लिख लें कि क्या दिया है: प्रतिदर्श दर, संकेत आवृत्तियाँ, बिट संख्या, निवेश परिसर, बॉड दर।
प्रतिचयन के प्रश्नों में हर आवृत्ति की तुलना fs/2 से करें; इससे ऊँची आवृत्ति fa = |f − k·fs| पर दिखती है, जहाँ fs का निकटतम गुणज लिया जाता है।
वियोजन के प्रश्नों में 1 LSB = VFSR/2ᴺ ज्ञात करें, या सबसे छोटा N ज्ञात करें जिसके लिए 2ᴺ ≥ विस्तार/वियोजन हो।
डेटा दर और UART लिंक के लिए वह सब गिनें जो भेजा जाता है: चैनल, प्रति सेकंड प्रतिदर्श, प्रति प्रतिदर्श बिट या पूरे बाइट, और हर फ़्रेम के स्टार्ट, पैरिटी और स्टॉप बिट।
व्हीटस्टोन सेतु और स्ट्रेन गेज
विभाजक वोल्टताएँ
Va = VsR2/(R1 + R2), Vb = VsR4/(R3 + R4)
निर्गम
Vab = Va − Vb
संतुलन
R1/R2 = R3/R4
स्लाइड-तार सेतु
R/Rx = l/(100 − l)
थेवेनिन प्रतिरोध
Rth = R1∥R2 + R3∥R4
गेज गुणांक
ΔR/R = GF·ε
सेतु निर्गत
चतुर्थांश Vs·GF·ε/4, अर्ध Vs·GF·ε/2, पूर्ण Vs·GF·ε
छोटा परिवर्तन, एक भुजा
Vab ≈ Vs·ΔR/(4R)
प्रतिबल
σ = E·ε
विधि
सेतु को एक ही आपूर्ति के पार दो वोल्टता विभाजक मानिए।
संतुलन के लिए R₁/R₂ = R₃/R₄ रखिए और अज्ञात प्रतिरोधक के लिए हल कीजिए।
असंतुलित सेतु के लिए विभाजकों से Va और Vb निकालकर घटाइए; जब कोई मापी निर्गत पर भार डाले तब थेवेनिन तुल्य का उपयोग कीजिए।
स्ट्रेन गेज के लिए विकृति को ΔR/R = GF·ε में बदलिए और चतुर्थांश, अर्ध या पूर्ण सेतु के लिए क्रमशः Vs·GF·ε/4, /2 या ×1 का उपयोग कीजिए।
स्थायी-अवस्था त्रुटि और PID नियंत्रण
तंत्र प्रकार
G(s) के s = 0 पर ध्रुवों की संख्या
त्रुटि स्थिरांक
Kp = lim G(s), Kv = lim s·G(s), Ka = lim s²·G(s) (s → 0)
सोपान A
ess = A/(1 + Kp)
रैंप A·t
ess = A/Kv
परवलय A·t²/2
ess = A/Ka
PID नियंत्रक
C(s) = Kp + Ki/s + Kd·s
द्वितीय-कोटि लक्ष्य
s² + 2ζωns + ωn²
अतिलंघन और समय
%OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), tp = π/ωd, ts ≈ 4/(ζωn)
विधि
विवृत-लूप C(s)·G(s) के s = 0 पर ध्रुव गिनिए: वही तंत्र का प्रकार है।
निवेश से मेल खाने वाला त्रुटि स्थिरांक निकालिए: सोपान के लिए Kp, रैंप के लिए Kv, परवलय के लिए Ka।
ess = A/(1 + Kp), A/Kv या A/Ka लगाइए, या जिस लब्धि की आपको ज़रूरत है उसके लिए इसे हल कीजिए।
अवमंदन या चाल के विनिर्देश के लिए संवृत-लूप अभिलाक्षणिक बहुपद लिखिए और उसे s² + 2ζω_n·s + ω_n² से मिलाइए।
2अभ्यास प्रश्न
1.DC मोटरेंमध्यम
एक DC मोटर 240 V आपूर्ति से 25 A लेती है। इसका आर्मेचर प्रतिरोध 0.8 Ω है और इसकी घूर्णन (घर्षण, वायु-अवरोध और लौह) हानियाँ 165 W हैं। इसकी दक्षता η ज्ञात कीजिए।
V = 240 VIa = 25 ARa = 0.8 ΩProt = 165 W
η = %
2.DC मोटरेंकठिन
