लिख लें कि क्या दिया है: प्रतिदर्श दर, संकेत आवृत्तियाँ, बिट संख्या, निवेश परिसर, बॉड दर।
प्रतिचयन के प्रश्नों में हर आवृत्ति की तुलना fs/2 से करें; इससे ऊँची आवृत्ति fa = |f − k·fs| पर दिखती है, जहाँ fs का निकटतम गुणज लिया जाता है।
वियोजन के प्रश्नों में 1 LSB = VFSR/2ᴺ ज्ञात करें, या सबसे छोटा N ज्ञात करें जिसके लिए 2ᴺ ≥ विस्तार/वियोजन हो।
डेटा दर और UART लिंक के लिए वह सब गिनें जो भेजा जाता है: चैनल, प्रति सेकंड प्रतिदर्श, प्रति प्रतिदर्श बिट या पूरे बाइट, और हर फ़्रेम के स्टार्ट, पैरिटी और स्टॉप बिट।
व्हीटस्टोन सेतु और स्ट्रेन गेज
विभाजक वोल्टताएँ
Va = VsR2/(R1 + R2), Vb = VsR4/(R3 + R4)
निर्गम
Vab = Va − Vb
संतुलन
R1/R2 = R3/R4
स्लाइड-तार सेतु
R/Rx = l/(100 − l)
थेवेनिन प्रतिरोध
Rth = R1∥R2 + R3∥R4
गेज गुणांक
ΔR/R = GF·ε
सेतु निर्गत
चतुर्थांश Vs·GF·ε/4, अर्ध Vs·GF·ε/2, पूर्ण Vs·GF·ε
छोटा परिवर्तन, एक भुजा
Vab ≈ Vs·ΔR/(4R)
प्रतिबल
σ = E·ε
विधि
सेतु को एक ही आपूर्ति के पार दो वोल्टता विभाजक मानिए।
संतुलन के लिए R₁/R₂ = R₃/R₄ रखिए और अज्ञात प्रतिरोधक के लिए हल कीजिए।
असंतुलित सेतु के लिए विभाजकों से Va और Vb निकालकर घटाइए; जब कोई मापी निर्गत पर भार डाले तब थेवेनिन तुल्य का उपयोग कीजिए।
स्ट्रेन गेज के लिए विकृति को ΔR/R = GF·ε में बदलिए और चतुर्थांश, अर्ध या पूर्ण सेतु के लिए क्रमशः Vs·GF·ε/4, /2 या ×1 का उपयोग कीजिए।
स्थायी-अवस्था त्रुटि और PID नियंत्रण
तंत्र प्रकार
G(s) के s = 0 पर ध्रुवों की संख्या
त्रुटि स्थिरांक
Kp = lim G(s), Kv = lim s·G(s), Ka = lim s²·G(s) (s → 0)
सोपान A
ess = A/(1 + Kp)
रैंप A·t
ess = A/Kv
परवलय A·t²/2
ess = A/Ka
PID नियंत्रक
C(s) = Kp + Ki/s + Kd·s
द्वितीय-कोटि लक्ष्य
s² + 2ζωns + ωn²
अतिलंघन और समय
%OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), tp = π/ωd, ts ≈ 4/(ζωn)
विधि
विवृत-लूप C(s)·G(s) के s = 0 पर ध्रुव गिनिए: वही तंत्र का प्रकार है।
निवेश से मेल खाने वाला त्रुटि स्थिरांक निकालिए: सोपान के लिए Kp, रैंप के लिए Kv, परवलय के लिए Ka।
ess = A/(1 + Kp), A/Kv या A/Ka लगाइए, या जिस लब्धि की आपको ज़रूरत है उसके लिए इसे हल कीजिए।
अवमंदन या चाल के विनिर्देश के लिए संवृत-लूप अभिलाक्षणिक बहुपद लिखिए और उसे s² + 2ζω_n·s + ω_n² से मिलाइए।
2अभ्यास प्रश्न
1.DC मोटरेंमध्यम
एक DC मोटर (k = 0.75 V·s/rad, Ra = 1.2 Ω) 240 V से चलती है। पूर्ण भार पर यह 12 A लेती है। अनिरोध धारा नगण्य मानते हुए इसका चाल नियमन SR = (n₀ − nFL)/nFL प्रतिशत में ज्ञात कीजिए।
V = 240 Vk = 0.75 V·s/radRa = 1.2 ΩIFL = 12 A
