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सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 12 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

गियर और गियर ट्रेन

परस्पर जुड़े गियर: n₁·N₁ = n₂·N₂
बलाघूर्ण: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
शक्ति: P = T·ω, ω = 2π·n/60
संयुक्त गियर ट्रेन: कुल अनुपात = चरण अनुपातों का गुणनफल

शाफ़्ट का मरोड़

अपरूपण प्रतिबल: τ = T·r/J
ठोस शाफ़्ट: J = πd⁴/32
खोखला शाफ़्ट: J = π(D⁴ − d⁴)/32
मरोड़ कोण: φ = TL/(GJ)
शक्ति: P = T·ω = 2πnT/60

विधि

ध्रुवीय क्षेत्र आघूर्ण ज्ञात करें: ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32।
सतह पर अपरूपण प्रतिबल: τ = T·r/J, जहाँ r बाहरी त्रिज्या है।
ऐंठन कोण: रेडियन में φ = TL/(GJ)।
यदि शक्ति दी गई है, तो पहले P = T·ω, ω = 2πn/60 से बलाघूर्ण ज्ञात करें।

मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

केंद्र: C = (σ_x + σ_y)/2
त्रिज्या: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
मुख्य प्रतिबल: σ_1,2 = C ± R
मुख्य दिशा: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
झुका हुआ तल: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

विधि

मोर वृत्त का केंद्र निकालें: C = (σx + σy)/2।
त्रिज्या निकालें: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)।
मुख्य प्रतिबल C ± R हैं और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।
वृत्त पर कोण अवयव पर कोणों के दोगुने होते हैं: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)।

अक्षीय प्रतिबल और विकृति

अभिलंब प्रतिबल: σ = F/A
विकृति: ε = ΔL/L
हुक का नियम: σ = E·ε
दीर्घीकरण: ΔL = FL/(EA)
तापीय विकृति: ε_T = α·ΔT

स्तंभ बकलिंग

ऑयलर भार: P_cr = π²EI/(KL)²
प्रभावी लंबाई गुणांक: K = 1 पिन–पिन, 0.5 स्थिर–स्थिर, 0.7 स्थिर–पिन, 2 स्थिर–मुक्त
क्रांतिक प्रतिबल: σ_cr = P_cr/A
पतलापन अनुपात: λ = KL/r, r = √(I/A)

यांत्रिक कंपन

प्राकृतिक आवृत्ति: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
स्थैतिक विक्षेप से: ω_n = √(g/δ_st)
क्रांतिक अवमंदन: c_c = 2√(km) = 2mω_n
अवमंदन अनुपात: ζ = c/c_c
अवमंदित आवृत्ति: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
लघुगणकीय ह्रास: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
समांतर में स्प्रिंग: k = k₁ + k₂
श्रेणी में स्प्रिंग: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2अभ्यास प्रश्न

1.गियर और गियर ट्रेनमध्यम

1440 rpm पर एक 1.5 kW मोटर 4 स्टार्ट वाले वर्म को चलाती है। वर्म व्हील में 45 दाँत हैं और ड्राइव की दक्षता 65% है। व्हील शाफ़्ट पर निर्गम बलाघूर्ण T_w ज्ञात कीजिए।

z = 4N_w = 45n = 1440 rpmP = 1.5 kWη = 65%

T_w = N·m

2.गियर और गियर ट्रेनकठिन

एक संयुक्त गियर ट्रेन में, 3000 rpm पर घूम रहे निवेश शाफ़्ट पर लगा गियर A (12 दाँत) गियर B (15 दाँत) को चलाता है। गियर C (18 दाँत) B वाले शाफ़्ट पर ही लगा है और निर्गत शाफ़्ट पर लगे गियर D (72 दाँत) को चलाता है। निर्गत चाल n_out ज्ञात कीजिए।

n_in = 3000 rpmA = 12B = 15C = 18D = 72

n_out = rpm

3.शाफ़्ट का मरोड़मध्यम

एल्युमिनियम का एक ठोस शाफ़्ट दीवार में जड़ित है और मुक्त सिरे पर बलाघूर्ण T से मरोड़ा जाता है। मुक्त सिरे का मरोड़ कोण φ डिग्री में ज्ञात कीजिए।

