भौतिकी 2: विद्युत और चुंबकत्व: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 10 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

कूलॉम का नियम और विद्युत क्षेत्र

कूलॉम का नियम: F = k·|q₁q₂|/r²
बिंदु आवेश का क्षेत्र: E = k·|q|/r²
स्थिरांक: k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
आवेश पर बल: F = q·E

श्रेणी और समांतर प्रतिरोधक

श्रेणी में प्रतिरोध: R_eq = R₁ + R₂ + …
समांतर में प्रतिरोध: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
दो समांतर में: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
ओम का नियम: V = I·R
शक्ति: P = V·I = I²R = V²/R

विधि

नेटवर्क के उस सिरे से शुरू करें जो टर्मिनलों से सबसे दूर है।
श्रेणी में प्रतिरोधकों को जोड़कर मिलाएँ, और समांतर में प्रतिरोधकों को 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … से।
हर चरण के बाद परिपथ दोबारा बनाएँ।
तब तक दोहराएँ जब तक टर्मिनलों के बीच एक ही प्रतिरोधक न बचे।

RC और RL क्षणिक अवस्थाएँ

समय स्थिरांक: τ = RC | τ = L/R
अनुक्रिया: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
DC पर संधारित्र: खुला परिपथ; v_C अचानक नहीं बदल सकता
DC पर प्रेरक: शॉर्ट सर्किट; i_L अचानक नहीं बदल सकता
स्थिर अवस्था: t ≈ 5τ

विधि

स्विचिंग के ठीक बाद प्रारंभिक मान ज्ञात करें: संधारित्र की वोल्टता और प्रेरक की धारा अचानक नहीं बदल सकती।
स्विचिंग के बहुत बाद अंतिम मान ज्ञात करें: संधारित्र खुले परिपथ जैसा, प्रेरक लघु परिपथ जैसा व्यवहार करता है।
समय स्थिरांक ज्ञात करें: τ = RC या τ = L/R, संधारित्र या प्रेरक द्वारा देखे गए प्रतिरोध का उपयोग करके।
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ का उपयोग करें।

चुंबकीय क्षेत्र और प्रेरण

लंबा सीधा तार: B = μ₀I/(2πr)
समतल कुंडली का केंद्र: B = μ₀NI/(2R)
लंबी परिनालिका: B = μ₀nI, n = N/L
स्थिरांक: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
तार पर बल: F = BIL·sin θ
आवेश पर बल: F = |q|vB·sin θ
वृत्तीय गति: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
समांतर तार: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
फ्लक्स: Φ = BA·cos θ
फैराडे का नियम: ε = −N·ΔΦ/Δt
गतिमान छड़: ε = BLv
जनित्र: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
प्रेरकत्व: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
अन्योन्य प्रेरकत्व: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
वेग चयनक और स्पेक्ट्रोमीटर: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

विधि

हर राशि को SI इकाइयों में बदलें: cm से m, cm² से m², mT और µT से T।
सही सूत्र चुनें: तार के लिए B = μ₀I/(2πr), कुंडली के केंद्र के लिए μ₀NI/(2R), परिनालिका के भीतर μ₀nI; बलों के लिए F = BIL·sin θ या |q|vB·sin θ।
प्रेरण के लिए फ्लक्स में परिवर्तन ΔΦ = Δ(BA·cos θ) निकालें और ε = N·ΔΦ/Δt उपयोग करें, या गतिमान छड़ के लिए ε = BLv और घूमती कुंडली के लिए NBAω।
दिशाएँ दाहिने हाथ के नियमों से अलग से निकालें, और प्रेरित धाराओं के लिए लेंज़ के नियम से।

AC प्रतिबाधा और फ़ेज़र

प्रतिबाधाएँ: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
कोणीय आवृत्ति: ω = 2πf
परिमाण और कोण: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
फेज़र रूप में ओम का नियम: V = I·Z

विधि

आवृत्ति बदलें: ω = 2πf।
हर प्रतिघात ज्ञात करें: X_L = ωL और X_C = 1/(ωC)।
प्रतिबाधाओं को प्रतिरोधकों की तरह जोड़ें, Z = R + jX के साथ।
परिमाण |Z| = √(R² + X²) और कोण φ = atan(X/R) ज्ञात करें, फिर फ़ेज़र के साथ ओम का नियम लगाएँ।

2अभ्यास प्रश्न

1.कूलॉम का नियम और विद्युत क्षेत्रमध्यम

तीन बिंदु आवेश एक सीधी रेखा पर हैं: बाईं ओर −3 µC, 10 cm दूर दाईं ओर −8 µC, और उनके बीच, बाएँ आवेश से 7.5 cm पर, −4 µC। बीच वाले आवेश पर नेट विद्युत बल F का परिमाण ज्ञात कीजिए। Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².

