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सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 12 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

गियर और गियर ट्रेन

परस्पर जुड़े गियर: n₁·N₁ = n₂·N₂
बलाघूर्ण: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
शक्ति: P = T·ω, ω = 2π·n/60
संयुक्त गियर ट्रेन: कुल अनुपात = चरण अनुपातों का गुणनफल

शाफ़्ट का मरोड़

अपरूपण प्रतिबल: τ = T·r/J
ठोस शाफ़्ट: J = πd⁴/32
खोखला शाफ़्ट: J = π(D⁴ − d⁴)/32
मरोड़ कोण: φ = TL/(GJ)
शक्ति: P = T·ω = 2πnT/60

विधि

ध्रुवीय क्षेत्र आघूर्ण ज्ञात करें: ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32।
सतह पर अपरूपण प्रतिबल: τ = T·r/J, जहाँ r बाहरी त्रिज्या है।
ऐंठन कोण: रेडियन में φ = TL/(GJ)।
यदि शक्ति दी गई है, तो पहले P = T·ω, ω = 2πn/60 से बलाघूर्ण ज्ञात करें।

मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

केंद्र: C = (σ_x + σ_y)/2
त्रिज्या: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
मुख्य प्रतिबल: σ_1,2 = C ± R
मुख्य दिशा: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
झुका हुआ तल: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

विधि

मोर वृत्त का केंद्र निकालें: C = (σx + σy)/2।
त्रिज्या निकालें: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)।
मुख्य प्रतिबल C ± R हैं और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।
वृत्त पर कोण अवयव पर कोणों के दोगुने होते हैं: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)।

अक्षीय प्रतिबल और विकृति

अभिलंब प्रतिबल: σ = F/A
विकृति: ε = ΔL/L
हुक का नियम: σ = E·ε
दीर्घीकरण: ΔL = FL/(EA)
तापीय विकृति: ε_T = α·ΔT

स्तंभ बकलिंग

ऑयलर भार: P_cr = π²EI/(KL)²
प्रभावी लंबाई गुणांक: K = 1 पिन–पिन, 0.5 स्थिर–स्थिर, 0.7 स्थिर–पिन, 2 स्थिर–मुक्त
क्रांतिक प्रतिबल: σ_cr = P_cr/A
पतलापन अनुपात: λ = KL/r, r = √(I/A)

यांत्रिक कंपन

प्राकृतिक आवृत्ति: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
स्थैतिक विक्षेप से: ω_n = √(g/δ_st)
क्रांतिक अवमंदन: c_c = 2√(km) = 2mω_n
अवमंदन अनुपात: ζ = c/c_c
अवमंदित आवृत्ति: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
लघुगणकीय ह्रास: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
समांतर में स्प्रिंग: k = k₁ + k₂
श्रेणी में स्प्रिंग: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2अभ्यास प्रश्न

1.गियर और गियर ट्रेनमध्यम

2900 rpm पर चल रही एक 4 kW मोटर 32 दाँतों वाले पिनियन को चलाती है, जो 72 दाँतों वाले गियर से जुड़ा है। गियर युग्म की दक्षता 95% है। मोटर शाफ़्ट पर बलाघूर्ण T₁ ज्ञात कीजिए।

P = 4 kWn₁ = 2900 rpmN₁ = 32N₂ = 72η = 95%

T₁ = N·m

2.गियर और गियर ट्रेनकठिन

एक खुला पट्टा 315 mm की घिरनी को 200 mm की चालक घिरनी से, जो 960 rpm पर है, जोड़ता है; केंद्र 1000 mm दूर हैं। घर्षण गुणांक 0.25 है और कसी हुई ओर का तनाव 1200 N से अधिक नहीं हो सकता। पट्टा बिना फिसले जो सबसे बड़ी शक्ति P संचरित कर सकता है, kW में ज्ञात कीजिए (अपकेंद्री प्रभाव अनदेखा करें)।

d₁ = 200 mmn₁ = 960 rpmd₂ = 315 mmC = 1000 mmμ = 0.25T₁ = 1200 N

P = kW

3.शाफ़्ट का मरोड़मध्यम

एल्युमिनियम का एक ठोस शाफ़्ट दीवार में जड़ित है और मुक्त सिरे पर बलाघूर्ण T से मरोड़ा जाता है। मुक्त सिरे का मरोड़ कोण φ डिग्री में ज्ञात कीजिए।

