कूलॉम का नियम और विद्युत क्षेत्र
- कूलॉम का नियम
- F = k·|q1q2|/r²
- बिंदु आवेश का क्षेत्र
- E = k·|q|/r²
- स्थिरांक
- k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
- आवेश पर बल
- F = q·E
भौतिकी 2: विद्युत और चुंबकत्व: क्रैम पैक
सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 10 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।
1सूत्र और विधियाँ
श्रेणी और समांतर प्रतिरोधक
- श्रेणी में प्रतिरोध
- Req = R1 + R2 + …
- समांतर में प्रतिरोध
- 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
- दो समांतर में
- Req = R1R2 / (R1 + R2)
- ओम का नियम
- V = I·R
- शक्ति
- P = V·I = I²R = V²/R
विधि
- नेटवर्क के उस सिरे से शुरू करें जो टर्मिनलों से सबसे दूर है।
- श्रेणी में प्रतिरोधकों को जोड़कर मिलाएँ, और समांतर में प्रतिरोधकों को 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … से।
- हर चरण के बाद परिपथ दोबारा बनाएँ।
- तब तक दोहराएँ जब तक टर्मिनलों के बीच एक ही प्रतिरोधक न बचे।
RC और RL क्षणिक अवस्थाएँ
- समय स्थिरांक
- τ = RC | τ = L/R
- अनुक्रिया
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
- DC पर संधारित्र
- खुला परिपथ; vC अचानक नहीं बदल सकता
- DC पर प्रेरक
- शॉर्ट सर्किट; iL अचानक नहीं बदल सकता
- स्थिर अवस्था
- t ≈ 5τ
विधि
- स्विचिंग के ठीक बाद प्रारंभिक मान ज्ञात करें: संधारित्र की वोल्टता और प्रेरक की धारा अचानक नहीं बदल सकती।
- स्विचिंग के बहुत बाद अंतिम मान ज्ञात करें: संधारित्र खुले परिपथ जैसा, प्रेरक लघु परिपथ जैसा व्यवहार करता है।
- समय स्थिरांक ज्ञात करें: τ = RC या τ = L/R, संधारित्र या प्रेरक द्वारा देखे गए प्रतिरोध का उपयोग करके।
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ का उपयोग करें।
चुंबकीय क्षेत्र और प्रेरण
- लंबा सीधा तार
- B = μ0I/(2πr)
- समतल कुंडली का केंद्र
- B = μ0NI/(2R)
- लंबी परिनालिका
- B = μ0nI, n = N/L
- स्थिरांक
- μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
- तार पर बल
- F = BIL·sin θ
- आवेश पर बल
- F = |q|vB·sin θ
- वृत्तीय गति
- r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
- समांतर तार
- F/L = μ0I1I2/(2πd)
- फ्लक्स
- Φ = BA·cos θ
- फैराडे का नियम
- ε = −N·ΔΦ/Δt
- गतिमान छड़
- ε = BLv
- जनित्र
- E0 = NBAω, Erms = E0/√2
- प्रेरकत्व
- ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
- अन्योन्य प्रेरकत्व
- ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
- वेग चयनक और स्पेक्ट्रोमीटर
- v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B
विधि
- हर राशि को SI इकाइयों में बदलें: cm से m, cm² से m², mT और µT से T।
- सही सूत्र चुनें: तार के लिए B = μ₀I/(2πr), कुंडली के केंद्र के लिए μ₀NI/(2R), परिनालिका के भीतर μ₀nI; बलों के लिए F = BIL·sin θ या |q|vB·sin θ।
- प्रेरण के लिए फ्लक्स में परिवर्तन ΔΦ = Δ(BA·cos θ) निकालें और ε = N·ΔΦ/Δt उपयोग करें, या गतिमान छड़ के लिए ε = BLv और घूमती कुंडली के लिए NBAω।
- दिशाएँ दाहिने हाथ के नियमों से अलग से निकालें, और प्रेरित धाराओं के लिए लेंज़ के नियम से।
AC प्रतिबाधा और फ़ेज़र
- प्रतिबाधाएँ
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- कोणीय आवृत्ति
- ω = 2πf
- परिमाण और कोण
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- फेज़र रूप में ओम का नियम
- V = I·Z
विधि
- आवृत्ति बदलें: ω = 2πf।
- हर प्रतिघात ज्ञात करें: XL = ωL और XC = 1/(ωC)।
- प्रतिबाधाओं को प्रतिरोधकों की तरह जोड़ें, Z = R + jX के साथ।
- परिमाण |Z| = √(R² + X²) और कोण φ = atan(X/R) ज्ञात करें, फिर फ़ेज़र के साथ ओम का नियम लगाएँ।
2अभ्यास प्रश्न
1.कूलॉम का नियम और विद्युत क्षेत्रमध्यम
+10 µC और +3 µC के आवेश 20 cm दूर हैं। उनके बीच की रेखा पर +10 µC आवेश से किस दूरी x पर विद्युत क्षेत्र शून्य है?
