गियर और गियर ट्रेन
- परस्पर जुड़े गियर
- n1·N1 = n2·N2
- बलाघूर्ण
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- शक्ति
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- संयुक्त गियर ट्रेन
- कुल अनुपात = चरण अनुपातों का गुणनफल
मशीन डिज़ाइन: क्रैम पैक
सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 12 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।
1सूत्र और विधियाँ
शाफ़्ट का मरोड़
- अपरूपण प्रतिबल
- τ = T·r/J
- ठोस शाफ़्ट
- J = πd⁴/32
- खोखला शाफ़्ट
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- मरोड़ कोण
- φ = TL/(GJ)
- शक्ति
- P = T·ω = 2πnT/60
विधि
- ध्रुवीय क्षेत्र आघूर्ण ज्ञात करें: ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32।
- सतह पर अपरूपण प्रतिबल: τ = T·r/J, जहाँ r बाहरी त्रिज्या है।
- ऐंठन कोण: रेडियन में φ = TL/(GJ)।
- यदि शक्ति दी गई है, तो पहले P = T·ω, ω = 2πn/60 से बलाघूर्ण ज्ञात करें।
मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण
- केंद्र
- C = (σx + σy)/2
- त्रिज्या
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- मुख्य प्रतिबल
- σ1,2 = C ± R
- मुख्य दिशा
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- झुका हुआ तल
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
विधि
- मोर वृत्त का केंद्र निकालें: C = (σx + σy)/2।
- त्रिज्या निकालें: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)।
- मुख्य प्रतिबल C ± R हैं और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।
- वृत्त पर कोण अवयव पर कोणों के दोगुने होते हैं: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)।
अक्षीय प्रतिबल और विकृति
- अभिलंब प्रतिबल
- σ = F/A
- विकृति
- ε = ΔL/L
- हुक का नियम
- σ = E·ε
- दीर्घीकरण
- ΔL = FL/(EA)
- तापीय विकृति
- εT = α·ΔT
स्तंभ बकलिंग
- ऑयलर भार
- Pcr = π²EI/(KL)²
- प्रभावी लंबाई गुणांक
- K = 1 पिन–पिन, 0.5 स्थिर–स्थिर, 0.7 स्थिर–पिन, 2 स्थिर–मुक्त
- क्रांतिक प्रतिबल
- σcr = Pcr/A
- पतलापन अनुपात
- λ = KL/r, r = √(I/A)
यांत्रिक कंपन
- प्राकृतिक आवृत्ति
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- स्थैतिक विक्षेप से
- ωn = √(g/δst)
- क्रांतिक अवमंदन
- cc = 2√(km) = 2mωn
- अवमंदन अनुपात
- ζ = c/cc
- अवमंदित आवृत्ति
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- लघुगणकीय ह्रास
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- समांतर में स्प्रिंग
- k = k1 + k2
- श्रेणी में स्प्रिंग
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2अभ्यास प्रश्न
1.गियर और गियर ट्रेनमध्यम
एक पट्टा 120 mm की चालक घिरनी पर 1450 rpm पर चलता है। कसी हुई ओर तनाव 1500 N और ढीली ओर 600 N है। संचरित शक्ति P kW में ज्ञात कीजिए।
d1 = 120 mmn1 = 1450 rpmT1 = 1500 NT2 = 600 N
P = kW
2.गियर और गियर ट्रेनकठिन
एक संयुक्त गियर ट्रेन में, 1440 rpm पर घूम रहे निवेश शाफ़्ट पर लगा गियर A (16 दाँत) गियर B (36 दाँत) को चलाता है। गियर C (18 दाँत) B वाले शाफ़्ट पर ही लगा है और निर्गत शाफ़्ट पर लगे गियर D (20 दाँत) को चलाता है। निर्गत चाल nout ज्ञात कीजिए।
