भौतिकी 2: विद्युत और चुंबकत्व: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 10 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

कूलॉम का नियम और विद्युत क्षेत्र

कूलॉम का नियम: F = k·|q₁q₂|/r²
बिंदु आवेश का क्षेत्र: E = k·|q|/r²
स्थिरांक: k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
आवेश पर बल: F = q·E

श्रेणी और समांतर प्रतिरोधक

श्रेणी में प्रतिरोध: R_eq = R₁ + R₂ + …
समांतर में प्रतिरोध: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
दो समांतर में: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
ओम का नियम: V = I·R
शक्ति: P = V·I = I²R = V²/R

विधि

नेटवर्क के उस सिरे से शुरू करें जो टर्मिनलों से सबसे दूर है।
श्रेणी में प्रतिरोधकों को जोड़कर मिलाएँ, और समांतर में प्रतिरोधकों को 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … से।
हर चरण के बाद परिपथ दोबारा बनाएँ।
तब तक दोहराएँ जब तक टर्मिनलों के बीच एक ही प्रतिरोधक न बचे।

RC और RL क्षणिक अवस्थाएँ

समय स्थिरांक: τ = RC | τ = L/R
अनुक्रिया: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
DC पर संधारित्र: खुला परिपथ; v_C अचानक नहीं बदल सकता
DC पर प्रेरक: शॉर्ट सर्किट; i_L अचानक नहीं बदल सकता
स्थिर अवस्था: t ≈ 5τ

विधि

स्विचिंग के ठीक बाद प्रारंभिक मान ज्ञात करें: संधारित्र की वोल्टता और प्रेरक की धारा अचानक नहीं बदल सकती।
स्विचिंग के बहुत बाद अंतिम मान ज्ञात करें: संधारित्र खुले परिपथ जैसा, प्रेरक लघु परिपथ जैसा व्यवहार करता है।
समय स्थिरांक ज्ञात करें: τ = RC या τ = L/R, संधारित्र या प्रेरक द्वारा देखे गए प्रतिरोध का उपयोग करके।
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ का उपयोग करें।

चुंबकीय क्षेत्र और प्रेरण

लंबा सीधा तार: B = μ₀I/(2πr)
समतल कुंडली का केंद्र: B = μ₀NI/(2R)
लंबी परिनालिका: B = μ₀nI, n = N/L
स्थिरांक: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
तार पर बल: F = BIL·sin θ
आवेश पर बल: F = |q|vB·sin θ
वृत्तीय गति: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
समांतर तार: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
फ्लक्स: Φ = BA·cos θ
फैराडे का नियम: ε = −N·ΔΦ/Δt
गतिमान छड़: ε = BLv
जनित्र: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
प्रेरकत्व: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
अन्योन्य प्रेरकत्व: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
वेग चयनक और स्पेक्ट्रोमीटर: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

विधि

हर राशि को SI इकाइयों में बदलें: cm से m, cm² से m², mT और µT से T।
सही सूत्र चुनें: तार के लिए B = μ₀I/(2πr), कुंडली के केंद्र के लिए μ₀NI/(2R), परिनालिका के भीतर μ₀nI; बलों के लिए F = BIL·sin θ या |q|vB·sin θ।
प्रेरण के लिए फ्लक्स में परिवर्तन ΔΦ = Δ(BA·cos θ) निकालें और ε = N·ΔΦ/Δt उपयोग करें, या गतिमान छड़ के लिए ε = BLv और घूमती कुंडली के लिए NBAω।
दिशाएँ दाहिने हाथ के नियमों से अलग से निकालें, और प्रेरित धाराओं के लिए लेंज़ के नियम से।

AC प्रतिबाधा और फ़ेज़र

प्रतिबाधाएँ: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
कोणीय आवृत्ति: ω = 2πf
परिमाण और कोण: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
फेज़र रूप में ओम का नियम: V = I·Z

