कूलॉम का नियम और विद्युत क्षेत्र
- कूलॉम का नियम
- F = k·|q1q2|/r²
- बिंदु आवेश का क्षेत्र
- E = k·|q|/r²
- स्थिरांक
- k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
- आवेश पर बल
- F = q·E
भौतिकी 2: विद्युत और चुंबकत्व: क्रैम पैक
सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 10 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।
1सूत्र और विधियाँ
श्रेणी और समांतर प्रतिरोधक
- श्रेणी में प्रतिरोध
- Req = R1 + R2 + …
- समांतर में प्रतिरोध
- 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
- दो समांतर में
- Req = R1R2 / (R1 + R2)
- ओम का नियम
- V = I·R
- शक्ति
- P = V·I = I²R = V²/R
विधि
- नेटवर्क के उस सिरे से शुरू करें जो टर्मिनलों से सबसे दूर है।
- श्रेणी में प्रतिरोधकों को जोड़कर मिलाएँ, और समांतर में प्रतिरोधकों को 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … से।
- हर चरण के बाद परिपथ दोबारा बनाएँ।
- तब तक दोहराएँ जब तक टर्मिनलों के बीच एक ही प्रतिरोधक न बचे।
RC और RL क्षणिक अवस्थाएँ
- समय स्थिरांक
- τ = RC | τ = L/R
- अनुक्रिया
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
- DC पर संधारित्र
- खुला परिपथ; vC अचानक नहीं बदल सकता
- DC पर प्रेरक
- शॉर्ट सर्किट; iL अचानक नहीं बदल सकता
- स्थिर अवस्था
- t ≈ 5τ
विधि
- स्विचिंग के ठीक बाद प्रारंभिक मान ज्ञात करें: संधारित्र की वोल्टता और प्रेरक की धारा अचानक नहीं बदल सकती।
- स्विचिंग के बहुत बाद अंतिम मान ज्ञात करें: संधारित्र खुले परिपथ जैसा, प्रेरक लघु परिपथ जैसा व्यवहार करता है।
- समय स्थिरांक ज्ञात करें: τ = RC या τ = L/R, संधारित्र या प्रेरक द्वारा देखे गए प्रतिरोध का उपयोग करके।
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ का उपयोग करें।
चुंबकीय क्षेत्र और प्रेरण
- लंबा सीधा तार
- B = μ0I/(2πr)
- समतल कुंडली का केंद्र
- B = μ0NI/(2R)
- लंबी परिनालिका
- B = μ0nI, n = N/L
- स्थिरांक
- μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
- तार पर बल
- F = BIL·sin θ
- आवेश पर बल
- F = |q|vB·sin θ
- वृत्तीय गति
- r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
- समांतर तार
- F/L = μ0I1I2/(2πd)
- फ्लक्स
- Φ = BA·cos θ
- फैराडे का नियम
- ε = −N·ΔΦ/Δt
- गतिमान छड़
- ε = BLv
- जनित्र
- E0 = NBAω, Erms = E0/√2
- प्रेरकत्व
- ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
- अन्योन्य प्रेरकत्व
- ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
- वेग चयनक और स्पेक्ट्रोमीटर
- v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B
विधि
- हर राशि को SI इकाइयों में बदलें: cm से m, cm² से m², mT और µT से T।
- सही सूत्र चुनें: तार के लिए B = μ₀I/(2πr), कुंडली के केंद्र के लिए μ₀NI/(2R), परिनालिका के भीतर μ₀nI; बलों के लिए F = BIL·sin θ या |q|vB·sin θ।
- प्रेरण के लिए फ्लक्स में परिवर्तन ΔΦ = Δ(BA·cos θ) निकालें और ε = N·ΔΦ/Δt उपयोग करें, या गतिमान छड़ के लिए ε = BLv और घूमती कुंडली के लिए NBAω।
- दिशाएँ दाहिने हाथ के नियमों से अलग से निकालें, और प्रेरित धाराओं के लिए लेंज़ के नियम से।
AC प्रतिबाधा और फ़ेज़र
- प्रतिबाधाएँ
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- कोणीय आवृत्ति
- ω = 2πf
- परिमाण और कोण
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- फेज़र रूप में ओम का नियम
- V = I·Z
विधि
- आवृत्ति बदलें: ω = 2πf।
- हर प्रतिघात ज्ञात करें: XL = ωL और XC = 1/(ωC)।
- प्रतिबाधाओं को प्रतिरोधकों की तरह जोड़ें, Z = R + jX के साथ।
- परिमाण |Z| = √(R² + X²) और कोण φ = atan(X/R) ज्ञात करें, फिर फ़ेज़र के साथ ओम का नियम लगाएँ।
2अभ्यास प्रश्न
1.कूलॉम का नियम और विद्युत क्षेत्रमध्यम
तीन बिंदु आवेश एक सीधी रेखा पर हैं: बाईं ओर −10 µC, 10 cm दूर दाईं ओर +2 µC, और उनके बीच, बाएँ आवेश से 6 cm पर, +2 µC। बीच वाले आवेश पर नेट विद्युत बल F का परिमाण ज्ञात कीजिए। Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².
