कूलॉम का नियम और विद्युत क्षेत्र
- कूलॉम का नियम
- F = k·|q1q2|/r²
- बिंदु आवेश का क्षेत्र
- E = k·|q|/r²
- स्थिरांक
- k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
- आवेश पर बल
- F = q·E
भौतिकी 2: विद्युत और चुंबकत्व: क्रैम पैक
सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 10 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।
1सूत्र और विधियाँ
श्रेणी और समांतर प्रतिरोधक
- श्रेणी में प्रतिरोध
- Req = R1 + R2 + …
- समांतर में प्रतिरोध
- 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
- दो समांतर में
- Req = R1R2 / (R1 + R2)
- ओम का नियम
- V = I·R
- शक्ति
- P = V·I = I²R = V²/R
विधि
- नेटवर्क के उस सिरे से शुरू करें जो टर्मिनलों से सबसे दूर है।
- श्रेणी में प्रतिरोधकों को जोड़कर मिलाएँ, और समांतर में प्रतिरोधकों को 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … से।
- हर चरण के बाद परिपथ दोबारा बनाएँ।
- तब तक दोहराएँ जब तक टर्मिनलों के बीच एक ही प्रतिरोधक न बचे।
RC और RL क्षणिक अवस्थाएँ
- समय स्थिरांक
- τ = RC | τ = L/R
- अनुक्रिया
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
- DC पर संधारित्र
- खुला परिपथ; vC अचानक नहीं बदल सकता
- DC पर प्रेरक
- शॉर्ट सर्किट; iL अचानक नहीं बदल सकता
- स्थिर अवस्था
- t ≈ 5τ
विधि
- स्विचिंग के ठीक बाद प्रारंभिक मान ज्ञात करें: संधारित्र की वोल्टता और प्रेरक की धारा अचानक नहीं बदल सकती।
- स्विचिंग के बहुत बाद अंतिम मान ज्ञात करें: संधारित्र खुले परिपथ जैसा, प्रेरक लघु परिपथ जैसा व्यवहार करता है।
- समय स्थिरांक ज्ञात करें: τ = RC या τ = L/R, संधारित्र या प्रेरक द्वारा देखे गए प्रतिरोध का उपयोग करके।
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ का उपयोग करें।
चुंबकीय क्षेत्र और प्रेरण
- लंबा सीधा तार
- B = μ0I/(2πr)
- समतल कुंडली का केंद्र
- B = μ0NI/(2R)
- लंबी परिनालिका
- B = μ0nI, n = N/L
- स्थिरांक
- μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
- तार पर बल
- F = BIL·sin θ
- आवेश पर बल
- F = |q|vB·sin θ
- वृत्तीय गति
- r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
- समांतर तार
- F/L = μ0I1I2/(2πd)
- फ्लक्स
- Φ = BA·cos θ
- फैराडे का नियम
- ε = −N·ΔΦ/Δt
- गतिमान छड़
- ε = BLv
- जनित्र
- E0 = NBAω, Erms = E0/√2
- प्रेरकत्व
- ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
- अन्योन्य प्रेरकत्व
- ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
- वेग चयनक और स्पेक्ट्रोमीटर
- v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B
विधि
- हर राशि को SI इकाइयों में बदलें: cm से m, cm² से m², mT और µT से T।
- सही सूत्र चुनें: तार के लिए B = μ₀I/(2πr), कुंडली के केंद्र के लिए μ₀NI/(2R), परिनालिका के भीतर μ₀nI; बलों के लिए F = BIL·sin θ या |q|vB·sin θ।