T = 200 N·md = 25 mmL = 0.8 mG = 26 GPa

φ = °

4.शाफ़्ट का मरोड़कठिन

एक ठोस पीतल शाफ़्ट 300 rpm पर 50 kW संचारित करता है। अपरूपण प्रतिबल 50 MPa से अधिक नहीं होना चाहिए और मरोड़ प्रति m लंबाई 0.75° से अधिक नहीं होना चाहिए। दोनों सीमाओं को पूरा करने वाला सबसे छोटा व्यास d ज्ञात कीजिए।

P = 50 kWN = 300 rpmτ_allow = 50 MPaθ_allow = 0.75°/mG = 39 GPa

d = mm

5.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणमध्यम

किसी भारित पुर्ज़े के एक बिंदु पर σₓ = 40 MPa, σᵧ = 30 MPa और τₓᵧ = 60 MPa है (तनन धनात्मक)। x-अक्ष से सबसे बड़े मुख्य प्रतिबल की दिशा तक का कोण θ_p, −90° और 90° के बीच, ज्ञात कीजिए।

σ_x = 40 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = 60 MPa

θ_p = °

6.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणकठिन

40 mm व्यास वाला एक ठोस शाफ़्ट 500 N·m के बलाघूर्ण के साथ 200 N·m का बंकन आघूर्ण वहन करता है। ऊपरी सतह पर, जहाँ बंकन प्रतिबल तनन और सबसे बड़ा है, सबसे बड़ा मुख्य प्रतिबल σ₁ ज्ञात कीजिए।

d = 40 mmM = 200 N·mT = 500 N·m

σ₁ = MPa

7.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिमध्यम

एक छड़ स्टील के खंड (व्यास 20 mm, लंबाई 600 mm, E = 200 GPa) से बनी है, जो ताँबा के बने खंड (व्यास 60 mm, लंबाई 400 mm, E = 120 GPa) से सिरे से सिरा जोड़कर जुड़ा है। वह एक सिरे पर स्थिर है और दूसरे पर खींची जाती है। वह अक्षीय भार P ज्ञात कीजिए जो उसे कुल 0.4 mm खींचता है।

खंड 1: स्टील, Ø20 mm, 600 mm, E = 200 GPaखंड 2: ताँबा, Ø60 mm, 400 mm, E = 120 GPaδ = 0.4 mm

P = kN

8.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिकठिन

सोपानी छड़ दीवार में जड़ित है और अपने मुक्त सिरे पर भारित है। कुल दीर्घीकरण δ ज्ञात कीजिए।

P = 35 kNखंड 1: Ø25 mm, 1 m, पीतल (E = 100 GPa)खंड 2: Ø12 mm, 2 m, स्टील (E = 200 GPa)

δ = mm

9.स्तंभ बकलिंगमध्यम

एल्युमिनियम से बना L लंबाई का एक स्तंभ आधार पर जड़ित और शीर्ष पर पिन किया हुआ है। ऑयलर सूत्र से उसका क्रांतिक बकलिंग भार P_cr ज्ञात कीजिए।

L = 2.5 mE = 70 GPa (एल्युमिनियम)b × h = 40 × 100 mm

P_cr = kN

10.स्तंभ बकलिंगकठिन

एल्युमिनियम से बना L लंबाई का एक स्तंभ दोनों सिरों पर पिन किया हुआ है। उसकी तनुता और ऑयलर सूत्र से क्रांतिक बकलिंग प्रतिबल σ_cr ज्ञात कीजिए।

L = 4 mE = 70 GPa (एल्युमिनियम)d = 40 mm

σ_cr = MPa

11.यांत्रिक कंपनमध्यम

एक अवमंदित द्रव्यमान–स्प्रिंग तंत्र के मुक्त-कंपन परीक्षण में 20 mm के विस्थापन शिखर के 2 चक्र बाद 15.6 mm का शिखर आता है। अवमंदन अनुपात ζ ज्ञात कीजिए।

x₀ = 20 mmx₂ = 15.6 mmn = 2

ζ =

12.यांत्रिक कंपनकठिन

एक 10 kg द्रव्यमान सिरे-से-सिरे जुड़े (श्रेणी में) दो स्प्रिंगों से लटका है: ऊपरी स्प्रिंग k₁ = 12 kN/m और निचला k₂ = 80 kN/m है। स्प्रिंग तंत्र की तुल्य दृढ़ता k_eq kN/m में ज्ञात कीजिए।