विधि

आवृत्ति बदलें: ω = 2πf।
हर प्रतिघात ज्ञात करें: X_L = ωL और X_C = 1/(ωC)।
प्रतिबाधाओं को प्रतिरोधकों की तरह जोड़ें, Z = R + jX के साथ।
परिमाण |Z| = √(R² + X²) और कोण φ = atan(X/R) ज्ञात करें, फिर फ़ेज़र के साथ ओम का नियम लगाएँ।

2अभ्यास प्रश्न

1.कूलॉम का नियम और विद्युत क्षेत्रमध्यम

+8 µC का एक आवेश और +5 µC का एक आवेश 30 cm की दूरी पर हैं। बिंदु P उनके बीच की रेखा पर, पहले आवेश से 22.5 cm पर स्थित है। P पर विद्युत क्षेत्र का परिमाण E ज्ञात कीजिए।

q₁ = +8 µCq₂ = +5 µCr₁ = 22.5 cmr₂ = 7.5 cm

E = N/C

2.कूलॉम का नियम और विद्युत क्षेत्रकठिन

तीन धनात्मक बिंदु आवेश एक समकोण त्रिभुज के शीर्षों पर हैं: q₃ = 2 µC समकोण वाले शीर्ष पर है, q₁ = 5 µC एक भुजा के अनुदिश उससे 3 cm दूर है और q₂ = 4 µC दूसरी भुजा के अनुदिश उससे 10 cm दूर है। q₃ पर नेट विद्युत बल का परिमाण F ज्ञात कीजिए।

q₁ = 5 µCq₂ = 4 µCq₃ = 2 µCr₁₃ = 3 cmr₂₃ = 10 cm

F = N

3.श्रेणी और समांतर प्रतिरोधकमध्यम

स्रोत द्वारा दी गई धारा I_R1 ज्ञात कीजिए, जो R₁ से होकर बहती है।

V₁ = 6 VR₁ = 12 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 6 Ω

I_R1 = A

4.श्रेणी और समांतर प्रतिरोधककठिन

स्रोत द्वारा दी गई धारा I_R1 ज्ञात कीजिए, जो R₁ से होकर बहती है।

V₁ = 6 VR₁ = 2 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 12 ΩR₅ = 8 ΩR₆ = 2 Ω

I_R1 = A

5.RC और RL क्षणिक अवस्थाएँमध्यम

प्रेरक 1.5 A की स्थिर धारा वहन करता है। t = 0 पर स्विच R से होकर लूप बंद करता है और स्रोत हटा दिया जाता है, इसलिए प्रेरक धारा R से होकर क्षय होती है। t = 5 ms पर R पर वोल्टता v_R ज्ञात कीजिए।

i(0) = 1.5 AR = 10 ΩL = 22 mHt = 5 ms

v_R = V

6.RC और RL क्षणिक अवस्थाएँकठिन

एक टाइमर t = 0 पर 9 V आपूर्ति से एक प्रतिरोधक के माध्यम से एक अनावेशित संधारित्र को आवेशित करना शुरू करता है। इसे तब ट्रिगर होना है जब संधारित्र वोल्टता 5.69 V तक पहुँचे, शुरुआत के ठीक 250 ms बाद। C = 10 µF के साथ आवश्यक प्रतिरोध R ज्ञात कीजिए।

V_s = 9 VV_th = 5.69 VT = 250 msC = 10 µF

R = kΩ

7.चुंबकीय क्षेत्र और प्रेरणमध्यम

500 फेरों की कुंडली का क्षेत्रफल 100 cm² है। कुंडली के लंबवत एकसमान क्षेत्र 10 ms में 0.05 T से 0.15 T तक लगातार बढ़ता है। औसत प्रेरित emf ε ज्ञात करें।

N = 500A = 100 cm²B: 0.05 T → 0.15 TΔt = 10 ms

ε = V

8.चुंबकीय क्षेत्र और प्रेरणकठिन

एक लंबी वायु-क्रोड परिनालिका में 500 फेरे हैं, लंबाई 15 cm है और व्यास 1.5 cm है। इसका स्वप्रेरकत्व L ज्ञात करें।