SR = %
2.DC मोटरेंकठिन
एक DC मोटर (k = 0.8 V·s/rad, Ra = 2 Ω) स्थिर 220 V आपूर्ति पर 6.4 N·m का भार चलाती है। वह श्रेणी प्रतिरोध Rs ज्ञात कीजिए जो इसे 1200 rpm तक धीमा कर दे।
960 rpm पर चल रही एक 5.5 kW मोटर 32 दाँतों वाले पिनियन को चलाती है, जो 48 दाँतों वाले गियर से जुड़ा है। गियर युग्म की दक्षता 98% है। मोटर शाफ़्ट पर बलाघूर्ण T1 ज्ञात कीजिए।
P = 5.5 kWn1 = 960 rpmN1 = 32N2 = 48η = 98%
T1 = N·m
4.गियर और गियर ट्रेनकठिन
एक संयुक्त गियर ट्रेन में, 1440 rpm पर घूम रहे निवेश शाफ़्ट पर लगा गियर A (12 दाँत) गियर B (15 दाँत) को चलाता है। गियर C (18 दाँत) B वाले शाफ़्ट पर ही लगा है और निर्गत शाफ़्ट पर लगे गियर D (32 दाँत) को चलाता है। निर्गत चाल nout ज्ञात कीजिए।
nin = 1440 rpmA = 12B = 15C = 18D = 32
nout = rpm
5.डेटा अधिग्रहण और प्रतिचयनमध्यम
0 से 2.5 V निवेश परिसर वाला 12-बिट ADC छाँटता है: उसका निर्गत कोड ⌊Vin/LSB⌋ है, जहाँ 1 LSB = VFSR/2ᴺ। 1.91 V के निवेश के लिए दशमलव निर्गत कोड D ज्ञात कीजिए।
N = 12VFSR = 2.5 VVin = 1.91 V
D =
6.डेटा अधिग्रहण और प्रतिचयनकठिन
एक तापमान सेंसर 10 mV/°C देता है (0 °C पर 0 V)। उसका संकेत 5 गुना प्रवर्धित होकर 0 से 3.3 V परिसर वाले 12-बिट ADC (1 LSB = VFSR/2ᴺ) में जाता है। एक LSB के संगत तापमान परिवर्तन ΔTLSB ज्ञात कीजिए।
S = 10 mV/°CG = 5N = 12VFSR = 3.3 V
ΔTLSB = °C
7.व्हीटस्टोन सेतु और स्ट्रेन गेजमध्यम
एक सेतु की चारों भुजाएँ 300 Ω की हैं और Vs = 6 V है। संवेदक R₂ में ΔR = 0.75 Ω की वृद्धि होती है। छोटे परिवर्तन के सन्निकटन से mV में निर्गत Vab ज्ञात कीजिए।
Vs = 6 VR = 300 ΩΔR = 0.75 Ω
Vab = mV
8.व्हीटस्टोन सेतु और स्ट्रेन गेजकठिन
E = 200 GPa वाले किसी सदस्य पर लगा एक स्ट्रेन गेज (GF = 2) 3 V से उत्तेजित चतुर्थांश सेतु बनाता है। निर्गत 1.8 mV पढ़ता है। MPa में अक्षीय प्रतिबल σ ज्ञात कीजिए।
Vs = 3 VGF = 2Vo = 1.8 mVE = 200 GPa
σ = MPa
9.स्थायी-अवस्था त्रुटि और PID नियंत्रणमध्यम
निवेश r(t) = 5 + 4t (एक सोपान और एक रैंप का योग) G(s) = 4(s + 1)/(s(s + 2)(s + 5)) वाले एकांक पुनर्निवेश लूप पर लगाया जाता है। स्थायी-अवस्था त्रुटि ess ज्ञात कीजिए।
G(s) = 4(s + 1)/(s(s + 2)(s + 5))r(t) = 5 + 4t
ess =
10.स्थायी-अवस्था त्रुटि और PID नियंत्रणकठिन
एक PI नियंत्रक C(s) = Kp + Ki/s संयंत्र G(s) = 2/(s + 1) को एकांक पुनर्निवेश लूप में चलाता है। संवृत-लूप में ωₙ = 8 rad/s और ζ = 0.6 होना चाहिए। आनुपातिक लब्धि Kp ज्ञात कीजिए।
G(s) = 2/(s + 1)ωₙ = 8 rad/sζ = 0.6
Kp =
11.सोपान अनुक्रियामध्यम