m = 10 kgk₁ = 12 kN/mk₂ = 80 kN/m

k_eq = kN/m

3विलयन

1.गियर और गियर ट्रेन

उत्तर: T_w = 72.74 N·m

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

व्हील की चाल

n_w = n·z/N_w = 1440·4/45 = 128 rpm

निर्गत बलाघूर्ण

ω_w = 2π·128/60 = 13.4 rad/s

T_w = η·P/ω_w = 0.65·1500/13.4 = 72.74 N·m

उत्तर

T_w = 72.74 N·m

2.गियर और गियर ट्रेन

उत्तर: n_out = 600 rpm

गियर ट्रेन: परस्पर जुड़े गियरों के दाँतों पर चाल समान होती है, इसलिए n₁·N₁ = n₂·N₂: कम दाँतों वाला गियर तेज़ घूमता है। एक ही शाफ़्ट पर लगे गियर समान चाल से घूमते हैं। शक्ति आगे पहुँचती है (हानियों को घटाकर), इसलिए चाल घटने पर बलाघूर्ण बढ़ता है: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, और P = T·ω, जहाँ ω = 2π·n/60।

पहला चरण

n_B = 3000·12/15 = 2400 rpm = n_C

दूसरा चरण

n_out = 2400·18/72 = 600 rpm

उत्तर

n_out = 600 rpm

कुल अनुपात = 5 : 1

3.शाफ़्ट का मरोड़

उत्तर: φ = 9.194 °

वृत्ताकार शाफ़्ट का मरोड़: अपरूपण प्रतिबल केंद्र पर शून्य से सतह पर τ_max = T·r/J तक रैखिक रूप से बढ़ता है, ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32 और खोखले के लिए J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32। मरोड़ कोण रेडियन में φ = TL/(GJ) है। शक्ति और बलाघूर्ण P = T·ω से जुड़े हैं।

ध्रुवीय जड़त्व आघूर्ण

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

मरोड़ कोण

φ = TL/(GJ) = 200·1000·800/(26000·38350) = 0.1605 rad

φ = 0.1605·180/π = 9.194°

उत्तर

φ = 9.194°

4.शाफ़्ट का मरोड़

उत्तर: d = 75.07 mm

बलाघूर्ण

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31.42 rad/s

T = P/ω = 50000/31.42 = 1592 N·m

सामर्थ्य के लिए व्यास

T = 1592 N·m = 1.592 × 10⁶ N·mm

d_τ = ∛(16·1.592 × 10⁶/(π·50)) = 54.53 mm

दृढ़ता के लिए व्यास

θ = 0.75·π/180/1000 = 1.309 × 10⁻⁵ rad/mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

d_φ = (32·1.592 × 10⁶/(π·39000·1.309 × 10⁻⁵))^1/4 = 75.07 mm

निर्णायक व्यास

दोनों सीमाएँ लागू होनी चाहिए, इसलिए बड़ा व्यास निर्णायक है।

d = max(54.53, 75.07) = 75.07 mm

उत्तर

d = 75.07 mm

यहाँ दृढ़ता निर्णायक है।

5.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

उत्तर: θ_p = 42.62 °

समतल प्रतिबल रूपांतरण: θ से घुमाए गए तल पर σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ। मोर वृत्त सभी तलों को एक साथ दिखाता है: उसका केंद्र C = (σₓ + σᵧ)/2 पर और त्रिज्या R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) है। मुख्य प्रतिबल C ± R हैं, और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।

वृत्त पर कोण

मोर वृत्त पर बिंदु x, σ-अक्ष से 2θp कोण पर होता है; चतुर्थांश σₓ − σᵧ और τₓᵧ के चिह्नों से तय होता है।

2θ_p = atan2(2·60, 40 − 30) = 85.24°

अवयव पर कोण

θ_p = 42.62°

उत्तर

θ_p = 42.62°

धनात्मक कोण वामावर्त होते हैं।

6.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

उत्तर: σ₁ = 58.77 MPa

सतह पर प्रतिबल

σ = 32M/(πd³) = 32·200000/(π·40³) = 31.83 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·500000/(π·40³) = 39.79 MPa