q1 = +10 µCq2 = +3 µCd = 20 cm
x = cm
2.कूलॉम का नियम और विद्युत क्षेत्रकठिन
तीन धनात्मक बिंदु आवेश एक समकोण त्रिभुज के शीर्षों पर हैं: q₃ = 5 µC समकोण वाले शीर्ष पर है, q₁ = 8 µC एक भुजा के अनुदिश उससे 5 cm दूर है और q₂ = 6 µC दूसरी भुजा के अनुदिश उससे 5 cm दूर है। q₃ पर नेट विद्युत बल का परिमाण F ज्ञात कीजिए।
q1 = 8 µCq2 = 6 µCq3 = 5 µCr13 = 5 cmr23 = 5 cm
F = N
3.श्रेणी और समांतर प्रतिरोधकमध्यम
स्रोत V1 द्वारा देखा गया समतुल्य प्रतिरोध Req ज्ञात कीजिए।
V1 = 10 VR1 = 8 ΩR2 = 6 ΩR3 = 10 ΩR4 = 5 Ω
Req = Ω
4.श्रेणी और समांतर प्रतिरोधककठिन
स्रोत द्वारा दी गई धारा IR1 ज्ञात कीजिए, जो R1 से होकर बहती है।
V1 = 10 VR1 = 30 ΩR2 = 6 ΩR3 = 2 ΩR4 = 2 ΩR5 = 2 ΩR6 = 30 Ω
IR1 = A
5.RC और RL क्षणिक अवस्थाएँमध्यम
t = 0 पर स्विच बंद होने से पहले प्रेरक में कोई धारा नहीं है। t = 60 ms पर प्रेरक पर वोल्टता vL ज्ञात कीजिए।
Vs = 12 VR = 10 ΩL = 220 mHt = 60 ms
vL = V
6.RC और RL क्षणिक अवस्थाएँकठिन
स्विच लंबे समय से बंद है, इसलिए परिपथ स्थायी अवस्था में है। t = 0 पर स्विच खुलता है। t = 300 ms पर संधारित्र वोल्टता vC ज्ञात कीजिए।
Vs = 24 VR1 = 2.2 kΩR2 = 4.7 kΩC = 220 µFt = 300 ms
vC = V
7.चुंबकीय क्षेत्र और प्रेरणमध्यम
30 cm लंबी धातु की छड़ पटरियों के अनुदिश 0.1 T के एकसमान क्षेत्र में, जो पृष्ठ के भीतर है, 3 m/s से फिसलती है। पटरियाँ 10 Ω के प्रतिरोधक से जुड़ी हैं; छड़ और पटरियों का प्रतिरोध नगण्य है। प्रतिरोधक में क्षयित शक्ति P ज्ञात करें।
B = 0.1 TL = 30 cmv = 3 m/sR = 10 Ω
P = mW
8.चुंबकीय क्षेत्र और प्रेरणकठिन
एक ड्यूटरॉन विरामावस्था से शुरू होकर 5000 V के विभवांतर से त्वरित होता है और फिर 0.3 T के एकसमान चुंबकीय क्षेत्र में समकोण पर प्रवेश करता है। क्षेत्र में उसके पथ की त्रिज्या r ज्ञात करें।
m = 3.344 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1.602 × 10⁻¹⁹ CV = 5000 VB = 0.3 T
r = cm
9.AC प्रतिबाधा और फ़ेज़रमध्यम
L = 5 mH वाले एक श्रेणी RLC परिपथ को 500 Hz पर अनुनाद करना है। आवश्यक धारिता C ज्ञात कीजिए।
f0 = 500 HzL = 5 mH
C = µF
10.AC प्रतिबाधा और फ़ेज़रकठिन
एक श्रेणी RLC परिपथ 230 V (rms), 50 Hz आपूर्ति से जुड़ा है। rms धारा I ज्ञात कीजिए।
V = 230 V (rms)f = 50 HzR = 50 ΩL = 200 mHC = 47 µF
I = A
3विलयन
1.कूलॉम का नियम और विद्युत क्षेत्र
उत्तर: x = 12.92 cm