- प्रेरण के लिए फ्लक्स में परिवर्तन ΔΦ = Δ(BA·cos θ) निकालें और ε = N·ΔΦ/Δt उपयोग करें, या गतिमान छड़ के लिए ε = BLv और घूमती कुंडली के लिए NBAω।
- दिशाएँ दाहिने हाथ के नियमों से अलग से निकालें, और प्रेरित धाराओं के लिए लेंज़ के नियम से।
AC प्रतिबाधा और फ़ेज़र
- प्रतिबाधाएँ
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- कोणीय आवृत्ति
- ω = 2πf
- परिमाण और कोण
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- फेज़र रूप में ओम का नियम
- V = I·Z
विधि
- आवृत्ति बदलें: ω = 2πf।
- हर प्रतिघात ज्ञात करें: XL = ωL और XC = 1/(ωC)।
- प्रतिबाधाओं को प्रतिरोधकों की तरह जोड़ें, Z = R + jX के साथ।
- परिमाण |Z| = √(R² + X²) और कोण φ = atan(X/R) ज्ञात करें, फिर फ़ेज़र के साथ ओम का नियम लगाएँ।
2अभ्यास प्रश्न
1.कूलॉम का नियम और विद्युत क्षेत्रमध्यम
+1 µC का एक आवेश और −3 µC का एक आवेश 50 cm की दूरी पर हैं। बिंदु P उनके बीच की रेखा पर, पहले आवेश से 20 cm पर स्थित है। P पर विद्युत क्षेत्र का परिमाण E ज्ञात कीजिए।
q1 = +1 µCq2 = −3 µCr1 = 20 cmr2 = 30 cm
E = N/C
2.कूलॉम का नियम और विद्युत क्षेत्रकठिन
8 g द्रव्यमान वाली दो सर्वसम छोटी गेंदें 50 cm लंबे विद्युतरोधी धागों पर एक ही बिंदु से लटकी हैं। उन्हें बराबर आवेश दिए जाते हैं और हर धागा ऊर्ध्वाधर से 12° पर ठहर जाता है। g = 9.81 m/s² लें। हर गेंद पर आवेश q nC में ज्ञात कीजिए। Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².
m = 8 gL = 50 cmθ = 12°g = 9.81 m/s²
q = nC
3.श्रेणी और समांतर प्रतिरोधकमध्यम
R2 से होकर धारा IR2 ज्ञात कीजिए।
V1 = 15 VR1 = 5 ΩR2 = 10 ΩR3 = 4 ΩR4 = 20 Ω
IR2 = A
4.श्रेणी और समांतर प्रतिरोधककठिन
स्रोत V1 द्वारा देखा गया समतुल्य प्रतिरोध Req ज्ञात कीजिए।
V1 = 18 VR1 = 3 ΩR2 = 25 ΩR3 = 3 ΩR4 = 12 ΩR5 = 6 ΩR6 = 2 Ω
Req = Ω
5.RC और RL क्षणिक अवस्थाएँमध्यम
t = 0 पर स्विच बंद होने से पहले प्रेरक में कोई धारा नहीं है। स्विच बंद होने के कितनी देर बाद धारा अपने अंतिम मान के 95% तक पहुँचती है? t ज्ञात कीजिए।
Vs = 5 VR = 68 ΩL = 150 mH
t = ms
6.RC और RL क्षणिक अवस्थाएँकठिन
t = 0 पर स्विच बंद होने से ठीक पहले संधारित्र पर दर्शाई ध्रुवता के साथ 20 V है। vC को 23.2 V तक पहुँचने में कितना समय लगता है? t ज्ञात कीजिए।
Vs = 24 VR = 4.7 kΩC = 33 µFvC(0) = 20 V
t = ms
7.चुंबकीय क्षेत्र और प्रेरणमध्यम
2 cm की दूरी पर दो लंबे समांतर तारों में 2 A और 8 A धाराएँ एक ही दिशा में बह रही हैं। उनके ठीक बीच में बिंदु P पर चुंबकीय फ्लक्स घनत्व का परिमाण B ज्ञात करें।
I1 = 2 AI2 = 8 Ad = 2 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
B = µT
8.चुंबकीय क्षेत्र और प्रेरणकठिन
एक प्रोटॉन विरामावस्था से शुरू होकर 10000 V के विभवांतर से त्वरित होता है और फिर 0.2 T के एकसमान चुंबकीय क्षेत्र में समकोण पर प्रवेश करता है। क्षेत्र में उसके पथ की त्रिज्या r ज्ञात करें।