qL = −10 µCqR = +2 µCqM = +2 µCrL = 6 cmrR = 4 cm
F = N
2.कूलॉम का नियम और विद्युत क्षेत्रकठिन
तीन धनात्मक बिंदु आवेश एक समकोण त्रिभुज के शीर्षों पर हैं: q₃ = 3 µC समकोण वाले शीर्ष पर है, q₁ = 4 µC एक भुजा के अनुदिश उससे 3 cm दूर है और q₂ = 2 µC दूसरी भुजा के अनुदिश उससे 4 cm दूर है। q₃ पर नेट विद्युत बल का परिमाण F ज्ञात कीजिए।
q1 = 4 µCq2 = 2 µCq3 = 3 µCr13 = 3 cmr23 = 4 cm
F = N
3.श्रेणी और समांतर प्रतिरोधकमध्यम
स्रोत V1 द्वारा देखा गया समतुल्य प्रतिरोध Req ज्ञात कीजिए।
V1 = 15 VR1 = 15 ΩR2 = 20 ΩR3 = 8 ΩR4 = 2 Ω
Req = Ω
4.श्रेणी और समांतर प्रतिरोधककठिन
स्रोत द्वारा दी गई धारा IR1 ज्ञात कीजिए, जो R1 से होकर बहती है।
V1 = 30 VR1 = 30 ΩR2 = 6 ΩR3 = 4 ΩR4 = 10 ΩR5 = 4 ΩR6 = 3 Ω
IR1 = A
5.RC और RL क्षणिक अवस्थाएँमध्यम
स्रोत Vₛ, R₁ के माध्यम से संधारित्र को आवेशित करता है, और R₂, C के समांतर जुड़ा है। t = 0 पर स्विच बंद होते समय संधारित्र अनावेशित है। स्विच बंद होने के बाद परिपथ का समय स्थिरांक τ ज्ञात कीजिए।
Vs = 24 VR1 = 2.2 kΩR2 = 1 kΩC = 100 µF
τ = ms
6.RC और RL क्षणिक अवस्थाएँकठिन
एक टाइमर t = 0 पर 12 V आपूर्ति से एक प्रतिरोधक के माध्यम से एक अनावेशित संधारित्र को आवेशित करना शुरू करता है। इसे तब ट्रिगर होना है जब संधारित्र वोल्टता 6 V तक पहुँचे, शुरुआत के ठीक 50 ms बाद। C = 2.2 µF के साथ आवश्यक प्रतिरोध R ज्ञात कीजिए।
Vs = 12 VVth = 6 VT = 50 msC = 2.2 µF
R = kΩ
7.चुंबकीय क्षेत्र और प्रेरणमध्यम
6 cm की दूरी पर दो लंबे समांतर तारों में 12 A और 25 A धाराएँ एक ही दिशा में बह रही हैं। उनके ठीक बीच में बिंदु P पर चुंबकीय फ्लक्स घनत्व का परिमाण B ज्ञात करें।
I1 = 12 AI2 = 25 Ad = 6 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
B = µT
8.चुंबकीय क्षेत्र और प्रेरणकठिन
150 फेरों की, 5 cm × 20 cm की कुंडली, क्षेत्र के लंबवत अक्ष के परितः 0.25 T के एकसमान क्षेत्र में घूमती है। 16.66 V का rms emf देने के लिए उसे किस चाल n (चक्कर प्रति मिनट में) से घूमना होगा?
