भौतिकी 2: विद्युत और चुंबकत्व: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 10 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

कूलॉम का नियम और विद्युत क्षेत्र

कूलॉम का नियम: F = k·|q₁q₂|/r²
बिंदु आवेश का क्षेत्र: E = k·|q|/r²
स्थिरांक: k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
आवेश पर बल: F = q·E

श्रेणी और समांतर प्रतिरोधक

श्रेणी में प्रतिरोध: R_eq = R₁ + R₂ + …
समांतर में प्रतिरोध: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
दो समांतर में: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
ओम का नियम: V = I·R
शक्ति: P = V·I = I²R = V²/R

विधि

नेटवर्क के उस सिरे से शुरू करें जो टर्मिनलों से सबसे दूर है।
श्रेणी में प्रतिरोधकों को जोड़कर मिलाएँ, और समांतर में प्रतिरोधकों को 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … से।
हर चरण के बाद परिपथ दोबारा बनाएँ।
तब तक दोहराएँ जब तक टर्मिनलों के बीच एक ही प्रतिरोधक न बचे।

RC और RL क्षणिक अवस्थाएँ

समय स्थिरांक: τ = RC | τ = L/R
अनुक्रिया: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
DC पर संधारित्र: खुला परिपथ; v_C अचानक नहीं बदल सकता
DC पर प्रेरक: शॉर्ट सर्किट; i_L अचानक नहीं बदल सकता
स्थिर अवस्था: t ≈ 5τ

विधि

स्विचिंग के ठीक बाद प्रारंभिक मान ज्ञात करें: संधारित्र की वोल्टता और प्रेरक की धारा अचानक नहीं बदल सकती।
स्विचिंग के बहुत बाद अंतिम मान ज्ञात करें: संधारित्र खुले परिपथ जैसा, प्रेरक लघु परिपथ जैसा व्यवहार करता है।
समय स्थिरांक ज्ञात करें: τ = RC या τ = L/R, संधारित्र या प्रेरक द्वारा देखे गए प्रतिरोध का उपयोग करके।
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ का उपयोग करें।

चुंबकीय क्षेत्र और प्रेरण

लंबा सीधा तार: B = μ₀I/(2πr)
समतल कुंडली का केंद्र: B = μ₀NI/(2R)
लंबी परिनालिका: B = μ₀nI, n = N/L
स्थिरांक: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
तार पर बल: F = BIL·sin θ
आवेश पर बल: F = |q|vB·sin θ
वृत्तीय गति: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
समांतर तार: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
फ्लक्स: Φ = BA·cos θ
फैराडे का नियम: ε = −N·ΔΦ/Δt
गतिमान छड़: ε = BLv
जनित्र: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
प्रेरकत्व: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
अन्योन्य प्रेरकत्व: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
वेग चयनक और स्पेक्ट्रोमीटर: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

विधि

हर राशि को SI इकाइयों में बदलें: cm से m, cm² से m², mT और µT से T।
सही सूत्र चुनें: तार के लिए B = μ₀I/(2πr), कुंडली के केंद्र के लिए μ₀NI/(2R), परिनालिका के भीतर μ₀nI; बलों के लिए F = BIL·sin θ या |q|vB·sin θ।
प्रेरण के लिए फ्लक्स में परिवर्तन ΔΦ = Δ(BA·cos θ) निकालें और ε = N·ΔΦ/Δt उपयोग करें, या गतिमान छड़ के लिए ε = BLv और घूमती कुंडली के लिए NBAω।
दिशाएँ दाहिने हाथ के नियमों से अलग से निकालें, और प्रेरित धाराओं के लिए लेंज़ के नियम से।

AC प्रतिबाधा और फ़ेज़र

प्रतिबाधाएँ: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
कोणीय आवृत्ति: ω = 2πf
परिमाण और कोण: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
फेज़र रूप में ओम का नियम: V = I·Z

विधि

आवृत्ति बदलें: ω = 2πf।
हर प्रतिघात ज्ञात करें: X_L = ωL और X_C = 1/(ωC)।
प्रतिबाधाओं को प्रतिरोधकों की तरह जोड़ें, Z = R + jX के साथ।
परिमाण |Z| = √(R² + X²) और कोण φ = atan(X/R) ज्ञात करें, फिर फ़ेज़र के साथ ओम का नियम लगाएँ।