q_L = −3 µCq_R = −8 µCq_M = −4 µCr_L = 7.5 cmr_R = 2.5 cm

F = N

2.कूलॉम का नियम और विद्युत क्षेत्रकठिन

तीन धनात्मक बिंदु आवेश एक समकोण त्रिभुज के शीर्षों पर हैं: q₃ = 8 µC समकोण वाले शीर्ष पर है, q₁ = 10 µC एक भुजा के अनुदिश उससे 8 cm दूर है और q₂ = 6 µC दूसरी भुजा के अनुदिश उससे 10 cm दूर है। q₃ पर नेट विद्युत बल का परिमाण F ज्ञात कीजिए।

q₁ = 10 µCq₂ = 6 µCq₃ = 8 µCr₁₃ = 8 cmr₂₃ = 10 cm

F = N

3.श्रेणी और समांतर प्रतिरोधकमध्यम

स्रोत द्वारा दी गई धारा I_R1 ज्ञात कीजिए, जो R₁ से होकर बहती है।

V₁ = 30 VR₁ = 15 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 15 Ω

I_R1 = A

4.श्रेणी और समांतर प्रतिरोधककठिन

R₂ से होकर धारा I_R2 ज्ञात कीजिए।

V₁ = 9 VR₁ = 30 ΩR₂ = 30 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 8 ΩR₅ = 5 ΩR₆ = 8 Ω

I_R2 = A

5.RC और RL क्षणिक अवस्थाएँमध्यम

t = 0 पर स्विच बंद होने से पहले प्रेरक में कोई धारा नहीं है। स्विच बंद होने के कितनी देर बाद धारा अपने अंतिम मान के 75% तक पहुँचती है? t ज्ञात कीजिए।

V_s = 24 VR = 10 ΩL = 220 mH

t = ms

6.RC और RL क्षणिक अवस्थाएँकठिन

t = 0 पर स्विच बंद होने से ठीक पहले संधारित्र पर दर्शाई ध्रुवता के साथ 12 V है। t = 750 ms पर संधारित्र वोल्टता v_C ज्ञात कीजिए।

V_s = 20 VR = 2.2 kΩC = 220 µFv_C(0) = 12 Vt = 750 ms

v_C = V

7.चुंबकीय क्षेत्र और प्रेरणमध्यम

एक वर्गाकार लूप दाईं ओर ऐसे क्षेत्र में प्रवेश करता है जहाँ एकसमान चुंबकीय क्षेत्र पृष्ठ से बाहर की ओर है। जब लूप क्षेत्र में प्रवेश कर रहा हो, तब चित्र में दिखाए अनुसार लूप में प्रेरित धारा की दिशा पर क्लिक करें।

B: पृष्ठ से बाहरक्षेत्र में प्रवेश करते हुए

1दक्षिणावर्त
2वामावर्त

8.चुंबकीय क्षेत्र और प्रेरणकठिन

50 mH के प्रेरक में धारा 10 ms में 2 A से 4 A तक लगातार बदलती है। स्वप्रेरित emf का परिमाण ε ज्ञात करें।

L = 50 mH2 A → 4 AΔt = 10 ms

ε = V

9.AC प्रतिबाधा और फ़ेज़रमध्यम

एक प्रतिरोधक और एक प्रेरक 230 V (rms), 50 Hz आपूर्ति के आर-पार समांतर में जुड़े हैं। प्रतिबाधा का कलान्तर कोण φ डिग्री में ज्ञात कीजिए (धनात्मक जब धारा वोल्टता से पीछे हो)।

V = 230 V (rms)f = 50 HzR = 10 ΩL = 150 mH

φ = °

10.AC प्रतिबाधा और फ़ेज़रकठिन

एक श्रेणी RLC परिपथ 120 V (rms), 200 Hz आपूर्ति से जुड़ा है। परिपथ की अनुनादी आवृत्ति f₀ ज्ञात कीजिए।