N = 150A = 5 cm × 20 cmB = 0.25 TErms = 16.66 V
n = rpm
9.AC प्रतिबाधा और फ़ेज़रमध्यम
एक श्रेणी RLC परिपथ 230 V (rms), 50 Hz आपूर्ति से जुड़ा है। rms धारा I ज्ञात कीजिए।
V = 230 V (rms)f = 50 HzR = 30 ΩL = 20 mHC = 100 µF
I = A
10.AC प्रतिबाधा और फ़ेज़रकठिन
एक श्रेणी RLC परिपथ में R = 20 Ω, L = 10 mH और C = 10 µF है। इसकी बैंडविड्थ B (अर्ध-शक्ति आवृत्तियों के बीच के बैंड की चौड़ाई) Hz में ज्ञात कीजिए।
R = 20 ΩL = 10 mHC = 10 µF
B = Hz
3विलयन
1.कूलॉम का नियम और विद्युत क्षेत्र
उत्तर: F = 72.42 N
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
हर आवेश से बल
दाईं ओर धनात्मक है।
FL = −k·10·2 × 10⁻¹²/0.06² = −49.94 N
FR = −k·2·2 × 10⁻¹²/0.04² = −22.47 N
नेट बल
F = −49.94 + (−22.47) = −72.42 N → |F| = 72.42 N
उत्तर
F = 72.42 N
नेट बल बाईं ओर है।
2.कूलॉम का नियम और विद्युत क्षेत्र
उत्तर: F = 124.5 N
कूलॉम का नियम: दो बिंदु आवेश F = k·|q₁·q₂|/r² बल से एक-दूसरे को आकर्षित या प्रतिकर्षित करते हैं, जहाँ k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²। बिंदु आवेश का क्षेत्र E = k·|q|/r² है, जो धनात्मक आवेश से दूर और ऋणात्मक आवेश की ओर होता है। कई आवेशों से उत्पन्न बल और क्षेत्र सदिश रूप से जुड़ते हैं।
q₃ पर हर बल
F1 = k·4·3 × 10⁻¹²/0.03² = 119.9 N
F2 = k·2·3 × 10⁻¹²/0.04² = 33.71 N
सदिश योग
F = √(119.9² + 33.71²) = 124.5 N
उत्तर
F = 124.5 N
3.श्रेणी और समांतर प्रतिरोधक
उत्तर: Req = 21.67 Ω
श्रेणी और समांतर प्रतिरोधक: श्रेणी में हर प्रतिरोधक से समान धारा बहती है और R = R₁ + R₂ + …। समांतर में हर प्रतिरोधक पर समान वोल्टता होती है और 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …। सीढ़ी नेटवर्क को एक-एक युग्म घटाया जाता है जब तक एक समतुल्य प्रतिरोध न बचे।
दूर वाले सिरे से प्रतिरोधक जोड़ें
स्रोत से सबसे दूर वाले सिरे से शुरू करें और उसकी ओर लौटें। समान धारा वाले प्रतिरोधक श्रेणी में हैं; समान दो नोड के बीच वाले प्रतिरोधक समांतर में हैं।
R3 + R4 = 8 + 2 = 10 Ω
R2 ∥ 10 = 20·10/(20+10) = 6.667 Ω
Req = R1 + 6.667 = 15 + 6.667 = 21.67 Ω
उत्तर
Req = 21.67 Ω
4.श्रेणी और समांतर प्रतिरोधक
उत्तर: IR1 = 0.8969 A
श्रेणी और समांतर प्रतिरोधक: श्रेणी में हर प्रतिरोधक से समान धारा बहती है और R = R₁ + R₂ + …। समांतर में हर प्रतिरोधक पर समान वोल्टता होती है और 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …। सीढ़ी नेटवर्क को एक-एक युग्म घटाया जाता है जब तक एक समतुल्य प्रतिरोध न बचे।