nin = 1440 rpmA = 16B = 36C = 18D = 20
nout = rpm
3.शाफ़्ट का मरोड़मध्यम
3 m लंबा एक ठोस स्टील शाफ़्ट 750 N·m का बलाघूर्ण वहन करता है। उसके सिरों के बीच मरोड़ कोण 0.5° से अधिक नहीं होना चाहिए। इस सीमा को पूरा करने वाला सबसे छोटा व्यास d ज्ञात कीजिए।
T = 750 N·mL = 3 mG = 80 GPaφallow = 0.5°
d = mm
4.शाफ़्ट का मरोड़कठिन
एक ठोस पीतल शाफ़्ट 300 rpm पर 50 kW संचारित करता है। अपरूपण प्रतिबल 50 MPa से अधिक नहीं होना चाहिए और मरोड़ प्रति m लंबाई 0.75° से अधिक नहीं होना चाहिए। दोनों सीमाओं को पूरा करने वाला सबसे छोटा व्यास d ज्ञात कीजिए।
P = 50 kWN = 300 rpmτallow = 50 MPaθallow = 0.75°/mG = 39 GPa
d = mm
5.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणमध्यम
एक पतली प्लेट का एक बिंदु समतल प्रतिबल में है: σₓ = 140 MPa, σᵧ = 90 MPa और τₓᵧ = 60 MPa, σz = 0 के साथ। बिंदु पर निरपेक्ष अधिकतम अपरूपण प्रतिबल τabs ज्ञात कीजिए (तीन विमाओं में सभी तलों पर विचार करते हुए)।
σx = 140 MPaσy = 90 MPaτxy = 60 MPaσz = 0
τabs = MPa
6.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणकठिन
50 mm व्यास वाला एक ठोस शाफ़्ट 1500 N·m के बलाघूर्ण के साथ 110 kN का अक्षीय संपीडन बल वहन करता है। शाफ़्ट की सतह पर, सबसे बड़ा मुख्य प्रतिबल σ1 ज्ञात कीजिए।
d = 50 mmF = −110 kNT = 1500 N·m
σ1 = MPa
7.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिमध्यम
एक स्टील छड़ (व्यास 40 mm, E = 200 GPa) ताँबा की बनी नलिका (बाहरी व्यास 100 mm, भीतरी व्यास 60 mm, E = 120 GPa) के भीतर है। दोनों 300 mm लंबे हैं और दृढ़ प्लेटों के बीच 300 kN से साथ-साथ संपीडित किए जाते हैं। संकुचन δ ज्ञात कीजिए।
P = 300 kNछड़: Ø40 mm, E = 200 GPaनलिका: Ø100/Ø60 mm, E = 120 GPaL = 300 mm
δ = mm
8.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिकठिन
एक स्टील खंड (व्यास 30 mm, लंबाई 400 mm, E = 200 GPa) और एल्युमिनियम का बना खंड (व्यास 30 mm, लंबाई 500 mm, E = 70 GPa) सिरे से सिरा जोड़कर दो दृढ़ दीवारों के बीच जकड़े हैं। जोड़ पर खंड 2 की ओर 100 kN का अक्षीय भार लगता है। खंड 2 में प्रतिबल σ2 का परिमाण ज्ञात कीजिए।
खंड 1: स्टील, Ø30 mm, 400 mm, E = 200 GPaखंड 2: एल्युमिनियम, Ø30 mm, 500 mm, E = 70 GPaP = 100 kN
σ2 = MPa
9.स्तंभ बकलिंगमध्यम
एल्युमिनियम से बना L लंबाई का एक स्तंभ आधार पर जड़ित और शीर्ष पर पिन किया हुआ है। ऑयलर सूत्र से उसका क्रांतिक बकलिंग भार Pcr ज्ञात कीजिए।
L = 3 mE = 70 GPa (एल्युमिनियम)d = 30 mm
Pcr = kN
10.स्तंभ बकलिंगकठिन
एल्युमिनियम से बना L लंबाई का एक स्तंभ दोनों सिरों पर पिन किया हुआ है। उसकी तनुता और ऑयलर सूत्र से क्रांतिक बकलिंग प्रतिबल σcr ज्ञात कीजिए।
L = 4 mE = 70 GPa (एल्युमिनियम)d = 80 mm
σcr = MPa
11.यांत्रिक कंपनमध्यम
एक 8 kg द्रव्यमान 12 kN/m दृढ़ता वाले स्प्रिंग और 90 N·s/m अवमंदन गुणांक वाले श्यान अवमंदक पर टिका है। अवमंदन अनुपात ζ ज्ञात कीजिए।
m = 8 kgk = 12 kN/mc = 90 N·s/m
ζ =
12.यांत्रिक कंपनकठिन
