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सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 12 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

गियर और गियर ट्रेन

परस्पर जुड़े गियर: n₁·N₁ = n₂·N₂
बलाघूर्ण: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
शक्ति: P = T·ω, ω = 2π·n/60
संयुक्त गियर ट्रेन: कुल अनुपात = चरण अनुपातों का गुणनफल

शाफ़्ट का मरोड़

अपरूपण प्रतिबल: τ = T·r/J
ठोस शाफ़्ट: J = πd⁴/32
खोखला शाफ़्ट: J = π(D⁴ − d⁴)/32
मरोड़ कोण: φ = TL/(GJ)
शक्ति: P = T·ω = 2πnT/60

विधि

ध्रुवीय क्षेत्र आघूर्ण ज्ञात करें: ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32।
सतह पर अपरूपण प्रतिबल: τ = T·r/J, जहाँ r बाहरी त्रिज्या है।
ऐंठन कोण: रेडियन में φ = TL/(GJ)।
यदि शक्ति दी गई है, तो पहले P = T·ω, ω = 2πn/60 से बलाघूर्ण ज्ञात करें।

मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

केंद्र: C = (σ_x + σ_y)/2
त्रिज्या: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
मुख्य प्रतिबल: σ_1,2 = C ± R
मुख्य दिशा: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
झुका हुआ तल: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

विधि

मोर वृत्त का केंद्र निकालें: C = (σx + σy)/2।
त्रिज्या निकालें: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)।
मुख्य प्रतिबल C ± R हैं और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।
वृत्त पर कोण अवयव पर कोणों के दोगुने होते हैं: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)।

अक्षीय प्रतिबल और विकृति

अभिलंब प्रतिबल: σ = F/A
विकृति: ε = ΔL/L
हुक का नियम: σ = E·ε
दीर्घीकरण: ΔL = FL/(EA)
तापीय विकृति: ε_T = α·ΔT

स्तंभ बकलिंग

ऑयलर भार: P_cr = π²EI/(KL)²
प्रभावी लंबाई गुणांक: K = 1 पिन–पिन, 0.5 स्थिर–स्थिर, 0.7 स्थिर–पिन, 2 स्थिर–मुक्त
क्रांतिक प्रतिबल: σ_cr = P_cr/A
पतलापन अनुपात: λ = KL/r, r = √(I/A)

यांत्रिक कंपन

प्राकृतिक आवृत्ति: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
स्थैतिक विक्षेप से: ω_n = √(g/δ_st)
क्रांतिक अवमंदन: c_c = 2√(km) = 2mω_n
अवमंदन अनुपात: ζ = c/c_c
अवमंदित आवृत्ति: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
लघुगणकीय ह्रास: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
समांतर में स्प्रिंग: k = k₁ + k₂
श्रेणी में स्प्रिंग: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2अभ्यास प्रश्न

1.गियर और गियर ट्रेनमध्यम

1500 rpm पर चल रही एक 1.5 kW मोटर 20 दाँतों वाले पिनियन को चलाती है, जो 24 दाँतों वाले गियर से जुड़ा है। गियर युग्म की दक्षता 96% है। मोटर शाफ़्ट पर बलाघूर्ण T₁ ज्ञात कीजिए।

P = 1.5 kWn₁ = 1500 rpmN₁ = 20N₂ = 24η = 96%

T₁ = N·m

2.गियर और गियर ट्रेनकठिन

एक खुला पट्टा 500 mm की घिरनी को 150 mm की चालक घिरनी से, जो 1440 rpm पर है, जोड़ता है; केंद्र 600 mm दूर हैं। घर्षण गुणांक 0.35 है और कसी हुई ओर का तनाव 1500 N से अधिक नहीं हो सकता। पट्टा बिना फिसले जो सबसे बड़ी शक्ति P संचरित कर सकता है, kW में ज्ञात कीजिए (अपकेंद्री प्रभाव अनदेखा करें)।

d₁ = 150 mmn₁ = 1440 rpmd₂ = 500 mmC = 600 mmμ = 0.35T₁ = 1500 N

P = kW

3.शाफ़्ट का मरोड़मध्यम

एक खोखला पीतल शाफ़्ट (बाहरी व्यास 30 mm, भीतरी व्यास 23 mm, लंबाई 1.2 m) एक सिरे पर स्थिर है और दूसरे सिरे पर 500 N·m के बलाघूर्ण से मरोड़ा जाता है। मरोड़ कोण φ डिग्री में ज्ञात कीजिए।

