मशीन डिज़ाइन: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 12 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

गियर और गियर ट्रेन

परस्पर जुड़े गियर: n₁·N₁ = n₂·N₂
बलाघूर्ण: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
शक्ति: P = T·ω, ω = 2π·n/60
संयुक्त गियर ट्रेन: कुल अनुपात = चरण अनुपातों का गुणनफल

शाफ़्ट का मरोड़

अपरूपण प्रतिबल: τ = T·r/J
ठोस शाफ़्ट: J = πd⁴/32
खोखला शाफ़्ट: J = π(D⁴ − d⁴)/32
मरोड़ कोण: φ = TL/(GJ)
शक्ति: P = T·ω = 2πnT/60

विधि

ध्रुवीय क्षेत्र आघूर्ण ज्ञात करें: ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32।
सतह पर अपरूपण प्रतिबल: τ = T·r/J, जहाँ r बाहरी त्रिज्या है।
ऐंठन कोण: रेडियन में φ = TL/(GJ)।
यदि शक्ति दी गई है, तो पहले P = T·ω, ω = 2πn/60 से बलाघूर्ण ज्ञात करें।

मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

केंद्र: C = (σ_x + σ_y)/2
त्रिज्या: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
मुख्य प्रतिबल: σ_1,2 = C ± R
मुख्य दिशा: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
झुका हुआ तल: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

विधि

मोर वृत्त का केंद्र निकालें: C = (σx + σy)/2।
त्रिज्या निकालें: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)।
मुख्य प्रतिबल C ± R हैं और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।
वृत्त पर कोण अवयव पर कोणों के दोगुने होते हैं: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)।

अक्षीय प्रतिबल और विकृति

अभिलंब प्रतिबल: σ = F/A
विकृति: ε = ΔL/L
हुक का नियम: σ = E·ε
दीर्घीकरण: ΔL = FL/(EA)
तापीय विकृति: ε_T = α·ΔT

स्तंभ बकलिंग

ऑयलर भार: P_cr = π²EI/(KL)²
प्रभावी लंबाई गुणांक: K = 1 पिन–पिन, 0.5 स्थिर–स्थिर, 0.7 स्थिर–पिन, 2 स्थिर–मुक्त
क्रांतिक प्रतिबल: σ_cr = P_cr/A
पतलापन अनुपात: λ = KL/r, r = √(I/A)

यांत्रिक कंपन

प्राकृतिक आवृत्ति: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
स्थैतिक विक्षेप से: ω_n = √(g/δ_st)
क्रांतिक अवमंदन: c_c = 2√(km) = 2mω_n
अवमंदन अनुपात: ζ = c/c_c
अवमंदित आवृत्ति: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
लघुगणकीय ह्रास: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
समांतर में स्प्रिंग: k = k₁ + k₂
श्रेणी में स्प्रिंग: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2अभ्यास प्रश्न

1.गियर और गियर ट्रेनमध्यम

एक पट्टा 200 mm की चालक घिरनी पर 960 rpm पर चलता है। कसी हुई ओर तनाव 1500 N और ढीली ओर 300 N है। संचरित शक्ति P kW में ज्ञात कीजिए।

d₁ = 200 mmn₁ = 960 rpmT₁ = 1500 NT₂ = 300 N

P = kW

2.गियर और गियर ट्रेनकठिन

1440 rpm पर एक 11 kW मोटर गियर A (72 दाँत) को चलाती है, जो गियर B (80 दाँत) से जुड़ा है। B के ही शाफ़्ट पर लगा गियर C (24 दाँत) निर्गम शाफ़्ट पर गियर D (36 दाँत) को चलाता है। हर गियर जोड़ की दक्षता 96% है। निर्गम बलाघूर्ण T_out ज्ञात कीजिए।

P = 11 kWn_in = 1440 rpmA = 72B = 80C = 24D = 36η_mesh = 96%

T_out = N·m

3.शाफ़्ट का मरोड़मध्यम

पीतल का एक ठोस शाफ़्ट दीवार में जड़ित है और मुक्त सिरे पर बलाघूर्ण T से मरोड़ा जाता है। मुक्त सिरे का मरोड़ कोण φ डिग्री में ज्ञात कीजिए।