2अभ्यास प्रश्न

1.कूलॉम का नियम और विद्युत क्षेत्रमध्यम

+2 µC का एक आवेश और +1 µC का एक आवेश 50 cm की दूरी पर हैं। बिंदु P उनके बीच की रेखा पर, पहले आवेश से 30 cm पर स्थित है। P पर विद्युत क्षेत्र का परिमाण E ज्ञात कीजिए।

q₁ = +2 µCq₂ = +1 µCr₁ = 30 cmr₂ = 20 cm

E = N/C

2.कूलॉम का नियम और विद्युत क्षेत्रकठिन

1 g द्रव्यमान वाली दो सर्वसम छोटी गेंदें 20 cm लंबे विद्युतरोधी धागों पर एक ही बिंदु से लटकी हैं। उन्हें बराबर आवेश दिए जाते हैं और हर धागा ऊर्ध्वाधर से 5° पर ठहर जाता है। g = 9.81 m/s² लें। हर गेंद पर आवेश q nC में ज्ञात कीजिए। Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².

m = 1 gL = 20 cmθ = 5°g = 9.81 m/s²

q = nC

3.श्रेणी और समांतर प्रतिरोधकमध्यम

R₂ से होकर धारा I_R2 ज्ञात कीजिए।

V₁ = 9 VR₁ = 6 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 10 Ω

I_R2 = A

4.श्रेणी और समांतर प्रतिरोधककठिन

R₂ से होकर धारा I_R2 ज्ञात कीजिए।

V₁ = 36 VR₁ = 3 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 5 ΩR₅ = 10 ΩR₆ = 12 Ω

I_R2 = A

5.RC और RL क्षणिक अवस्थाएँमध्यम

स्रोत Vₛ, R₁ के माध्यम से संधारित्र को आवेशित करता है, और R₂, C के समांतर जुड़ा है। t = 0 पर स्विच बंद होते समय संधारित्र अनावेशित है। t = 80 ms पर संधारित्र वोल्टता v_C ज्ञात कीजिए।

V_s = 20 VR₁ = 1 kΩR₂ = 4.7 kΩC = 33 µFt = 80 ms

v_C = V

6.RC और RL क्षणिक अवस्थाएँकठिन

t = 0 पर स्विच बंद होने से ठीक पहले संधारित्र पर दर्शाई ध्रुवता के साथ 6 V है। t = 250 ms पर संधारित्र वोल्टता v_C ज्ञात कीजिए।

V_s = 10 VR = 6.8 kΩC = 100 µFv_C(0) = 6 Vt = 250 ms

v_C = V

7.चुंबकीय क्षेत्र और प्रेरणमध्यम

10 फेरों की कुंडली का क्षेत्रफल 200 cm² है। कुंडली के लंबवत एकसमान क्षेत्र 500 ms में 0.2 T से 0.3 T तक लगातार बढ़ता है। औसत प्रेरित emf ε ज्ञात करें।

N = 10A = 200 cm²B: 0.2 T → 0.3 TΔt = 500 ms

ε = mV

8.चुंबकीय क्षेत्र और प्रेरणकठिन

500 फेरों की, 15 cm × 5 cm की कुंडली, क्षेत्र के लंबवत अक्ष के परितः 0.05 T के एकसमान क्षेत्र में घूमती है। 20.83 V का rms emf देने के लिए उसे किस चाल n (चक्कर प्रति मिनट में) से घूमना होगा?

N = 500A = 15 cm × 5 cmB = 0.05 TE_rms = 20.83 V

n = rpm

9.AC प्रतिबाधा और फ़ेज़रमध्यम

एक श्रेणी RLC परिपथ 10 V (rms), 50 Hz आपूर्ति से जुड़ा है। प्रतिबाधा का कलान्तर कोण φ डिग्री में ज्ञात कीजिए (धनात्मक जब धारा वोल्टता से पीछे हो)।

V = 10 V (rms)f = 50 HzR = 10 ΩL = 150 mHC = 47 µF

φ = °

10.AC प्रतिबाधा और फ़ेज़रकठिन

एक श्रेणी RLC परिपथ 10 V (rms), 500 Hz आपूर्ति से जुड़ा है। संधारित्र पर rms वोल्टता V_C ज्ञात कीजिए।

V = 10 V (rms)f = 500 HzR = 80 ΩL = 50 mHC = 4.7 µF

V_C = V

3विलयन

1.कूलॉम का नियम और विद्युत क्षेत्र

उत्तर: E = 24972 N/C

कूलॉम का नियम: दो बिंदु आवेश F = k·|q₁·q₂|/r² बल से एक-दूसरे को आकर्षित या प्रतिकर्षित करते हैं, जहाँ k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²। बिंदु आवेश का क्षेत्र E = k·|q|/r² है, जो धनात्मक आवेश से दूर और ऋणात्मक आवेश की ओर होता है। कई आवेशों से उत्पन्न बल और क्षेत्र सदिश रूप से जुड़ते हैं।

