से उसका क्रांतिक बकलिंग भार Pcr ज्ञात कीजिए।
L = 1.5 mE = 70 GPa (एल्युमिनियम)d = 20 mm
Pcr = kN
10.स्तंभ बकलिंगकठिन
स्टील से बना L लंबाई का एक ठोस गोल स्तंभ आधार पर जड़ित और शीर्ष पर पिन किया हुआ है। इसे बकलिंग के विरुद्ध 2 के सुरक्षा गुणक के साथ 75 kN वहन करना है। न्यूनतम व्यास d ज्ञात कीजिए।
P = 75 kNn = 2L = 3 mE = 200 GPa (स्टील)
d = mm
11.यांत्रिक कंपनमध्यम
200 kN/m दृढ़ता वाले स्प्रिंग पर एक 150 kg द्रव्यमान के साथ एक श्यान अवमंदक है जो 0.45 का अवमंदन अनुपात देता है। इसके मुक्त कंपन की अवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति fd Hz में ज्ञात कीजिए।
m = 150 kgk = 200 kN/mζ = 0.45
fd = Hz
12.यांत्रिक कंपनकठिन
एक 25 kg द्रव्यमान अगल-बगल (समांतर में) दो स्प्रिंगों से लटका है, जिनकी दृढ़ताएँ k₁ = 10 kN/m और k₂ = 30 kN/m हैं। द्रव्यमान समतल रहता है। अवमंदन और स्प्रिंगों के द्रव्यमान की उपेक्षा करें। ऊर्ध्वाधर कंपन की प्राकृतिक आवृत्ति fn Hz में ज्ञात कीजिए।
m = 25 kgk1 = 10 kN/mk2 = 30 kN/m
fn = Hz
3विलयन
1.गियर और गियर ट्रेन
उत्तर: P = 5.655 kW
पट्टा चालन: फिसलन के बिना दोनों घिरनियों की कोर की चाल समान होती है v = π·d·n/60, इसलिए n₁·d₁ = n₂·d₂ और गति अनुपात d₂/d₁ है। फिसलन s चालित घिरनी को थोड़ा धीमा कर देती है: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)। संचरित शक्ति P = (T₁ − T₂)·v है, जहाँ T₁ कसी हुई ओर का तनाव और T₂ ढीली ओर का। घर्षण तनावों के अनुपात को सीमित करता है: T₁/T₂ = eμθ, जहाँ θ छोटी घिरनी पर लपेट कोण रेडियन में है; खुले पट्टे के लिए θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), जहाँ C केंद्र दूरी है।
पट्टे की चाल
v = 6.283 m/s
शक्ति
P = (1500 − 600)·6.283 = 5655 W = 5.655 kW
उत्तर
P = 5.655 kW
2.गियर और गियर ट्रेन
उत्तर: Tout = 58.57 N·m
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
निर्गत चाल
nout = 960·(45/80)·(25/80) = 168.8 rpm
ωout = 2π·168.8/60 = 17.67 rad/s
निर्गम शक्ति और बलाघूर्ण
Pout = 1100·0.97² = 1035 W
Tout = Pout/ωout = 1035/17.67 = 58.57 N·m
उत्तर
Tout = 58.57 N·m
3.शाफ़्ट का मरोड़
उत्तर: φ = 8.979 °
वृत्ताकार शाफ़्ट का मरोड़: अपरूपण प्रतिबल केंद्र पर शून्य से सतह पर τmax = T·r/J तक रैखिक रूप से बढ़ता है, ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32 और खोखले के लिए J = π(do⁴ − di⁴)/32। मरोड़ कोण रेडियन में φ = TL/(GJ) है। शक्ति और बलाघूर्ण P = T·ω से जुड़े हैं।
ध्रुवीय जड़त्व आघूर्ण
J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴
मरोड़ कोण
φ = TL/(GJ) = 1000·1000·2500/(26000·613592) = 0.1567 rad
φ = 0.1567·180/π = 8.979°
उत्तर
φ = 8.979°
4.शाफ़्ट का मरोड़
उत्तर: φC = 19.73 °
वृत्ताकार शाफ़्ट का मरोड़: अपरूपण प्रतिबल केंद्र पर शून्य से सतह पर τmax = T·r/J तक रैखिक रूप से बढ़ता है, ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32 और खोखले के लिए J = π(do⁴ − di⁴)/32। मरोड़ कोण रेडियन में φ = TL/(GJ) है। शक्ति और बलाघूर्ण P = T·ω से जुड़े हैं।
आंतरिक बलाघूर्ण
TC की दिशा धनात्मक ली गई है।