T = 1000 N·md = 50 mmL = 1 mG = 39 GPa

φ = °

4.शाफ़्ट का मरोड़कठिन

60 mm व्यास वाला एक ठोस स्टील शाफ़्ट A पर स्थिर है। A से 1.2 m पर B पर 500 N·m का बलाघूर्ण कार्य करता है, और 2 m और आगे मुक्त सिरे C पर विपरीत दिशा में 250 N·m का बलाघूर्ण कार्य करता है। शाफ़्ट में अधिकतम अपरूपण प्रतिबल τ_max ज्ञात कीजिए।

d = 60 mmT_B = 500 N·mT_C = 250 N·mAB = 1.2 mBC = 2 m

τ_max = MPa

5.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणमध्यम

एक बिंदु पर σₓ = 0 MPa, σᵧ = 110 MPa और τₓᵧ = 50 MPa है (तनन धनात्मक)। x-अक्ष से उस तल के अभिलंब तक का कोण θ_s, −90° और 90° के बीच, ज्ञात कीजिए जिस पर अपरूपण प्रतिबल का अधिकतम धनात्मक मान +R है (अपरूपण τₓᵧ की ही दिशा में धनात्मक)।

σ_x = 0 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = 50 MPa

θ_s = °

6.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणकठिन

1500 mm भीतरी व्यास और 8 mm दीवार मोटाई वाली एक पतली दीवार की बेलनाकार टंकी में 0.5 MPa गेज दाब पर गैस है। यह बेलन की अक्ष से 40° पर एक सर्पिल सीवन के साथ वेल्ड की गई प्लेट से बनी है। वेल्ड सीवन के आर-पार कार्य करने वाला अभिलंब प्रतिबल σ_n ज्ञात कीजिए।

D = 1500 mmt = 8 mmp = 0.5 MPaα = 40°

σ_n = MPa

7.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिमध्यम

एक छड़ स्टील के खंड (व्यास 30 mm, लंबाई 400 mm, E = 200 GPa) से बनी है, जो काँसा के बने खंड (व्यास 30 mm, लंबाई 200 mm, E = 110 GPa) से सिरे से सिरा जोड़कर जुड़ा है। वह एक सिरे पर स्थिर है और दूसरे पर खींची जाती है। वह अक्षीय भार P ज्ञात कीजिए जो उसे कुल 0.4 mm खींचता है।

खंड 1: स्टील, Ø30 mm, 400 mm, E = 200 GPaखंड 2: काँसा, Ø30 mm, 200 mm, E = 110 GPaδ = 0.4 mm

P = kN

8.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिकठिन

एक स्टील खंड (व्यास 40 mm, लंबाई 300 mm, E = 200 GPa) और एल्युमिनियम का बना खंड (व्यास 50 mm, लंबाई 400 mm, E = 70 GPa) सिरे से सिरा जोड़कर दो दृढ़ दीवारों के बीच जकड़े हैं। जोड़ पर खंड 2 की ओर 100 kN का अक्षीय भार लगता है। खंड 2 में प्रतिबल σ₂ का परिमाण ज्ञात कीजिए।

खंड 1: स्टील, Ø40 mm, 300 mm, E = 200 GPaखंड 2: एल्युमिनियम, Ø50 mm, 400 mm, E = 70 GPaP = 100 kN

σ₂ = MPa

9.स्तंभ बकलिंगमध्यम

स्टील से बना L लंबाई का एक स्तंभ आधार पर जड़ित और शीर्ष पर मुक्त है। ऑयलर सूत्र से उसका क्रांतिक बकलिंग भार P_cr ज्ञात कीजिए।

L = 2.5 mE = 200 GPa (स्टील)b × h = 40 × 60 mm

P_cr = kN

10.स्तंभ बकलिंगकठिन

एल्युमिनियम से बना L लंबाई का एक स्तंभ दोनों सिरों पर पिन किया हुआ है। उसकी तनुता और ऑयलर सूत्र से क्रांतिक बकलिंग प्रतिबल σ_cr ज्ञात कीजिए।

L = 1 mE = 70 GPa (एल्युमिनियम)d = 20 mm

σ_cr = MPa

11.यांत्रिक कंपनमध्यम

एक 10 kg द्रव्यमान 80 kN/m दृढ़ता वाले स्प्रिंग और 360 N·s/m अवमंदन गुणांक वाले श्यान अवमंदक पर टिका है। अवमंदन अनुपात ζ ज्ञात कीजिए।

m = 10 kgk = 80 kN/mc = 360 N·s/m

ζ =

12.यांत्रिक कंपनकठिन

एक 25 kg द्रव्यमान अगल-बगल (समांतर में) दो स्प्रिंगों से लटका है, जिनकी दृढ़ताएँ k₁ = 15 kN/m और k₂ = 12 kN/m हैं। द्रव्यमान समतल रहता है। स्प्रिंग तंत्र की तुल्य दृढ़ता k_eq kN/m में ज्ञात कीजिए।

