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सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 12 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

गियर और गियर ट्रेन

परस्पर जुड़े गियर: n₁·N₁ = n₂·N₂
बलाघूर्ण: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
शक्ति: P = T·ω, ω = 2π·n/60
संयुक्त गियर ट्रेन: कुल अनुपात = चरण अनुपातों का गुणनफल

शाफ़्ट का मरोड़

अपरूपण प्रतिबल: τ = T·r/J
ठोस शाफ़्ट: J = πd⁴/32
खोखला शाफ़्ट: J = π(D⁴ − d⁴)/32
मरोड़ कोण: φ = TL/(GJ)
शक्ति: P = T·ω = 2πnT/60

विधि

ध्रुवीय क्षेत्र आघूर्ण ज्ञात करें: ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32।
सतह पर अपरूपण प्रतिबल: τ = T·r/J, जहाँ r बाहरी त्रिज्या है।
ऐंठन कोण: रेडियन में φ = TL/(GJ)।
यदि शक्ति दी गई है, तो पहले P = T·ω, ω = 2πn/60 से बलाघूर्ण ज्ञात करें।

मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

केंद्र: C = (σ_x + σ_y)/2
त्रिज्या: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
मुख्य प्रतिबल: σ_1,2 = C ± R
मुख्य दिशा: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
झुका हुआ तल: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

विधि

मोर वृत्त का केंद्र निकालें: C = (σx + σy)/2।
त्रिज्या निकालें: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)।
मुख्य प्रतिबल C ± R हैं और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।
वृत्त पर कोण अवयव पर कोणों के दोगुने होते हैं: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)।

अक्षीय प्रतिबल और विकृति

अभिलंब प्रतिबल: σ = F/A
विकृति: ε = ΔL/L
हुक का नियम: σ = E·ε
दीर्घीकरण: ΔL = FL/(EA)
तापीय विकृति: ε_T = α·ΔT

स्तंभ बकलिंग

ऑयलर भार: P_cr = π²EI/(KL)²
प्रभावी लंबाई गुणांक: K = 1 पिन–पिन, 0.5 स्थिर–स्थिर, 0.7 स्थिर–पिन, 2 स्थिर–मुक्त
क्रांतिक प्रतिबल: σ_cr = P_cr/A
पतलापन अनुपात: λ = KL/r, r = √(I/A)

यांत्रिक कंपन

प्राकृतिक आवृत्ति: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
स्थैतिक विक्षेप से: ω_n = √(g/δ_st)
क्रांतिक अवमंदन: c_c = 2√(km) = 2mω_n
अवमंदन अनुपात: ζ = c/c_c
अवमंदित आवृत्ति: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
लघुगणकीय ह्रास: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
समांतर में स्प्रिंग: k = k₁ + k₂
श्रेणी में स्प्रिंग: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2अभ्यास प्रश्न

1.गियर और गियर ट्रेनमध्यम

200 mm की घिरनी 1500 rpm पर पट्टे से 500 mm की घिरनी को 1 % फिसलन के साथ चलाती है। चालित घिरनी की गति n₂ ज्ञात कीजिए।

n₁ = 1500 rpmd₁ = 200 mmd₂ = 500 mms = 1 %

n₂ = rpm

2.गियर और गियर ट्रेनकठिन

एक संयुक्त गियर ट्रेन में निवेश शाफ़्ट पर गियर A (12 दाँत) 2880 rpm पर घूमता है और गियर B (45 दाँत) को चलाता है। गियर C (12 दाँत) B के ही शाफ़्ट पर लगा है और निर्गम शाफ़्ट पर गियर D को चलाता है। निर्गम को 256 rpm पर घूमना है। गियर D में कितने दाँत N_D होने चाहिए?

n_in = 2880 rpmA = 12B = 45C = 12n_out = 256 rpm

N_D =

3.शाफ़्ट का मरोड़मध्यम

एल्युमिनियम का एक ठोस शाफ़्ट दीवार में जड़ित है और मुक्त सिरे पर बलाघूर्ण T से मरोड़ा जाता है। मुक्त सिरे का मरोड़ कोण φ डिग्री में ज्ञात कीजिए।

