लिख लें कि क्या दिया है: प्रतिदर्श दर, संकेत आवृत्तियाँ, बिट संख्या, निवेश परिसर, बॉड दर।
प्रतिचयन के प्रश्नों में हर आवृत्ति की तुलना fs/2 से करें; इससे ऊँची आवृत्ति fa = |f − k·fs| पर दिखती है, जहाँ fs का निकटतम गुणज लिया जाता है।
वियोजन के प्रश्नों में 1 LSB = VFSR/2ᴺ ज्ञात करें, या सबसे छोटा N ज्ञात करें जिसके लिए 2ᴺ ≥ विस्तार/वियोजन हो।
डेटा दर और UART लिंक के लिए वह सब गिनें जो भेजा जाता है: चैनल, प्रति सेकंड प्रतिदर्श, प्रति प्रतिदर्श बिट या पूरे बाइट, और हर फ़्रेम के स्टार्ट, पैरिटी और स्टॉप बिट।
व्हीटस्टोन सेतु और स्ट्रेन गेज
विभाजक वोल्टताएँ
Va = VsR2/(R1 + R2), Vb = VsR4/(R3 + R4)
निर्गम
Vab = Va − Vb
संतुलन
R1/R2 = R3/R4
स्लाइड-तार सेतु
R/Rx = l/(100 − l)
थेवेनिन प्रतिरोध
Rth = R1∥R2 + R3∥R4
गेज गुणांक
ΔR/R = GF·ε
सेतु निर्गत
चतुर्थांश Vs·GF·ε/4, अर्ध Vs·GF·ε/2, पूर्ण Vs·GF·ε
छोटा परिवर्तन, एक भुजा
Vab ≈ Vs·ΔR/(4R)
प्रतिबल
σ = E·ε
विधि
सेतु को एक ही आपूर्ति के पार दो वोल्टता विभाजक मानिए।
संतुलन के लिए R₁/R₂ = R₃/R₄ रखिए और अज्ञात प्रतिरोधक के लिए हल कीजिए।
असंतुलित सेतु के लिए विभाजकों से Va और Vb निकालकर घटाइए; जब कोई मापी निर्गत पर भार डाले तब थेवेनिन तुल्य का उपयोग कीजिए।
स्ट्रेन गेज के लिए विकृति को ΔR/R = GF·ε में बदलिए और चतुर्थांश, अर्ध या पूर्ण सेतु के लिए क्रमशः Vs·GF·ε/4, /2 या ×1 का उपयोग कीजिए।
स्थायी-अवस्था त्रुटि और PID नियंत्रण
तंत्र प्रकार
G(s) के s = 0 पर ध्रुवों की संख्या
त्रुटि स्थिरांक
Kp = lim G(s), Kv = lim s·G(s), Ka = lim s²·G(s) (s → 0)
सोपान A
ess = A/(1 + Kp)
रैंप A·t
ess = A/Kv
परवलय A·t²/2
ess = A/Ka
PID नियंत्रक
C(s) = Kp + Ki/s + Kd·s
द्वितीय-कोटि लक्ष्य
s² + 2ζωns + ωn²
अतिलंघन और समय
%OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), tp = π/ωd, ts ≈ 4/(ζωn)
विधि
विवृत-लूप C(s)·G(s) के s = 0 पर ध्रुव गिनिए: वही तंत्र का प्रकार है।
निवेश से मेल खाने वाला त्रुटि स्थिरांक निकालिए: सोपान के लिए Kp, रैंप के लिए Kv, परवलय के लिए Ka।
ess = A/(1 + Kp), A/Kv या A/Ka लगाइए, या जिस लब्धि की आपको ज़रूरत है उसके लिए इसे हल कीजिए।
अवमंदन या चाल के विनिर्देश के लिए संवृत-लूप अभिलाक्षणिक बहुपद लिखिए और उसे s² + 2ζω_n·s + ω_n² से मिलाइए।
2अभ्यास प्रश्न
1.DC मोटरेंमध्यम
एक DC मोटर 110 V आपूर्ति से 4 A लेती है। इसका आर्मेचर प्रतिरोध 2 Ω है और इसकी घूर्णन (घर्षण, वायु-अवरोध और लौह) हानियाँ 24 W हैं। इसकी दक्षता η ज्ञात कीजिए।
V = 110 VIa = 4 ARa = 2 ΩProt = 24 W
η = %
2.DC मोटरेंकठिन
एक DC चॉपर 240 V DC बस से एक मोटर (k = 1.5 V·s/rad, Ra = 0.4 Ω) को शक्ति देता है। औसत आर्मेचर वोल्टता D·240 V है। वह कर्तव्य चक्र D ज्ञात कीजिए जिससे मोटर 37.5 N·m के भार के साथ 300 rpm पर चले।
दो समांतर शाफ़्ट 75 mm दूर हैं। इन्हें 2 mm मॉड्यूल और 2 : 1 चाल अपचयन वाले स्पर गियरों की एक जोड़ी से जोड़ना है। गियर में कितने दाँत N2 होने चाहिए?