m = 25 kgk₁ = 15 kN/mk₂ = 12 kN/m

k_eq = kN/m

3विलयन

1.गियर और गियर ट्रेन

उत्तर: P = 12.06 kW

पट्टा चालन: फिसलन के बिना दोनों घिरनियों की कोर की चाल समान होती है v = π·d·n/60, इसलिए n₁·d₁ = n₂·d₂ और गति अनुपात d₂/d₁ है। फिसलन s चालित घिरनी को थोड़ा धीमा कर देती है: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)। संचरित शक्ति P = (T₁ − T₂)·v है, जहाँ T₁ कसी हुई ओर का तनाव और T₂ ढीली ओर का। घर्षण तनावों के अनुपात को सीमित करता है: T₁/T₂ = e^μθ, जहाँ θ छोटी घिरनी पर लपेट कोण रेडियन में है; खुले पट्टे के लिए θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), जहाँ C केंद्र दूरी है।

पट्टे की चाल

v = 10.05 m/s

शक्ति

P = (1500 − 300)·10.05 = 12064 W = 12.06 kW

उत्तर

P = 12.06 kW

2.गियर और गियर ट्रेन

उत्तर: T_out = 112 N·m

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

निर्गत चाल

n_out = 1440·(72/80)·(24/36) = 864 rpm

ω_out = 2π·864/60 = 90.48 rad/s

निर्गम शक्ति और बलाघूर्ण

P_out = 11000·0.96² = 10138 W

T_out = P_out/ω_out = 10138/90.48 = 112 N·m

उत्तर

T_out = 112 N·m

3.शाफ़्ट का मरोड़

उत्तर: φ = 2.394 °

वृत्ताकार शाफ़्ट का मरोड़: अपरूपण प्रतिबल केंद्र पर शून्य से सतह पर τ_max = T·r/J तक रैखिक रूप से बढ़ता है, ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32 और खोखले के लिए J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32। मरोड़ कोण रेडियन में φ = TL/(GJ) है। शक्ति और बलाघूर्ण P = T·ω से जुड़े हैं।

ध्रुवीय जड़त्व आघूर्ण

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

मरोड़ कोण

φ = TL/(GJ) = 1000·1000·1000/(39000·613592) = 0.04179 rad

φ = 0.04179·180/π = 2.394°

उत्तर

φ = 2.394°

4.शाफ़्ट का मरोड़

उत्तर: τ_max = 5.895 MPa

आंतरिक बलाघूर्ण

T_C की दिशा धनात्मक ली गई है।

T_BC = T_C = 250 N·m

T_AB = T_C − T_B = 250 − 500 = −250 N·m

अधिकतम अपरूपण प्रतिबल

सबसे बड़े आंतरिक बलाघूर्ण वाले खंड में प्रतिबल सबसे बड़ा है (समान व्यास)।

|T|_max = 250 N·m

τ_max = 16·250000/(π·60³) = 5.895 MPa

उत्तर

τ_max = 5.895 MPa

5.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

उत्तर: θ_s = 23.86 °

समतल प्रतिबल रूपांतरण: θ से घुमाए गए तल पर σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ। मोर वृत्त सभी तलों को एक साथ दिखाता है: उसका केंद्र C = (σₓ + σᵧ)/2 पर और त्रिज्या R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) है। मुख्य प्रतिबल C ± R हैं, और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।

वृत्त पर कोण

मोर वृत्त पर शीर्ष बिंदु (+R) मुख्य बिंदु σ₁ से 90° पर है; अवयव पर यह 45° है।

cos 2θ_s = 50/74.33 = 0.6727, sin 2θ_s = −(−55)/74.33 = 0.7399

2θ_s = atan2(55, 50) = 47.73°

अवयव पर कोण

θ_s = 23.86°

जाँच: θ_s − θ_p = 23.86 − 68.86 = −45°

उत्तर

θ_s = 23.86°

धनात्मक कोण वामावर्त होते हैं।

6.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

उत्तर: σ_n = 37.19 MPa

दीवार के प्रतिबल

r = 1500/2 = 750 mm

σ_h = pr/t = 0.5·750/8 = 46.88 MPa

σ_a = pr/(2t) = 23.44 MPa

सीवन पर रूपांतरित करें

x को अक्ष के साथ (σ_a) और y को परिधि के साथ (σ_h) लें। सीवन का अभिलंब अक्ष से 90° − α बनाता है।