एक 20 kg द्रव्यमान सिरे-से-सिरे जुड़े (श्रेणी में) दो स्प्रिंगों से लटका है: ऊपरी स्प्रिंग k₁ = 100 kN/m और निचला k₂ = 60 kN/m है। अवमंदन और स्प्रिंगों के द्रव्यमान की उपेक्षा करें। ऊर्ध्वाधर कंपन की प्राकृतिक आवृत्ति fn Hz में ज्ञात कीजिए।
m = 20 kgk1 = 100 kN/mk2 = 60 kN/m
fn = Hz
3विलयन
1.गियर और गियर ट्रेन
उत्तर: P = 8.2 kW
पट्टा चालन: फिसलन के बिना दोनों घिरनियों की कोर की चाल समान होती है v = π·d·n/60, इसलिए n₁·d₁ = n₂·d₂ और गति अनुपात d₂/d₁ है। फिसलन s चालित घिरनी को थोड़ा धीमा कर देती है: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)। संचरित शक्ति P = (T₁ − T₂)·v है, जहाँ T₁ कसी हुई ओर का तनाव और T₂ ढीली ओर का। घर्षण तनावों के अनुपात को सीमित करता है: T₁/T₂ = eμθ, जहाँ θ छोटी घिरनी पर लपेट कोण रेडियन में है; खुले पट्टे के लिए θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), जहाँ C केंद्र दूरी है।
पट्टे की चाल
v = 9.111 m/s
शक्ति
P = (1500 − 600)·9.111 = 8200 W = 8.2 kW
उत्तर
P = 8.2 kW
2.गियर और गियर ट्रेन
उत्तर: nout = 576 rpm
गियर ट्रेन: परस्पर जुड़े गियरों के दाँतों पर चाल समान होती है, इसलिए n₁·N₁ = n₂·N₂: कम दाँतों वाला गियर तेज़ घूमता है। एक ही शाफ़्ट पर लगे गियर समान चाल से घूमते हैं। शक्ति आगे पहुँचती है (हानियों को घटाकर), इसलिए चाल घटने पर बलाघूर्ण बढ़ता है: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, और P = T·ω, जहाँ ω = 2π·n/60।
पहला चरण
nB = 1440·16/36 = 640 rpm = nC
दूसरा चरण
nout = 640·18/20 = 576 rpm
उत्तर
nout = 576 rpm
कुल अनुपात = 2.5 : 1
3.शाफ़्ट का मरोड़
उत्तर: d = 75.69 mm
वृत्ताकार शाफ़्ट का मरोड़: अपरूपण प्रतिबल केंद्र पर शून्य से सतह पर τmax = T·r/J तक रैखिक रूप से बढ़ता है, ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32 और खोखले के लिए J = π(do⁴ − di⁴)/32। मरोड़ कोण रेडियन में φ = TL/(GJ) है। शक्ति और बलाघूर्ण P = T·ω से जुड़े हैं।
आवश्यक ध्रुवीय आघूर्ण
T = 750 N·m = 750000 N·mm
L = 3 m = 3000 mm
G = 80 GPa = 80000 MPa
φ = 0.5·π/180 = 0.008727 rad
J = TL/(Gφ) = 750000·3000/(80000·0.008727) = 3.223 × 10⁶ mm⁴
व्यास
d = (32J/π)1/4 = 75.69 mm
उत्तर
d = 75.69 mm
व्यवहार में आप अगले मानक आकार तक पूर्णांकित करेंगे।
4.शाफ़्ट का मरोड़
उत्तर: d = 75.07 mm
वृत्ताकार शाफ़्ट का मरोड़: अपरूपण प्रतिबल केंद्र पर शून्य से सतह पर τmax = T·r/J तक रैखिक रूप से बढ़ता है, ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32 और खोखले के लिए J = π(do⁴ − di⁴)/32। मरोड़ कोण रेडियन में φ = TL/(GJ) है। शक्ति और बलाघूर्ण P = T·ω से जुड़े हैं।
बलाघूर्ण
ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31.42 rad/s
T = P/ω = 50000/31.42 = 1592 N·m
सामर्थ्य के लिए व्यास
T = 1592 N·m = 1.592 × 10⁶ N·mm
dτ = ∛(16·1.592 × 10⁶/(π·50)) = 54.53 mm
दृढ़ता के लिए व्यास
θ = 0.75·π/180/1000 = 1.309 × 10⁻⁵ rad/mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
dφ = (32·1.592 × 10⁶/(π·39000·1.309 × 10⁻⁵))1/4 = 75.07 mm
निर्णायक व्यास
दोनों सीमाएँ लागू होनी चाहिए, इसलिए बड़ा व्यास निर्णायक है।
d = max(54.53, 75.07) = 75.07 mm
उत्तर
d = 75.07 mm
यहाँ दृढ़ता निर्णायक है।