हर आवेश का क्षेत्र

E₁ = k·2 × 10⁻⁶/0.3² = 199778 N/C

E₂ = k·1 × 10⁻⁶/0.2² = 224750 N/C

दिशाएँ और योग

दोनों आवेश धनात्मक हैं: P पर उनके क्षेत्र अपने-अपने आवेश से दूर, यानी विपरीत दिशाओं में होते हैं।

E = |199778 − 224750| = 24972 N/C

उत्तर

E = 24972 N/C

2.कूलॉम का नियम और विद्युत क्षेत्र

उत्तर: q = 10.77 nC

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

संतुलन से विद्युत बल

तनाव का क्षैतिज भाग F को और ऊर्ध्वाधर भाग m·g को संतुलित करता है।

F = m·g·tan θ = 0.001·9.81·tan 5° = 0.0008583 N

दूरी

r = 2·L·sin θ = 2·0.2·sin 5° = 0.03486 m

आवेश

F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0.03486·√(0.0008583/8.99 × 10⁹) = 1.077 × 10⁻⁸ C = 10.77 nC

उत्तर

q = 10.77 nC

3.श्रेणी और समांतर प्रतिरोधक

उत्तर: I_R2 = 0.9091 A

श्रेणी और समांतर प्रतिरोधक: श्रेणी में हर प्रतिरोधक से समान धारा बहती है और R = R₁ + R₂ + …। समांतर में हर प्रतिरोधक पर समान वोल्टता होती है और 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …। सीढ़ी नेटवर्क को एक-एक युग्म घटाया जाता है जब तक एक समतुल्य प्रतिरोध न बचे।

दूर वाले सिरे से प्रतिरोधक जोड़ें

स्रोत से सबसे दूर वाले सिरे से शुरू करें और उसकी ओर लौटें। समान धारा वाले प्रतिरोधक श्रेणी में हैं; समान दो नोड के बीच वाले प्रतिरोधक समांतर में हैं।

R₃ + R₄ = 10 + 10 = 20 Ω

R₂ ∥ 20 = 3·20/(3+20) = 2.609 Ω

R_eq = R₁ + 2.609 = 6 + 2.609 = 8.609 Ω

स्रोत से धारा

स्रोत केवल R_eq देखता है, इसलिए ओम का नियम उसकी दी धारा देता है। यह धारा R₁ से होकर बहती है।

I_R1 = V₁/R_eq = 9/8.609 = 1.045 A

R₂ से होकर धारा

नोड A पर वोल्टता पाने के लिए R₁ पर पात घटाएँ, जो R₂ पर वोल्टता है।

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 9 − 1.045·6 = 2.727 V

I_R2 = V_A/R₂ = 2.727/3 = 0.9091 A

उत्तर

I_R2 = 0.9091 A

4.श्रेणी और समांतर प्रतिरोधक

उत्तर: I_R2 = 3.009 A

दूर वाले सिरे से प्रतिरोधक जोड़ें

R₅ + R₆ = 10 + 12 = 22 Ω

R₄ ∥ 22 = 4.074 Ω

R₃ + 4.074 = 6.074 Ω

R₂ ∥ 6.074 = 3.018 Ω

R_eq = R₁ + 3.018 = 3 + 3.018 = 6.018 Ω

स्रोत से धारा

I_R1 = V₁/R_eq = 36/6.018 = 5.982 A

R₂ से होकर धारा

नोड A पर वोल्टता पाने के लिए R₁ पर पात घटाएँ, जो R₂ पर वोल्टता है।

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 36 − 5.982·3 = 18.06 V

I_R2 = V_A/R₂ = 18.06/6 = 3.009 A

उत्तर

I_R2 = 3.009 A

5.RC और RL क्षणिक अवस्थाएँ

उत्तर: v_C = 15.62 V

प्रथम-कोटि क्षणिक अवस्थाएँ: एक संधारित्र या एक प्रेरक वाले परिपथ में हर वोल्टता और धारा अपने प्रारंभिक मान से अंतिम मान तक घातांकी रूप से बदलती है: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, जहाँ τ = RC या τ = L/R। लगभग 5τ के बाद परिपथ स्थिर हो जाता है।

संधारित्र द्वारा देखा गया थेवेनिन तुल्य

R_th के लिए स्रोत को शॉर्ट करें; संधारित्र को हटाकर (खुला करके) वह वोल्टता ज्ञात करें जिस पर वह स्थिर होगा।