दूर वाले सिरे से प्रतिरोधक जोड़ें
स्रोत से सबसे दूर वाले सिरे से शुरू करें और उसकी ओर लौटें। समान धारा वाले प्रतिरोधक श्रेणी में हैं; समान दो नोड के बीच वाले प्रतिरोधक समांतर में हैं।
R5 + R6 = 4 + 3 = 7 Ω
R4 ∥ 7 = 4.118 Ω
R3 + 4.118 = 8.118 Ω
R2 ∥ 8.118 = 3.45 Ω
Req = R1 + 3.45 = 30 + 3.45 = 33.45 Ω
स्रोत से धारा
स्रोत केवल Req देखता है, इसलिए ओम का नियम उसकी दी धारा देता है। यह धारा R₁ से होकर बहती है।
IR1 = V1/Req = 30/33.45 = 0.8969 A
उत्तर
IR1 = 0.8969 A
5.RC और RL क्षणिक अवस्थाएँ
उत्तर: τ = 68.75 ms
प्रथम-कोटि क्षणिक अवस्थाएँ: एक संधारित्र या एक प्रेरक वाले परिपथ में हर वोल्टता और धारा अपने प्रारंभिक मान से अंतिम मान तक घातांकी रूप से बदलती है: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, जहाँ τ = RC या τ = L/R। लगभग 5τ के बाद परिपथ स्थिर हो जाता है।
संधारित्र द्वारा देखा गया थेवेनिन तुल्य
Rth के लिए स्रोत को शॉर्ट करें; संधारित्र को हटाकर (खुला करके) वह वोल्टता ज्ञात करें जिस पर वह स्थिर होगा।
Rth = R1 ∥ R2 = 2.2·1/(2.2 + 1) = 0.6875 kΩ
vC(∞) = 24·1/(2.2 + 1) = 7.5 V
समय स्थिरांक
τ = Rth·C = 0.6875·100 = 68.75 ms
उत्तर
τ = 68.75 ms
6.RC और RL क्षणिक अवस्थाएँ
उत्तर: R = 32.79 kΩ
प्रथम-कोटि क्षणिक अवस्थाएँ: एक संधारित्र या एक प्रेरक वाले परिपथ में हर वोल्टता और धारा अपने प्रारंभिक मान से अंतिम मान तक घातांकी रूप से बदलती है: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, जहाँ τ = RC या τ = L/R। लगभग 5τ के बाद परिपथ स्थिर हो जाता है।
आवश्यक समय स्थिरांक
6 = 12·(1 − e−50/τ) → τ = 50/ln(12/(12 − 6))
τ = 50/0.6931 = 72.13 ms
प्रतिरोध
kΩ गुणा µF से मिलीसेकंड मिलते हैं।
R = τ/C = 72.13/2.2 = 32.79 kΩ
उत्तर
R = 32.79 kΩ
7.चुंबकीय क्षेत्र और प्रेरण
उत्तर: B = 86.67 µT
धाराओं का चुंबकीय क्षेत्र: लंबे सीधे तार के चारों ओर क्षेत्र रेखाएँ वृत्त होती हैं (दाहिने हाथ की पकड़ का नियम) जिनके लिए B = μ₀I/(2πr)। N फेरों वाली समतल वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर B = μ₀NI/(2R)। लंबी परिनालिका के भीतर क्षेत्र एकसमान होता है, B = μ₀nI, जहाँ n = N/L प्रति मीटर फेरे हैं, त्रिज्या चाहे जो हो। μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A। SI इकाइयों (मीटर और ऐम्पियर) में काम करें, और कई स्रोतों के क्षेत्रों को सदिश के रूप में जोड़ें।
P पर प्रत्येक तार का क्षेत्र
