लिख लें कि क्या दिया है: प्रतिदर्श दर, संकेत आवृत्तियाँ, बिट संख्या, निवेश परिसर, बॉड दर।
प्रतिचयन के प्रश्नों में हर आवृत्ति की तुलना fs/2 से करें; इससे ऊँची आवृत्ति fa = |f − k·fs| पर दिखती है, जहाँ fs का निकटतम गुणज लिया जाता है।
वियोजन के प्रश्नों में 1 LSB = VFSR/2ᴺ ज्ञात करें, या सबसे छोटा N ज्ञात करें जिसके लिए 2ᴺ ≥ विस्तार/वियोजन हो।
डेटा दर और UART लिंक के लिए वह सब गिनें जो भेजा जाता है: चैनल, प्रति सेकंड प्रतिदर्श, प्रति प्रतिदर्श बिट या पूरे बाइट, और हर फ़्रेम के स्टार्ट, पैरिटी और स्टॉप बिट।
व्हीटस्टोन सेतु और स्ट्रेन गेज
विभाजक वोल्टताएँ
Va = VsR2/(R1 + R2), Vb = VsR4/(R3 + R4)
निर्गम
Vab = Va − Vb
संतुलन
R1/R2 = R3/R4
स्लाइड-तार सेतु
R/Rx = l/(100 − l)
थेवेनिन प्रतिरोध
Rth = R1∥R2 + R3∥R4
गेज गुणांक
ΔR/R = GF·ε
सेतु निर्गत
चतुर्थांश Vs·GF·ε/4, अर्ध Vs·GF·ε/2, पूर्ण Vs·GF·ε
छोटा परिवर्तन, एक भुजा
Vab ≈ Vs·ΔR/(4R)
प्रतिबल
σ = E·ε
विधि
सेतु को एक ही आपूर्ति के पार दो वोल्टता विभाजक मानिए।
संतुलन के लिए R₁/R₂ = R₃/R₄ रखिए और अज्ञात प्रतिरोधक के लिए हल कीजिए।
असंतुलित सेतु के लिए विभाजकों से Va और Vb निकालकर घटाइए; जब कोई मापी निर्गत पर भार डाले तब थेवेनिन तुल्य का उपयोग कीजिए।
स्ट्रेन गेज के लिए विकृति को ΔR/R = GF·ε में बदलिए और चतुर्थांश, अर्ध या पूर्ण सेतु के लिए क्रमशः Vs·GF·ε/4, /2 या ×1 का उपयोग कीजिए।
स्थायी-अवस्था त्रुटि और PID नियंत्रण
तंत्र प्रकार
G(s) के s = 0 पर ध्रुवों की संख्या
त्रुटि स्थिरांक
Kp = lim G(s), Kv = lim s·G(s), Ka = lim s²·G(s) (s → 0)
सोपान A
ess = A/(1 + Kp)
रैंप A·t
ess = A/Kv
परवलय A·t²/2
ess = A/Ka
PID नियंत्रक
C(s) = Kp + Ki/s + Kd·s
द्वितीय-कोटि लक्ष्य
s² + 2ζωns + ωn²
अतिलंघन और समय
%OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), tp = π/ωd, ts ≈ 4/(ζωn)
विधि
विवृत-लूप C(s)·G(s) के s = 0 पर ध्रुव गिनिए: वही तंत्र का प्रकार है।
निवेश से मेल खाने वाला त्रुटि स्थिरांक निकालिए: सोपान के लिए Kp, रैंप के लिए Kv, परवलय के लिए Ka।
ess = A/(1 + Kp), A/Kv या A/Ka लगाइए, या जिस लब्धि की आपको ज़रूरत है उसके लिए इसे हल कीजिए।
अवमंदन या चाल के विनिर्देश के लिए संवृत-लूप अभिलाक्षणिक बहुपद लिखिए और उसे s² + 2ζω_n·s + ω_n² से मिलाइए।
2अभ्यास प्रश्न
1.DC मोटरेंमध्यम