T = 500 N·md_o = 30 mmd_i = 23 mmL = 1.2 mG = 39 GPa

φ = °

4.शाफ़्ट का मरोड़कठिन

60 mm व्यास वाला एक ठोस पीतल शाफ़्ट A पर स्थिर है। A से 1.5 m पर B पर 750 N·m का बलाघूर्ण कार्य करता है, और 2.5 m और आगे मुक्त सिरे C पर उसी दिशा में 100 N·m का बलाघूर्ण कार्य करता है। सिरे C के मरोड़ कोण φ_C का परिमाण डिग्री में ज्ञात कीजिए।

d = 60 mmT_B = 750 N·mT_C = 100 N·mAB = 1.5 mBC = 2.5 mG = 39 GPa

φ_C = °

5.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणमध्यम

एक बिंदु पर σₓ = 40 MPa, σᵧ = 20 MPa और τₓᵧ = 50 MPa है (तनन धनात्मक)। x-अक्ष से उस तल के अभिलंब तक का कोण θ_s, −90° और 90° के बीच, ज्ञात कीजिए जिस पर अपरूपण प्रतिबल का अधिकतम धनात्मक मान +R है (अपरूपण τₓᵧ की ही दिशा में धनात्मक)।

σ_x = 40 MPaσ_y = 20 MPaτ_xy = 50 MPa

θ_s = °

6.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणकठिन

800 mm भीतरी व्यास और 10 mm दीवार मोटाई वाली एक पतली दीवार की बेलनाकार टंकी में 0.8 MPa गेज दाब पर गैस है। यह बेलन की अक्ष से 30° पर एक सर्पिल सीवन के साथ वेल्ड की गई प्लेट से बनी है। वेल्ड सीवन के आर-पार कार्य करने वाला अभिलंब प्रतिबल σ_n ज्ञात कीजिए।

D = 800 mmt = 10 mmp = 0.8 MPaα = 30°

σ_n = MPa

7.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिमध्यम

अक्षीय भार के अंतर्गत ताँबा छड़ का दीर्घीकरण δ ज्ञात कीजिए।

P = 65 kNd = 30 mmL = 0.5 mE = 117 GPa

δ = mm

8.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिकठिन

एक स्टील खंड (व्यास 20 mm, लंबाई 600 mm, E = 200 GPa) और एल्युमिनियम का बना खंड (व्यास 60 mm, लंबाई 300 mm, E = 70 GPa) सिरे से सिरा जोड़कर दो दृढ़ दीवारों के बीच जकड़े हैं। जोड़ पर खंड 2 की ओर 80 kN का अक्षीय भार लगता है। खंड 2 में प्रतिबल σ₂ का परिमाण ज्ञात कीजिए।

खंड 1: स्टील, Ø20 mm, 600 mm, E = 200 GPaखंड 2: एल्युमिनियम, Ø60 mm, 300 mm, E = 70 GPaP = 80 kN

σ₂ = MPa

9.स्तंभ बकलिंगमध्यम

स्टील से बना L लंबाई का एक स्तंभ आधार पर जड़ित और शीर्ष पर पिन किया हुआ है। ऑयलर सूत्र से उसका क्रांतिक बकलिंग भार P_cr ज्ञात कीजिए।

L = 2.5 mE = 200 GPa (स्टील)b × h = 30 × 40 mm

P_cr = kN

10.स्तंभ बकलिंगकठिन

एल्युमिनियम से बना L लंबाई का एक ठोस गोल स्तंभ आधार पर जड़ित और शीर्ष पर पिन किया हुआ है। इसे बकलिंग के विरुद्ध 2.5 के सुरक्षा गुणक के साथ 65 kN वहन करना है। न्यूनतम व्यास d ज्ञात कीजिए।

P = 65 kNn = 2.5L = 3 mE = 70 GPa (एल्युमिनियम)

d = mm

11.यांत्रिक कंपनमध्यम

40 kN/m दृढ़ता वाले स्प्रिंग पर एक 25 kg द्रव्यमान के साथ एक श्यान अवमंदक है जो 0.35 का अवमंदन अनुपात देता है। इसके मुक्त कंपन की अवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति f_d Hz में ज्ञात कीजिए।

m = 25 kgk = 40 kN/mζ = 0.35

f_d = Hz

12.यांत्रिक कंपनकठिन

एक 100 kg द्रव्यमान सिरे-से-सिरे जुड़े (श्रेणी में) दो स्प्रिंगों से लटका है: ऊपरी स्प्रिंग k₁ = 5 kN/m और निचला k₂ = 12 kN/m है। अवमंदन और स्प्रिंगों के द्रव्यमान की उपेक्षा करें। ऊर्ध्वाधर कंपन की प्राकृतिक आवृत्ति f_n Hz में ज्ञात कीजिए।

m = 100 kgk₁ = 5 kN/mk₂ = 12 kN/m

f_n = Hz

3विलयन

1.गियर और गियर ट्रेन

उत्तर: T₁ = 9.549 N·m

गियर ट्रेन: परस्पर जुड़े गियरों के दाँतों पर चाल समान होती है, इसलिए n₁·N₁ = n₂·N₂: कम दाँतों वाला गियर तेज़ घूमता है। एक ही शाफ़्ट पर लगे गियर समान चाल से घूमते हैं। शक्ति आगे पहुँचती है (हानियों को घटाकर), इसलिए चाल घटने पर बलाघूर्ण बढ़ता है: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, और P = T·ω, जहाँ ω = 2π·n/60।