एक DC मोटर (k = 0.8 V·s/rad, Ra = 2 Ω) स्थिर 240 V आपूर्ति पर 8 N·m का भार चलाती है। वह श्रेणी प्रतिरोध Rs ज्ञात कीजिए जो इसे 800 rpm तक धीमा कर दे।
एक पट्टा 120 mm की चालक घिरनी पर 720 rpm पर चलता है। कसी हुई ओर तनाव 500 N और ढीली ओर 150 N है। संचरित शक्ति P kW में ज्ञात कीजिए।
d1 = 120 mmn1 = 720 rpmT1 = 500 NT2 = 150 N
P = kW
4.गियर और गियर ट्रेनकठिन
एक खुला पट्टा 250 mm की घिरनी को 200 mm की चालक घिरनी से, जो 2880 rpm पर है, जोड़ता है; केंद्र 800 mm दूर हैं। घर्षण गुणांक 0.35 है और कसी हुई ओर का तनाव 1000 N से अधिक नहीं हो सकता। पट्टा बिना फिसले जो सबसे बड़ी शक्ति P संचरित कर सकता है, kW में ज्ञात कीजिए (अपकेंद्री प्रभाव अनदेखा करें)।
एक UART 115200 बॉड पर प्रारूप 8E1 में बाइट भेजता है: 8 डेटा बिट, एक सम पैरिटी बिट और 1 स्टॉप बिट, साथ में स्टार्ट बिट। वह प्रति सेकंड अधिकतम कितने डेटा बाइट अंतरित कर सकता है, ज्ञात कीजिए।
baud = 115200 Bd8E1
RB = B/s
6.डेटा अधिग्रहण और प्रतिचयनकठिन
एक 10-बिट ADC हर प्रतिदर्श को UART से 38400 बॉड पर, प्रारूप 8E1 (स्टार्ट बिट, 8 डेटा बिट, सम पैरिटी, 1 स्टॉप बिट) में स्ट्रीम करता है। हर प्रतिदर्श 2 पूरे बाइट के रूप में भेजा जाता है और लिंक हर समय व्यस्त रहता है। ऐलियासिंग के बिना प्रतिदर्शित हो सकने वाली उच्चतम संकेत आवृत्ति fmax Hz में ज्ञात कीजिए।
baud = 38400 BdN = 108E1
fmax = Hz
7.व्हीटस्टोन सेतु और स्ट्रेन गेजमध्यम
एक सेतु की चारों भुजाएँ 120 Ω की हैं और Vs = 5 V है। संवेदक R₂ में ΔR = 30 Ω की वृद्धि होती है। mV में यथार्थ निर्गत Vab ज्ञात कीजिए।
Vs = 5 VR = 120 ΩΔR = 30 Ω
Vab = mV
8.व्हीटस्टोन सेतु और स्ट्रेन गेजकठिन
एक सक्रिय गेज (GF = 2.05) वाले चतुर्थांश सेतु को 2.5 V से उत्तेजित किया जाता है। भार के अंतर्गत निर्गत 0.961 mV पढ़ता है। µε में विकृति ε ज्ञात कीजिए।
Vs = 2.5 VGF = 2.05Vo = 0.961 mV
ε = µε
9.स्थायी-अवस्था त्रुटि और PID नियंत्रणमध्यम
G(s) = K/(s(s + 10)) वाले एकांक पुनर्निवेश लूप को रैंप r(t) = 1t का अनुसरण 0.2 की स्थायी-अवस्था त्रुटि के साथ करना है। लब्धि K ज्ञात कीजिए।
G(s) = K/(s(s + 10))r(t) = 1tess = 0.2
K =
10.स्थायी-अवस्था त्रुटि और PID नियंत्रणकठिन
एक PI नियंत्रक C(s) = Kp + Ki/s संयंत्र G(s) = 4/(s + 4) को एकांक पुनर्निवेश लूप में चलाता है। संवृत-लूप में ωₙ = 5 rad/s और ζ = 1 होना चाहिए। समाकल लब्धि Ki ज्ञात कीजिए।
G(s) = 4/(s + 4)ωₙ = 5 rad/sζ = 1
Ki =
11.सोपान अनुक्रियामध्यम
एक तंत्र का अंतरण फलन G(s) = 186/(s² + 8s + 93) है और इसे एकांक सोपान इनपुट मिलता है। सोपान अनुक्रिया का प्रतिशत अतिलंघन %OS ज्ञात कीजिए।
G(s) = 186/(s² + 8s + 93)