T = 400 N·md = 30 mmL = 2 mG = 26 GPa

φ = °

4.शाफ़्ट का मरोड़कठिन

एक खोखले शाफ़्ट को 500 rpm पर 15 kW संचारित करना है। इसका भीतरी व्यास इसके बाहरी व्यास का 0.6 गुना होना है, और अपरूपण प्रतिबल 60 MPa से अधिक नहीं होना चाहिए। सबसे छोटा बाहरी व्यास d_o ज्ञात कीजिए।

P = 15 kWN = 500 rpmd_i/d_o = 0.6τ_allow = 60 MPa

d_o = mm

5.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणमध्यम

एक बिंदु पर σₓ = −60 MPa, σᵧ = −50 MPa और τₓᵧ = −30 MPa है (तनन धनात्मक)। अवयव को 40° वामावर्त घुमाया जाता है। घुमाए गए अवयव के उन फलकों पर अभिलंब प्रतिबल σ_y′ ज्ञात कीजिए जो घुमाई गई y′-अक्ष के लंबवत हैं।

σ_x = −60 MPaσ_y = −50 MPaτ_xy = −30 MPaθ = 40°

σ_y′ = MPa

6.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणकठिन

एक पतली प्लेट का एक बिंदु समतल प्रतिबल में है: σₓ = 140 MPa, σᵧ = −40 MPa और τₓᵧ = 10 MPa (σ_z = 0)। पदार्थ का पराभव सामर्थ्य 250 MPa है। वॉन मीज़ेस (विरूपण ऊर्जा) मानदंड से पराभव के विरुद्ध सुरक्षा गुणक n ज्ञात कीजिए।

σ_x = 140 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = 10 MPaσ_Y = 250 MPa

n =

7.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिमध्यम

ताँबा छड़ में अक्षीय विकृति ε माइक्रोस्ट्रेन (µε = 10⁻⁶) में ज्ञात कीजिए।

P = 10 kNd = 12 mmL = 1.5 mE = 117 GPa

ε = µε

8.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिकठिन

एक स्टील खंड (व्यास 20 mm, लंबाई 300 mm, E = 200 GPa) और काँसा का बना खंड (व्यास 30 mm, लंबाई 500 mm, E = 110 GPa) सिरे से सिरा जोड़कर दो दृढ़ दीवारों के बीच जकड़े हैं। जोड़ पर खंड 2 की ओर 30 kN का अक्षीय भार लगता है। खंड 2 में प्रतिबल σ₂ का परिमाण ज्ञात कीजिए।

खंड 1: स्टील, Ø20 mm, 300 mm, E = 200 GPaखंड 2: काँसा, Ø30 mm, 500 mm, E = 110 GPaP = 30 kN

σ₂ = MPa

9.स्तंभ बकलिंगमध्यम

एल्युमिनियम से बना L लंबाई का एक स्तंभ दोनों सिरों पर पिन किया हुआ है। ऑयलर सूत्र से उसका क्रांतिक बकलिंग भार P_cr ज्ञात कीजिए।

L = 2.5 mE = 70 GPa (एल्युमिनियम)d = 80 mm

P_cr = kN

10.स्तंभ बकलिंगकठिन

एल्युमिनियम से बना L लंबाई का एक स्तंभ दोनों सिरों पर पिन किया हुआ है। उसकी तनुता और ऑयलर सूत्र से क्रांतिक बकलिंग प्रतिबल σ_cr ज्ञात कीजिए।

L = 2 mE = 70 GPa (एल्युमिनियम)d = 60 mm

σ_cr = MPa

11.यांत्रिक कंपनमध्यम

200 kN/m दृढ़ता वाले स्प्रिंग पर एक 15 kg द्रव्यमान के साथ एक श्यान अवमंदक है जो 0.35 का अवमंदन अनुपात देता है। इसके मुक्त कंपन की अवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति f_d Hz में ज्ञात कीजिए।

m = 15 kgk = 200 kN/mζ = 0.35

f_d = Hz

12.यांत्रिक कंपनकठिन

एक 40 kg द्रव्यमान स्प्रिंग k₃ = 60 kN/m से लटका है। k₃ का ऊपरी सिरा एक दृढ़ छड़ से जुड़ा है जो अगल-बगल दो स्प्रिंगों k₁ = 15 kN/m और k₂ = 15 kN/m से लटकी है; छड़ समतल रहती है। अवमंदन तथा स्प्रिंगों और छड़ के द्रव्यमान की उपेक्षा करें। ऊर्ध्वाधर कंपन की प्राकृतिक आवृत्ति f_n Hz में ज्ञात कीजिए।

m = 40 kgk₁ = 15 kN/mk₂ = 15 kN/mk₃ = 60 kN/m

f_n = Hz

3विलयन

1.गियर और गियर ट्रेन

उत्तर: T₁ = 13.17 N·m

गियर ट्रेन: परस्पर जुड़े गियरों के दाँतों पर चाल समान होती है, इसलिए n₁·N₁ = n₂·N₂: कम दाँतों वाला गियर तेज़ घूमता है। एक ही शाफ़्ट पर लगे गियर समान चाल से घूमते हैं। शक्ति आगे पहुँचती है (हानियों को घटाकर), इसलिए चाल घटने पर बलाघूर्ण बढ़ता है: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, और P = T·ω, जहाँ ω = 2π·n/60।

