लिख लें कि क्या दिया है: प्रतिदर्श दर, संकेत आवृत्तियाँ, बिट संख्या, निवेश परिसर, बॉड दर।
प्रतिचयन के प्रश्नों में हर आवृत्ति की तुलना fs/2 से करें; इससे ऊँची आवृत्ति fa = |f − k·fs| पर दिखती है, जहाँ fs का निकटतम गुणज लिया जाता है।
वियोजन के प्रश्नों में 1 LSB = VFSR/2ᴺ ज्ञात करें, या सबसे छोटा N ज्ञात करें जिसके लिए 2ᴺ ≥ विस्तार/वियोजन हो।
डेटा दर और UART लिंक के लिए वह सब गिनें जो भेजा जाता है: चैनल, प्रति सेकंड प्रतिदर्श, प्रति प्रतिदर्श बिट या पूरे बाइट, और हर फ़्रेम के स्टार्ट, पैरिटी और स्टॉप बिट।
व्हीटस्टोन सेतु और स्ट्रेन गेज
विभाजक वोल्टताएँ
Va = VsR2/(R1 + R2), Vb = VsR4/(R3 + R4)
निर्गम
Vab = Va − Vb
संतुलन
R1/R2 = R3/R4
स्लाइड-तार सेतु
R/Rx = l/(100 − l)
थेवेनिन प्रतिरोध
Rth = R1∥R2 + R3∥R4
गेज गुणांक
ΔR/R = GF·ε
सेतु निर्गत
चतुर्थांश Vs·GF·ε/4, अर्ध Vs·GF·ε/2, पूर्ण Vs·GF·ε
छोटा परिवर्तन, एक भुजा
Vab ≈ Vs·ΔR/(4R)
प्रतिबल
σ = E·ε
विधि
सेतु को एक ही आपूर्ति के पार दो वोल्टता विभाजक मानिए।
संतुलन के लिए R₁/R₂ = R₃/R₄ रखिए और अज्ञात प्रतिरोधक के लिए हल कीजिए।
असंतुलित सेतु के लिए विभाजकों से Va और Vb निकालकर घटाइए; जब कोई मापी निर्गत पर भार डाले तब थेवेनिन तुल्य का उपयोग कीजिए।
स्ट्रेन गेज के लिए विकृति को ΔR/R = GF·ε में बदलिए और चतुर्थांश, अर्ध या पूर्ण सेतु के लिए क्रमशः Vs·GF·ε/4, /2 या ×1 का उपयोग कीजिए।
स्थायी-अवस्था त्रुटि और PID नियंत्रण
तंत्र प्रकार
G(s) के s = 0 पर ध्रुवों की संख्या
त्रुटि स्थिरांक
Kp = lim G(s), Kv = lim s·G(s), Ka = lim s²·G(s) (s → 0)
सोपान A
ess = A/(1 + Kp)
रैंप A·t
ess = A/Kv
परवलय A·t²/2
ess = A/Ka
PID नियंत्रक
C(s) = Kp + Ki/s + Kd·s
द्वितीय-कोटि लक्ष्य
s² + 2ζωns + ωn²
अतिलंघन और समय
%OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), tp = π/ωd, ts ≈ 4/(ζωn)
विधि
विवृत-लूप C(s)·G(s) के s = 0 पर ध्रुव गिनिए: वही तंत्र का प्रकार है।
निवेश से मेल खाने वाला त्रुटि स्थिरांक निकालिए: सोपान के लिए Kp, रैंप के लिए Kv, परवलय के लिए Ka।
ess = A/(1 + Kp), A/Kv या A/Ka लगाइए, या जिस लब्धि की आपको ज़रूरत है उसके लिए इसे हल कीजिए।
अवमंदन या चाल के विनिर्देश के लिए संवृत-लूप अभिलाक्षणिक बहुपद लिखिए और उसे s² + 2ζω_n·s + ω_n² से मिलाइए।
2अभ्यास प्रश्न
1.DC मोटरेंमध्यम
k = 0.8 N·m/A और Ra = 0.5 Ω वाली एक DC मोटर 110 V से जुड़ी है। इसका रुद्ध बल-आघूर्ण Tstall, यानी शून्य चाल पर बल-आघूर्ण, ज्ञात कीजिए।