a = 75 mmm = 2 mmi = 2
N2 =
4.गियर और गियर ट्रेनकठिन
एक संयुक्त गियर ट्रेन में, 1450 rpm पर घूम रहे निवेश शाफ़्ट पर लगा गियर A (12 दाँत) गियर B (40 दाँत) को चलाता है। गियर C (20 दाँत) B वाले शाफ़्ट पर ही लगा है और निर्गत शाफ़्ट पर लगे गियर D (60 दाँत) को चलाता है। निर्गत चाल nout ज्ञात कीजिए।
nin = 1450 rpmA = 12B = 40C = 20D = 60
nout = rpm
5.डेटा अधिग्रहण और प्रतिचयनमध्यम
0 से 10 V निवेश परिसर वाला 12-बिट ADC छाँटता है: उसका निर्गत कोड ⌊Vin/LSB⌋ है, जहाँ 1 LSB = VFSR/2ᴺ। 6.812 V के निवेश के लिए दशमलव निर्गत कोड D ज्ञात कीजिए।
N = 12VFSR = 10 VVin = 6.812 V
D =
6.डेटा अधिग्रहण और प्रतिचयनकठिन
एक ऑडियो मापन को पूर्ण-स्केल ज्यावक्र के लिए कम से कम 55 dB का आदर्श संकेत-से-क्वांटीकरण-रव अनुपात चाहिए। ADC के बिटों की न्यूनतम संख्या N ज्ञात कीजिए।
SQNR ≥ 55 dB
N =
7.व्हीटस्टोन सेतु और स्ट्रेन गेजमध्यम
चार 500 Ω भुजाओं वाले एक सेतु को 10 V दिया गया है। संवेदक R₂ बदलने पर निर्गत Vab = 238.1 mV पढ़ता है। R₂ का यथार्थ परिवर्तन ΔR ज्ञात कीजिए।
Vs = 10 VR = 500 ΩVab = 238.1 mV
ΔR = Ω
8.व्हीटस्टोन सेतु और स्ट्रेन गेजकठिन
350 Ω भुजाओं वाले एक सेतु को 10 V से उत्तेजित किया जाता है और उसमें दो सक्रिय गेज आसन्न भुजाओं में, एक तनाव में और एक संपीडन में (अर्ध सेतु) है। गेज गुणांक 2.05 है और विकृति 400 µε है। mV में सेतु निर्गत Vo ज्ञात कीजिए।
Vs = 10 VGF = 2.05ε = 400 µε
Vo = mV
9.स्थायी-अवस्था त्रुटि और PID नियंत्रणमध्यम
G(s) = K/(s(s + 4)) वाले एकांक पुनर्निवेश लूप को रैंप r(t) = 2t का अनुसरण 0.05 की स्थायी-अवस्था त्रुटि के साथ करना है। लब्धि K ज्ञात कीजिए।
G(s) = K/(s(s + 4))r(t) = 2tess = 0.05
K =
10.स्थायी-अवस्था त्रुटि और PID नियंत्रणकठिन
एक आनुपातिक नियंत्रक K = 20 संयंत्र G(s) = 4/(s(s + 5)) को एकांक पुनर्निवेश लूप में चलाता है। सोपान अनुक्रिया का प्रतिशत अतिलंघन %OS ज्ञात कीजिए।
G(s) = 4/(s(s + 5))K = 20
%OS = %
11.सोपान अनुक्रियामध्यम
एक तंत्र का अंतरण फलन G(s) = 11/(s² + 3s + 22) है और इसे एकांक सोपान इनपुट मिलता है। सोपान अनुक्रिया का प्रतिशत अतिलंघन %OS ज्ञात कीजिए।
G(s) = 11/(s² + 3s + 22)
%OS = %