R_th = R₁ ∥ R₂ = 1·4.7/(1 + 4.7) = 0.8246 kΩ

v_C(∞) = 20·4.7/(1 + 4.7) = 16.49 V

समय स्थिरांक

τ = R_th·C = 0.8246·33 = 27.21 ms

आवेशन वक्र

v_C(t) = 16.49·(1 − e^−80/27.21) = 15.62 V

उत्तर

v_C = 15.62 V

6.RC और RL क्षणिक अवस्थाएँ

उत्तर: v_C = 7.231 V

प्रारंभिक मान, अंतिम मान, समय स्थिरांक

संधारित्र वोल्टता अचानक नहीं बदल सकती, इसलिए वह अपने संचित मान से शुरू होकर स्रोत वोल्टता की ओर जाती है।

v_C(0) = 6 V, v_C(∞) = V_s = 10 V

τ = R·C = 6.8 kΩ · 100 µF = 680 ms

v_C(t) = 10 + (6 − 10)·e^−t/τ

दिए गए समय पर वोल्टता

v_C(250) = 10 + (−4)·e^−250/680 = 7.231 V

उत्तर

v_C = 7.231 V

7.चुंबकीय क्षेत्र और प्रेरण

उत्तर: ε = 40 mV

विद्युतचुंबकीय प्रेरण: लूप से गुज़रता फ्लक्स Φ = BA·cos θ है, जहाँ θ, B और लूप के अभिलंब के बीच का कोण है। फैराडे का नियम: फ्लक्स में परिवर्तन N फेरों की कुंडली में emf = −N·dΦ/dt प्रेरित करता है, और लेंज़ का नियम कहता है कि प्रेरित धारा इस प्रकार बहती है कि उसका अपना क्षेत्र परिवर्तन का विरोध करे। क्षेत्र के आर-पार गतिमान छड़ emf = BLv देती है। ω पर घूमती कुंडली e = NBAω·sin ωt देती है, शिखर मान NBAω। स्वप्रेरकत्व: emf = −L·di/dt, जहाँ लंबी परिनालिका के लिए L = μ₀N²A/l, और संचित ऊर्जा W = ½LI² है। दो युग्मित कुंडलियाँ: emf₂ = −M·di₁/dt, जहाँ M = k√(L₁L₂)।

प्रति फेरा फ्लक्स में परिवर्तन

ΔΦ = (0.3 − 0.2)·0.02 = 0.002 Wb

औसत emf

ε = NΔΦ/Δt = 10·0.002/0.5 = 0.04 V

उत्तर

ε = 40 mV

8.चुंबकीय क्षेत्र और प्रेरण

उत्तर: n = 1500 rpm

शिखर emf

E₀ = √2·E_rms = 29.46 V

कोणीय चाल

ω = E₀/(NBA) = 29.46/(500·0.05·0.0075) = 157.1 rad/s

चक्कर प्रति मिनट

n = 60·157.1/(2π) = 1500 rpm

उत्तर

n = 1500 rpm

9.AC प्रतिबाधा और फ़ेज़र

उत्तर: φ = −64.11 °

फ़ेज़र के साथ AC परिपथ: प्रतिरोधक, प्रेरक और संधारित्र की प्रतिबाधाएँ R, jωL और 1/(jωC) हैं, जहाँ ω = 2πf। श्रेणी में प्रतिबाधाएँ प्रतिरोधों की तरह, पर सम्मिश्र संख्याओं के रूप में जुड़ती हैं। rms धारा और वोल्टता |Z| के साथ ओम के नियम का पालन करती हैं।

प्रतिघात

ω = 2πf = 2π·50 = 314.2 rad/s

X_L = ωL = 314.2·0.15 = 47.12 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(314.2·47·10⁻⁶) = 67.73 Ω

प्रतिबाधा

श्रेणी में प्रतिबाधाएँ सम्मिश्र संख्याओं की तरह जुड़ती हैं: Z = R + j(X_L − X_C)।

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(10² + (−20.6)²) = 22.9 Ω

कलान्तर कोण

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(−20.6/10) = −64.11°

उत्तर

φ = −64.11°

10.AC प्रतिबाधा और फ़ेज़र

उत्तर: V_C = 5.647 V

प्रतिघात

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s

X_L = ωL = 3142·0.05 = 157.1 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(3142·4.7·10⁻⁶) = 67.73 Ω

प्रतिबाधा

श्रेणी में प्रतिबाधाएँ सम्मिश्र संख्याओं की तरह जुड़ती हैं: Z = R + j(X_L − X_C)।

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(80² + (89.35)²) = 119.9 Ω

धारा

श्रेणी परिपथ के हर अवयव से समान धारा बहती है।

I = V/|Z| = 10/119.9 = 0.08338 A

संधारित्र पर वोल्टता

V_C = I·X_C = 0.08338·67.73 = 5.647 V

उत्तर

V_C = 5.647 V

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