V = 110 Vk = 0.8 N·m/ARa = 0.5 Ω
Tstall = N·m
2.DC मोटरेंकठिन
k = 0.75 V·s/rad और Ra = 0.4 Ω वाली एक DC मोटर को 300 rpm पर 3 N·m का भार चलाना है। इसके लिए आवश्यक आर्मेचर वोल्टता V ज्ञात कीजिए।
k = 0.75 V·s/radRa = 0.4 ΩT = 3 N·mn = 300 rpm
V = V
3.गियर और गियर ट्रेनमध्यम
1440 rpm पर एक 3 kW मोटर 4 स्टार्ट वाले वर्म को चलाती है। वर्म व्हील में 36 दाँत हैं और ड्राइव की दक्षता 85% है। व्हील शाफ़्ट पर निर्गम बलाघूर्ण Tw ज्ञात कीजिए।
z = 4Nw = 36n = 1440 rpmP = 3 kWη = 85%
Tw = N·m
4.गियर और गियर ट्रेनकठिन
एक संयुक्त गियर ट्रेन में, 1450 rpm पर घूम रहे निवेश शाफ़्ट पर लगा गियर A (12 दाँत) गियर B (20 दाँत) को चलाता है। गियर C (24 दाँत) B वाले शाफ़्ट पर ही लगा है और निर्गत शाफ़्ट पर लगे गियर D (36 दाँत) को चलाता है। निर्गत चाल nout ज्ञात कीजिए।
nin = 1450 rpmA = 12B = 20C = 24D = 36
nout = rpm
5.डेटा अधिग्रहण और प्रतिचयनमध्यम
एक सेंसर तापमान को 200 °C के विस्तार में मापता है, और उसका निर्गत ADC के पूरे निवेश परिसर को भरता है। पाठ्यांक को 0.05 °C तक वियोजित करना है। ADC को चाहिए बिटों की न्यूनतम संख्या N ज्ञात कीजिए।
विस्तार = 200 °Cवियोजन = 0.05 °C
N =
6.डेटा अधिग्रहण और प्रतिचयनकठिन
एक तापमान सेंसर 10 mV/°C देता है (0 °C पर 0 V)। उसका संकेत 1 गुना प्रवर्धित होकर 0 से 2.5 V परिसर वाले 10-बिट ADC (1 LSB = VFSR/2ᴺ) में जाता है। एक LSB के संगत तापमान परिवर्तन ΔTLSB ज्ञात कीजिए।
S = 10 mV/°CG = 1N = 10VFSR = 2.5 V
ΔTLSB = °C
7.व्हीटस्टोन सेतु और स्ट्रेन गेजमध्यम
एक 200 Ω स्ट्रेन गेज चार समान 200 Ω भुजाओं और 10 V उत्तेजन वाले सेतु की एक भुजा (R₂) है। गेज में क्षयित शक्ति Pg mW में ज्ञात कीजिए। स्वतः-तापन उत्तेजन को सीमित करता है।
Vs = 10 VR = 200 Ω
Pg = mW
8.व्हीटस्टोन सेतु और स्ट्रेन गेजकठिन
एक लोड सेल (स्ट्रेन गेजों का पूर्ण सेतु) का अपने निर्धारित भार 200 kg पर निर्धारित निर्गत 2.5 mV/V है। इसे 10 V से उत्तेजित किया जाता है। 100 kg भार पर इसका निर्गत Vo ज्ञात कीजिए।
2.5 mV/VFrated = 200 kgVs = 10 VF = 100 kg
Vo = mV
9.स्थायी-अवस्था त्रुटि और PID नियंत्रणमध्यम
परवलयिक निवेश r(t) = 10·t²/2 को G(s) = 10(s + 3)/(s²(s + 2)) वाले एकांक पुनर्निवेश लूप पर लगाया जाता है। स्थायी-अवस्था त्रुटि ess ज्ञात कीजिए।
G(s) = 10(s + 3)/(s²(s + 2))r(t) = 10·t²/2
ess =
10.स्थायी-अवस्था त्रुटि और PID नियंत्रणकठिन