मोटर बलाघूर्ण

ω₁ = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 1500/157.1 = 9.549 N·m

उत्तर

T₁ = 9.549 N·m

2.गियर और गियर ट्रेन

उत्तर: P = 10.01 kW

पट्टा चालन: फिसलन के बिना दोनों घिरनियों की कोर की चाल समान होती है v = π·d·n/60, इसलिए n₁·d₁ = n₂·d₂ और गति अनुपात d₂/d₁ है। फिसलन s चालित घिरनी को थोड़ा धीमा कर देती है: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)। संचरित शक्ति P = (T₁ − T₂)·v है, जहाँ T₁ कसी हुई ओर का तनाव और T₂ ढीली ओर का। घर्षण तनावों के अनुपात को सीमित करता है: T₁/T₂ = e^μθ, जहाँ θ छोटी घिरनी पर लपेट कोण रेडियन में है; खुले पट्टे के लिए θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), जहाँ C केंद्र दूरी है।

लपेट कोण

θ = 2.55 rad

ढीली ओर का तनाव

e^μθ = e^0.8924 = 2.441, T₂ = 1500/2.441 = 614.5 N

शक्ति

P = (1500 − 614.5)·11.31 = 10.01 kW

उत्तर

P = 10.01 kW

3.शाफ़्ट का मरोड़

उत्तर: φ = 16.94 °

वृत्ताकार शाफ़्ट का मरोड़: अपरूपण प्रतिबल केंद्र पर शून्य से सतह पर τ_max = T·r/J तक रैखिक रूप से बढ़ता है, ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32 और खोखले के लिए J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32। मरोड़ कोण रेडियन में φ = TL/(GJ) है। शक्ति और बलाघूर्ण P = T·ω से जुड़े हैं।

ध्रुवीय जड़त्व आघूर्ण

J = π(30⁴ − 23⁴)/32 = 52048 mm⁴

मरोड़ कोण

T = 500 N·m = 500000 N·mm

L = 1.2 m = 1200 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = TL/(GJ) = 500000·1200/(39000·52048) = 0.2956 rad

φ = 0.2956·180/π = 16.94°

उत्तर

φ = 16.94°

4.शाफ़्ट का मरोड़

उत्तर: φ_C = 1.761 °

आंतरिक बलाघूर्ण

T_C की दिशा धनात्मक ली गई है।

T_BC = T_C = 100 N·m

T_AB = T_C + T_B = 100 + 750 = 850 N·m

हर खंड का मरोड़

J = π·60⁴/32 = 1.272 × 10⁶ mm⁴

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ_AB = 850000·1500/(39000·1.272 × 10⁶) = 0.02569 rad

φ_BC = 100000·2500/(39000·1.272 × 10⁶) = 0.005038 rad

सिरे C का मरोड़

φ_C = 0.02569 + 0.005038 = 0.03073 rad → |φ_C| = 1.761°

उत्तर

φ_C = 1.761°

5.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

उत्तर: θ_s = −5.655 °

समतल प्रतिबल रूपांतरण: θ से घुमाए गए तल पर σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ। मोर वृत्त सभी तलों को एक साथ दिखाता है: उसका केंद्र C = (σₓ + σᵧ)/2 पर और त्रिज्या R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) है। मुख्य प्रतिबल C ± R हैं, और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।

वृत्त पर कोण

मोर वृत्त पर शीर्ष बिंदु (+R) मुख्य बिंदु σ₁ से 90° पर है; अवयव पर यह 45° है।

cos 2θ_s = 50/50.99 = 0.9806, sin 2θ_s = −10/50.99 = −0.1961

2θ_s = atan2(−10, 50) = −11.31°

अवयव पर कोण

θ_s = −5.655°

जाँच: θ_s − θ_p = −5.655 − 39.35 = −45°

उत्तर

θ_s = −5.655°

धनात्मक कोण वामावर्त होते हैं।

6.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

उत्तर: σ_n = 28 MPa

दीवार के प्रतिबल

r = 800/2 = 400 mm

σ_h = pr/t = 0.8·400/10 = 32 MPa

σ_a = pr/(2t) = 16 MPa

सीवन पर रूपांतरित करें

x को अक्ष के साथ (σ_a) और y को परिधि के साथ (σ_h) लें। सीवन का अभिलंब अक्ष से 90° − α बनाता है।