T = 100 N·md = 30 mmL = 1.5 mG = 26 GPa

φ = °

4.शाफ़्ट का मरोड़कठिन

एक ठोस शाफ़्ट को 3000 rpm पर 5 kW संचारित करना है, बिना अपरूपण प्रतिबल के 50 MPa से अधिक हुए। उपयुक्त सबसे छोटा व्यास d ज्ञात कीजिए।

P = 5 kWN = 3000 rpmτ_allow = 50 MPa

d = mm

5.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणमध्यम

एक पतली प्लेट का एक बिंदु समतल प्रतिबल में है: σₓ = 140 MPa, σᵧ = 100 MPa और τₓᵧ = −50 MPa, σ_z = 0 के साथ। बिंदु पर निरपेक्ष अधिकतम अपरूपण प्रतिबल τ_abs ज्ञात कीजिए (तीन विमाओं में सभी तलों पर विचार करते हुए)।

σ_x = 140 MPaσ_y = 100 MPaτ_xy = −50 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

6.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणकठिन

किसी भारित पुर्ज़े के एक बिंदु पर σₓ = 60 MPa, σᵧ = −60 MPa और τₓᵧ = −60 MPa है (तनन धनात्मक)। उस तल पर अभिलंब प्रतिबल σ_θ ज्ञात कीजिए जिसका अभिलंब x-अक्ष से 45° दक्षिणावर्त घुमाया गया है।

σ_x = 60 MPaσ_y = −60 MPaτ_xy = −60 MPaθ = -45°

σ_θ = MPa

7.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिमध्यम

एक छड़ स्टील के खंड (व्यास 30 mm, लंबाई 500 mm, E = 200 GPa) से बनी है, जो एल्युमिनियम के बने खंड (व्यास 60 mm, लंबाई 500 mm, E = 70 GPa) से सिरे से सिरा जोड़कर जुड़ा है। वह एक सिरे पर स्थिर है और दूसरे पर खींची जाती है। वह अक्षीय भार P ज्ञात कीजिए जो उसे कुल 0.2 mm खींचता है।

खंड 1: स्टील, Ø30 mm, 500 mm, E = 200 GPaखंड 2: एल्युमिनियम, Ø60 mm, 500 mm, E = 70 GPaδ = 0.2 mm

P = kN

8.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिकठिन

सोपानी छड़ दीवार में जड़ित है और अपने मुक्त सिरे पर भारित है। कुल दीर्घीकरण δ ज्ञात कीजिए।

P = 30 kNखंड 1: Ø35 mm, 0.5 m, ताँबा (E = 117 GPa)खंड 2: Ø12 mm, 2 m, पीतल (E = 100 GPa)

δ = mm

9.स्तंभ बकलिंगमध्यम

एल्युमिनियम से बना L लंबाई का एक स्तंभ दोनों सिरों पर पिन किया हुआ है। ऑयलर सूत्र से उसका क्रांतिक बकलिंग भार P_cr ज्ञात कीजिए।

L = 1.5 mE = 70 GPa (एल्युमिनियम)d = 40 mm

P_cr = kN

10.स्तंभ बकलिंगकठिन

स्टील से बना L लंबाई का एक स्तंभ दोनों सिरों पर जड़ित है। उसकी तनुता और ऑयलर सूत्र से क्रांतिक बकलिंग प्रतिबल σ_cr ज्ञात कीजिए।

L = 3 mE = 200 GPa (स्टील)d = 30 mm

σ_cr = MPa

11.यांत्रिक कंपनमध्यम

10 kN/m दृढ़ता वाले स्प्रिंग पर एक 10 kg द्रव्यमान के साथ एक श्यान अवमंदक है जो 0.6 का अवमंदन अनुपात देता है। इसके मुक्त कंपन की अवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति f_d Hz में ज्ञात कीजिए।

m = 10 kgk = 10 kN/mζ = 0.6

f_d = Hz

12.यांत्रिक कंपनकठिन

एक 50 kg द्रव्यमान अगल-बगल (समांतर में) दो स्प्रिंगों से लटका है, जिनकी दृढ़ताएँ k₁ = 10 kN/m और k₂ = 15 kN/m हैं। द्रव्यमान समतल रहता है। स्प्रिंग तंत्र की तुल्य दृढ़ता k_eq kN/m में ज्ञात कीजिए।