एक आनुपातिक नियंत्रक K = 8 संयंत्र G(s) = 5/(s(s + 6)) को एकांक पुनर्निवेश लूप में चलाता है। ts ≈ 4/(ζωₙ) का उपयोग करके सोपान अनुक्रिया का 2 % स्थिरीकरण समय ts ज्ञात कीजिए।
G(s) = 5/(s(s + 6))K = 8
ts = s
11.सोपान अनुक्रियामध्यम
एक तंत्र का अंतरण फलन G(s) = 27/(s² + 4s + 9) है और इसे एकांक सोपान इनपुट मिलता है। प्राकृतिक आवृत्ति ωn rad/s में ज्ञात कीजिए।
G(s) = 27/(s² + 4s + 9)
ωn = rad/s
12.सोपान अनुक्रियाकठिन
एक द्रव्यमान m = 0.5 kg एक स्प्रिंग k = 5000 N/m पर एक श्यान अवमंदक c = 15 N·s/m के साथ लटका है (m·x″ + c·x′ + k·x = F)। संतुलन में विराम की अवस्था में अचानक एक स्थिर बल F = 100 N लगाया जाता है। अवमंदन अनुपात ζ ज्ञात कीजिए।
m = 0.5 kgk = 5000 N/mc = 15 N·s/mF = 100 N
ζ =
3विलयन
1.DC मोटरें
उत्तर: Tstall = 176 N·m
DC मोटर: आर्मेचर प्रतिरोध Ra है जो back-EMF E के श्रेणीक्रम में है, इसलिए V = E + Ia·Ra। back-EMF चाल के साथ बढ़ता है, E = k·ω, और बल-आघूर्ण धारा के साथ, T = k·Ia, दोनों में एक ही मोटर स्थिरांक k (SI इकाइयों में V·s/rad = N·m/A) होता है। चाल को ω = 2π·n/60 से बदलिए। विकसित शक्ति E·Ia = T·ω है; निवेश शक्ति V·Ia है, और ताम्र हानि Ia²Ra तथा घूर्णन हानि इनका अंतर बनाती हैं। चाल बल-आघूर्ण के साथ सरल रेखा में घटती है, ω = V/k − Ra·T/k², अनिरोध चाल V/k से शून्य तक, जो रुद्ध बल-आघूर्ण k·V/Ra पर होती है। विराम अवस्था में E = 0 होता है, इसलिए प्रारंभिक धारा V/Ra बड़ी होती है, जब तक कोई प्रतिरोध उसे सीमित न करे।
रुद्ध धारा
Ia = V/Ra = 110/0.5 = 220 A
रुद्ध बल-आघूर्ण
Tstall = 0.8·220 = 176 N·m
उत्तर
Tstall = 176 N·m
2.DC मोटरें
उत्तर: V = 25.16 V
DC मोटर: आर्मेचर प्रतिरोध Ra है जो back-EMF E के श्रेणीक्रम में है, इसलिए V = E + Ia·Ra। back-EMF चाल के साथ बढ़ता है, E = k·ω, और बल-आघूर्ण धारा के साथ, T = k·Ia, दोनों में एक ही मोटर स्थिरांक k (SI इकाइयों में V·s/rad = N·m/A) होता है। चाल को ω = 2π·n/60 से बदलिए। विकसित शक्ति E·Ia = T·ω है; निवेश शक्ति V·Ia है, और ताम्र हानि Ia²Ra तथा घूर्णन हानि इनका अंतर बनाती हैं। चाल बल-आघूर्ण के साथ सरल रेखा में घटती है, ω = V/k − Ra·T/k², अनिरोध चाल V/k से शून्य तक, जो रुद्ध बल-आघूर्ण k·V/Ra पर होती है। विराम अवस्था में E = 0 होता है, इसलिए प्रारंभिक धारा V/Ra बड़ी होती है, जब तक कोई प्रतिरोध उसे सीमित न करे।
Back-EMF
E = 0.75·31.42 = 23.56 V
आर्मेचर धारा
Ia = 3/0.75 = 4 A
आर्मेचर वोल्टता
V = 23.56 + 4·0.4 = 25.16 V
उत्तर
V = 25.16 V