%OS = %
12.सोपान अनुक्रियाकठिन
R = 379 Ω, L = 200 mH और C = 2 µF वाला एक श्रेणी RLC परिपथ t = 0 पर 24 V सोपान से जोड़ा जाता है। सोपान से पहले संधारित्र अनावेशित है और कोई धारा नहीं बहती। शिखर संधारित्र वोल्टता vC,max ज्ञात कीजिए।
R = 379 ΩL = 200 mHC = 2 µFV = 24 V
vC,max = V
3विलयन
1.DC मोटरें
उत्तर: η = 88.92 %
DC मोटर: आर्मेचर प्रतिरोध Ra है जो back-EMF E के श्रेणीक्रम में है, इसलिए V = E + Ia·Ra। back-EMF चाल के साथ बढ़ता है, E = k·ω, और बल-आघूर्ण धारा के साथ, T = k·Ia, दोनों में एक ही मोटर स्थिरांक k (SI इकाइयों में V·s/rad = N·m/A) होता है। चाल को ω = 2π·n/60 से बदलिए। विकसित शक्ति E·Ia = T·ω है; निवेश शक्ति V·Ia है, और ताम्र हानि Ia²Ra तथा घूर्णन हानि इनका अंतर बनाती हैं। चाल बल-आघूर्ण के साथ सरल रेखा में घटती है, ω = V/k − Ra·T/k², अनिरोध चाल V/k से शून्य तक, जो रुद्ध बल-आघूर्ण k·V/Ra पर होती है। विराम अवस्था में E = 0 होता है, इसलिए प्रारंभिक धारा V/Ra बड़ी होती है, जब तक कोई प्रतिरोध उसे सीमित न करे।
शक्तियाँ
Pin = 240·25 = 6000 W
Pdev = 220·25 = 5500 W
Pout = 5500 − 165 = 5335 W
दक्षता
η = 5335/6000·100 = 88.92 %
उत्तर
η = 88.92 %
2.DC मोटरें
उत्तर: Rs = 15.3 Ω
DC मोटर: आर्मेचर प्रतिरोध Ra है जो back-EMF E के श्रेणीक्रम में है, इसलिए V = E + Ia·Ra। back-EMF चाल के साथ बढ़ता है, E = k·ω, और बल-आघूर्ण धारा के साथ, T = k·Ia, दोनों में एक ही मोटर स्थिरांक k (SI इकाइयों में V·s/rad = N·m/A) होता है। चाल को ω = 2π·n/60 से बदलिए। विकसित शक्ति E·Ia = T·ω है; निवेश शक्ति V·Ia है, और ताम्र हानि Ia²Ra तथा घूर्णन हानि इनका अंतर बनाती हैं। चाल बल-आघूर्ण के साथ सरल रेखा में घटती है, ω = V/k − Ra·T/k², अनिरोध चाल V/k से शून्य तक, जो रुद्ध बल-आघूर्ण k·V/Ra पर होती है। विराम अवस्था में E = 0 होता है, इसलिए प्रारंभिक धारा V/Ra बड़ी होती है, जब तक कोई प्रतिरोध उसे सीमित न करे।
धारा और back-EMF
Ia = 8/0.8 = 10 A
E = 0.8·83.78 = 67.02 V
श्रेणी प्रतिरोध
Ra + Rs = (240 − 67.02)/10 = 17.3 Ω
Rs = 15.3 Ω
उत्तर
Rs = 15.3 Ω
प्रतिरोधक 1530 W व्यर्थ करता है; चॉपर बहुत कम हानि के साथ चाल नियंत्रित करता है।
3.गियर और गियर ट्रेन
उत्तर: P = 1.583 kW
पट्टा चालन: फिसलन के बिना दोनों घिरनियों की कोर की चाल समान होती है v = π·d·n/60, इसलिए n₁·d₁ = n₂·d₂ और गति अनुपात d₂/d₁ है। फिसलन s चालित घिरनी को थोड़ा धीमा कर देती है: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)। संचरित शक्ति P = (T₁ − T₂)·v है, जहाँ T₁ कसी हुई ओर का तनाव और T₂ ढीली ओर का। घर्षण तनावों के अनुपात को सीमित करता है: T₁/T₂ = eμθ, जहाँ θ छोटी घिरनी पर लपेट कोण रेडियन में है; खुले पट्टे के लिए θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), जहाँ C केंद्र दूरी है।