m = 1.673 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1.602 × 10⁻¹⁹ CV = 10000 VB = 0.2 T
r = cm
9.AC प्रतिबाधा और फ़ेज़रमध्यम
एक प्रतिरोधक और एक प्रेरक 120 V (rms), 200 Hz आपूर्ति के आर-पार समांतर में जुड़े हैं। प्रतिबाधा का परिमाण |Z| ज्ञात कीजिए।
V = 120 V (rms)f = 200 HzR = 10 ΩL = 20 mH
|Z| = Ω
10.AC प्रतिबाधा और फ़ेज़रकठिन
एक श्रेणी RLC परिपथ 24 V (rms), 60 Hz आपूर्ति से जुड़ा है। rms धारा I ज्ञात कीजिए।
V = 24 V (rms)f = 60 HzR = 60 ΩL = 250 mHC = 100 µF
I = A
3विलयन
1.कूलॉम का नियम और विद्युत क्षेत्र
उत्तर: E = 524417 N/C
कूलॉम का नियम: दो बिंदु आवेश F = k·|q₁·q₂|/r² बल से एक-दूसरे को आकर्षित या प्रतिकर्षित करते हैं, जहाँ k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²। बिंदु आवेश का क्षेत्र E = k·|q|/r² है, जो धनात्मक आवेश से दूर और ऋणात्मक आवेश की ओर होता है। कई आवेशों से उत्पन्न बल और क्षेत्र सदिश रूप से जुड़ते हैं।
हर आवेश का क्षेत्र
E1 = k·1 × 10⁻⁶/0.2² = 224750 N/C
E2 = k·3 × 10⁻⁶/0.3² = 299667 N/C
दिशाएँ और योग
पहला क्षेत्र धनात्मक आवेश से दूर और दूसरा ऋणात्मक आवेश की ओर है: दोनों एक ही दिशा में हैं।
E = |224750 + 299667| = 524417 N/C
उत्तर
E = 524417 N/C
2.कूलॉम का नियम और विद्युत क्षेत्र
उत्तर: q = 283.2 nC
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
संतुलन से विद्युत बल
तनाव का क्षैतिज भाग F को और ऊर्ध्वाधर भाग m·g को संतुलित करता है।
F = m·g·tan θ = 0.008·9.81·tan 12° = 0.01668 N
दूरी
r = 2·L·sin θ = 2·0.5·sin 12° = 0.2079 m
आवेश
F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0.2079·√(0.01668/8.99 × 10⁹) = 2.832 × 10⁻⁷ C = 283.2 nC
उत्तर
q = 283.2 nC
3.श्रेणी और समांतर प्रतिरोधक
उत्तर: IR2 = 0.878 A
श्रेणी और समांतर प्रतिरोधक: श्रेणी में हर प्रतिरोधक से समान धारा बहती है और R = R₁ + R₂ + …। समांतर में हर प्रतिरोधक पर समान वोल्टता होती है और 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …। सीढ़ी नेटवर्क को एक-एक युग्म घटाया जाता है जब तक एक समतुल्य प्रतिरोध न बचे।
दूर वाले सिरे से प्रतिरोधक जोड़ें
स्रोत से सबसे दूर वाले सिरे से शुरू करें और उसकी ओर लौटें। समान धारा वाले प्रतिरोधक श्रेणी में हैं; समान दो नोड के बीच वाले प्रतिरोधक समांतर में हैं।
R3 + R4 = 4 + 20 = 24 Ω
R2 ∥ 24 = 10·24/(10+24) = 7.059 Ω
Req = R1 + 7.059 = 5 + 7.059 = 12.06 Ω
स्रोत से धारा
स्रोत केवल Req देखता है, इसलिए ओम का नियम उसकी दी धारा देता है। यह धारा R₁ से होकर बहती है।
IR1 = V1/Req = 15/12.06 = 1.244 A
R₂ से होकर धारा
नोड A पर वोल्टता पाने के लिए R₁ पर पात घटाएँ, जो R₂ पर वोल्टता है।
VA = V1 − IR1·R1 = 15 − 1.244·5 = 8.78 V
IR2 = VA/R2 = 8.78/10 = 0.878 A
उत्तर
IR2 = 0.878 A
4.श्रेणी और समांतर प्रतिरोधक
उत्तर: Req = 8.945 Ω