12.सोपान अनुक्रियाकठिन
R = 57 Ω, L = 10 mH और C = 2 µF वाला एक श्रेणी RLC परिपथ t = 0 पर 24 V सोपान से जोड़ा जाता है। सोपान से पहले संधारित्र अनावेशित है और कोई धारा नहीं बहती। अनवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति ωn rad/s में ज्ञात कीजिए।
R = 57 ΩL = 10 mHC = 2 µFV = 24 V
ωn = rad/s
3विलयन
1.DC मोटरें
उत्तर: η = 87.27 %
DC मोटर: आर्मेचर प्रतिरोध Ra है जो back-EMF E के श्रेणीक्रम में है, इसलिए V = E + Ia·Ra। back-EMF चाल के साथ बढ़ता है, E = k·ω, और बल-आघूर्ण धारा के साथ, T = k·Ia, दोनों में एक ही मोटर स्थिरांक k (SI इकाइयों में V·s/rad = N·m/A) होता है। चाल को ω = 2π·n/60 से बदलिए। विकसित शक्ति E·Ia = T·ω है; निवेश शक्ति V·Ia है, और ताम्र हानि Ia²Ra तथा घूर्णन हानि इनका अंतर बनाती हैं। चाल बल-आघूर्ण के साथ सरल रेखा में घटती है, ω = V/k − Ra·T/k², अनिरोध चाल V/k से शून्य तक, जो रुद्ध बल-आघूर्ण k·V/Ra पर होती है। विराम अवस्था में E = 0 होता है, इसलिए प्रारंभिक धारा V/Ra बड़ी होती है, जब तक कोई प्रतिरोध उसे सीमित न करे।
शक्तियाँ
Pin = 110·4 = 440 W
Pdev = 102·4 = 408 W
Pout = 408 − 24 = 384 W
दक्षता
η = 384/440·100 = 87.27 %
उत्तर
η = 87.27 %
2.DC मोटरें
उत्तर: D = 23.8 %
DC मोटर: आर्मेचर प्रतिरोध Ra है जो back-EMF E के श्रेणीक्रम में है, इसलिए V = E + Ia·Ra। back-EMF चाल के साथ बढ़ता है, E = k·ω, और बल-आघूर्ण धारा के साथ, T = k·Ia, दोनों में एक ही मोटर स्थिरांक k (SI इकाइयों में V·s/rad = N·m/A) होता है। चाल को ω = 2π·n/60 से बदलिए। विकसित शक्ति E·Ia = T·ω है; निवेश शक्ति V·Ia है, और ताम्र हानि Ia²Ra तथा घूर्णन हानि इनका अंतर बनाती हैं। चाल बल-आघूर्ण के साथ सरल रेखा में घटती है, ω = V/k − Ra·T/k², अनिरोध चाल V/k से शून्य तक, जो रुद्ध बल-आघूर्ण k·V/Ra पर होती है। विराम अवस्था में E = 0 होता है, इसलिए प्रारंभिक धारा V/Ra बड़ी होती है, जब तक कोई प्रतिरोध उसे सीमित न करे।
आवश्यक आर्मेचर वोल्टता
Va = 1.5·31.42 + 25·0.4 = 57.12 V
कर्तव्य चक्र
D = 57.12/240 = 23.8 %
उत्तर
D = 23.8 %
3.गियर और गियर ट्रेन
उत्तर: N2 = 50
Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: Ft = 2T/d.