एक DC मोटर (k = 0.1 V·s/rad, Ra = 0.8 Ω) 24 V से चलती है। पूर्ण भार पर यह 2 A लेती है। अनिरोध धारा नगण्य मानते हुए इसका चाल नियमन SR = (n₀ − nFL)/nFL प्रतिशत में ज्ञात कीजिए।
V = 24 Vk = 0.1 V·s/radRa = 0.8 ΩIFL = 2 A
SR = %
2.DC मोटरेंकठिन
एक DC मोटर (k = 1.2 V·s/rad, Ra = 1.2 Ω) स्थिर 240 V आपूर्ति पर 18 N·m का भार चलाती है। वह श्रेणी प्रतिरोध Rs ज्ञात कीजिए जो इसे 900 rpm तक धीमा कर दे।
1450 rpm पर एक 0.75 kW मोटर 3 स्टार्ट वाले वर्म को चलाती है। वर्म व्हील में 40 दाँत हैं और ड्राइव की दक्षता 70% है। व्हील शाफ़्ट पर निर्गम बलाघूर्ण Tw ज्ञात कीजिए।
z = 3Nw = 40n = 1450 rpmP = 0.75 kWη = 70%
Tw = N·m
4.गियर और गियर ट्रेनकठिन
2900 rpm पर एक 3 kW मोटर गियर A (24 दाँत) को चलाती है, जो गियर B (36 दाँत) से जुड़ा है। B के ही शाफ़्ट पर लगा गियर C (12 दाँत) निर्गम शाफ़्ट पर गियर D (16 दाँत) को चलाता है। हर गियर जोड़ की दक्षता 98% है। निर्गम बलाघूर्ण Tout ज्ञात कीजिए।
0 से 5 V निवेश परिसर वाला 8-बिट ADC छाँटता है: उसका निर्गत कोड ⌊Vin/LSB⌋ है, जहाँ 1 LSB = VFSR/2ᴺ। 1.73 V के निवेश के लिए दशमलव निर्गत कोड D ज्ञात कीजिए।
N = 8VFSR = 5 VVin = 1.73 V
D =
6.डेटा अधिग्रहण और प्रतिचयनकठिन
एक ऑडियो मापन को पूर्ण-स्केल ज्यावक्र के लिए कम से कम 85 dB का आदर्श संकेत-से-क्वांटीकरण-रव अनुपात चाहिए। ADC के बिटों की न्यूनतम संख्या N ज्ञात कीजिए।
SQNR ≥ 85 dB
N =
7.व्हीटस्टोन सेतु और स्ट्रेन गेजमध्यम
दिखाए गए सेतु का थेवेनिन प्रतिरोध Rth ज्ञात कीजिए, निर्गत टर्मिनल a और b से देखने पर।
Vs = 10 VR1 = 400 ΩR2 = 1000 ΩR3 = 800 ΩR4 = 60 Ω
Rth = Ω
8.व्हीटस्टोन सेतु और स्ट्रेन गेजकठिन
गेज गुणांक 2.1 वाला एक 120 Ω स्ट्रेन गेज इस्पात की छड़ से चिपकाया गया है। भार के अंतर्गत इसका प्रतिरोध 0.063 Ω बढ़ जाता है। माइक्रोस्ट्रेन (µε) में विकृति ε ज्ञात कीजिए।
R = 120 ΩGF = 2.1ΔR = 0.063 Ω
ε = µε
9.स्थायी-अवस्था त्रुटि और PID नियंत्रणमध्यम
एक प्रक्रम G(s) = 0.5/(0.5s + 1) को एकांक पुनर्निवेश लूप में आनुपातिक लब्धि K = 1 से नियंत्रित किया जाता है। सोपान के लिए स्थायी-अवस्था त्रुटि ess ज्ञात कीजिए, सोपान के आकार के प्रतिशत के रूप में।
G(s) = 0.5/(0.5s + 1)K = 1
ess = %
10.स्थायी-अवस्था त्रुटि और PID नियंत्रणकठिन
एक PI नियंत्रक C(s) = Kp + Ki/s संयंत्र G(s) = 1/(s + 2) को एकांक पुनर्निवेश लूप में चलाता है। संवृत-लूप में ωₙ = 8 rad/s और ζ = 0.8 होना चाहिए। आनुपातिक लब्धि Kp ज्ञात कीजिए।