मोटर बलाघूर्ण

ω₁ = 2π·2900/60 = 303.7 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 4000/303.7 = 13.17 N·m

उत्तर

T₁ = 13.17 N·m

2.गियर और गियर ट्रेन

उत्तर: P = 6.403 kW

पट्टा चालन: फिसलन के बिना दोनों घिरनियों की कोर की चाल समान होती है v = π·d·n/60, इसलिए n₁·d₁ = n₂·d₂ और गति अनुपात d₂/d₁ है। फिसलन s चालित घिरनी को थोड़ा धीमा कर देती है: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)। संचरित शक्ति P = (T₁ − T₂)·v है, जहाँ T₁ कसी हुई ओर का तनाव और T₂ ढीली ओर का। घर्षण तनावों के अनुपात को सीमित करता है: T₁/T₂ = e^μθ, जहाँ θ छोटी घिरनी पर लपेट कोण रेडियन में है; खुले पट्टे के लिए θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), जहाँ C केंद्र दूरी है।

लपेट कोण

θ = 3.027 rad

ढीली ओर का तनाव

e^μθ = e^0.7566 = 2.131, T₂ = 1200/2.131 = 563.1 N

शक्ति

P = (1200 − 563.1)·10.05 = 6.403 kW

उत्तर

P = 6.403 kW

3.शाफ़्ट का मरोड़

उत्तर: φ = 22.17 °

वृत्ताकार शाफ़्ट का मरोड़: अपरूपण प्रतिबल केंद्र पर शून्य से सतह पर τ_max = T·r/J तक रैखिक रूप से बढ़ता है, ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32 और खोखले के लिए J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32। मरोड़ कोण रेडियन में φ = TL/(GJ) है। शक्ति और बलाघूर्ण P = T·ω से जुड़े हैं।

ध्रुवीय जड़त्व आघूर्ण

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

मरोड़ कोण

φ = TL/(GJ) = 400·1000·2000/(26000·79522) = 0.3869 rad

φ = 0.3869·180/π = 22.17°

उत्तर

φ = 22.17°

4.शाफ़्ट का मरोड़

उत्तर: d_o = 30.34 mm

बलाघूर्ण

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52.36 rad/s

T = P/ω = 15000/52.36 = 286.5 N·m

स्वीकार्य प्रतिबल से बाहरी व्यास

T = 286.5 N·m = 286479 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0.6⁴ = 0.8704

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·286479/(π·60·0.8704)) = 30.34 mm

d_i = 0.6·30.34 = 18.21 mm

उत्तर

d_o = 30.34 mm

ठोस शाफ़्ट को d = 28.97 mm चाहिए होता; खोखला थोड़ा बड़ा है पर बहुत हल्का है।

5.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

उत्तर: σ_y′ = −24.59 MPa

y′ फलक के लिए रूपांतरण समीकरण

σ_y′ = −55 − (−5)·0.1736 − (−30)·0.9848 = −24.59 MPa

जाँच

घुमाने से अभिलंब प्रतिबलों का योग नहीं बदलता।

σ_x′ = −85.41 MPa, σ_x′ + σ_y′ = −110 = σ_x + σ_y

उत्तर

σ_y′ = −24.59 MPa

6.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

उत्तर: n = 1.519

समतल प्रतिबल रूपांतरण: θ से घुमाए गए तल पर σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ। मोर वृत्त सभी तलों को एक साथ दिखाता है: उसका केंद्र C = (σₓ + σᵧ)/2 पर और त्रिज्या R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) है। मुख्य प्रतिबल C ± R हैं, और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है। पराभव मानदंड: वॉन मीज़ेस के अनुसार पराभव तब होता है जब σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²), σ_Y तक पहुँचे; ट्रेस्का के अनुसार तब जब निरपेक्ष अधिकतम अपरूपण प्रतिबल σ_Y/2 तक पहुँचे।