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
बराबर क्षेत्र
10/x² = 3/(20 − x)²
(20 − x)/x = √(3/10) = 0.5477
स्थिति
x = 20/(1 + 0.5477) = 12.92 cm
उत्तर
x = 12.92 cm
शून्य बिंदु हमेशा छोटे आवेश के निकट होता है।
2.कूलॉम का नियम और विद्युत क्षेत्र
उत्तर: F = 179.8 N
कूलॉम का नियम: दो बिंदु आवेश F = k·|q₁·q₂|/r² बल से एक-दूसरे को आकर्षित या प्रतिकर्षित करते हैं, जहाँ k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²। बिंदु आवेश का क्षेत्र E = k·|q|/r² है, जो धनात्मक आवेश से दूर और ऋणात्मक आवेश की ओर होता है। कई आवेशों से उत्पन्न बल और क्षेत्र सदिश रूप से जुड़ते हैं।
q₃ पर हर बल
F1 = k·8·5 × 10⁻¹²/0.05² = 143.8 N
F2 = k·6·5 × 10⁻¹²/0.05² = 107.9 N
सदिश योग
F = √(143.8² + 107.9²) = 179.8 N
उत्तर
F = 179.8 N
3.श्रेणी और समांतर प्रतिरोधक
उत्तर: Req = 12.29 Ω
श्रेणी और समांतर प्रतिरोधक: श्रेणी में हर प्रतिरोधक से समान धारा बहती है और R = R₁ + R₂ + …। समांतर में हर प्रतिरोधक पर समान वोल्टता होती है और 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …। सीढ़ी नेटवर्क को एक-एक युग्म घटाया जाता है जब तक एक समतुल्य प्रतिरोध न बचे।
दूर वाले सिरे से प्रतिरोधक जोड़ें
स्रोत से सबसे दूर वाले सिरे से शुरू करें और उसकी ओर लौटें। समान धारा वाले प्रतिरोधक श्रेणी में हैं; समान दो नोड के बीच वाले प्रतिरोधक समांतर में हैं।
R3 + R4 = 10 + 5 = 15 Ω
R2 ∥ 15 = 6·15/(6+15) = 4.286 Ω
Req = R1 + 4.286 = 8 + 4.286 = 12.29 Ω
उत्तर
Req = 12.29 Ω
4.श्रेणी और समांतर प्रतिरोधक
उत्तर: IR1 = 0.3091 A
श्रेणी और समांतर प्रतिरोधक: श्रेणी में हर प्रतिरोधक से समान धारा बहती है और R = R₁ + R₂ + …। समांतर में हर प्रतिरोधक पर समान वोल्टता होती है और 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …। सीढ़ी नेटवर्क को एक-एक युग्म घटाया जाता है जब तक एक समतुल्य प्रतिरोध न बचे।
दूर वाले सिरे से प्रतिरोधक जोड़ें
स्रोत से सबसे दूर वाले सिरे से शुरू करें और उसकी ओर लौटें। समान धारा वाले प्रतिरोधक श्रेणी में हैं; समान दो नोड के बीच वाले प्रतिरोधक समांतर में हैं।
R5 + R6 = 2 + 30 = 32 Ω
R4 ∥ 32 = 1.882 Ω
R3 + 1.882 = 3.882 Ω
R2 ∥ 3.882 = 2.357 Ω
Req = R1 + 2.357 = 30 + 2.357 = 32.36 Ω
स्रोत से धारा
स्रोत केवल Req देखता है, इसलिए ओम का नियम उसकी दी धारा देता है। यह धारा R₁ से होकर बहती है।
IR1 = V1/Req = 10/32.36 = 0.3091 A
उत्तर