3.गियर और गियर ट्रेन
उत्तर: Tw = 152.2 N·m
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
व्हील की चाल
nw = n·z/Nw = 1440·4/36 = 160 rpm
निर्गत बलाघूर्ण
ωw = 2π·160/60 = 16.76 rad/s
Tw = η·P/ωw = 0.85·3000/16.76 = 152.2 N·m
उत्तर
Tw = 152.2 N·m
4.गियर और गियर ट्रेन
उत्तर: nout = 580 rpm
गियर ट्रेन: परस्पर जुड़े गियरों के दाँतों पर चाल समान होती है, इसलिए n₁·N₁ = n₂·N₂: कम दाँतों वाला गियर तेज़ घूमता है। एक ही शाफ़्ट पर लगे गियर समान चाल से घूमते हैं। शक्ति आगे पहुँचती है (हानियों को घटाकर), इसलिए चाल घटने पर बलाघूर्ण बढ़ता है: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, और P = T·ω, जहाँ ω = 2π·n/60।
पहला चरण
nB = 1450·12/20 = 870 rpm = nC
दूसरा चरण
nout = 870·24/36 = 580 rpm
उत्तर
nout = 580 rpm
कुल अनुपात = 2.5 : 1
5.डेटा अधिग्रहण और प्रतिचयन
उत्तर: N = 12
ADC वियोजन: N-बिट कन्वर्टर अपने पूर्ण-स्केल परिसर VFSR को 0 से 2ᴺ − 1 तक 2ᴺ कोड में बाँटता है। एक चरण 1 LSB = VFSR/2ᴺ है: वह सबसे छोटा परिवर्तन जो कन्वर्टर दिखा सकता है। छाँटने वाला ADC कोड ⌊Vin/LSB⌋ देता है; निकटतम पूर्णांकन करने वाला ADC वास्तविक मान से कभी ½ LSB से अधिक दूर नहीं होता, यही उसकी क्वांटीकरण त्रुटि है। हर अतिरिक्त बिट LSB को आधा करता है और पूर्ण-स्केल ज्यावक्र के लिए आदर्श संकेत-से-क्वांटीकरण-रव अनुपात SQNR = 6.02·N + 1.76 dB में लगभग 6 dB जोड़ता है। किसी विस्तार पर वियोजन r पाने के लिए सबसे छोटा N चुनें जिसके लिए 2ᴺ ≥ विस्तार/r हो।
आवश्यक चरण
200/0.05 = 4000
बिट
log₂(4000) = 11.97
211 = 2048 < 4000 ≤ 212 = 4096
N = 12
उत्तर
N = 12
6.डेटा अधिग्रहण और प्रतिचयन
उत्तर: ΔTLSB = 0.2441 °C
ADC वियोजन: N-बिट कन्वर्टर अपने पूर्ण-स्केल परिसर VFSR को 0 से 2ᴺ − 1 तक 2ᴺ कोड में बाँटता है। एक चरण 1 LSB = VFSR/2ᴺ है: वह सबसे छोटा परिवर्तन जो कन्वर्टर दिखा सकता है। छाँटने वाला ADC कोड ⌊Vin/LSB⌋ देता है; निकटतम पूर्णांकन करने वाला ADC वास्तविक मान से कभी ½ LSB से अधिक दूर नहीं होता, यही उसकी क्वांटीकरण त्रुटि है। हर अतिरिक्त बिट LSB को आधा करता है और पूर्ण-स्केल ज्यावक्र के लिए आदर्श संकेत-से-क्वांटीकरण-रव अनुपात SQNR = 6.02·N + 1.76 dB में लगभग 6 dB जोड़ता है। किसी विस्तार पर वियोजन r पाने के लिए सबसे छोटा N चुनें जिसके लिए 2ᴺ ≥ विस्तार/r हो।
चरण आकार
1 LSB = 2500/1024 = 2.441 mV
ADC पर सुग्राहिता
10·1 = 10 mV/°C
तापमान वियोजन
ΔTLSB = 2.441/10 = 0.2441 °C