दाँतों की कुल संख्या
N1 + N2 = 2a/m = 2·75/2 = 75
अनुपात से बाँटें
N1 = 75/(1 + 2) = 25
N2 = 2·25 = 50
उत्तर
N2 = 50
4.गियर और गियर ट्रेन
उत्तर: nout = 145 rpm
गियर ट्रेन: परस्पर जुड़े गियरों के दाँतों पर चाल समान होती है, इसलिए n₁·N₁ = n₂·N₂: कम दाँतों वाला गियर तेज़ घूमता है। एक ही शाफ़्ट पर लगे गियर समान चाल से घूमते हैं। शक्ति आगे पहुँचती है (हानियों को घटाकर), इसलिए चाल घटने पर बलाघूर्ण बढ़ता है: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, और P = T·ω, जहाँ ω = 2π·n/60।
पहला चरण
nB = 1450·12/40 = 435 rpm = nC
दूसरा चरण
nout = 435·20/60 = 145 rpm
उत्तर
nout = 145 rpm
कुल अनुपात = 10 : 1
5.डेटा अधिग्रहण और प्रतिचयन
उत्तर: D = 2790
ADC वियोजन: N-बिट कन्वर्टर अपने पूर्ण-स्केल परिसर VFSR को 0 से 2ᴺ − 1 तक 2ᴺ कोड में बाँटता है। एक चरण 1 LSB = VFSR/2ᴺ है: वह सबसे छोटा परिवर्तन जो कन्वर्टर दिखा सकता है। छाँटने वाला ADC कोड ⌊Vin/LSB⌋ देता है; निकटतम पूर्णांकन करने वाला ADC वास्तविक मान से कभी ½ LSB से अधिक दूर नहीं होता, यही उसकी क्वांटीकरण त्रुटि है। हर अतिरिक्त बिट LSB को आधा करता है और पूर्ण-स्केल ज्यावक्र के लिए आदर्श संकेत-से-क्वांटीकरण-रव अनुपात SQNR = 6.02·N + 1.76 dB में लगभग 6 dB जोड़ता है। किसी विस्तार पर वियोजन r पाने के लिए सबसे छोटा N चुनें जिसके लिए 2ᴺ ≥ विस्तार/r हो।
चरण आकार
1 LSB = 10/212 = 2.441 mV
कोड
Vin/LSB = 6812/2.441 = 2790
कोड = ⌊2790⌋ = 2790
उत्तर
D = 2790
द्विआधारी में यह 101011100110 है।
6.डेटा अधिग्रहण और प्रतिचयन
उत्तर: N = 9
ADC वियोजन: N-बिट कन्वर्टर अपने पूर्ण-स्केल परिसर VFSR को 0 से 2ᴺ − 1 तक 2ᴺ कोड में बाँटता है। एक चरण 1 LSB = VFSR/2ᴺ है: वह सबसे छोटा परिवर्तन जो कन्वर्टर दिखा सकता है। छाँटने वाला ADC कोड ⌊Vin/LSB⌋ देता है; निकटतम पूर्णांकन करने वाला ADC वास्तविक मान से कभी ½ LSB से अधिक दूर नहीं होता, यही उसकी क्वांटीकरण त्रुटि है। हर अतिरिक्त बिट LSB को आधा करता है और पूर्ण-स्केल ज्यावक्र के लिए आदर्श संकेत-से-क्वांटीकरण-रव अनुपात SQNR = 6.02·N + 1.76 dB में लगभग 6 dB जोड़ता है। किसी विस्तार पर वियोजन r पाने के लिए सबसे छोटा N चुनें जिसके लिए 2ᴺ ≥ विस्तार/r हो।
N के लिए हल करें
N ≥ (55 − 1.76)/6.02 = 8.844
ऊपर पूर्णांकित करें
N = 9
जाँच: 6.02·9 + 1.76 = 55.94 dB ≥ 55 dB
उत्तर
N = 9
7.व्हीटस्टोन सेतु और स्ट्रेन गेज
उत्तर: ΔR = 50 Ω