TBC = TC = 1500 N·m
TAB = TC − TB = 1500 − 750 = 750 N·m
हर खंड का मरोड़
J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴
G = 39 GPa = 39000 MPa
φAB = 750000·1500/(39000·251327) = 0.1148 rad
φBC = 1.5 × 10⁶·1500/(39000·251327) = 0.2296 rad
सिरे C का मरोड़
φC = 0.1148 + 0.2296 = 0.3443 rad → |φC| = 19.73°
उत्तर
φC = 19.73°
5.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण
उत्तर: τxy = 87.18 MPa
समतल प्रतिबल रूपांतरण: θ से घुमाए गए तल पर σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ। मोर वृत्त सभी तलों को एक साथ दिखाता है: उसका केंद्र C = (σₓ + σᵧ)/2 पर और त्रिज्या R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) है। मुख्य प्रतिबल C ± R हैं, और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।
आवश्यक त्रिज्या
C = (140 + (−10))/2 = 65 MPa
R = σ1 − C = 180 − 65 = 115 MPa
अपरूपण प्रतिबल
τxy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(115² − 75²) = 87.18 MPa
उत्तर
τxy = 87.18 MPa
6.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण
उत्तर: σn = 50.13 MPa
समतल प्रतिबल रूपांतरण: θ से घुमाए गए तल पर σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ। मोर वृत्त सभी तलों को एक साथ दिखाता है: उसका केंद्र C = (σₓ + σᵧ)/2 पर और त्रिज्या R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) है। मुख्य प्रतिबल C ± R हैं, और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है। पतली दीवार का बेलन: परिधीय प्रतिबल σh = pr/t और अक्षीय प्रतिबल σa = pr/(2t); ये दीवार में मुख्य प्रतिबल हैं।
दीवार के प्रतिबल
r = 600/2 = 300 mm
σh = pr/t = 1.2·300/6 = 60 MPa
σa = pr/(2t) = 30 MPa
सीवन पर रूपांतरित करें
x को अक्ष के साथ (σa) और y को परिधि के साथ (σh) लें। सीवन का अभिलंब अक्ष से 90° − α बनाता है।
σn = 30·sin²35° + 60·cos²35° = 50.13 MPa
उत्तर
σn = 50.13 MPa
7.अक्षीय प्रतिबल और विकृति
उत्तर: δ = 0.3526 mm
दो पदार्थ: श्रेणी में (एक के बाद एक) हर खंड समान बल वहन करता है और विस्तार जुड़ते हैं: δ = P·Σ L/(E·A)। समानांतर में (दृढ़ प्लेटों के बीच अगल-बगल) दोनों भाग समान मात्रा से छोटे होते हैं, इसलिए उनके विकृति समान हैं: अधिक कठोर भाग बड़ा हिस्सा लेता है, Pi = P·EiAi/ΣEA, और σi = Ei·ε। दो दृढ़ दीवारों के बीच जकड़ी छड़, जिसके जोड़ पर भार लगा है, स्थैतिक रूप से अनिर्धार्य है: दोनों खंड भार को अपनी कठोरता k = EA/L के अनुपात में बाँटते हैं।
क्षेत्रफल
Ar = π·25²/4 = 490.9 mm²
At = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²
संयुक्त अक्षीय कठोरता
ΣEA = 200·10³·490.9 + 70·10³·5890 = 5.105 × 10⁸ N
संकुचन
δ = 300000·600/5.105 × 10⁸ = 0.3526 mm
उत्तर
δ = 0.3526 mm
8.अक्षीय प्रतिबल और विकृति
उत्तर: σmax = 442.1 MPa
अक्षीय भारित अवयव: हर प्रिज़्मीय खंड δ = PL/(AE) का पालन करता है। श्रेणी में अवयवों के दीर्घीकरण जुड़ते हैं।
दोनों खंडों में समान बल
मुक्त सिरा P वहन करता है, इसलिए छड़ का हर खंड वही अक्षीय बल P वहन करता है। केवल क्षेत्रफल और पदार्थ बदलते हैं।