m = 50 kgk₁ = 10 kN/mk₂ = 15 kN/m

k_eq = kN/m

3विलयन

1.गियर और गियर ट्रेन

उत्तर: n₂ = 594 rpm

पट्टा चालन: फिसलन के बिना दोनों घिरनियों की कोर की चाल समान होती है v = π·d·n/60, इसलिए n₁·d₁ = n₂·d₂ और गति अनुपात d₂/d₁ है। फिसलन s चालित घिरनी को थोड़ा धीमा कर देती है: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)। संचरित शक्ति P = (T₁ − T₂)·v है, जहाँ T₁ कसी हुई ओर का तनाव और T₂ ढीली ओर का। घर्षण तनावों के अनुपात को सीमित करता है: T₁/T₂ = e^μθ, जहाँ θ छोटी घिरनी पर लपेट कोण रेडियन में है; खुले पट्टे के लिए θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), जहाँ C केंद्र दूरी है।

फिसलन के बिना गति

1500·200/500 = 600 rpm

फिसलन सहित

n₂ = 600·0.99 = 594 rpm

उत्तर

n₂ = 594 rpm

2.गियर और गियर ट्रेन

उत्तर: N_D = 36

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

मध्यवर्ती शाफ़्ट की चाल

n_B = n_C = 2880·12/45 = 768 rpm

गियर D के दाँत

N_D = C·n_C/n_out = 12·768/256 = 36

उत्तर

N_D = 36

3.शाफ़्ट का मरोड़

उत्तर: φ = 4.157 °

वृत्ताकार शाफ़्ट का मरोड़: अपरूपण प्रतिबल केंद्र पर शून्य से सतह पर τ_max = T·r/J तक रैखिक रूप से बढ़ता है, ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32 और खोखले के लिए J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32। मरोड़ कोण रेडियन में φ = TL/(GJ) है। शक्ति और बलाघूर्ण P = T·ω से जुड़े हैं।

ध्रुवीय जड़त्व आघूर्ण

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

मरोड़ कोण

φ = TL/(GJ) = 100·1000·1500/(26000·79522) = 0.07255 rad

φ = 0.07255·180/π = 4.157°

उत्तर

φ = 4.157°

4.शाफ़्ट का मरोड़

उत्तर: d = 11.75 mm

बलाघूर्ण

ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314.2 rad/s

T = P/ω = 5000/314.2 = 15.92 N·m

अनुमेय प्रतिबल से व्यास

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·15915/(π·50)) = 11.75 mm

उत्तर

d = 11.75 mm

व्यवहार में आप अगले मानक आकार तक पूर्णांकित करेंगे।

5.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

उत्तर: τ_abs = 86.93 MPa

समतल प्रतिबल रूपांतरण: θ से घुमाए गए तल पर σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ। मोर वृत्त सभी तलों को एक साथ दिखाता है: उसका केंद्र C = (σₓ + σᵧ)/2 पर और त्रिज्या R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) है। मुख्य प्रतिबल C ± R हैं, और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है। तीन विमाओं में निरपेक्ष अधिकतम अपरूपण प्रतिबल तीनों मुख्य प्रतिबलों पर (σ_max − σ_min)/2 है; समतल प्रतिबल में तीसरा शून्य होता है।

तलीय मुख्य प्रतिबल

C = 120 MPa, R = √(20² + (−50)²) = 53.85 MPa

σ₁ = 173.9 MPa, σ₂ = 66.15 MPa, σ_z = 0

तीनों वृत्तों में सबसे बड़ा

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(107.7, 173.9, 66.15)/2 = 86.93 MPa

उत्तर

τ_abs = 86.93 MPa

यहाँ तल से बाहर वाला वृत्त निर्णायक है: निरपेक्ष अधिकतम तलीय अधिकतम R से बड़ा है।