G(s) = 1/(s + 2)ωₙ = 8 rad/sζ = 0.8
Kp =
11.सोपान अनुक्रियामध्यम
एक तंत्र का अंतरण फलन G(s) = 130/(s² + 4s + 65) है और इसे एकांक सोपान इनपुट मिलता है। प्राकृतिक आवृत्ति ωn rad/s में ज्ञात कीजिए।
G(s) = 130/(s² + 4s + 65)
ωn = rad/s
12.सोपान अनुक्रियाकठिन
शून्यों के बिना एक द्वितीय-कोटि तंत्र की सोपान अनुक्रिया में 30 % अतिलंघन होना चाहिए। अवमंदन अनुपात ζ ज्ञात कीजिए।
%OS = 30 %
ζ =
3विलयन
1.DC मोटरें
उत्तर: SR = 7.143 %
DC मोटर: आर्मेचर प्रतिरोध Ra है जो back-EMF E के श्रेणीक्रम में है, इसलिए V = E + Ia·Ra। back-EMF चाल के साथ बढ़ता है, E = k·ω, और बल-आघूर्ण धारा के साथ, T = k·Ia, दोनों में एक ही मोटर स्थिरांक k (SI इकाइयों में V·s/rad = N·m/A) होता है। चाल को ω = 2π·n/60 से बदलिए। विकसित शक्ति E·Ia = T·ω है; निवेश शक्ति V·Ia है, और ताम्र हानि Ia²Ra तथा घूर्णन हानि इनका अंतर बनाती हैं। चाल बल-आघूर्ण के साथ सरल रेखा में घटती है, ω = V/k − Ra·T/k², अनिरोध चाल V/k से शून्य तक, जो रुद्ध बल-आघूर्ण k·V/Ra पर होती है। विराम अवस्था में E = 0 होता है, इसलिए प्रारंभिक धारा V/Ra बड़ी होती है, जब तक कोई प्रतिरोध उसे सीमित न करे।
अनिरोध और पूर्ण-भार चाल
n₀ = 60·24/(2π·0.1) = 2292 rpm
nFL = 60·(24 − 2·0.8)/(2π·0.1) = 2139 rpm
चाल नियमन
SR = (2292 − 2139)/2139·100 = 7.143 %
उत्तर
SR = 7.143 %
2.DC मोटरें
उत्तर: Rs = 7.26 Ω
DC मोटर: आर्मेचर प्रतिरोध Ra है जो back-EMF E के श्रेणीक्रम में है, इसलिए V = E + Ia·Ra। back-EMF चाल के साथ बढ़ता है, E = k·ω, और बल-आघूर्ण धारा के साथ, T = k·Ia, दोनों में एक ही मोटर स्थिरांक k (SI इकाइयों में V·s/rad = N·m/A) होता है। चाल को ω = 2π·n/60 से बदलिए। विकसित शक्ति E·Ia = T·ω है; निवेश शक्ति V·Ia है, और ताम्र हानि Ia²Ra तथा घूर्णन हानि इनका अंतर बनाती हैं। चाल बल-आघूर्ण के साथ सरल रेखा में घटती है, ω = V/k − Ra·T/k², अनिरोध चाल V/k से शून्य तक, जो रुद्ध बल-आघूर्ण k·V/Ra पर होती है। विराम अवस्था में E = 0 होता है, इसलिए प्रारंभिक धारा V/Ra बड़ी होती है, जब तक कोई प्रतिरोध उसे सीमित न करे।
धारा और back-EMF
Ia = 18/1.2 = 15 A
E = 1.2·94.25 = 113.1 V
श्रेणी प्रतिरोध
Ra + Rs = (240 − 113.1)/15 = 8.46 Ω
Rs = 7.26 Ω
उत्तर
Rs = 7.26 Ω
प्रतिरोधक 1634 W व्यर्थ करता है; चॉपर बहुत कम हानि के साथ चाल नियंत्रित करता है।
3.गियर और गियर ट्रेन
उत्तर: Tw = 46.1 N·m