व्हीटस्टोन सेतु: दो वोल्टता विभाजक एक ही आपूर्ति Vs साझा करते हैं। बायाँ विभाजक R1–R2 Va = Vs·R2/(R1 + R2) देता है और दायाँ विभाजक R3–R4 Vb = Vs·R4/(R3 + R4) देता है; निर्गत Vab = Va − Vb है। सेतु संतुलित (Vab = 0, मापी में कोई धारा नहीं) तब होता है जब R1/R2 = R3/R4, यानी R1·R4 = R2·R3। निर्गत के सिरों से देखने पर सेतु एक थेवेनिन स्रोत है जिसमें Rth = R1∥R2 + R3∥R4।
नोड वोल्टता
Va = 5 + 0.2381 = 5.238 V
विभाजक हल कीजिए
R₂ = 500·5.238/(10 − 5.238) = 550 Ω
ΔR = 550 − 500 = 50 Ω
उत्तर
ΔR = 50 Ω
8.व्हीटस्टोन सेतु और स्ट्रेन गेज
उत्तर: Vo = 4.1 mV
स्ट्रेन गेज: गेज विकृति के साथ अपना प्रतिरोध बदलता है: ΔR/R = GF·ε, जहाँ धात्विक फ़ॉइल के लिए गेज गुणांक GF लगभग 2 होता है। सभी भुजाएँ R के बराबर वाले सेतु में एक सक्रिय गेज (चतुर्थांश सेतु) Vo ≈ Vs·GF·ε/4 देता है। आसन्न भुजाओं में विपरीत विकृति वाले दो सक्रिय गेज (अर्ध सेतु) Vs·GF·ε/2 देते हैं, और चार (पूर्ण सेतु) Vs·GF·ε देते हैं। प्रतिबल हुक के नियम से मिलता है, σ = E·ε। लोड सेल अपनी संवेदनशीलता mV/V में बताते हैं: प्रति वोल्ट उत्तेजन पर पूर्ण भार पर निर्गत।
सापेक्ष प्रतिरोध परिवर्तन
ΔR/R = 2.05·400·10⁻⁶ = 0.00082
सेतु निर्गत
Vo = Vs·GF·ε/2 = 10·0.00082/2 = 4.1 mV
उत्तर
Vo = 4.1 mV
9.स्थायी-अवस्था त्रुटि और PID नियंत्रण
उत्तर: K = 160
स्थायी-अवस्था त्रुटि: विवृत-लूप अंतरण फलन G(s) वाले एकांक पुनर्निवेश लूप में त्रुटि E(s) = R(s)/(1 + G(s)) होती है, और अंतिम मान प्रमेय से ess = lims→0 s·E(s)। तंत्र का प्रकार G(s) के s = 0 पर ध्रुवों की संख्या है। त्रुटि स्थिरांक Kp = lim G(s), Kv = lim s·G(s) और Ka = lim s²·G(s) हैं, सभी s → 0 के लिए। आकार A का सोपान ess = A/(1 + Kp) देता है, रैंप A·t से A/Kv और परवलय A·t²/2 से A/Ka मिलता है। प्रकार-0 लूप सोपान का अनुसरण परिमित त्रुटि के साथ करता है, जबकि प्रकार-1 लूप उसका अनुसरण पूरी तरह करता है और रैंप का परिमित त्रुटि के साथ।
आवश्यक वेग स्थिरांक
Kv = A/ess = 2/0.05 = 40
लब्धि
K = 4·Kv = 160
उत्तर
K = 160
बड़ी लब्धि इस लूप को बहुत हल्का अवमंदित बना देती है: ζ = 0.1581। इसी विरोध के कारण क्षतिपूरक (कम्पेन्सेटर) उपयोग किए जाते हैं।
10.स्थायी-अवस्था त्रुटि और PID नियंत्रण
उत्तर: %OS = 40.07 %