N = 500l = 15 cm⌀ = 1.5 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

L = µH

9.AC प्रतिबाधा और फ़ेज़रमध्यम

एक श्रेणी RLC परिपथ 120 V (rms), 100 Hz आपूर्ति से जुड़ा है। प्रतिबाधा का कलान्तर कोण φ डिग्री में ज्ञात कीजिए (धनात्मक जब धारा वोल्टता से पीछे हो)।

V = 120 V (rms)f = 100 HzR = 40 ΩL = 20 mHC = 2.2 µF

φ = °

10.AC प्रतिबाधा और फ़ेज़रकठिन

एक श्रेणी RLC परिपथ को 1 V (rms) स्रोत से चलाया जाता है जिसकी आवृत्ति परिपथ की अनुनादी आवृत्ति पर सेट है। प्रेरक पर rms वोल्टता V_L ज्ञात कीजिए।

V = 1 V (rms)R = 10 ΩL = 5 mHC = 0.22 µF

V_L = V

3विलयन

1.कूलॉम का नियम और विद्युत क्षेत्र

उत्तर: E = 6.57 × 10⁶ N/C

कूलॉम का नियम: दो बिंदु आवेश F = k·|q₁·q₂|/r² बल से एक-दूसरे को आकर्षित या प्रतिकर्षित करते हैं, जहाँ k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²। बिंदु आवेश का क्षेत्र E = k·|q|/r² है, जो धनात्मक आवेश से दूर और ऋणात्मक आवेश की ओर होता है। कई आवेशों से उत्पन्न बल और क्षेत्र सदिश रूप से जुड़ते हैं।

हर आवेश का क्षेत्र

E₁ = k·8 × 10⁻⁶/0.225² = 1.421 × 10⁶ N/C

E₂ = k·5 × 10⁻⁶/0.075² = 7.991 × 10⁶ N/C

दिशाएँ और योग

दोनों आवेश धनात्मक हैं: P पर उनके क्षेत्र अपने-अपने आवेश से दूर, यानी विपरीत दिशाओं में होते हैं।

E = |1.421 × 10⁶ − 7.991 × 10⁶| = 6.57 × 10⁶ N/C

उत्तर

E = 6.57 × 10⁶ N/C

2.कूलॉम का नियम और विद्युत क्षेत्र

उत्तर: F = 100.1 N

q₃ पर हर बल

F₁ = k·5·2 × 10⁻¹²/0.03² = 99.89 N

F₂ = k·4·2 × 10⁻¹²/0.1² = 7.192 N

सदिश योग

F = √(99.89² + 7.192²) = 100.1 N

उत्तर

F = 100.1 N

3.श्रेणी और समांतर प्रतिरोधक

उत्तर: I_R1 = 0.3826 A

श्रेणी और समांतर प्रतिरोधक: श्रेणी में हर प्रतिरोधक से समान धारा बहती है और R = R₁ + R₂ + …। समांतर में हर प्रतिरोधक पर समान वोल्टता होती है और 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …। सीढ़ी नेटवर्क को एक-एक युग्म घटाया जाता है जब तक एक समतुल्य प्रतिरोध न बचे।

दूर वाले सिरे से प्रतिरोधक जोड़ें

स्रोत से सबसे दूर वाले सिरे से शुरू करें और उसकी ओर लौटें। समान धारा वाले प्रतिरोधक श्रेणी में हैं; समान दो नोड के बीच वाले प्रतिरोधक समांतर में हैं।

R₃ + R₄ = 8 + 6 = 14 Ω

R₂ ∥ 14 = 5·14/(5+14) = 3.684 Ω

R_eq = R₁ + 3.684 = 12 + 3.684 = 15.68 Ω

स्रोत से धारा

स्रोत केवल R_eq देखता है, इसलिए ओम का नियम उसकी दी धारा देता है। यह धारा R₁ से होकर बहती है।