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
व्हील की चाल
nw = n·z/Nw = 1450·3/40 = 108.8 rpm
निर्गत बलाघूर्ण
ωw = 2π·108.8/60 = 11.39 rad/s
Tw = η·P/ωw = 0.7·750/11.39 = 46.1 N·m
उत्तर
Tw = 46.1 N·m
4.गियर और गियर ट्रेन
उत्तर: Tout = 18.97 N·m
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
निर्गत चाल
nout = 2900·(24/36)·(12/16) = 1450 rpm
ωout = 2π·1450/60 = 151.8 rad/s
निर्गम शक्ति और बलाघूर्ण
Pout = 3000·0.98² = 2881 W
Tout = Pout/ωout = 2881/151.8 = 18.97 N·m
उत्तर
Tout = 18.97 N·m
5.डेटा अधिग्रहण और प्रतिचयन
उत्तर: D = 88
ADC वियोजन: N-बिट कन्वर्टर अपने पूर्ण-स्केल परिसर VFSR को 0 से 2ᴺ − 1 तक 2ᴺ कोड में बाँटता है। एक चरण 1 LSB = VFSR/2ᴺ है: वह सबसे छोटा परिवर्तन जो कन्वर्टर दिखा सकता है। छाँटने वाला ADC कोड ⌊Vin/LSB⌋ देता है; निकटतम पूर्णांकन करने वाला ADC वास्तविक मान से कभी ½ LSB से अधिक दूर नहीं होता, यही उसकी क्वांटीकरण त्रुटि है। हर अतिरिक्त बिट LSB को आधा करता है और पूर्ण-स्केल ज्यावक्र के लिए आदर्श संकेत-से-क्वांटीकरण-रव अनुपात SQNR = 6.02·N + 1.76 dB में लगभग 6 dB जोड़ता है। किसी विस्तार पर वियोजन r पाने के लिए सबसे छोटा N चुनें जिसके लिए 2ᴺ ≥ विस्तार/r हो।
चरण आकार
1 LSB = 5/28 = 19.53 mV
कोड
Vin/LSB = 1730/19.53 = 88.58
कोड = ⌊88.58⌋ = 88
उत्तर
D = 88
द्विआधारी में यह 01011000 है।
6.डेटा अधिग्रहण और प्रतिचयन
उत्तर: N = 14
ADC वियोजन: N-बिट कन्वर्टर अपने पूर्ण-स्केल परिसर VFSR को 0 से 2ᴺ − 1 तक 2ᴺ कोड में बाँटता है। एक चरण 1 LSB = VFSR/2ᴺ है: वह सबसे छोटा परिवर्तन जो कन्वर्टर दिखा सकता है। छाँटने वाला ADC कोड ⌊Vin/LSB⌋ देता है; निकटतम पूर्णांकन करने वाला ADC वास्तविक मान से कभी ½ LSB से अधिक दूर नहीं होता, यही उसकी क्वांटीकरण त्रुटि है। हर अतिरिक्त बिट LSB को आधा करता है और पूर्ण-स्केल ज्यावक्र के लिए आदर्श संकेत-से-क्वांटीकरण-रव अनुपात SQNR = 6.02·N + 1.76 dB में लगभग 6 dB जोड़ता है। किसी विस्तार पर वियोजन r पाने के लिए सबसे छोटा N चुनें जिसके लिए 2ᴺ ≥ विस्तार/r हो।
N के लिए हल करें
N ≥ (85 − 1.76)/6.02 = 13.83
ऊपर पूर्णांकित करें
N = 14
जाँच: 6.02·14 + 1.76 = 86.04 dB ≥ 85 dB
उत्तर
N = 14
7.व्हीटस्टोन सेतु और स्ट्रेन गेज
उत्तर: Rth = 341.5 Ω