V = 120 V (rms)f = 200 HzR = 50 ΩL = 250 mHC = 10 µF

f₀ = Hz

3विलयन

1.कूलॉम का नियम और विद्युत क्षेत्र

उत्तर: F = 441.1 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

हर आवेश से बल

दाईं ओर धनात्मक है।

F_L = +k·3·4 × 10⁻¹²/0.075² = 19.18 N

F_R = −k·8·4 × 10⁻¹²/0.025² = −460.3 N

नेट बल

F = 19.18 + (−460.3) = −441.1 N → |F| = 441.1 N

उत्तर

F = 441.1 N

नेट बल बाईं ओर है।

2.कूलॉम का नियम और विद्युत क्षेत्र

उत्तर: F = 120.4 N

कूलॉम का नियम: दो बिंदु आवेश F = k·|q₁·q₂|/r² बल से एक-दूसरे को आकर्षित या प्रतिकर्षित करते हैं, जहाँ k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²। बिंदु आवेश का क्षेत्र E = k·|q|/r² है, जो धनात्मक आवेश से दूर और ऋणात्मक आवेश की ओर होता है। कई आवेशों से उत्पन्न बल और क्षेत्र सदिश रूप से जुड़ते हैं।

q₃ पर हर बल

F₁ = k·10·8 × 10⁻¹²/0.08² = 112.4 N

F₂ = k·6·8 × 10⁻¹²/0.1² = 43.15 N

सदिश योग

F = √(112.4² + 43.15²) = 120.4 N

उत्तर

F = 120.4 N

3.श्रेणी और समांतर प्रतिरोधक

उत्तर: I_R1 = 1.639 A

श्रेणी और समांतर प्रतिरोधक: श्रेणी में हर प्रतिरोधक से समान धारा बहती है और R = R₁ + R₂ + …। समांतर में हर प्रतिरोधक पर समान वोल्टता होती है और 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …। सीढ़ी नेटवर्क को एक-एक युग्म घटाया जाता है जब तक एक समतुल्य प्रतिरोध न बचे।

दूर वाले सिरे से प्रतिरोधक जोड़ें

स्रोत से सबसे दूर वाले सिरे से शुरू करें और उसकी ओर लौटें। समान धारा वाले प्रतिरोधक श्रेणी में हैं; समान दो नोड के बीच वाले प्रतिरोधक समांतर में हैं।

R₃ + R₄ = 4 + 15 = 19 Ω

R₂ ∥ 19 = 4·19/(4+19) = 3.304 Ω

R_eq = R₁ + 3.304 = 15 + 3.304 = 18.3 Ω

स्रोत से धारा

स्रोत केवल R_eq देखता है, इसलिए ओम का नियम उसकी दी धारा देता है। यह धारा R₁ से होकर बहती है।

I_R1 = V₁/R_eq = 30/18.3 = 1.639 A

उत्तर

I_R1 = 1.639 A

4.श्रेणी और समांतर प्रतिरोधक

उत्तर: I_R2 = 0.05983 A

दूर वाले सिरे से प्रतिरोधक जोड़ें

R₅ + R₆ = 5 + 8 = 13 Ω

R₄ ∥ 13 = 4.952 Ω

R₃ + 4.952 = 9.952 Ω

R₂ ∥ 9.952 = 7.473 Ω

R_eq = R₁ + 7.473 = 30 + 7.473 = 37.47 Ω

स्रोत से धारा

I_R1 = V₁/R_eq = 9/37.47 = 0.2402 A

R₂ से होकर धारा

नोड A पर वोल्टता पाने के लिए R₁ पर पात घटाएँ, जो R₂ पर वोल्टता है।

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 9 − 0.2402·30 = 1.795 V

I_R2 = V_A/R₂ = 1.795/30 = 0.05983 A

उत्तर

I_R2 = 0.05983 A

5.RC और RL क्षणिक अवस्थाएँ

उत्तर: t = 30.5 ms

प्रथम-कोटि क्षणिक अवस्थाएँ: एक संधारित्र या एक प्रेरक वाले परिपथ में हर वोल्टता और धारा अपने प्रारंभिक मान से अंतिम मान तक घातांकी रूप से बदलती है: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, जहाँ τ = RC या τ = L/R। लगभग 5τ के बाद परिपथ स्थिर हो जाता है।

समय स्थिरांक और अंतिम धारा

स्विच बंद होने के बहुत बाद प्रेरक शॉर्ट सर्किट जैसा व्यवहार करता है, इसलिए अंतिम धारा केवल R से तय होती है।