B1 = 2 × 10⁻⁷·12/0.03 = 80 µT
B2 = 2 × 10⁻⁷·25/0.03 = 166.7 µT
मिलाएँ
B = |B₁ − B₂| = 86.67 µT
उत्तर
B = 86.67 µT
8.चुंबकीय क्षेत्र और प्रेरण
उत्तर: n = 600 rpm
विद्युतचुंबकीय प्रेरण: लूप से गुज़रता फ्लक्स Φ = BA·cos θ है, जहाँ θ, B और लूप के अभिलंब के बीच का कोण है। फैराडे का नियम: फ्लक्स में परिवर्तन N फेरों की कुंडली में emf = −N·dΦ/dt प्रेरित करता है, और लेंज़ का नियम कहता है कि प्रेरित धारा इस प्रकार बहती है कि उसका अपना क्षेत्र परिवर्तन का विरोध करे। क्षेत्र के आर-पार गतिमान छड़ emf = BLv देती है। ω पर घूमती कुंडली e = NBAω·sin ωt देती है, शिखर मान NBAω। स्वप्रेरकत्व: emf = −L·di/dt, जहाँ लंबी परिनालिका के लिए L = μ₀N²A/l, और संचित ऊर्जा W = ½LI² है। दो युग्मित कुंडलियाँ: emf₂ = −M·di₁/dt, जहाँ M = k√(L₁L₂)।
शिखर emf
E₀ = √2·Erms = 23.56 V
कोणीय चाल
ω = E₀/(NBA) = 23.56/(150·0.25·0.01) = 62.83 rad/s
चक्कर प्रति मिनट
n = 60·62.83/(2π) = 600 rpm
उत्तर
n = 600 rpm
9.AC प्रतिबाधा और फ़ेज़र
उत्तर: I = 5.837 A
फ़ेज़र के साथ AC परिपथ: प्रतिरोधक, प्रेरक और संधारित्र की प्रतिबाधाएँ R, jωL और 1/(jωC) हैं, जहाँ ω = 2πf। श्रेणी में प्रतिबाधाएँ प्रतिरोधों की तरह, पर सम्मिश्र संख्याओं के रूप में जुड़ती हैं। rms धारा और वोल्टता |Z| के साथ ओम के नियम का पालन करती हैं।
प्रतिघात
ω = 2πf = 2π·50 = 314.2 rad/s
XL = ωL = 314.2·0.02 = 6.283 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(314.2·100·10⁻⁶) = 31.83 Ω
प्रतिबाधा
श्रेणी में प्रतिबाधाएँ सम्मिश्र संख्याओं की तरह जुड़ती हैं: Z = R + j(XL − XC)।
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(30² + (−25.55)²) = 39.4 Ω
धारा
श्रेणी परिपथ के हर अवयव से समान धारा बहती है।
I = V/|Z| = 230/39.4 = 5.837 A
उत्तर
I = 5.837 A
10.AC प्रतिबाधा और फ़ेज़र
उत्तर: B = 318.3 Hz
फ़ेज़र के साथ AC परिपथ: प्रतिरोधक, प्रेरक और संधारित्र की प्रतिबाधाएँ R, jωL और 1/(jωC) हैं, जहाँ ω = 2πf। श्रेणी में प्रतिबाधाएँ प्रतिरोधों की तरह, पर सम्मिश्र संख्याओं के रूप में जुड़ती हैं। rms धारा और वोल्टता |Z| के साथ ओम के नियम का पालन करती हैं।
अनुनादी आवृत्ति
f0 = 1/(2π·√(0.01·10·10⁻⁶)) = 503.3 Hz
गुणता गुणक
Q अनुनाद पर प्रतिघात की तुलना प्रतिरोध से करता है: Q = ω₀L/R।
Q = (1/R)·√(L/C) = (1/20)·√(0.01/(10·10⁻⁶)) = 1.581
बैंडविड्थ
B = f0/Q = 503.3/1.581 = 318.3 Hz
उत्तर
B = 318.3 Hz
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