मोर वृत्त

C = σ/2 = 15.92 MPa

R = √(15.92² + 39.79²) = 42.85 MPa

σ₁ = C + R = 58.77 MPa

σ₂ = C − R = −26.94 MPa

उत्तर

σ₁ = 58.77 MPa

7.अक्षीय प्रतिबल और विकृति

उत्तर: P = 37.28 kN

दो पदार्थ: श्रेणी में (एक के बाद एक) हर खंड समान बल वहन करता है और विस्तार जुड़ते हैं: δ = P·Σ L/(E·A)। समानांतर में (दृढ़ प्लेटों के बीच अगल-बगल) दोनों भाग समान मात्रा से छोटे होते हैं, इसलिए उनके विकृति समान हैं: अधिक कठोर भाग बड़ा हिस्सा लेता है, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, और σ_i = E_i·ε। दो दृढ़ दीवारों के बीच जकड़ी छड़, जिसके जोड़ पर भार लगा है, स्थैतिक रूप से अनिर्धार्य है: दोनों खंड भार को अपनी कठोरता k = EA/L के अनुपात में बाँटते हैं।

क्षेत्रफल

A₁ = 314.2 mm², A₂ = 2827 mm²

नम्यताएँ

L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·314.2) = 9.549 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 400/(120000·2827) = 1.179 × 10⁻⁶ mm/N

भार

P = 0.4/1.073 × 10⁻⁵ = 37285 N = 37.28 kN

उत्तर

P = 37.28 kN

8.अक्षीय प्रतिबल और विकृति

उत्तर: δ = 3.808 mm

अक्षीय भारित अवयव: हर प्रिज़्मीय खंड δ = PL/(AE) का पालन करता है। श्रेणी में अवयवों के दीर्घीकरण जुड़ते हैं।

दोनों खंडों में समान बल

मुक्त सिरा P वहन करता है, इसलिए छड़ का हर खंड वही अक्षीय बल P वहन करता है। केवल क्षेत्रफल और पदार्थ बदलते हैं।

A₁ = π·25²/4 = 490.9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113.1 mm²

σ₁ = 71.3 MPa

σ₂ = 309.5 MPa

खंडों का दीर्घीकरण जोड़ें

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 71.3·1000/100000 = 0.713 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 309.5·2000/200000 = 3.095 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 3.808 mm

उत्तर

δ = 3.808 mm

9.स्तंभ बकलिंग

उत्तर: P_cr = 120.3 kN

ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ P_cr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।

न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण

आयत अपनी कमज़ोर अक्ष के परितः, छोटी विमा के घन के साथ मुड़ता है।

I_min = h·b³/12 = 100·40³/12 = 533333 mm⁴

प्रभावी लंबाई

KL = 0.7·2500 = 1750 mm

क्रांतिक भार

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·533333/1750² = 120315 N = 120.3 kN

उत्तर

P_cr = 120.3 kN

10.स्तंभ बकलिंग

उत्तर: σ_cr = 4.318 MPa

न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण

गोल खंड का I हर अक्ष के परितः समान होता है।

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

परिभ्रमण त्रिज्या और तनुता

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 1·4000 = 4000 mm

KL/r = 4000/10 = 400

क्रांतिक प्रतिबल

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/400² = 4.318 MPa

उत्तर

σ_cr = 4.318 MPa

11.यांत्रिक कंपन

उत्तर: ζ = 0.01977

द्रव्यमान–स्प्रिंग तंत्र का मुक्त कंपन: अनवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति rad/s में ω_n = √(k/m) है, और Hz में f_n = ω_n/(2π)। एक श्यान अवमंदक c अवमंदन अनुपात ζ = c/c_c देता है, जहाँ क्रांतिक अवमंदन c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n। अल्प-अवमंदित तंत्र (ζ < 1) ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) पर दोलन करता है। समांतर में स्प्रिंग जुड़ते हैं, k = k₁ + k₂; श्रेणी में स्प्रिंग व्युत्क्रम के रूप में जुड़ते हैं, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂।

लघुगणकीय ह्रास

δ = (1/2)·ln(20/15.6) = 0.1242

अवमंदन अनुपात

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.1242/√(39.48 + 0.01543) = 0.01977

उत्तर

ζ = 0.01977

12.यांत्रिक कंपन

उत्तर: k_eq = 10.43 kN/m

तुल्य दृढ़ता

श्रेणी में स्प्रिंग समान बल साझा करते हैं और उनके विक्षेप जुड़ते हैं, इसलिए वे व्युत्क्रम के रूप में मिलते हैं: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂।

1/k_eq = 1/12 + 1/80 → k_eq = 12·80/(12 + 80) = 10.43 kN/m

उत्तर

k_eq = 10.43 kN/m

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