पट्टे की चाल
v = 4.524 m/s
शक्ति
P = (500 − 150)·4.524 = 1583 W = 1.583 kW
उत्तर
P = 1.583 kW
4.गियर और गियर ट्रेन
उत्तर: P = 19.89 kW
पट्टा चालन: फिसलन के बिना दोनों घिरनियों की कोर की चाल समान होती है v = π·d·n/60, इसलिए n₁·d₁ = n₂·d₂ और गति अनुपात d₂/d₁ है। फिसलन s चालित घिरनी को थोड़ा धीमा कर देती है: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)। संचरित शक्ति P = (T₁ − T₂)·v है, जहाँ T₁ कसी हुई ओर का तनाव और T₂ ढीली ओर का। घर्षण तनावों के अनुपात को सीमित करता है: T₁/T₂ = eμθ, जहाँ θ छोटी घिरनी पर लपेट कोण रेडियन में है; खुले पट्टे के लिए θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), जहाँ C केंद्र दूरी है।
लपेट कोण
θ = 3.079 rad
ढीली ओर का तनाव
eμθ = e1.078 = 2.938, T₂ = 1000/2.938 = 340.4 N
शक्ति
P = (1000 − 340.4)·30.16 = 19.89 kW
उत्तर
P = 19.89 kW
5.डेटा अधिग्रहण और प्रतिचयन
उत्तर: RB = 10473 B/s
UART: अतुल्यकालिक सीरियल लिंक हर बाइट को एक फ़्रेम के रूप में भेजता है: एक स्टार्ट बिट (निम्न), डेटा बिट, एक वैकल्पिक पैरिटी बिट और एक या दो स्टॉप बिट (उच्च)। बॉड दर प्रति सेकंड बिटों की संख्या है, इसलिए एक बिट Tb = 1/बॉड चलता है और n बिट का फ़्रेम n/बॉड चलता है। प्रचलित 8N1 प्रारूप में प्रति बाइट 10 बिट होते हैं। बॉड जनरेटर क्लॉक को विभाजित करता है: बॉड = fclk/(16·D), जहाँ D पूर्ण संख्या है, इसलिए वास्तविक बॉड दर लक्ष्य से थोड़ी भिन्न होती है; लगभग 2 % से कम त्रुटि आमतौर पर स्वीकार्य है।
प्रति फ़्रेम बिट
1 + 8 + 1 + 1 = 11
बाइट दर
115200/11 = 10473 B/s
उत्तर
RB = 10473 B/s
6.डेटा अधिग्रहण और प्रतिचयन
उत्तर: fmax = 872.7 Hz
UART: अतुल्यकालिक सीरियल लिंक हर बाइट को एक फ़्रेम के रूप में भेजता है: एक स्टार्ट बिट (निम्न), डेटा बिट, एक वैकल्पिक पैरिटी बिट और एक या दो स्टॉप बिट (उच्च)। बॉड दर प्रति सेकंड बिटों की संख्या है, इसलिए एक बिट Tb = 1/बॉड चलता है और n बिट का फ़्रेम n/बॉड चलता है। प्रचलित 8N1 प्रारूप में प्रति बाइट 10 बिट होते हैं। बॉड जनरेटर क्लॉक को विभाजित करता है: बॉड = fclk/(16·D), जहाँ D पूर्ण संख्या है, इसलिए वास्तविक बॉड दर लक्ष्य से थोड़ी भिन्न होती है; लगभग 2 % से कम त्रुटि आमतौर पर स्वीकार्य है।
लाइन पर प्रति प्रतिदर्श बिट
2·11 = 22 bit
उच्चतम प्रतिदर्श दर
fs,max = 38400/22 = 1745 Hz
नाइक्विस्ट सीमा
fmax = 1745/2 = 872.7 Hz
उत्तर
fmax = 872.7 Hz