मुख्य प्रतिबल

C = 50 MPa, R = 90.55 MPa

σ₁ = 140.6 MPa, σ₂ = −40.55 MPa, σ₃ = 0

वॉन मीज़ेस

σ_vM = √(140.6² − 140.6·(−40.55) + (−40.55)²) = 164.6 MPa

n = 250/164.6 = 1.519

उत्तर

n = 1.519

n > 1 का अर्थ है कि बिंदु पराभव नहीं करता; ट्रेस्का वॉन मीज़ेस से थोड़ा अधिक रूढ़िवादी (सुरक्षित पक्ष का) है।

7.अक्षीय प्रतिबल और विकृति

उत्तर: ε = 755.7 µε

हुक का नियम: प्रत्यास्थ सीमा में σ = E·ε। σ = P/A और ε = δ/L के साथ मिलाने पर δ = PL/(AE) मिलता है।

प्रतिबल

A = π·12²/4 = 113.1 mm²

σ = P/A = 10·1000/113.1 = 88.42 MPa

विकृति (हुक का नियम)

E for ताँबा = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 88.42/117000 = 0.0007557 = 755.7 µε

उत्तर

ε = 755.7 µε

8.अक्षीय प्रतिबल और विकृति

उत्तर: σ₂ = 18.08 MPa

दो पदार्थ: श्रेणी में (एक के बाद एक) हर खंड समान बल वहन करता है और विस्तार जुड़ते हैं: δ = P·Σ L/(E·A)। समानांतर में (दृढ़ प्लेटों के बीच अगल-बगल) दोनों भाग समान मात्रा से छोटे होते हैं, इसलिए उनके विकृति समान हैं: अधिक कठोर भाग बड़ा हिस्सा लेता है, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, और σ_i = E_i·ε। दो दृढ़ दीवारों के बीच जकड़ी छड़, जिसके जोड़ पर भार लगा है, स्थैतिक रूप से अनिर्धार्य है: दोनों खंड भार को अपनी कठोरता k = EA/L के अनुपात में बाँटते हैं।

कठोरताएँ

k₁ = 200000·314.2/300 = 209440 N/mm

k₂ = 110000·706.9/500 = 155509 N/mm

खंड 2 का हिस्सा

F₂ = 30000·155509/364948 = 12783 N

प्रतिबल

σ₂ = 12783/706.9 = 18.08 MPa (संपीडन)

उत्तर

σ₂ = 18.08 MPa

9.स्तंभ बकलिंग

उत्तर: P_cr = 222.3 kN

ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ P_cr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।

न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण

गोल खंड का I हर अक्ष के परितः समान होता है।

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴

प्रभावी लंबाई

KL = 1·2500 = 2500 mm

क्रांतिक भार

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·2.011 × 10⁶/2500² = 222253 N = 222.3 kN

उत्तर

P_cr = 222.3 kN

10.स्तंभ बकलिंग

उत्तर: σ_cr = 38.86 MPa

न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण

गोल खंड का I हर अक्ष के परितः समान होता है।

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

परिभ्रमण त्रिज्या और तनुता

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 1·2000 = 2000 mm

KL/r = 2000/15 = 133.3

क्रांतिक प्रतिबल

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/133.3² = 38.86 MPa

उत्तर

σ_cr = 38.86 MPa

11.यांत्रिक कंपन

उत्तर: f_d = 17.22 Hz

द्रव्यमान–स्प्रिंग तंत्र का मुक्त कंपन: अनवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति rad/s में ω_n = √(k/m) है, और Hz में f_n = ω_n/(2π)। एक श्यान अवमंदक c अवमंदन अनुपात ζ = c/c_c देता है, जहाँ क्रांतिक अवमंदन c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n। अल्प-अवमंदित तंत्र (ζ < 1) ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) पर दोलन करता है। समांतर में स्प्रिंग जुड़ते हैं, k = k₁ + k₂; श्रेणी में स्प्रिंग व्युत्क्रम के रूप में जुड़ते हैं, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂।

अनवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति

ω_n = √(200000/15) = 115.5 rad/s

f_n = 115.5/(2π) = 18.38 Hz

अवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 18.38·√(1 − 0.35²) = 17.22 Hz

उत्तर

f_d = 17.22 Hz

12.यांत्रिक कंपन

उत्तर: f_n = 3.559 Hz

तुल्य दृढ़ता

केवल k₁ और k₂ समांतर में हैं। वह जोड़ी k₃ के श्रेणी में है, इसलिए उन्हें व्युत्क्रम के रूप में मिलाएँ।

k₁₂ = 15 + 15 = 30 kN/m

k_eq = 30·60/(30 + 60) = 20 kN/m

प्राकृतिक आवृत्ति

ω_n = √(20000/40) = 22.36 rad/s

f_n = 22.36/(2π) = 3.559 Hz

उत्तर

f_n = 3.559 Hz

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