5.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण
उत्तर: τabs = 90 MPa
समतल प्रतिबल रूपांतरण: θ से घुमाए गए तल पर σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ। मोर वृत्त सभी तलों को एक साथ दिखाता है: उसका केंद्र C = (σₓ + σᵧ)/2 पर और त्रिज्या R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) है। मुख्य प्रतिबल C ± R हैं, और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है। तीन विमाओं में निरपेक्ष अधिकतम अपरूपण प्रतिबल तीनों मुख्य प्रतिबलों पर (σmax − σmin)/2 है; समतल प्रतिबल में तीसरा शून्य होता है।
तलीय मुख्य प्रतिबल
C = 115 MPa, R = √(25² + 60²) = 65 MPa
σ1 = 180 MPa, σ2 = 50 MPa, σz = 0
तीनों वृत्तों में सबसे बड़ा
τ = max(|σ1 − σ2|, |σ1|, |σ2|)/2 = max(130, 180, 50)/2 = 90 MPa
उत्तर
τabs = 90 MPa
यहाँ तल से बाहर वाला वृत्त निर्णायक है: निरपेक्ष अधिकतम तलीय अधिकतम R से बड़ा है।
6.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण
उत्तर: σ1 = 39.22 MPa
समतल प्रतिबल रूपांतरण: θ से घुमाए गए तल पर σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ। मोर वृत्त सभी तलों को एक साथ दिखाता है: उसका केंद्र C = (σₓ + σᵧ)/2 पर और त्रिज्या R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) है। मुख्य प्रतिबल C ± R हैं, और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।
सतह पर प्रतिबल
σ = F/A = −110000/(π·50²/4) = −110000/1963 = −56.02 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·1500000/(π·50³) = 61.12 MPa
मोर वृत्त
C = σ/2 = −28.01 MPa
R = √((−28.01)² + 61.12²) = 67.23 MPa
σ1 = C + R = 39.22 MPa
σ2 = C − R = −95.24 MPa
उत्तर
σ1 = 39.22 MPa
7.अक्षीय प्रतिबल और विकृति
उत्तर: δ = 0.1053 mm
दो पदार्थ: श्रेणी में (एक के बाद एक) हर खंड समान बल वहन करता है और विस्तार जुड़ते हैं: δ = P·Σ L/(E·A)। समानांतर में (दृढ़ प्लेटों के बीच अगल-बगल) दोनों भाग समान मात्रा से छोटे होते हैं, इसलिए उनके विकृति समान हैं: अधिक कठोर भाग बड़ा हिस्सा लेता है, Pi = P·EiAi/ΣEA, और σi = Ei·ε। दो दृढ़ दीवारों के बीच जकड़ी छड़, जिसके जोड़ पर भार लगा है, स्थैतिक रूप से अनिर्धार्य है: दोनों खंड भार को अपनी कठोरता k = EA/L के अनुपात में बाँटते हैं।
क्षेत्रफल
Ar = π·40²/4 = 1257 mm²
At = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²
संयुक्त अक्षीय कठोरता
ΣEA = 200·10³·1257 + 120·10³·5027 = 8.545 × 10⁸ N
संकुचन
δ = 300000·300/8.545 × 10⁸ = 0.1053 mm
उत्तर
δ = 0.1053 mm
8.अक्षीय प्रतिबल और विकृति
उत्तर: σ2 = 30.95 MPa
दो पदार्थ: श्रेणी में (एक के बाद एक) हर खंड समान बल वहन करता है और विस्तार जुड़ते हैं: δ = P·Σ L/(E·A)। समानांतर में (दृढ़ प्लेटों के बीच अगल-बगल) दोनों भाग समान मात्रा से छोटे होते हैं, इसलिए उनके विकृति समान हैं: अधिक कठोर भाग बड़ा हिस्सा लेता है, Pi = P·EiAi/ΣEA, और σi = Ei·ε। दो दृढ़ दीवारों के बीच जकड़ी छड़, जिसके जोड़ पर भार लगा है, स्थैतिक रूप से अनिर्धार्य है: दोनों खंड भार को अपनी कठोरता k = EA/L के अनुपात में बाँटते हैं।
कठोरताएँ
k₁ = 200000·706.9/400 = 353429 N/mm