6.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

उत्तर: σ_θ = 60 MPa

रूपांतरण समीकरण

σ_θ = 0 + 60·0 + −60·−1 = 60 MPa

उत्तर

σ_θ = 60 MPa

7.अक्षीय प्रतिबल और विकृति

उत्तर: P = 32.99 kN

दो पदार्थ: श्रेणी में (एक के बाद एक) हर खंड समान बल वहन करता है और विस्तार जुड़ते हैं: δ = P·Σ L/(E·A)। समानांतर में (दृढ़ प्लेटों के बीच अगल-बगल) दोनों भाग समान मात्रा से छोटे होते हैं, इसलिए उनके विकृति समान हैं: अधिक कठोर भाग बड़ा हिस्सा लेता है, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, और σ_i = E_i·ε। दो दृढ़ दीवारों के बीच जकड़ी छड़, जिसके जोड़ पर भार लगा है, स्थैतिक रूप से अनिर्धार्य है: दोनों खंड भार को अपनी कठोरता k = EA/L के अनुपात में बाँटते हैं।

क्षेत्रफल

A₁ = 706.9 mm², A₂ = 2827 mm²

नम्यताएँ

L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·706.9) = 3.537 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 500/(70000·2827) = 2.526 × 10⁻⁶ mm/N

भार

P = 0.2/6.063 × 10⁻⁶ = 32987 N = 32.99 kN

उत्तर

P = 32.99 kN

8.अक्षीय प्रतिबल और विकृति

उत्तर: δ = 5.438 mm

अक्षीय भारित अवयव: हर प्रिज़्मीय खंड δ = PL/(AE) का पालन करता है। श्रेणी में अवयवों के दीर्घीकरण जुड़ते हैं।

दोनों खंडों में समान बल

मुक्त सिरा P वहन करता है, इसलिए छड़ का हर खंड वही अक्षीय बल P वहन करता है। केवल क्षेत्रफल और पदार्थ बदलते हैं।

A₁ = π·35²/4 = 962.1 mm², A₂ = π·12²/4 = 113.1 mm²

σ₁ = 31.18 MPa

σ₂ = 265.3 MPa

खंडों का दीर्घीकरण जोड़ें

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 31.18·500/117000 = 0.1333 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 265.3·2000/100000 = 5.305 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 5.438 mm

उत्तर

δ = 5.438 mm

9.स्तंभ बकलिंग

उत्तर: P_cr = 38.59 kN

ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ P_cr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।

न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण

गोल खंड का I हर अक्ष के परितः समान होता है।

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

प्रभावी लंबाई

KL = 1·1500 = 1500 mm

क्रांतिक भार

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·125664/1500² = 38586 N = 38.59 kN

उत्तर

P_cr = 38.59 kN

10.स्तंभ बकलिंग

उत्तर: σ_cr = 49.35 MPa

न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण

गोल खंड का I हर अक्ष के परितः समान होता है।

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

परिभ्रमण त्रिज्या और तनुता

A = 706.9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706.9) = 7.5 mm

KL = 0.5·3000 = 1500 mm

KL/r = 1500/7.5 = 200

क्रांतिक प्रतिबल

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/200² = 49.35 MPa

उत्तर

σ_cr = 49.35 MPa

11.यांत्रिक कंपन

उत्तर: f_d = 4.026 Hz

द्रव्यमान–स्प्रिंग तंत्र का मुक्त कंपन: अनवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति rad/s में ω_n = √(k/m) है, और Hz में f_n = ω_n/(2π)। एक श्यान अवमंदक c अवमंदन अनुपात ζ = c/c_c देता है, जहाँ क्रांतिक अवमंदन c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n। अल्प-अवमंदित तंत्र (ζ < 1) ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) पर दोलन करता है। समांतर में स्प्रिंग जुड़ते हैं, k = k₁ + k₂; श्रेणी में स्प्रिंग व्युत्क्रम के रूप में जुड़ते हैं, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂।

अनवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति

ω_n = √(10000/10) = 31.62 rad/s

f_n = 31.62/(2π) = 5.033 Hz

अवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 5.033·√(1 − 0.6²) = 4.026 Hz

उत्तर

f_d = 4.026 Hz

12.यांत्रिक कंपन

उत्तर: k_eq = 25 kN/m

तुल्य दृढ़ता

अगल-बगल के स्प्रिंग विक्षेप साझा करते हैं और उनके बल जुड़ते हैं, इसलिए उनकी दृढ़ताएँ सीधे जुड़ती हैं: k = k₁ + k₂।

k_eq = 10 + 15 = 25 kN/m

उत्तर

k_eq = 25 kN/m

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