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सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 12 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

गियर और गियर ट्रेन

परस्पर जुड़े गियर: n₁·N₁ = n₂·N₂
बलाघूर्ण: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
शक्ति: P = T·ω, ω = 2π·n/60
संयुक्त गियर ट्रेन: कुल अनुपात = चरण अनुपातों का गुणनफल

शाफ़्ट का मरोड़

अपरूपण प्रतिबल: τ = T·r/J
ठोस शाफ़्ट: J = πd⁴/32
खोखला शाफ़्ट: J = π(D⁴ − d⁴)/32
मरोड़ कोण: φ = TL/(GJ)
शक्ति: P = T·ω = 2πnT/60

विधि

ध्रुवीय क्षेत्र आघूर्ण ज्ञात करें: ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32।
सतह पर अपरूपण प्रतिबल: τ = T·r/J, जहाँ r बाहरी त्रिज्या है।
ऐंठन कोण: रेडियन में φ = TL/(GJ)।
यदि शक्ति दी गई है, तो पहले P = T·ω, ω = 2πn/60 से बलाघूर्ण ज्ञात करें।

मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

केंद्र: C = (σ_x + σ_y)/2
त्रिज्या: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
मुख्य प्रतिबल: σ_1,2 = C ± R
मुख्य दिशा: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
झुका हुआ तल: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

विधि

मोर वृत्त का केंद्र निकालें: C = (σx + σy)/2।
त्रिज्या निकालें: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)।
मुख्य प्रतिबल C ± R हैं और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।
वृत्त पर कोण अवयव पर कोणों के दोगुने होते हैं: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)।

अक्षीय प्रतिबल और विकृति

अभिलंब प्रतिबल: σ = F/A
विकृति: ε = ΔL/L
हुक का नियम: σ = E·ε
दीर्घीकरण: ΔL = FL/(EA)
तापीय विकृति: ε_T = α·ΔT

स्तंभ बकलिंग

ऑयलर भार: P_cr = π²EI/(KL)²
प्रभावी लंबाई गुणांक: K = 1 पिन–पिन, 0.5 स्थिर–स्थिर, 0.7 स्थिर–पिन, 2 स्थिर–मुक्त
क्रांतिक प्रतिबल: σ_cr = P_cr/A
पतलापन अनुपात: λ = KL/r, r = √(I/A)

यांत्रिक कंपन

प्राकृतिक आवृत्ति: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
स्थैतिक विक्षेप से: ω_n = √(g/δ_st)
क्रांतिक अवमंदन: c_c = 2√(km) = 2mω_n
अवमंदन अनुपात: ζ = c/c_c
अवमंदित आवृत्ति: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
लघुगणकीय ह्रास: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
समांतर में स्प्रिंग: k = k₁ + k₂
श्रेणी में स्प्रिंग: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2अभ्यास प्रश्न

1.गियर और गियर ट्रेनमध्यम

960 rpm पर चल रही एक 11 kW मोटर 16 दाँतों वाले पिनियन को चलाती है, जो 18 दाँतों वाले गियर से जुड़ा है। गियर युग्म की दक्षता 95% है। मोटर शाफ़्ट पर बलाघूर्ण T₁ ज्ञात कीजिए।

P = 11 kWn₁ = 960 rpmN₁ = 16N₂ = 18η = 95%

T₁ = N·m

2.गियर और गियर ट्रेनकठिन

एक खुला पट्टा 100 mm की घिरनी और 250 mm की घिरनी को जोड़ता है, जिनके केंद्र 600 mm दूर हैं। छोटी घिरनी पर लपेट कोण θ डिग्री में ज्ञात कीजिए।

d₁ = 100 mmd₂ = 250 mmC = 600 mm

θ = °

3.शाफ़्ट का मरोड़मध्यम

स्टील का एक ठोस शाफ़्ट दीवार में जड़ित है और मुक्त सिरे पर बलाघूर्ण T से मरोड़ा जाता है। मुक्त सिरे का मरोड़ कोण φ डिग्री में ज्ञात कीजिए।