श्रेणी और समांतर प्रतिरोधक: श्रेणी में हर प्रतिरोधक से समान धारा बहती है और R = R₁ + R₂ + …। समांतर में हर प्रतिरोधक पर समान वोल्टता होती है और 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …। सीढ़ी नेटवर्क को एक-एक युग्म घटाया जाता है जब तक एक समतुल्य प्रतिरोध न बचे।
दूर वाले सिरे से प्रतिरोधक जोड़ें
स्रोत से सबसे दूर वाले सिरे से शुरू करें और उसकी ओर लौटें। समान धारा वाले प्रतिरोधक श्रेणी में हैं; समान दो नोड के बीच वाले प्रतिरोधक समांतर में हैं।
R5 + R6 = 6 + 2 = 8 Ω
R4 ∥ 8 = 4.8 Ω
R3 + 4.8 = 7.8 Ω
R2 ∥ 7.8 = 5.945 Ω
Req = R1 + 5.945 = 3 + 5.945 = 8.945 Ω
उत्तर
Req = 8.945 Ω
5.RC और RL क्षणिक अवस्थाएँ
उत्तर: t = 6.608 ms
प्रथम-कोटि क्षणिक अवस्थाएँ: एक संधारित्र या एक प्रेरक वाले परिपथ में हर वोल्टता और धारा अपने प्रारंभिक मान से अंतिम मान तक घातांकी रूप से बदलती है: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, जहाँ τ = RC या τ = L/R। लगभग 5τ के बाद परिपथ स्थिर हो जाता है।
समय स्थिरांक और अंतिम धारा
स्विच बंद होने के बहुत बाद प्रेरक शॉर्ट सर्किट जैसा व्यवहार करता है, इसलिए अंतिम धारा केवल R से तय होती है।
τ = L/R = 150 mH / 68 Ω = 2.206 ms
i(∞) = Vs/R = 5/68 = 0.07353 A
समय के लिए हल करें
0.95 = 1 − e−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0.95)
t = −2.206·ln(0.05) = 6.608 ms
उत्तर
t = 6.608 ms
6.RC और RL क्षणिक अवस्थाएँ
उत्तर: t = 249.6 ms
प्रथम-कोटि क्षणिक अवस्थाएँ: एक संधारित्र या एक प्रेरक वाले परिपथ में हर वोल्टता और धारा अपने प्रारंभिक मान से अंतिम मान तक घातांकी रूप से बदलती है: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, जहाँ τ = RC या τ = L/R। लगभग 5τ के बाद परिपथ स्थिर हो जाता है।
प्रारंभिक मान, अंतिम मान, समय स्थिरांक
संधारित्र वोल्टता अचानक नहीं बदल सकती, इसलिए वह अपने संचित मान से शुरू होकर स्रोत वोल्टता की ओर जाती है।
vC(0) = 20 V, vC(∞) = Vs = 24 V
τ = R·C = 4.7 kΩ · 33 µF = 155.1 ms
vC(t) = 24 + (20 − 24)·e−t/τ
समय के लिए हल करें
23.2 = 24 + (−4)·e−t/τ → e−t/τ = (23.2 − 24)/(20 − 24) = 0.2
t = τ·ln((20 − 24)/(23.2 − 24)) = 155.1·ln(5) = 249.6 ms
उत्तर
t = 249.6 ms
7.चुंबकीय क्षेत्र और प्रेरण
उत्तर: B = 120 µT
धाराओं का चुंबकीय क्षेत्र: लंबे सीधे तार के चारों ओर क्षेत्र रेखाएँ वृत्त होती हैं (दाहिने हाथ की पकड़ का नियम) जिनके लिए B = μ₀I/(2πr)। N फेरों वाली समतल वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर B = μ₀NI/(2R)। लंबी परिनालिका के भीतर क्षेत्र एकसमान होता है, B = μ₀nI, जहाँ n = N/L प्रति मीटर फेरे हैं, त्रिज्या चाहे जो हो। μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A। SI इकाइयों (मीटर और ऐम्पियर) में काम करें, और कई स्रोतों के क्षेत्रों को सदिश के रूप में जोड़ें।
P पर प्रत्येक तार का क्षेत्र
B1 = 2 × 10⁻⁷·2/0.01 = 40 µT
B2 = 2 × 10⁻⁷·8/0.01 = 160 µT