IR1 = 0.3091 A
5.RC और RL क्षणिक अवस्थाएँ
उत्तर: vL = 0.7848 V
प्रथम-कोटि क्षणिक अवस्थाएँ: एक संधारित्र या एक प्रेरक वाले परिपथ में हर वोल्टता और धारा अपने प्रारंभिक मान से अंतिम मान तक घातांकी रूप से बदलती है: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, जहाँ τ = RC या τ = L/R। लगभग 5τ के बाद परिपथ स्थिर हो जाता है।
समय स्थिरांक और अंतिम धारा
स्विच बंद होने के बहुत बाद प्रेरक शॉर्ट सर्किट जैसा व्यवहार करता है, इसलिए अंतिम धारा केवल R से तय होती है।
τ = L/R = 220 mH / 10 Ω = 22 ms
i(∞) = Vs/R = 12/10 = 1.2 A
प्रेरक वोल्टता
t = 0 पर पूरी आपूर्ति वोल्टता प्रेरक पर होती है; फिर वह शून्य तक घटती है।
vL(t) = Vs·e−t/τ = 12·e−60/22 = 0.7848 V
उत्तर
vL = 0.7848 V
6.RC और RL क्षणिक अवस्थाएँ
उत्तर: vC = 12.23 V
प्रथम-कोटि क्षणिक अवस्थाएँ: एक संधारित्र या एक प्रेरक वाले परिपथ में हर वोल्टता और धारा अपने प्रारंभिक मान से अंतिम मान तक घातांकी रूप से बदलती है: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, जहाँ τ = RC या τ = L/R। लगभग 5τ के बाद परिपथ स्थिर हो जाता है।
प्रारंभिक संधारित्र वोल्टता
स्थायी अवस्था में संधारित्र खुला परिपथ है, इसलिए R₁ और R₂ एक वोल्टता विभाजक बनाते हैं। स्विच खुलने पर संधारित्र वोल्टता छलाँग नहीं लगा सकती।
vC(0) = 24·4.7/(2.2 + 4.7) = 16.35 V
स्विच खुलने के बाद समय स्थिरांक
τ = R2·C = 4.7·220 = 1034 ms
निरावेशन
vC(t) = 16.35·e−300/1034 = 12.23 V
उत्तर
vC = 12.23 V
7.चुंबकीय क्षेत्र और प्रेरण
उत्तर: P = 0.81 mW
विद्युतचुंबकीय प्रेरण: लूप से गुज़रता फ्लक्स Φ = BA·cos θ है, जहाँ θ, B और लूप के अभिलंब के बीच का कोण है। फैराडे का नियम: फ्लक्स में परिवर्तन N फेरों की कुंडली में emf = −N·dΦ/dt प्रेरित करता है, और लेंज़ का नियम कहता है कि प्रेरित धारा इस प्रकार बहती है कि उसका अपना क्षेत्र परिवर्तन का विरोध करे। क्षेत्र के आर-पार गतिमान छड़ emf = BLv देती है। ω पर घूमती कुंडली e = NBAω·sin ωt देती है, शिखर मान NBAω। स्वप्रेरकत्व: emf = −L·di/dt, जहाँ लंबी परिनालिका के लिए L = μ₀N²A/l, और संचित ऊर्जा W = ½LI² है। दो युग्मित कुंडलियाँ: emf₂ = −M·di₁/dt, जहाँ M = k√(L₁L₂)।
गतिज emf
ε = BLv = 0.1·0.3·3 = 0.09 V
धारा
I = ε/R = 0.09/10 = 0.009 A
शक्ति
P = εI = 0.09·0.009 = 0.00081 W
उत्तर
P = 0.81 mW
8.चुंबकीय क्षेत्र और प्रेरण
उत्तर: r = 4.816 cm