P, PI और PID नियंत्रण: नियंत्रक C(s) = Kp + Ki/s + Kd·s त्रुटि पर कार्य करता है। आनुपातिक लब्धि लूप को तेज़ बनाती है और प्रकार-0 संयंत्र की त्रुटि घटाती है, पर उसे कभी समाप्त नहीं करती। समाकल पद s = 0 पर एक ध्रुव जोड़ता है: तंत्र का प्रकार एक बढ़ जाता है, और सोपान का अनुसरण बिना त्रुटि के होता है। अवकल पद अवमंदन जोड़ता है। लब्धियाँ चुनने के लिए संवृत-लूप अभिलाक्षणिक बहुपद लिखिए और उसकी तुलना s² + 2ζωns + ωn² से कीजिए। तब %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), tp = π/ωd, जहाँ ωd = ωn√(1 − ζ²), और ts ≈ 4/(ζωn)।
अभिलाक्षणिक बहुपद
s(s + 5) + 20·4 = s² + 5s + 80
ωₙ और ζ
ωₙ = √80 = 8.944 rad/s
ζ = 5/(2·8.944) = 0.2795
अतिलंघन
%OS = 100·e−0.2795π/√(1 − 0.2795²) = 40.07 %
उत्तर
%OS = 40.07 %
11.सोपान अनुक्रिया
उत्तर: %OS = 34.63 %
सोपान अनुक्रिया: एक प्रथम-कोटि तंत्र G(s) = K/(τs + 1) आकार U के सोपान का उत्तर y(t) = K·U·(1 − e−t/τ) से देता है: यह एक समय स्थिरांक τ के बाद अंतिम मान K·U के 63.2 % और 4τ के बाद 98 % तक पहुँचता है। एक द्वितीय-कोटि तंत्र G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) के ध्रुव s = −ζωₙ ± jωd हैं, जहाँ ωd = ωₙ√(1 − ζ²)। 0 < ζ < 1 के लिए सोपान अनुक्रिया अतिलंघन करती है: प्रतिशत अतिलंघन %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), शिखर समय tp = π/ωd, और 2 % स्थिरीकरण समय ts ≈ 4/(ζωₙ)। ωₙ और ζ पढ़ने के लिए हर की तुलना s² + 2ζωₙs + ωₙ² से करें। द्रव्यमान–स्प्रिंग–अवमंदक के लिए ωₙ = √(k/m) और ζ = c/(2√(km)); श्रेणी RLC परिपथ के लिए ωₙ = 1/√(LC) और ζ = (R/2)·√(C/L)।
मानक रूप से तुलना करें
हर s² + 2ζωₙs + ωₙ² से मेल खाना चाहिए।
ωₙ² = 22 → ωₙ = 4.69 rad/s
2ζωₙ = 3 → ζ = 3/(2·4.69) = 0.3198
परिणाम
%OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²) = 100·e−1.06 = 34.63 %
उत्तर
%OS = 34.63 %
12.सोपान अनुक्रिया
उत्तर: ωn = 7071 rad/s
सोपान अनुक्रिया: एक प्रथम-कोटि तंत्र G(s) = K/(τs + 1) आकार U के सोपान का उत्तर y(t) = K·U·(1 − e−t/τ) से देता है: यह एक समय स्थिरांक τ के बाद अंतिम मान K·U के 63.2 % और 4τ के बाद 98 % तक पहुँचता है। एक द्वितीय-कोटि तंत्र G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) के ध्रुव s = −ζωₙ ± jωd हैं, जहाँ ωd = ωₙ√(1 − ζ²)। 0 < ζ < 1 के लिए सोपान अनुक्रिया अतिलंघन करती है: प्रतिशत अतिलंघन %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), शिखर समय tp = π/ωd, और 2 % स्थिरीकरण समय ts ≈ 4/(ζωₙ)। ωₙ और ζ पढ़ने के लिए हर की तुलना s² + 2ζωₙs + ωₙ² से करें। द्रव्यमान–स्प्रिंग–अवमंदक के लिए ωₙ = √(k/m) और ζ = c/(2√(km)); श्रेणी RLC परिपथ के लिए ωₙ = 1/√(LC) और ζ = (R/2)·√(C/L)।