σ_n = 16·sin²30° + 32·cos²30° = 28 MPa

उत्तर

σ_n = 28 MPa

7.अक्षीय प्रतिबल और विकृति

उत्तर: δ = 0.393 mm

हुक का नियम: प्रत्यास्थ सीमा में σ = E·ε। σ = P/A और ε = δ/L के साथ मिलाने पर δ = PL/(AE) मिलता है।

प्रतिबल

A = π·30²/4 = 706.9 mm²

σ = P/A = 65·1000/706.9 = 91.96 MPa

विकृति (हुक का नियम)

E for ताँबा = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 91.96/117000 = 0.000786 = 786 µε

दीर्घीकरण

δ = ε·L = 0.000786·500 mm = 0.393 mm

उत्तर

δ = 0.393 mm

8.अक्षीय प्रतिबल और विकृति

उत्तर: σ₂ = 24.42 MPa

दो पदार्थ: श्रेणी में (एक के बाद एक) हर खंड समान बल वहन करता है और विस्तार जुड़ते हैं: δ = P·Σ L/(E·A)। समानांतर में (दृढ़ प्लेटों के बीच अगल-बगल) दोनों भाग समान मात्रा से छोटे होते हैं, इसलिए उनके विकृति समान हैं: अधिक कठोर भाग बड़ा हिस्सा लेता है, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, और σ_i = E_i·ε। दो दृढ़ दीवारों के बीच जकड़ी छड़, जिसके जोड़ पर भार लगा है, स्थैतिक रूप से अनिर्धार्य है: दोनों खंड भार को अपनी कठोरता k = EA/L के अनुपात में बाँटते हैं।

कठोरताएँ

k₁ = 200000·314.2/600 = 104720 N/mm

k₂ = 70000·2827/300 = 659734 N/mm

खंड 2 का हिस्सा

F₂ = 80000·659734/764454 = 69041 N

प्रतिबल

σ₂ = 69041/2827 = 24.42 MPa (संपीडन)

उत्तर

σ₂ = 24.42 MPa

9.स्तंभ बकलिंग

उत्तर: P_cr = 58.01 kN

ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ P_cr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।

न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण

आयत अपनी कमज़ोर अक्ष के परितः, छोटी विमा के घन के साथ मुड़ता है।

I_min = h·b³/12 = 40·30³/12 = 90000 mm⁴

प्रभावी लंबाई

KL = 0.7·2500 = 1750 mm

क्रांतिक भार

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·90000/1750² = 58009 N = 58.01 kN

उत्तर

P_cr = 58.01 kN

10.स्तंभ बकलिंग

उत्तर: d = 67.8 mm

आवश्यक क्रांतिक भार

P_cr = n·P = 2.5·65000 = 162500 N

KL = 0.7·3000 = 2100 mm

व्यास के लिए हल करें

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·162500·2100²/(π³·70000))^(1/4) = 67.8 mm

उत्तर

d = 67.8 mm

जाँच: तनुता KL/r = 123.9 है, इसलिए स्तंभ पतला है और ऑयलर लागू होता है।

11.यांत्रिक कंपन

उत्तर: f_d = 5.964 Hz

द्रव्यमान–स्प्रिंग तंत्र का मुक्त कंपन: अनवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति rad/s में ω_n = √(k/m) है, और Hz में f_n = ω_n/(2π)। एक श्यान अवमंदक c अवमंदन अनुपात ζ = c/c_c देता है, जहाँ क्रांतिक अवमंदन c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n। अल्प-अवमंदित तंत्र (ζ < 1) ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) पर दोलन करता है। समांतर में स्प्रिंग जुड़ते हैं, k = k₁ + k₂; श्रेणी में स्प्रिंग व्युत्क्रम के रूप में जुड़ते हैं, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂।

अनवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति

ω_n = √(40000/25) = 40 rad/s

f_n = 40/(2π) = 6.366 Hz

अवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 6.366·√(1 − 0.35²) = 5.964 Hz

उत्तर

f_d = 5.964 Hz

12.यांत्रिक कंपन

उत्तर: f_n = 0.9455 Hz

तुल्य दृढ़ता

श्रेणी में स्प्रिंग समान बल साझा करते हैं और उनके विक्षेप जुड़ते हैं, इसलिए वे व्युत्क्रम के रूप में मिलते हैं: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂।

1/k_eq = 1/5 + 1/12 → k_eq = 5·12/(5 + 12) = 3.529 kN/m

प्राकृतिक आवृत्ति

ω_n = √(3529/100) = 5.941 rad/s

f_n = 5.941/(2π) = 0.9455 Hz

उत्तर

f_n = 0.9455 Hz

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