उत्तर
ΔTLSB = 0.2441 °C
ADC 250 °C पर पूर्ण स्केल तक पहुँचता है।
7.व्हीटस्टोन सेतु और स्ट्रेन गेज
उत्तर: Pg = 125 mW
व्हीटस्टोन सेतु: दो वोल्टता विभाजक एक ही आपूर्ति Vs साझा करते हैं। बायाँ विभाजक R1–R2 Va = Vs·R2/(R1 + R2) देता है और दायाँ विभाजक R3–R4 Vb = Vs·R4/(R3 + R4) देता है; निर्गत Vab = Va − Vb है। सेतु संतुलित (Vab = 0, मापी में कोई धारा नहीं) तब होता है जब R1/R2 = R3/R4, यानी R1·R4 = R2·R3। निर्गत के सिरों से देखने पर सेतु एक थेवेनिन स्रोत है जिसमें Rth = R1∥R2 + R3∥R4।
गेज के पार वोल्टता
V = 10/2 = 5 V
शक्ति
Pg = 5²/200 = 125 mW
उत्तर
Pg = 125 mW
8.व्हीटस्टोन सेतु और स्ट्रेन गेज
उत्तर: Vo = 12.5 mV
स्ट्रेन गेज: गेज विकृति के साथ अपना प्रतिरोध बदलता है: ΔR/R = GF·ε, जहाँ धात्विक फ़ॉइल के लिए गेज गुणांक GF लगभग 2 होता है। सभी भुजाएँ R के बराबर वाले सेतु में एक सक्रिय गेज (चतुर्थांश सेतु) Vo ≈ Vs·GF·ε/4 देता है। आसन्न भुजाओं में विपरीत विकृति वाले दो सक्रिय गेज (अर्ध सेतु) Vs·GF·ε/2 देते हैं, और चार (पूर्ण सेतु) Vs·GF·ε देते हैं। प्रतिबल हुक के नियम से मिलता है, σ = E·ε। लोड सेल अपनी संवेदनशीलता mV/V में बताते हैं: प्रति वोल्ट उत्तेजन पर पूर्ण भार पर निर्गत।
पूर्ण-पैमाने का निर्गत
2.5·10 = 25 mV
इस भार पर निर्गत
Vo = 25·100/200 = 12.5 mV
उत्तर
Vo = 12.5 mV
9.स्थायी-अवस्था त्रुटि और PID नियंत्रण
उत्तर: ess = 0.6667
स्थायी-अवस्था त्रुटि: विवृत-लूप अंतरण फलन G(s) वाले एकांक पुनर्निवेश लूप में त्रुटि E(s) = R(s)/(1 + G(s)) होती है, और अंतिम मान प्रमेय से ess = lims→0 s·E(s)। तंत्र का प्रकार G(s) के s = 0 पर ध्रुवों की संख्या है। त्रुटि स्थिरांक Kp = lim G(s), Kv = lim s·G(s) और Ka = lim s²·G(s) हैं, सभी s → 0 के लिए। आकार A का सोपान ess = A/(1 + Kp) देता है, रैंप A·t से A/Kv और परवलय A·t²/2 से A/Ka मिलता है। प्रकार-0 लूप सोपान का अनुसरण परिमित त्रुटि के साथ करता है, जबकि प्रकार-1 लूप उसका अनुसरण पूरी तरह करता है और रैंप का परिमित त्रुटि के साथ।
त्वरण स्थिरांक
Ka = 10·3/2 = 15
परवलय त्रुटि
ess = 10/15 = 0.6667
उत्तर
ess = 0.6667
10.स्थायी-अवस्था त्रुटि और PID नियंत्रण
उत्तर: ts = 1.333 s