k₂ = 70000·706.9/500 = 98960 N/mm
खंड 2 का हिस्सा
F2 = 100000·98960/452389 = 21875 N
प्रतिबल
σ2 = 21875/706.9 = 30.95 MPa (संपीडन)
उत्तर
σ2 = 30.95 MPa
9.स्तंभ बकलिंग
उत्तर: Pcr = 6.229 kN
ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ Pcr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।
न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण
गोल खंड का I हर अक्ष के परितः समान होता है।
I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴
प्रभावी लंबाई
KL = 0.7·3000 = 2100 mm
क्रांतिक भार
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·39761/2100² = 6229 N = 6.229 kN
उत्तर
Pcr = 6.229 kN
10.स्तंभ बकलिंग
उत्तर: σcr = 17.27 MPa
ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ Pcr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।
न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण
गोल खंड का I हर अक्ष के परितः समान होता है।
I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴
परिभ्रमण त्रिज्या और तनुता
A = 5027 mm²
r = √(I/A) = √(2.011 × 10⁶/5027) = 20 mm
KL = 1·4000 = 4000 mm
KL/r = 4000/20 = 200
क्रांतिक प्रतिबल
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/200² = 17.27 MPa
उत्तर
σcr = 17.27 MPa
11.यांत्रिक कंपन
उत्तर: ζ = 0.1452
द्रव्यमान–स्प्रिंग तंत्र का मुक्त कंपन: अनवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति rad/s में ωn = √(k/m) है, और Hz में fn = ωn/(2π)। एक श्यान अवमंदक c अवमंदन अनुपात ζ = c/cc देता है, जहाँ क्रांतिक अवमंदन cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn। अल्प-अवमंदित तंत्र (ζ < 1) ωd = ωn·√(1 − ζ²) पर दोलन करता है। समांतर में स्प्रिंग जुड़ते हैं, k = k₁ + k₂; श्रेणी में स्प्रिंग व्युत्क्रम के रूप में जुड़ते हैं, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂।
क्रांतिक अवमंदन
cc = 2·√(k·m) = 2·√(12000·8) = 619.7 N·s/m
अवमंदन अनुपात
ζ = c/cc = 90/619.7 = 0.1452
उत्तर
ζ = 0.1452
ζ < 1, इसलिए तंत्र अल्प-अवमंदित है और क्षीण होते हुए दोलन करता है।
12.यांत्रिक कंपन
उत्तर: fn = 6.892 Hz
द्रव्यमान–स्प्रिंग तंत्र का मुक्त कंपन: अनवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति rad/s में ωn = √(k/m) है, और Hz में fn = ωn/(2π)। एक श्यान अवमंदक c अवमंदन अनुपात ζ = c/cc देता है, जहाँ क्रांतिक अवमंदन cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn। अल्प-अवमंदित तंत्र (ζ < 1) ωd = ωn·√(1 − ζ²) पर दोलन करता है। समांतर में स्प्रिंग जुड़ते हैं, k = k₁ + k₂; श्रेणी में स्प्रिंग व्युत्क्रम के रूप में जुड़ते हैं, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂।
तुल्य दृढ़ता
श्रेणी में स्प्रिंग समान बल साझा करते हैं और उनके विक्षेप जुड़ते हैं, इसलिए वे व्युत्क्रम के रूप में मिलते हैं: 1/k = 1/k1 + 1/k2।
1/keq = 1/100 + 1/60 → keq = 100·60/(100 + 60) = 37.5 kN/m
प्राकृतिक आवृत्ति
ωn = √(37500/20) = 43.3 rad/s
fn = 43.3/(2π) = 6.892 Hz
उत्तर
fn = 6.892 Hz
ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design