T = 1000 N·md = 25 mmL = 0.8 mG = 80 GPa

φ = °

4.शाफ़्ट का मरोड़कठिन

50 mm व्यास वाला एक ठोस स्टील शाफ़्ट A पर स्थिर है। A से 1.5 m पर B पर 1500 N·m का बलाघूर्ण कार्य करता है, और 0.5 m और आगे मुक्त सिरे C पर विपरीत दिशा में 100 N·m का बलाघूर्ण कार्य करता है। सिरे C के मरोड़ कोण φ_C का परिमाण डिग्री में ज्ञात कीजिए।

d = 50 mmT_B = 1500 N·mT_C = 100 N·mAB = 1.5 mBC = 0.5 mG = 80 GPa

φ_C = °

5.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणमध्यम

किसी भारित पुर्ज़े के एक बिंदु पर σₓ = −40 MPa, σᵧ = 90 MPa और τₓᵧ = −20 MPa है (तनन धनात्मक)। तल में अधिकतम अपरूपण प्रतिबल τ_max ज्ञात कीजिए।

σ_x = −40 MPaσ_y = 90 MPaτ_xy = −20 MPa

τ_max = MPa

6.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणकठिन

एक पतली प्लेट का एक बिंदु समतल प्रतिबल में है: σₓ = −30 MPa, σᵧ = 10 MPa और τₓᵧ = 10 MPa (σ_z = 0)। पदार्थ का पराभव सामर्थ्य 350 MPa है। ट्रेस्का (अधिकतम अपरूपण प्रतिबल) मानदंड से पराभव के विरुद्ध सुरक्षा गुणक n ज्ञात कीजिए।

σ_x = −30 MPaσ_y = 10 MPaτ_xy = 10 MPaσ_Y = 350 MPa

n =

7.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिमध्यम

एक स्टील छड़ (व्यास 20 mm, E = 200 GPa) पीतल की बनी नलिका (बाहरी व्यास 100 mm, भीतरी व्यास 60 mm, E = 100 GPa) के भीतर है। दोनों 500 mm लंबे हैं और दृढ़ प्लेटों के बीच 250 kN से साथ-साथ संपीडित किए जाते हैं। संकुचन δ ज्ञात कीजिए।

P = 250 kNछड़: Ø20 mm, E = 200 GPaनलिका: Ø100/Ø60 mm, E = 100 GPaL = 500 mm

δ = mm

8.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिकठिन

एक स्टील खंड (व्यास 30 mm, लंबाई 600 mm, E = 200 GPa) और एल्युमिनियम का बना खंड (व्यास 30 mm, लंबाई 500 mm, E = 70 GPa) सिरे से सिरा जोड़कर दो दृढ़ दीवारों के बीच जकड़े हैं। जोड़ पर खंड 2 की ओर 80 kN का अक्षीय भार लगता है। खंड 2 में प्रतिबल σ₂ का परिमाण ज्ञात कीजिए।

खंड 1: स्टील, Ø30 mm, 600 mm, E = 200 GPaखंड 2: एल्युमिनियम, Ø30 mm, 500 mm, E = 70 GPaP = 80 kN

σ₂ = MPa

9.स्तंभ बकलिंगमध्यम

स्टील से बना L लंबाई का एक स्तंभ दोनों सिरों पर जड़ित है। ऑयलर सूत्र से उसका क्रांतिक बकलिंग भार P_cr ज्ञात कीजिए।

L = 5 mE = 200 GPa (स्टील)d = 20 mm

P_cr = kN

10.स्तंभ बकलिंगकठिन

एल्युमिनियम से बना L लंबाई का एक स्तंभ आधार पर जड़ित और शीर्ष पर मुक्त है। उसकी तनुता और ऑयलर सूत्र से क्रांतिक बकलिंग प्रतिबल σ_cr ज्ञात कीजिए।

L = 1.5 mE = 70 GPa (एल्युमिनियम)d = 40 mm

σ_cr = MPa

11.यांत्रिक कंपनमध्यम

एक 80 kg द्रव्यमान 150 kN/m दृढ़ता वाले स्प्रिंग और 350 N·s/m अवमंदन गुणांक वाले श्यान अवमंदक पर टिका है। अवमंदन अनुपात ζ ज्ञात कीजिए।

m = 80 kgk = 150 kN/mc = 350 N·s/m

ζ =

12.यांत्रिक कंपनकठिन

एक 10 kg द्रव्यमान सिरे-से-सिरे जुड़े (श्रेणी में) दो स्प्रिंगों से लटका है: ऊपरी स्प्रिंग k₁ = 50 kN/m और निचला k₂ = 50 kN/m है। अवमंदन और स्प्रिंगों के द्रव्यमान की उपेक्षा करें। ऊर्ध्वाधर कंपन की प्राकृतिक आवृत्ति f_n Hz में ज्ञात कीजिए।