P, PI और PID नियंत्रण: नियंत्रक C(s) = Kp + Ki/s + Kd·s त्रुटि पर कार्य करता है। आनुपातिक लब्धि लूप को तेज़ बनाती है और प्रकार-0 संयंत्र की त्रुटि घटाती है, पर उसे कभी समाप्त नहीं करती। समाकल पद s = 0 पर एक ध्रुव जोड़ता है: तंत्र का प्रकार एक बढ़ जाता है, और सोपान का अनुसरण बिना त्रुटि के होता है। अवकल पद अवमंदन जोड़ता है। लब्धियाँ चुनने के लिए संवृत-लूप अभिलाक्षणिक बहुपद लिखिए और उसकी तुलना s² + 2ζωns + ωn² से कीजिए। तब %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), tp = π/ωd, जहाँ ωd = ωn√(1 − ζ²), और ts ≈ 4/(ζωn)।
अभिलाक्षणिक बहुपद
s(s + 6) + 8·5 = s² + 6s + 40
ωₙ और ζ
ωₙ = √40 = 6.325 rad/s
ζ = 6/(2·6.325) = 0.4743
स्थिरीकरण समय
ζωₙ = 6/2 = 3
ts ≈ 4/3 = 1.333 s
उत्तर
ts = 1.333 s
यहाँ स्थिरीकरण काल K पर निर्भर नहीं करता: K बढ़ाने से अनुक्रिया केवल अधिक तेज़ी से दोलन करती है।
11.सोपान अनुक्रिया
उत्तर: ωn = 3 rad/s
सोपान अनुक्रिया: एक प्रथम-कोटि तंत्र G(s) = K/(τs + 1) आकार U के सोपान का उत्तर y(t) = K·U·(1 − e−t/τ) से देता है: यह एक समय स्थिरांक τ के बाद अंतिम मान K·U के 63.2 % और 4τ के बाद 98 % तक पहुँचता है। एक द्वितीय-कोटि तंत्र G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) के ध्रुव s = −ζωₙ ± jωd हैं, जहाँ ωd = ωₙ√(1 − ζ²)। 0 < ζ < 1 के लिए सोपान अनुक्रिया अतिलंघन करती है: प्रतिशत अतिलंघन %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), शिखर समय tp = π/ωd, और 2 % स्थिरीकरण समय ts ≈ 4/(ζωₙ)। ωₙ और ζ पढ़ने के लिए हर की तुलना s² + 2ζωₙs + ωₙ² से करें। द्रव्यमान–स्प्रिंग–अवमंदक के लिए ωₙ = √(k/m) और ζ = c/(2√(km)); श्रेणी RLC परिपथ के लिए ωₙ = 1/√(LC) और ζ = (R/2)·√(C/L)।
मानक रूप से तुलना करें
हर s² + 2ζωₙs + ωₙ² से मेल खाना चाहिए।
ωₙ² = 9 → ωₙ = 3 rad/s
2ζωₙ = 4 → ζ = 4/(2·3) = 0.6667
परिणाम
ωₙ = 3 rad/s
उत्तर
ωn = 3 rad/s
12.सोपान अनुक्रिया
उत्तर: ζ = 0.15
सोपान अनुक्रिया: एक प्रथम-कोटि तंत्र G(s) = K/(τs + 1) आकार U के सोपान का उत्तर y(t) = K·U·(1 − e−t/τ) से देता है: यह एक समय स्थिरांक τ के बाद अंतिम मान K·U के 63.2 % और 4τ के बाद 98 % तक पहुँचता है। एक द्वितीय-कोटि तंत्र G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) के ध्रुव s = −ζωₙ ± jωd हैं, जहाँ ωd = ωₙ√(1 − ζ²)। 0 < ζ < 1 के लिए सोपान अनुक्रिया अतिलंघन करती है: प्रतिशत अतिलंघन %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), शिखर समय tp = π/ωd, और 2 % स्थिरीकरण समय ts ≈ 4/(ζωₙ)। ωₙ और ζ पढ़ने के लिए हर की तुलना s² + 2ζωₙs + ωₙ² से करें। द्रव्यमान–स्प्रिंग–अवमंदक के लिए ωₙ = √(k/m) और ζ = c/(2√(km)); श्रेणी RLC परिपथ के लिए ωₙ = 1/√(LC) और ζ = (R/2)·√(C/L)।