τ = L/R = 220 mH / 10 Ω = 22 ms

i(∞) = V_s/R = 24/10 = 2.4 A

समय के लिए हल करें

0.75 = 1 − e^−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0.75)

t = −22·ln(0.25) = 30.5 ms

उत्तर

t = 30.5 ms

6.RC और RL क्षणिक अवस्थाएँ

उत्तर: v_C = 18.3 V

प्रारंभिक मान, अंतिम मान, समय स्थिरांक

संधारित्र वोल्टता अचानक नहीं बदल सकती, इसलिए वह अपने संचित मान से शुरू होकर स्रोत वोल्टता की ओर जाती है।

v_C(0) = 12 V, v_C(∞) = V_s = 20 V

τ = R·C = 2.2 kΩ · 220 µF = 484 ms

v_C(t) = 20 + (12 − 20)·e^−t/τ

दिए गए समय पर वोल्टता

v_C(750) = 20 + (−8)·e^−750/484 = 18.3 V

उत्तर

v_C = 18.3 V

7.चुंबकीय क्षेत्र और प्रेरण

उत्तर: दक्षिणावर्त

विद्युतचुंबकीय प्रेरण: लूप से गुज़रता फ्लक्स Φ = BA·cos θ है, जहाँ θ, B और लूप के अभिलंब के बीच का कोण है। फैराडे का नियम: फ्लक्स में परिवर्तन N फेरों की कुंडली में emf = −N·dΦ/dt प्रेरित करता है, और लेंज़ का नियम कहता है कि प्रेरित धारा इस प्रकार बहती है कि उसका अपना क्षेत्र परिवर्तन का विरोध करे। क्षेत्र के आर-पार गतिमान छड़ emf = BLv देती है। ω पर घूमती कुंडली e = NBAω·sin ωt देती है, शिखर मान NBAω। स्वप्रेरकत्व: emf = −L·di/dt, जहाँ लंबी परिनालिका के लिए L = μ₀N²A/l, और संचित ऊर्जा W = ½LI² है। दो युग्मित कुंडलियाँ: emf₂ = −M·di₁/dt, जहाँ M = k√(L₁L₂)।

फ्लक्स में परिवर्तन

पृष्ठ से बाहर का फ्लक्स बढ़ता है, या पृष्ठ के भीतर का फ्लक्स घटता है।

प्रेरित धारा का क्षेत्र

प्रेरित धारा परिवर्तन का विरोध करती है।

लूप के भीतर प्रेरित क्षेत्र: पृष्ठ के भीतर की ओर।

धारा की दिशा

दाहिने हाथ की पकड़ का नियम: वामावर्त धारा लूप के भीतर पृष्ठ से बाहर की ओर क्षेत्र देती है।

दक्षिणावर्त

उत्तर

दक्षिणावर्त

8.चुंबकीय क्षेत्र और प्रेरण

उत्तर: ε = 10 V

स्वप्रेरित emf

emf धारा के परिवर्तन का विरोध करता है (लेंज़), इसलिए उसका चिह्न ΔI के विपरीत है; परिमाण L·|ΔI|/Δt है।

ε = L·ΔI/Δt = 0.05·2/0.01 = 10 V

उत्तर

ε = 10 V

9.AC प्रतिबाधा और फ़ेज़र

उत्तर: φ = 11.98 °

फ़ेज़र के साथ AC परिपथ: प्रतिरोधक, प्रेरक और संधारित्र की प्रतिबाधाएँ R, jωL और 1/(jωC) हैं, जहाँ ω = 2πf। श्रेणी में प्रतिबाधाएँ प्रतिरोधों की तरह, पर सम्मिश्र संख्याओं के रूप में जुड़ती हैं। rms धारा और वोल्टता |Z| के साथ ओम के नियम का पालन करती हैं।

प्रतिघात

X_L = ωL = 2π·50·0.15 = 47.12 Ω

शाखा धाराएँ

दोनों शाखाएँ सीधे आपूर्ति के आर-पार जुड़ी हैं, इसलिए हर एक पूरी वोल्टता V देखती है।

I_R = V/R = 230/10 = 23 A

I_X = V/X_L = 230/47.12 = 4.881 A

कुल धारा

प्रतिरोधक धारा V के साथ समान कला में है और प्रतिघाती धारा 90° कला से बाहर है, इसलिए वे समकोण त्रिभुज की भुजाओं की तरह जुड़ती हैं।

I = √(I_R² + I_X²) = √(23² + 4.881²) = 23.51 A

कलान्तर कोण

प्रेरक धारा V से पीछे रहती है, इसलिए कुल धारा पीछे रहती है और कोण धनात्मक है।

φ = arctan(I_X/I_R) = arctan(4.881/23) = 11.98°

उत्तर

φ = 11.98°

10.AC प्रतिबाधा और फ़ेज़र

उत्तर: f₀ = 100.7 Hz

अनुनाद

अनुनाद पर प्रेरकीय और धारितीय प्रतिघात एक-दूसरे को निरस्त करते हैं: ωL = 1/(ωC)। आपूर्ति आवृत्ति मायने नहीं रखती।

f₀ = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0.25·10·10⁻⁶)) = 100.7 Hz

उत्तर

f₀ = 100.7 Hz

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