m = 10 kgk₁ = 50 kN/mk₂ = 50 kN/m

f_n = Hz

3विलयन

1.गियर और गियर ट्रेन

उत्तर: T₁ = 109.4 N·m

गियर ट्रेन: परस्पर जुड़े गियरों के दाँतों पर चाल समान होती है, इसलिए n₁·N₁ = n₂·N₂: कम दाँतों वाला गियर तेज़ घूमता है। एक ही शाफ़्ट पर लगे गियर समान चाल से घूमते हैं। शक्ति आगे पहुँचती है (हानियों को घटाकर), इसलिए चाल घटने पर बलाघूर्ण बढ़ता है: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, और P = T·ω, जहाँ ω = 2π·n/60।

मोटर बलाघूर्ण

ω₁ = 2π·960/60 = 100.5 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 11000/100.5 = 109.4 N·m

उत्तर

T₁ = 109.4 N·m

2.गियर और गियर ट्रेन

उत्तर: θ = 165.6 °

पट्टा चालन: फिसलन के बिना दोनों घिरनियों की कोर की चाल समान होती है v = π·d·n/60, इसलिए n₁·d₁ = n₂·d₂ और गति अनुपात d₂/d₁ है। फिसलन s चालित घिरनी को थोड़ा धीमा कर देती है: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)। संचरित शक्ति P = (T₁ − T₂)·v है, जहाँ T₁ कसी हुई ओर का तनाव और T₂ ढीली ओर का। घर्षण तनावों के अनुपात को सीमित करता है: T₁/T₂ = e^μθ, जहाँ θ छोटी घिरनी पर लपेट कोण रेडियन में है; खुले पट्टे के लिए θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), जहाँ C केंद्र दूरी है।

पट्टे का कोण

asin(0.125) = 7.181°

लपेट कोण

θ = 180 − 2·7.181 = 165.6°

उत्तर

θ = 165.6°

3.शाफ़्ट का मरोड़

उत्तर: φ = 14.94 °

वृत्ताकार शाफ़्ट का मरोड़: अपरूपण प्रतिबल केंद्र पर शून्य से सतह पर τ_max = T·r/J तक रैखिक रूप से बढ़ता है, ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32 और खोखले के लिए J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32। मरोड़ कोण रेडियन में φ = TL/(GJ) है। शक्ति और बलाघूर्ण P = T·ω से जुड़े हैं।

ध्रुवीय जड़त्व आघूर्ण

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

मरोड़ कोण

φ = TL/(GJ) = 1000·1000·800/(80000·38350) = 0.2608 rad

φ = 0.2608·180/π = 14.94°

उत्तर

φ = 14.94°

4.शाफ़्ट का मरोड़

उत्तर: φ_C = 2.393 °

आंतरिक बलाघूर्ण

T_C की दिशा धनात्मक ली गई है।

T_BC = T_C = 100 N·m

T_AB = T_C − T_B = 100 − 1500 = −1400 N·m

हर खंड का मरोड़

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ_AB = −1.4 × 10⁶·1500/(80000·613592) = −0.04278 rad

φ_BC = 100000·500/(80000·613592) = 0.001019 rad

सिरे C का मरोड़

φ_C = −0.04278 + 0.001019 = −0.04176 rad → |φ_C| = 2.393°

उत्तर

φ_C = 2.393°

5.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

उत्तर: τ_max = 68.01 MPa

मोर वृत्त की त्रिज्या

τ_max = R = √(((−40 − 90)/2)² + −20²) = 68.01 MPa

उत्तर

τ_max = 68.01 MPa

6.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

उत्तर: n = 7.826

समतल प्रतिबल रूपांतरण: θ से घुमाए गए तल पर σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ। मोर वृत्त सभी तलों को एक साथ दिखाता है: उसका केंद्र C = (σₓ + σᵧ)/2 पर और त्रिज्या R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) है। मुख्य प्रतिबल C ± R हैं, और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है। पराभव मानदंड: वॉन मीज़ेस के अनुसार पराभव तब होता है जब σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²), σ_Y तक पहुँचे; ट्रेस्का के अनुसार तब जब निरपेक्ष अधिकतम अपरूपण प्रतिबल σ_Y/2 तक पहुँचे।

मुख्य प्रतिबल

C = −10 MPa, R = 22.36 MPa

σ₁ = 12.36 MPa, σ₂ = −32.36 MPa, σ₃ = 0

ट्रेस्का

σ_max − σ_min = 44.72 MPa

n = 350/44.72 = 7.826

उत्तर

n = 7.826

n > 1 का अर्थ है कि बिंदु पराभव नहीं करता; ट्रेस्का वॉन मीज़ेस से थोड़ा अधिक रूढ़िवादी (सुरक्षित पक्ष का) है।