σ_n = 23.44·sin²40° + 46.88·cos²40° = 37.19 MPa

उत्तर

σ_n = 37.19 MPa

7.अक्षीय प्रतिबल और विकृति

उत्तर: P = 74.05 kN

दो पदार्थ: श्रेणी में (एक के बाद एक) हर खंड समान बल वहन करता है और विस्तार जुड़ते हैं: δ = P·Σ L/(E·A)। समानांतर में (दृढ़ प्लेटों के बीच अगल-बगल) दोनों भाग समान मात्रा से छोटे होते हैं, इसलिए उनके विकृति समान हैं: अधिक कठोर भाग बड़ा हिस्सा लेता है, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, और σ_i = E_i·ε। दो दृढ़ दीवारों के बीच जकड़ी छड़, जिसके जोड़ पर भार लगा है, स्थैतिक रूप से अनिर्धार्य है: दोनों खंड भार को अपनी कठोरता k = EA/L के अनुपात में बाँटते हैं।

क्षेत्रफल

A₁ = 706.9 mm², A₂ = 706.9 mm²

नम्यताएँ

L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·706.9) = 2.829 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 200/(110000·706.9) = 2.572 × 10⁻⁶ mm/N

भार

P = 0.4/5.402 × 10⁻⁶ = 74052 N = 74.05 kN

उत्तर

P = 74.05 kN

8.अक्षीय प्रतिबल और विकृति

उत्तर: σ₂ = 14.81 MPa

कठोरताएँ

k₁ = 200000·1257/300 = 837758 N/mm

k₂ = 70000·1963/400 = 343612 N/mm

खंड 2 का हिस्सा

F₂ = 100000·343612/1.181 × 10⁶ = 29086 N

प्रतिबल

σ₂ = 29086/1963 = 14.81 MPa (संपीडन)

उत्तर

σ₂ = 14.81 MPa

9.स्तंभ बकलिंग

उत्तर: P_cr = 25.27 kN

ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ P_cr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।

न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण

आयत अपनी कमज़ोर अक्ष के परितः, छोटी विमा के घन के साथ मुड़ता है।

I_min = h·b³/12 = 60·40³/12 = 320000 mm⁴

प्रभावी लंबाई

KL = 2·2500 = 5000 mm

क्रांतिक भार

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·320000/5000² = 25266 N = 25.27 kN

उत्तर

P_cr = 25.27 kN

10.स्तंभ बकलिंग

उत्तर: σ_cr = 17.27 MPa

न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण

गोल खंड का I हर अक्ष के परितः समान होता है।

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

परिभ्रमण त्रिज्या और तनुता

A = 314.2 mm²

r = √(I/A) = √(7854/314.2) = 5 mm

KL = 1·1000 = 1000 mm

KL/r = 1000/5 = 200

क्रांतिक प्रतिबल

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/200² = 17.27 MPa

उत्तर

σ_cr = 17.27 MPa

11.यांत्रिक कंपन

उत्तर: ζ = 0.2012

द्रव्यमान–स्प्रिंग तंत्र का मुक्त कंपन: अनवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति rad/s में ω_n = √(k/m) है, और Hz में f_n = ω_n/(2π)। एक श्यान अवमंदक c अवमंदन अनुपात ζ = c/c_c देता है, जहाँ क्रांतिक अवमंदन c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n। अल्प-अवमंदित तंत्र (ζ < 1) ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) पर दोलन करता है। समांतर में स्प्रिंग जुड़ते हैं, k = k₁ + k₂; श्रेणी में स्प्रिंग व्युत्क्रम के रूप में जुड़ते हैं, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂।

क्रांतिक अवमंदन

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(80000·10) = 1789 N·s/m

अवमंदन अनुपात

ζ = c/c_c = 360/1789 = 0.2012

उत्तर

ζ = 0.2012

ζ < 1, इसलिए तंत्र अल्प-अवमंदित है और क्षीण होते हुए दोलन करता है।

12.यांत्रिक कंपन

उत्तर: k_eq = 27 kN/m

तुल्य दृढ़ता

अगल-बगल के स्प्रिंग विक्षेप साझा करते हैं और उनके बल जुड़ते हैं, इसलिए उनकी दृढ़ताएँ सीधे जुड़ती हैं: k = k₁ + k₂।

k_eq = 15 + 12 = 27 kN/m

उत्तर

k_eq = 27 kN/m

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