एक तंत्र का अंतरण फलन G(s) = 74/(s² + 9s + 37) है और इसे एकांक सोपान इनपुट मिलता है। सोपान अनुक्रिया का प्रतिशत अतिलंघन %OS ज्ञात कीजिए।
G(s) = 74/(s² + 9s + 37)
%OS = %
12.सोपान अनुक्रियाकठिन
शून्यों के बिना एक द्वितीय-कोटि तंत्र की सोपान अनुक्रिया 20 % अतिलंघन दिखाती है, और पहला शिखर t = 0.8 s पर आता है। प्राकृतिक आवृत्ति ωn ज्ञात कीजिए।
%OS = 20 %tp = 0.8 s
ωn = rad/s
3विलयन
1.DC मोटरें
उत्तर: SR = 6.383 %
DC मोटर: आर्मेचर प्रतिरोध Ra है जो back-EMF E के श्रेणीक्रम में है, इसलिए V = E + Ia·Ra। back-EMF चाल के साथ बढ़ता है, E = k·ω, और बल-आघूर्ण धारा के साथ, T = k·Ia, दोनों में एक ही मोटर स्थिरांक k (SI इकाइयों में V·s/rad = N·m/A) होता है। चाल को ω = 2π·n/60 से बदलिए। विकसित शक्ति E·Ia = T·ω है; निवेश शक्ति V·Ia है, और ताम्र हानि Ia²Ra तथा घूर्णन हानि इनका अंतर बनाती हैं। चाल बल-आघूर्ण के साथ सरल रेखा में घटती है, ω = V/k − Ra·T/k², अनिरोध चाल V/k से शून्य तक, जो रुद्ध बल-आघूर्ण k·V/Ra पर होती है। विराम अवस्था में E = 0 होता है, इसलिए प्रारंभिक धारा V/Ra बड़ी होती है, जब तक कोई प्रतिरोध उसे सीमित न करे।
अनिरोध और पूर्ण-भार चाल
n₀ = 60·240/(2π·0.75) = 3056 rpm
nFL = 60·(240 − 12·1.2)/(2π·0.75) = 2872 rpm
चाल नियमन
SR = (3056 − 2872)/2872·100 = 6.383 %
उत्तर
SR = 6.383 %
2.DC मोटरें
उत्तर: Rs = 12.93 Ω
DC मोटर: आर्मेचर प्रतिरोध Ra है जो back-EMF E के श्रेणीक्रम में है, इसलिए V = E + Ia·Ra। back-EMF चाल के साथ बढ़ता है, E = k·ω, और बल-आघूर्ण धारा के साथ, T = k·Ia, दोनों में एक ही मोटर स्थिरांक k (SI इकाइयों में V·s/rad = N·m/A) होता है। चाल को ω = 2π·n/60 से बदलिए। विकसित शक्ति E·Ia = T·ω है; निवेश शक्ति V·Ia है, और ताम्र हानि Ia²Ra तथा घूर्णन हानि इनका अंतर बनाती हैं। चाल बल-आघूर्ण के साथ सरल रेखा में घटती है, ω = V/k − Ra·T/k², अनिरोध चाल V/k से शून्य तक, जो रुद्ध बल-आघूर्ण k·V/Ra पर होती है। विराम अवस्था में E = 0 होता है, इसलिए प्रारंभिक धारा V/Ra बड़ी होती है, जब तक कोई प्रतिरोध उसे सीमित न करे।
धारा और back-EMF
Ia = 6.4/0.8 = 8 A
E = 0.8·125.7 = 100.5 V
श्रेणी प्रतिरोध
Ra + Rs = (220 − 100.5)/8 = 14.93 Ω
Rs = 12.93 Ω
उत्तर
Rs = 12.93 Ω
प्रतिरोधक 827.8 W व्यर्थ करता है; चॉपर बहुत कम हानि के साथ चाल नियंत्रित करता है।
3.गियर और गियर ट्रेन
उत्तर: T1 = 54.71 N·m
गियर ट्रेन: परस्पर जुड़े गियरों के दाँतों पर चाल समान होती है, इसलिए n₁·N₁ = n₂·N₂: कम दाँतों वाला गियर तेज़ घूमता है। एक ही शाफ़्ट पर लगे गियर समान चाल से घूमते हैं। शक्ति आगे पहुँचती है (हानियों को घटाकर), इसलिए चाल घटने पर बलाघूर्ण बढ़ता है: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, और P = T·ω, जहाँ ω = 2π·n/60।