चुंबकीय बल: क्षेत्र B में I ले जाने वाला सीधा तार F = BIL·sin θ अनुभव करता है, और गतिमान आवेश F = |q|vB·sin θ, जहाँ θ धारा (या वेग) और B के बीच का कोण है। बल दोनों के लंबवत होता है: दाहिने हाथ की उँगलियाँ I या v की दिशा में रखें, उन्हें B की ओर मोड़ें, और अँगूठा धनात्मक आवेश के लिए F देता है; ऋणात्मक आवेश के लिए इसे उलट दें। क्योंकि F, v के लंबवत है, एकसमान क्षेत्र के आर-पार चलता आवेश वृत्त में चलता है: |q|vB = mv²/r से r = mv/(|q|B) और आवर्तकाल T = 2πm/(|q|B) मिलता है, जो चाल पर निर्भर नहीं करता। एक ही दिशा की धाराओं के लिए दो समांतर तार आकर्षित करते हैं: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)।
त्वरण के बाद की चाल
v = √(2|q|V/m) = √(2·1.602 × 10⁻¹⁹·5000/(3.344 × 10⁻²⁷)) = 692147 m/s
क्षेत्र में त्रिज्या
r = mv/(|q|B) = 0.04816 m = 4.816 cm
उत्तर
r = 4.816 cm
संयुक्त: r = √(2mV/|q|)/B, इसलिए समान आवेश के भारी आयन बड़े वृत्तों में चलते हैं; यह समस्थानिकों को अलग करता है।
9.AC प्रतिबाधा और फ़ेज़र
उत्तर: C = 20.26 µF
फ़ेज़र के साथ AC परिपथ: प्रतिरोधक, प्रेरक और संधारित्र की प्रतिबाधाएँ R, jωL और 1/(jωC) हैं, जहाँ ω = 2πf। श्रेणी में प्रतिबाधाएँ प्रतिरोधों की तरह, पर सम्मिश्र संख्याओं के रूप में जुड़ती हैं। rms धारा और वोल्टता |Z| के साथ ओम के नियम का पालन करती हैं।
अनुनाद शर्त
अनुनाद पर प्रेरकीय और धारितीय प्रतिघात एक-दूसरे को निरस्त करते हैं: ωL = 1/(ωC)।
ω₀ = 2π·500 = 3142 rad/s
C = 1/(ω₀²·L) = 1/(3142²·0.005) = 20.26 µF
उत्तर
C = 20.26 µF
10.AC प्रतिबाधा और फ़ेज़र
उत्तर: I = 4.578 A
फ़ेज़र के साथ AC परिपथ: प्रतिरोधक, प्रेरक और संधारित्र की प्रतिबाधाएँ R, jωL और 1/(jωC) हैं, जहाँ ω = 2πf। श्रेणी में प्रतिबाधाएँ प्रतिरोधों की तरह, पर सम्मिश्र संख्याओं के रूप में जुड़ती हैं। rms धारा और वोल्टता |Z| के साथ ओम के नियम का पालन करती हैं।
प्रतिघात
ω = 2πf = 2π·50 = 314.2 rad/s
XL = ωL = 314.2·0.2 = 62.83 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(314.2·47·10⁻⁶) = 67.73 Ω
प्रतिबाधा
श्रेणी में प्रतिबाधाएँ सम्मिश्र संख्याओं की तरह जुड़ती हैं: Z = R + j(XL − XC)।
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(50² + (−4.894)²) = 50.24 Ω
धारा
श्रेणी परिपथ के हर अवयव से समान धारा बहती है।
I = V/|Z| = 230/50.24 = 4.578 A
उत्तर
I = 4.578 A
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