व्हीटस्टोन सेतु: दो वोल्टता विभाजक एक ही आपूर्ति Vs साझा करते हैं। बायाँ विभाजक R1–R2 Va = Vs·R2/(R1 + R2) देता है और दायाँ विभाजक R3–R4 Vb = Vs·R4/(R3 + R4) देता है; निर्गत Vab = Va − Vb है। सेतु संतुलित (Vab = 0, मापी में कोई धारा नहीं) तब होता है जब R1/R2 = R3/R4, यानी R1·R4 = R2·R3। निर्गत के सिरों से देखने पर सेतु एक थेवेनिन स्रोत है जिसमें Rth = R1∥R2 + R3∥R4।
आपूर्ति लघुपथित
R₁∥R₂ = 400·1000/1400 = 285.7 Ω
R₃∥R₄ = 800·60/860 = 55.81 Ω
थेवेनिन प्रतिरोध
Rth = 341.5 Ω
उत्तर
Rth = 341.5 Ω
8.व्हीटस्टोन सेतु और स्ट्रेन गेज
उत्तर: ε = 250 µε
स्ट्रेन गेज: गेज विकृति के साथ अपना प्रतिरोध बदलता है: ΔR/R = GF·ε, जहाँ धात्विक फ़ॉइल के लिए गेज गुणांक GF लगभग 2 होता है। सभी भुजाएँ R के बराबर वाले सेतु में एक सक्रिय गेज (चतुर्थांश सेतु) Vo ≈ Vs·GF·ε/4 देता है। आसन्न भुजाओं में विपरीत विकृति वाले दो सक्रिय गेज (अर्ध सेतु) Vs·GF·ε/2 देते हैं, और चार (पूर्ण सेतु) Vs·GF·ε देते हैं। प्रतिबल हुक के नियम से मिलता है, σ = E·ε। लोड सेल अपनी संवेदनशीलता mV/V में बताते हैं: प्रति वोल्ट उत्तेजन पर पूर्ण भार पर निर्गत।
सापेक्ष प्रतिरोध परिवर्तन
ΔR/R = 0.063/120 = 0.000525
विकृति
ε = 0.000525/2.1 = 0.00025 = 250 µε
उत्तर
ε = 250 µε
9.स्थायी-अवस्था त्रुटि और PID नियंत्रण
उत्तर: ess = 66.67 %
स्थायी-अवस्था त्रुटि: विवृत-लूप अंतरण फलन G(s) वाले एकांक पुनर्निवेश लूप में त्रुटि E(s) = R(s)/(1 + G(s)) होती है, और अंतिम मान प्रमेय से ess = lims→0 s·E(s)। तंत्र का प्रकार G(s) के s = 0 पर ध्रुवों की संख्या है। त्रुटि स्थिरांक Kp = lim G(s), Kv = lim s·G(s) और Ka = lim s²·G(s) हैं, सभी s → 0 के लिए। आकार A का सोपान ess = A/(1 + Kp) देता है, रैंप A·t से A/Kv और परवलय A·t²/2 से A/Ka मिलता है। प्रकार-0 लूप सोपान का अनुसरण परिमित त्रुटि के साथ करता है, जबकि प्रकार-1 लूप उसका अनुसरण पूरी तरह करता है और रैंप का परिमित त्रुटि के साथ।
स्थिति स्थिरांक
Kp = 1·0.5 = 0.5
सोपान त्रुटि
ess = 100/(1 + 0.5) = 66.67 %
उत्तर
ess = 66.67 %
10.स्थायी-अवस्था त्रुटि और PID नियंत्रण
उत्तर: Kp = 10.8
P, PI और PID नियंत्रण: नियंत्रक C(s) = Kp + Ki/s + Kd·s त्रुटि पर कार्य करता है। आनुपातिक लब्धि लूप को तेज़ बनाती है और प्रकार-0 संयंत्र की त्रुटि घटाती है, पर उसे कभी समाप्त नहीं करती। समाकल पद s = 0 पर एक ध्रुव जोड़ता है: तंत्र का प्रकार एक बढ़ जाता है, और सोपान का अनुसरण बिना त्रुटि के होता है। अवकल पद अवमंदन जोड़ता है। लब्धियाँ चुनने के लिए संवृत-लूप अभिलाक्षणिक बहुपद लिखिए और उसकी तुलना s² + 2ζωns + ωn² से कीजिए। तब %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), tp = π/ωd, जहाँ ωd = ωn√(1 − ζ²), और ts ≈ 4/(ζωn)।