मोटर बलाघूर्ण
ω₁ = 2π·960/60 = 100.5 rad/s
T1 = P/ω₁ = 5500/100.5 = 54.71 N·m
उत्तर
T1 = 54.71 N·m
4.गियर और गियर ट्रेन
उत्तर: nout = 648 rpm
गियर ट्रेन: परस्पर जुड़े गियरों के दाँतों पर चाल समान होती है, इसलिए n₁·N₁ = n₂·N₂: कम दाँतों वाला गियर तेज़ घूमता है। एक ही शाफ़्ट पर लगे गियर समान चाल से घूमते हैं। शक्ति आगे पहुँचती है (हानियों को घटाकर), इसलिए चाल घटने पर बलाघूर्ण बढ़ता है: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, और P = T·ω, जहाँ ω = 2π·n/60।
पहला चरण
nB = 1440·12/15 = 1152 rpm = nC
दूसरा चरण
nout = 1152·18/32 = 648 rpm
उत्तर
nout = 648 rpm
कुल अनुपात = 2.222 : 1
5.डेटा अधिग्रहण और प्रतिचयन
उत्तर: D = 3129
ADC वियोजन: N-बिट कन्वर्टर अपने पूर्ण-स्केल परिसर VFSR को 0 से 2ᴺ − 1 तक 2ᴺ कोड में बाँटता है। एक चरण 1 LSB = VFSR/2ᴺ है: वह सबसे छोटा परिवर्तन जो कन्वर्टर दिखा सकता है। छाँटने वाला ADC कोड ⌊Vin/LSB⌋ देता है; निकटतम पूर्णांकन करने वाला ADC वास्तविक मान से कभी ½ LSB से अधिक दूर नहीं होता, यही उसकी क्वांटीकरण त्रुटि है। हर अतिरिक्त बिट LSB को आधा करता है और पूर्ण-स्केल ज्यावक्र के लिए आदर्श संकेत-से-क्वांटीकरण-रव अनुपात SQNR = 6.02·N + 1.76 dB में लगभग 6 dB जोड़ता है। किसी विस्तार पर वियोजन r पाने के लिए सबसे छोटा N चुनें जिसके लिए 2ᴺ ≥ विस्तार/r हो।
चरण आकार
1 LSB = 2.5/212 = 0.6104 mV
कोड
Vin/LSB = 1910/0.6104 = 3129
कोड = ⌊3129⌋ = 3129
उत्तर
D = 3129
द्विआधारी में यह 110000111001 है।
6.डेटा अधिग्रहण और प्रतिचयन
उत्तर: ΔTLSB = 0.01611 °C
ADC वियोजन: N-बिट कन्वर्टर अपने पूर्ण-स्केल परिसर VFSR को 0 से 2ᴺ − 1 तक 2ᴺ कोड में बाँटता है। एक चरण 1 LSB = VFSR/2ᴺ है: वह सबसे छोटा परिवर्तन जो कन्वर्टर दिखा सकता है। छाँटने वाला ADC कोड ⌊Vin/LSB⌋ देता है; निकटतम पूर्णांकन करने वाला ADC वास्तविक मान से कभी ½ LSB से अधिक दूर नहीं होता, यही उसकी क्वांटीकरण त्रुटि है। हर अतिरिक्त बिट LSB को आधा करता है और पूर्ण-स्केल ज्यावक्र के लिए आदर्श संकेत-से-क्वांटीकरण-रव अनुपात SQNR = 6.02·N + 1.76 dB में लगभग 6 dB जोड़ता है। किसी विस्तार पर वियोजन r पाने के लिए सबसे छोटा N चुनें जिसके लिए 2ᴺ ≥ विस्तार/r हो।
चरण आकार
1 LSB = 3300/4096 = 0.8057 mV
ADC पर सुग्राहिता
10·5 = 50 mV/°C
तापमान वियोजन
ΔTLSB = 0.8057/50 = 0.01611 °C
उत्तर
ΔTLSB = 0.01611 °C