7.व्हीटस्टोन सेतु और स्ट्रेन गेज
उत्तर: Vab = 277.8 mV
व्हीटस्टोन सेतु: दो वोल्टता विभाजक एक ही आपूर्ति Vs साझा करते हैं। बायाँ विभाजक R1–R2 Va = Vs·R2/(R1 + R2) देता है और दायाँ विभाजक R3–R4 Vb = Vs·R4/(R3 + R4) देता है; निर्गत Vab = Va − Vb है। सेतु संतुलित (Vab = 0, मापी में कोई धारा नहीं) तब होता है जब R1/R2 = R3/R4, यानी R1·R4 = R2·R3। निर्गत के सिरों से देखने पर सेतु एक थेवेनिन स्रोत है जिसमें Rth = R1∥R2 + R3∥R4।
नोड वोल्टताएँ
Va = 5·150/270 = 2.778 V
Vb = 2.5 V
निर्गम
Vab = 277.8 mV
उत्तर
Vab = 277.8 mV
रैखिक अनुमान Vs·ΔR/(4R) = 312.5 mV, 12.5 % अधिक है: चतुर्थांश सेतु पूरी तरह रैखिक नहीं होता।
8.व्हीटस्टोन सेतु और स्ट्रेन गेज
उत्तर: ε = 750 µε
स्ट्रेन गेज: गेज विकृति के साथ अपना प्रतिरोध बदलता है: ΔR/R = GF·ε, जहाँ धात्विक फ़ॉइल के लिए गेज गुणांक GF लगभग 2 होता है। सभी भुजाएँ R के बराबर वाले सेतु में एक सक्रिय गेज (चतुर्थांश सेतु) Vo ≈ Vs·GF·ε/4 देता है। आसन्न भुजाओं में विपरीत विकृति वाले दो सक्रिय गेज (अर्ध सेतु) Vs·GF·ε/2 देते हैं, और चार (पूर्ण सेतु) Vs·GF·ε देते हैं। प्रतिबल हुक के नियम से मिलता है, σ = E·ε। लोड सेल अपनी संवेदनशीलता mV/V में बताते हैं: प्रति वोल्ट उत्तेजन पर पूर्ण भार पर निर्गत।
चतुर्थांश सेतु का समीकरण हल कीजिए
ε = 4·0.000961/(2.5·2.05) = 0.00075
माइक्रोस्ट्रेन में
ε = 750 µε
उत्तर
ε = 750 µε
9.स्थायी-अवस्था त्रुटि और PID नियंत्रण
उत्तर: K = 50
स्थायी-अवस्था त्रुटि: विवृत-लूप अंतरण फलन G(s) वाले एकांक पुनर्निवेश लूप में त्रुटि E(s) = R(s)/(1 + G(s)) होती है, और अंतिम मान प्रमेय से ess = lims→0 s·E(s)। तंत्र का प्रकार G(s) के s = 0 पर ध्रुवों की संख्या है। त्रुटि स्थिरांक Kp = lim G(s), Kv = lim s·G(s) और Ka = lim s²·G(s) हैं, सभी s → 0 के लिए। आकार A का सोपान ess = A/(1 + Kp) देता है, रैंप A·t से A/Kv और परवलय A·t²/2 से A/Ka मिलता है। प्रकार-0 लूप सोपान का अनुसरण परिमित त्रुटि के साथ करता है, जबकि प्रकार-1 लूप उसका अनुसरण पूरी तरह करता है और रैंप का परिमित त्रुटि के साथ।
आवश्यक वेग स्थिरांक
Kv = A/ess = 1/0.2 = 5
लब्धि
K = 10·Kv = 50
उत्तर
K = 50
बड़ी लब्धि इस लूप को बहुत हल्का अवमंदित बना देती है: ζ = 0.7071। इसी विरोध के कारण क्षतिपूरक (कम्पेन्सेटर) उपयोग किए जाते हैं।
10.स्थायी-अवस्था त्रुटि और PID नियंत्रण
उत्तर: Ki = 6.25