मिलाएँ
B = |B₁ − B₂| = 120 µT
उत्तर
B = 120 µT
8.चुंबकीय क्षेत्र और प्रेरण
उत्तर: r = 7.226 cm
चुंबकीय बल: क्षेत्र B में I ले जाने वाला सीधा तार F = BIL·sin θ अनुभव करता है, और गतिमान आवेश F = |q|vB·sin θ, जहाँ θ धारा (या वेग) और B के बीच का कोण है। बल दोनों के लंबवत होता है: दाहिने हाथ की उँगलियाँ I या v की दिशा में रखें, उन्हें B की ओर मोड़ें, और अँगूठा धनात्मक आवेश के लिए F देता है; ऋणात्मक आवेश के लिए इसे उलट दें। क्योंकि F, v के लंबवत है, एकसमान क्षेत्र के आर-पार चलता आवेश वृत्त में चलता है: |q|vB = mv²/r से r = mv/(|q|B) और आवर्तकाल T = 2πm/(|q|B) मिलता है, जो चाल पर निर्भर नहीं करता। एक ही दिशा की धाराओं के लिए दो समांतर तार आकर्षित करते हैं: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)।
त्वरण के बाद की चाल
v = √(2|q|V/m) = √(2·1.602 × 10⁻¹⁹·10000/(1.673 × 10⁻²⁷)) = 1.384 × 10⁶ m/s
क्षेत्र में त्रिज्या
r = mv/(|q|B) = 0.07226 m = 7.226 cm
उत्तर
r = 7.226 cm
संयुक्त: r = √(2mV/|q|)/B, इसलिए समान आवेश के भारी आयन बड़े वृत्तों में चलते हैं; यह समस्थानिकों को अलग करता है।
9.AC प्रतिबाधा और फ़ेज़र
उत्तर: |Z| = 9.292 Ω
फ़ेज़र के साथ AC परिपथ: प्रतिरोधक, प्रेरक और संधारित्र की प्रतिबाधाएँ R, jωL और 1/(jωC) हैं, जहाँ ω = 2πf। श्रेणी में प्रतिबाधाएँ प्रतिरोधों की तरह, पर सम्मिश्र संख्याओं के रूप में जुड़ती हैं। rms धारा और वोल्टता |Z| के साथ ओम के नियम का पालन करती हैं।
प्रतिघात
XL = ωL = 2π·200·0.02 = 25.13 Ω
शाखा धाराएँ
दोनों शाखाएँ सीधे आपूर्ति के आर-पार जुड़ी हैं, इसलिए हर एक पूरी वोल्टता V देखती है।
IR = V/R = 120/10 = 12 A
IX = V/XL = 120/25.13 = 4.775 A
कुल धारा
प्रतिरोधक धारा V के साथ समान कला में है और प्रतिघाती धारा 90° कला से बाहर है, इसलिए वे समकोण त्रिभुज की भुजाओं की तरह जुड़ती हैं।
I = √(IR² + IX²) = √(12² + 4.775²) = 12.92 A
प्रतिबाधा
|Z| = V/I = 120/12.92 = 9.292 Ω
उत्तर
|Z| = 9.292 Ω
10.AC प्रतिबाधा और फ़ेज़र
उत्तर: I = 0.2653 A
फ़ेज़र के साथ AC परिपथ: प्रतिरोधक, प्रेरक और संधारित्र की प्रतिबाधाएँ R, jωL और 1/(jωC) हैं, जहाँ ω = 2πf। श्रेणी में प्रतिबाधाएँ प्रतिरोधों की तरह, पर सम्मिश्र संख्याओं के रूप में जुड़ती हैं। rms धारा और वोल्टता |Z| के साथ ओम के नियम का पालन करती हैं।
प्रतिघात
ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s
XL = ωL = 377·0.25 = 94.25 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(377·100·10⁻⁶) = 26.53 Ω
प्रतिबाधा
श्रेणी में प्रतिबाधाएँ सम्मिश्र संख्याओं की तरह जुड़ती हैं: Z = R + j(XL − XC)।
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(60² + (67.72)²) = 90.48 Ω
धारा
श्रेणी परिपथ के हर अवयव से समान धारा बहती है।
I = V/|Z| = 24/90.48 = 0.2653 A
उत्तर
I = 0.2653 A
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