ADC 66 °C पर पूर्ण स्केल तक पहुँचता है।
7.व्हीटस्टोन सेतु और स्ट्रेन गेज
उत्तर: Vab = 3.75 mV
व्हीटस्टोन सेतु: दो वोल्टता विभाजक एक ही आपूर्ति Vs साझा करते हैं। बायाँ विभाजक R1–R2 Va = Vs·R2/(R1 + R2) देता है और दायाँ विभाजक R3–R4 Vb = Vs·R4/(R3 + R4) देता है; निर्गत Vab = Va − Vb है। सेतु संतुलित (Vab = 0, मापी में कोई धारा नहीं) तब होता है जब R1/R2 = R3/R4, यानी R1·R4 = R2·R3। निर्गत के सिरों से देखने पर सेतु एक थेवेनिन स्रोत है जिसमें Rth = R1∥R2 + R3∥R4।
सापेक्ष परिवर्तन
ΔR/R = 0.75/300 = 0.0025
रैखिकीकृत निर्गत
Vab ≈ 6·0.0025/4 = 3.75 mV
उत्तर
Vab = 3.75 mV
यथार्थ मान 3.745 mV है; सन्निकटन तब तक अच्छा है जब तक ΔR/R छोटा है।
8.व्हीटस्टोन सेतु और स्ट्रेन गेज
उत्तर: σ = 240 MPa
स्ट्रेन गेज: गेज विकृति के साथ अपना प्रतिरोध बदलता है: ΔR/R = GF·ε, जहाँ धात्विक फ़ॉइल के लिए गेज गुणांक GF लगभग 2 होता है। सभी भुजाएँ R के बराबर वाले सेतु में एक सक्रिय गेज (चतुर्थांश सेतु) Vo ≈ Vs·GF·ε/4 देता है। आसन्न भुजाओं में विपरीत विकृति वाले दो सक्रिय गेज (अर्ध सेतु) Vs·GF·ε/2 देते हैं, और चार (पूर्ण सेतु) Vs·GF·ε देते हैं। प्रतिबल हुक के नियम से मिलता है, σ = E·ε। लोड सेल अपनी संवेदनशीलता mV/V में बताते हैं: प्रति वोल्ट उत्तेजन पर पूर्ण भार पर निर्गत।
विकृति
ε = 4·0.0018/(3·2) = 0.0012
प्रतिबल
σ = 200·10³ MPa·0.0012 = 240 MPa
उत्तर
σ = 240 MPa
9.स्थायी-अवस्था त्रुटि और PID नियंत्रण
उत्तर: ess = 10
स्थायी-अवस्था त्रुटि: विवृत-लूप अंतरण फलन G(s) वाले एकांक पुनर्निवेश लूप में त्रुटि E(s) = R(s)/(1 + G(s)) होती है, और अंतिम मान प्रमेय से ess = lims→0 s·E(s)। तंत्र का प्रकार G(s) के s = 0 पर ध्रुवों की संख्या है। त्रुटि स्थिरांक Kp = lim G(s), Kv = lim s·G(s) और Ka = lim s²·G(s) हैं, सभी s → 0 के लिए। आकार A का सोपान ess = A/(1 + Kp) देता है, रैंप A·t से A/Kv और परवलय A·t²/2 से A/Ka मिलता है। प्रकार-0 लूप सोपान का अनुसरण परिमित त्रुटि के साथ करता है, जबकि प्रकार-1 लूप उसका अनुसरण पूरी तरह करता है और रैंप का परिमित त्रुटि के साथ।
वेग स्थिरांक
Kv = lim s·G(s) = 0.4
सोपान वाला भाग
Kp = ∞ → estep = 0
रैंप त्रुटि
ess = 4/0.4 = 10
उत्तर
ess = 10
10.स्थायी-अवस्था त्रुटि और PID नियंत्रण
उत्तर: Kp = 4.3