अभिलाक्षणिक बहुपद
1 + C(s)G(s) = 0, जिसे s(s + 2) से गुणा किया गया है।
s² + (2 + 1Kp)s + 1Ki
लक्ष्य बहुपद
s² + 2·0.8·8s + 8² = s² + 12.8s + 64
गुणांक मिलाइए
2 + 1Kp = 12.8 → Kp = 10.8
उत्तर
Kp = 10.8
समाकल पद लूप को प्रकार-1 बना देता है, इसलिए सोपान का अनुसरण स्थायी-अवस्था त्रुटि के बिना होता है।
11.सोपान अनुक्रिया
उत्तर: ωn = 8.062 rad/s
सोपान अनुक्रिया: एक प्रथम-कोटि तंत्र G(s) = K/(τs + 1) आकार U के सोपान का उत्तर y(t) = K·U·(1 − e−t/τ) से देता है: यह एक समय स्थिरांक τ के बाद अंतिम मान K·U के 63.2 % और 4τ के बाद 98 % तक पहुँचता है। एक द्वितीय-कोटि तंत्र G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) के ध्रुव s = −ζωₙ ± jωd हैं, जहाँ ωd = ωₙ√(1 − ζ²)। 0 < ζ < 1 के लिए सोपान अनुक्रिया अतिलंघन करती है: प्रतिशत अतिलंघन %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), शिखर समय tp = π/ωd, और 2 % स्थिरीकरण समय ts ≈ 4/(ζωₙ)। ωₙ और ζ पढ़ने के लिए हर की तुलना s² + 2ζωₙs + ωₙ² से करें। द्रव्यमान–स्प्रिंग–अवमंदक के लिए ωₙ = √(k/m) और ζ = c/(2√(km)); श्रेणी RLC परिपथ के लिए ωₙ = 1/√(LC) और ζ = (R/2)·√(C/L)।
मानक रूप से तुलना करें
हर s² + 2ζωₙs + ωₙ² से मेल खाना चाहिए।
ωₙ² = 65 → ωₙ = 8.062 rad/s
2ζωₙ = 4 → ζ = 4/(2·8.062) = 0.2481
परिणाम
ωₙ = 8.062 rad/s
उत्तर
ωn = 8.062 rad/s
12.सोपान अनुक्रिया
उत्तर: ζ = 0.3579
सोपान अनुक्रिया: एक प्रथम-कोटि तंत्र G(s) = K/(τs + 1) आकार U के सोपान का उत्तर y(t) = K·U·(1 − e−t/τ) से देता है: यह एक समय स्थिरांक τ के बाद अंतिम मान K·U के 63.2 % और 4τ के बाद 98 % तक पहुँचता है। एक द्वितीय-कोटि तंत्र G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) के ध्रुव s = −ζωₙ ± jωd हैं, जहाँ ωd = ωₙ√(1 − ζ²)। 0 < ζ < 1 के लिए सोपान अनुक्रिया अतिलंघन करती है: प्रतिशत अतिलंघन %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), शिखर समय tp = π/ωd, और 2 % स्थिरीकरण समय ts ≈ 4/(ζωₙ)। ωₙ और ζ पढ़ने के लिए हर की तुलना s² + 2ζωₙs + ωₙ² से करें। द्रव्यमान–स्प्रिंग–अवमंदक के लिए ωₙ = √(k/m) और ζ = c/(2√(km)); श्रेणी RLC परिपथ के लिए ωₙ = 1/√(LC) और ζ = (R/2)·√(C/L)।