P, PI और PID नियंत्रण: नियंत्रक C(s) = Kp + Ki/s + Kd·s त्रुटि पर कार्य करता है। आनुपातिक लब्धि लूप को तेज़ बनाती है और प्रकार-0 संयंत्र की त्रुटि घटाती है, पर उसे कभी समाप्त नहीं करती। समाकल पद s = 0 पर एक ध्रुव जोड़ता है: तंत्र का प्रकार एक बढ़ जाता है, और सोपान का अनुसरण बिना त्रुटि के होता है। अवकल पद अवमंदन जोड़ता है। लब्धियाँ चुनने के लिए संवृत-लूप अभिलाक्षणिक बहुपद लिखिए और उसकी तुलना s² + 2ζωns + ωn² से कीजिए। तब %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), tp = π/ωd, जहाँ ωd = ωn√(1 − ζ²), और ts ≈ 4/(ζωn)।
अभिलाक्षणिक बहुपद
1 + C(s)G(s) = 0, जिसे s(s + 4) से गुणा किया गया है।
s² + (4 + 4Kp)s + 4Ki
लक्ष्य बहुपद
s² + 2·1·5s + 5² = s² + 10s + 25
गुणांक मिलाइए
4Ki = 25 → Ki = 6.25
उत्तर
Ki = 6.25
समाकल पद लूप को प्रकार-1 बना देता है, इसलिए सोपान का अनुसरण स्थायी-अवस्था त्रुटि के बिना होता है।
11.सोपान अनुक्रिया
उत्तर: %OS = 23.88 %
सोपान अनुक्रिया: एक प्रथम-कोटि तंत्र G(s) = K/(τs + 1) आकार U के सोपान का उत्तर y(t) = K·U·(1 − e−t/τ) से देता है: यह एक समय स्थिरांक τ के बाद अंतिम मान K·U के 63.2 % और 4τ के बाद 98 % तक पहुँचता है। एक द्वितीय-कोटि तंत्र G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) के ध्रुव s = −ζωₙ ± jωd हैं, जहाँ ωd = ωₙ√(1 − ζ²)। 0 < ζ < 1 के लिए सोपान अनुक्रिया अतिलंघन करती है: प्रतिशत अतिलंघन %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), शिखर समय tp = π/ωd, और 2 % स्थिरीकरण समय ts ≈ 4/(ζωₙ)। ωₙ और ζ पढ़ने के लिए हर की तुलना s² + 2ζωₙs + ωₙ² से करें। द्रव्यमान–स्प्रिंग–अवमंदक के लिए ωₙ = √(k/m) और ζ = c/(2√(km)); श्रेणी RLC परिपथ के लिए ωₙ = 1/√(LC) और ζ = (R/2)·√(C/L)।
मानक रूप से तुलना करें
हर s² + 2ζωₙs + ωₙ² से मेल खाना चाहिए।
ωₙ² = 93 → ωₙ = 9.644 rad/s
2ζωₙ = 8 → ζ = 8/(2·9.644) = 0.4148
परिणाम
%OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²) = 100·e−1.432 = 23.88 %
उत्तर
%OS = 23.88 %
12.सोपान अनुक्रिया
उत्तर: vC,max = 26.29 V
सोपान अनुक्रिया: एक प्रथम-कोटि तंत्र G(s) = K/(τs + 1) आकार U के सोपान का उत्तर y(t) = K·U·(1 − e−t/τ) से देता है: यह एक समय स्थिरांक τ के बाद अंतिम मान K·U के 63.2 % और 4τ के बाद 98 % तक पहुँचता है। एक द्वितीय-कोटि तंत्र G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) के ध्रुव s = −ζωₙ ± jωd हैं, जहाँ ωd = ωₙ√(1 − ζ²)। 0 < ζ < 1 के लिए सोपान अनुक्रिया अतिलंघन करती है: प्रतिशत अतिलंघन %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), शिखर समय tp = π/ωd, और 2 % स्थिरीकरण समय ts ≈ 4/(ζωₙ)। ωₙ और ζ पढ़ने के लिए हर की तुलना s² + 2ζωₙs + ωₙ² से करें। द्रव्यमान–स्प्रिंग–अवमंदक के लिए ωₙ = √(k/m) और ζ = c/(2√(km)); श्रेणी RLC परिपथ के लिए ωₙ = 1/√(LC) और ζ = (R/2)·√(C/L)।