P, PI और PID नियंत्रण: नियंत्रक C(s) = Kp + Ki/s + Kd·s त्रुटि पर कार्य करता है। आनुपातिक लब्धि लूप को तेज़ बनाती है और प्रकार-0 संयंत्र की त्रुटि घटाती है, पर उसे कभी समाप्त नहीं करती। समाकल पद s = 0 पर एक ध्रुव जोड़ता है: तंत्र का प्रकार एक बढ़ जाता है, और सोपान का अनुसरण बिना त्रुटि के होता है। अवकल पद अवमंदन जोड़ता है। लब्धियाँ चुनने के लिए संवृत-लूप अभिलाक्षणिक बहुपद लिखिए और उसकी तुलना s² + 2ζωns + ωn² से कीजिए। तब %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), tp = π/ωd, जहाँ ωd = ωn√(1 − ζ²), और ts ≈ 4/(ζωn)।
अभिलाक्षणिक बहुपद
1 + C(s)G(s) = 0, जिसे s(s + 1) से गुणा किया गया है।
s² + (1 + 2Kp)s + 2Ki
लक्ष्य बहुपद
s² + 2·0.6·8s + 8² = s² + 9.6s + 64
गुणांक मिलाइए
1 + 2Kp = 9.6 → Kp = 4.3
उत्तर
Kp = 4.3
समाकल पद लूप को प्रकार-1 बना देता है, इसलिए सोपान का अनुसरण स्थायी-अवस्था त्रुटि के बिना होता है।
11.सोपान अनुक्रिया
उत्तर: %OS = 3.161 %
सोपान अनुक्रिया: एक प्रथम-कोटि तंत्र G(s) = K/(τs + 1) आकार U के सोपान का उत्तर y(t) = K·U·(1 − e−t/τ) से देता है: यह एक समय स्थिरांक τ के बाद अंतिम मान K·U के 63.2 % और 4τ के बाद 98 % तक पहुँचता है। एक द्वितीय-कोटि तंत्र G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) के ध्रुव s = −ζωₙ ± jωd हैं, जहाँ ωd = ωₙ√(1 − ζ²)। 0 < ζ < 1 के लिए सोपान अनुक्रिया अतिलंघन करती है: प्रतिशत अतिलंघन %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), शिखर समय tp = π/ωd, और 2 % स्थिरीकरण समय ts ≈ 4/(ζωₙ)। ωₙ और ζ पढ़ने के लिए हर की तुलना s² + 2ζωₙs + ωₙ² से करें। द्रव्यमान–स्प्रिंग–अवमंदक के लिए ωₙ = √(k/m) और ζ = c/(2√(km)); श्रेणी RLC परिपथ के लिए ωₙ = 1/√(LC) और ζ = (R/2)·√(C/L)।
मानक रूप से तुलना करें
हर s² + 2ζωₙs + ωₙ² से मेल खाना चाहिए।
ωₙ² = 37 → ωₙ = 6.083 rad/s
2ζωₙ = 9 → ζ = 9/(2·6.083) = 0.7398
परिणाम
%OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²) = 100·e−3.454 = 3.161 %
उत्तर
%OS = 3.161 %
12.सोपान अनुक्रिया
उत्तर: ωn = 4.412 rad/s
सोपान अनुक्रिया: एक प्रथम-कोटि तंत्र G(s) = K/(τs + 1) आकार U के सोपान का उत्तर y(t) = K·U·(1 − e−t/τ) से देता है: यह एक समय स्थिरांक τ के बाद अंतिम मान K·U के 63.2 % और 4τ के बाद 98 % तक पहुँचता है। एक द्वितीय-कोटि तंत्र G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) के ध्रुव s = −ζωₙ ± jωd हैं, जहाँ ωd = ωₙ√(1 − ζ²)। 0 < ζ < 1 के लिए सोपान अनुक्रिया अतिलंघन करती है: प्रतिशत अतिलंघन %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), शिखर समय tp = π/ωd, और 2 % स्थिरीकरण समय ts ≈ 4/(ζωₙ)। ωₙ और ζ पढ़ने के लिए हर की तुलना s² + 2ζωₙs + ωₙ² से करें। द्रव्यमान–स्प्रिंग–अवमंदक के लिए ωₙ = √(k/m) और ζ = c/(2√(km)); श्रेणी RLC परिपथ के लिए ωₙ = 1/√(LC) और ζ = (R/2)·√(C/L)।