7.अक्षीय प्रतिबल और विकृति

उत्तर: δ = 0.221 mm

दो पदार्थ: श्रेणी में (एक के बाद एक) हर खंड समान बल वहन करता है और विस्तार जुड़ते हैं: δ = P·Σ L/(E·A)। समानांतर में (दृढ़ प्लेटों के बीच अगल-बगल) दोनों भाग समान मात्रा से छोटे होते हैं, इसलिए उनके विकृति समान हैं: अधिक कठोर भाग बड़ा हिस्सा लेता है, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, और σ_i = E_i·ε। दो दृढ़ दीवारों के बीच जकड़ी छड़, जिसके जोड़ पर भार लगा है, स्थैतिक रूप से अनिर्धार्य है: दोनों खंड भार को अपनी कठोरता k = EA/L के अनुपात में बाँटते हैं।

क्षेत्रफल

A_r = π·20²/4 = 314.2 mm²

A_t = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²

संयुक्त अक्षीय कठोरता

ΣEA = 200·10³·314.2 + 100·10³·5027 = 5.655 × 10⁸ N

संकुचन

δ = 250000·500/5.655 × 10⁸ = 0.221 mm

उत्तर

δ = 0.221 mm

8.अक्षीय प्रतिबल और विकृति

उत्तर: σ₂ = 33.47 MPa

कठोरताएँ

k₁ = 200000·706.9/600 = 235619 N/mm

k₂ = 70000·706.9/500 = 98960 N/mm

खंड 2 का हिस्सा

F₂ = 80000·98960/334580 = 23662 N

प्रतिबल

σ₂ = 23662/706.9 = 33.47 MPa (संपीडन)

उत्तर

σ₂ = 33.47 MPa

9.स्तंभ बकलिंग

उत्तर: P_cr = 2.481 kN

ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ P_cr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।

न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण

गोल खंड का I हर अक्ष के परितः समान होता है।

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

प्रभावी लंबाई

KL = 0.5·5000 = 2500 mm

क्रांतिक भार

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·7854/2500² = 2481 N = 2.481 kN

उत्तर

P_cr = 2.481 kN

10.स्तंभ बकलिंग

उत्तर: σ_cr = 7.676 MPa

न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण

गोल खंड का I हर अक्ष के परितः समान होता है।

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

परिभ्रमण त्रिज्या और तनुता

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 2·1500 = 3000 mm

KL/r = 3000/10 = 300

क्रांतिक प्रतिबल

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/300² = 7.676 MPa

उत्तर

σ_cr = 7.676 MPa

11.यांत्रिक कंपन

उत्तर: ζ = 0.05052

द्रव्यमान–स्प्रिंग तंत्र का मुक्त कंपन: अनवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति rad/s में ω_n = √(k/m) है, और Hz में f_n = ω_n/(2π)। एक श्यान अवमंदक c अवमंदन अनुपात ζ = c/c_c देता है, जहाँ क्रांतिक अवमंदन c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n। अल्प-अवमंदित तंत्र (ζ < 1) ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) पर दोलन करता है। समांतर में स्प्रिंग जुड़ते हैं, k = k₁ + k₂; श्रेणी में स्प्रिंग व्युत्क्रम के रूप में जुड़ते हैं, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂।

क्रांतिक अवमंदन

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(150000·80) = 6928 N·s/m

अवमंदन अनुपात

ζ = c/c_c = 350/6928 = 0.05052

उत्तर

ζ = 0.05052

ζ < 1, इसलिए तंत्र अल्प-अवमंदित है और क्षीण होते हुए दोलन करता है।

12.यांत्रिक कंपन

उत्तर: f_n = 7.958 Hz

तुल्य दृढ़ता

श्रेणी में स्प्रिंग समान बल साझा करते हैं और उनके विक्षेप जुड़ते हैं, इसलिए वे व्युत्क्रम के रूप में मिलते हैं: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂।

1/k_eq = 1/50 + 1/50 → k_eq = 50·50/(50 + 50) = 25 kN/m

प्राकृतिक आवृत्ति

ω_n = √(25000/10) = 50 rad/s

f_n = 50/(2π) = 7.958 Hz

उत्तर

f_n = 7.958 Hz

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