A1 = π·25²/4 = 490.9 mm², A2 = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ1 = 101.9 MPa
σ2 = 442.1 MPa
सबसे बड़ा प्रतिबल
पतले खंड का क्षेत्रफल छोटा है, इसलिए उसमें प्रतिबल अधिक है।
σmax = 442.1 MPa
उत्तर
σmax = 442.1 MPa
9.स्तंभ बकलिंग
उत्तर: Pcr = 2.412 kN
ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ Pcr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।
न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण
गोल खंड का I हर अक्ष के परितः समान होता है।
I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴
प्रभावी लंबाई
KL = 1·1500 = 1500 mm
क्रांतिक भार
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·7854/1500² = 2412 N = 2.412 kN
उत्तर
Pcr = 2.412 kN
10.स्तंभ बकलिंग
उत्तर: d = 51.12 mm
ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ Pcr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।
आवश्यक क्रांतिक भार
Pcr = n·P = 2·75000 = 150000 N
KL = 0.7·3000 = 2100 mm
व्यास के लिए हल करें
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·150000·2100²/(π³·200000))^(1/4) = 51.12 mm
उत्तर
d = 51.12 mm
जाँच: तनुता KL/r = 164.3 है, इसलिए स्तंभ पतला है और ऑयलर लागू होता है।
11.यांत्रिक कंपन
उत्तर: fd = 5.19 Hz
द्रव्यमान–स्प्रिंग तंत्र का मुक्त कंपन: अनवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति rad/s में ωn = √(k/m) है, और Hz में fn = ωn/(2π)। एक श्यान अवमंदक c अवमंदन अनुपात ζ = c/cc देता है, जहाँ क्रांतिक अवमंदन cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn। अल्प-अवमंदित तंत्र (ζ < 1) ωd = ωn·√(1 − ζ²) पर दोलन करता है। समांतर में स्प्रिंग जुड़ते हैं, k = k₁ + k₂; श्रेणी में स्प्रिंग व्युत्क्रम के रूप में जुड़ते हैं, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂।
अनवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति
ωn = √(200000/150) = 36.51 rad/s
fn = 36.51/(2π) = 5.812 Hz
अवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति
fd = fn·√(1 − ζ²) = 5.812·√(1 − 0.45²) = 5.19 Hz
उत्तर
fd = 5.19 Hz
12.यांत्रिक कंपन
उत्तर: fn = 6.366 Hz
द्रव्यमान–स्प्रिंग तंत्र का मुक्त कंपन: अनवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति rad/s में ωn = √(k/m) है, और Hz में fn = ωn/(2π)। एक श्यान अवमंदक c अवमंदन अनुपात ζ = c/cc देता है, जहाँ क्रांतिक अवमंदन cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn। अल्प-अवमंदित तंत्र (ζ < 1) ωd = ωn·√(1 − ζ²) पर दोलन करता है। समांतर में स्प्रिंग जुड़ते हैं, k = k₁ + k₂; श्रेणी में स्प्रिंग व्युत्क्रम के रूप में जुड़ते हैं, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂।
तुल्य दृढ़ता
अगल-बगल के स्प्रिंग विक्षेप साझा करते हैं और उनके बल जुड़ते हैं, इसलिए उनकी दृढ़ताएँ सीधे जुड़ती हैं: k = k1 + k2।
keq = 10 + 30 = 40 kN/m
प्राकृतिक आवृत्ति
ωn = √(40000/25) = 40 rad/s
fn = 40/(2π) = 6.366 Hz
उत्तर
fn = 6.366 Hz
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