I_R1 = V₁/R_eq = 6/15.68 = 0.3826 A

उत्तर

I_R1 = 0.3826 A

4.श्रेणी और समांतर प्रतिरोधक

उत्तर: I_R1 = 0.81 A

दूर वाले सिरे से प्रतिरोधक जोड़ें

R₅ + R₆ = 8 + 2 = 10 Ω

R₄ ∥ 10 = 5.455 Ω

R₃ + 5.455 = 8.455 Ω

R₂ ∥ 8.455 = 5.407 Ω

R_eq = R₁ + 5.407 = 2 + 5.407 = 7.407 Ω

स्रोत से धारा

I_R1 = V₁/R_eq = 6/7.407 = 0.81 A

उत्तर

I_R1 = 0.81 A

5.RC और RL क्षणिक अवस्थाएँ

उत्तर: v_R = 1.545 V

प्रथम-कोटि क्षणिक अवस्थाएँ: एक संधारित्र या एक प्रेरक वाले परिपथ में हर वोल्टता और धारा अपने प्रारंभिक मान से अंतिम मान तक घातांकी रूप से बदलती है: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, जहाँ τ = RC या τ = L/R। लगभग 5τ के बाद परिपथ स्थिर हो जाता है।

समय स्थिरांक

τ = L/R = 22 mH / 10 Ω = 2.2 ms

धारा का क्षय

i(t) = 1.5·e^−5/2.2 = 0.1545 A

v_R = R·i = 10·0.1545 = 1.545 V

उत्तर

v_R = 1.545 V

6.RC और RL क्षणिक अवस्थाएँ

उत्तर: R = 24.99 kΩ

आवश्यक समय स्थिरांक

5.69 = 9·(1 − e^−250/τ) → τ = 250/ln(9/(9 − 5.69))

τ = 250/1 = 249.9 ms

प्रतिरोध

kΩ गुणा µF से मिलीसेकंड मिलते हैं।

R = τ/C = 249.9/10 = 24.99 kΩ

उत्तर

R = 24.99 kΩ

7.चुंबकीय क्षेत्र और प्रेरण

उत्तर: ε = 50 V

विद्युतचुंबकीय प्रेरण: लूप से गुज़रता फ्लक्स Φ = BA·cos θ है, जहाँ θ, B और लूप के अभिलंब के बीच का कोण है। फैराडे का नियम: फ्लक्स में परिवर्तन N फेरों की कुंडली में emf = −N·dΦ/dt प्रेरित करता है, और लेंज़ का नियम कहता है कि प्रेरित धारा इस प्रकार बहती है कि उसका अपना क्षेत्र परिवर्तन का विरोध करे। क्षेत्र के आर-पार गतिमान छड़ emf = BLv देती है। ω पर घूमती कुंडली e = NBAω·sin ωt देती है, शिखर मान NBAω। स्वप्रेरकत्व: emf = −L·di/dt, जहाँ लंबी परिनालिका के लिए L = μ₀N²A/l, और संचित ऊर्जा W = ½LI² है। दो युग्मित कुंडलियाँ: emf₂ = −M·di₁/dt, जहाँ M = k√(L₁L₂)।

प्रति फेरा फ्लक्स में परिवर्तन

ΔΦ = (0.15 − 0.05)·0.01 = 0.001 Wb

औसत emf

ε = NΔΦ/Δt = 500·0.001/0.01 = 50 V

उत्तर

ε = 50 V

8.चुंबकीय क्षेत्र और प्रेरण

उत्तर: L = 370.1 µH

अनुप्रस्थ काट

A = π·(0.0075)² = 0.0001767 m²

स्वप्रेरकत्व

L = μ₀N²A/l = 4π × 10⁻⁷·500²·0.0001767/0.15 = 0.0003701 H = 370.1 µH

उत्तर

L = 370.1 µH

9.AC प्रतिबाधा और फ़ेज़र

उत्तर: φ = −86.78 °

फ़ेज़र के साथ AC परिपथ: प्रतिरोधक, प्रेरक और संधारित्र की प्रतिबाधाएँ R, jωL और 1/(jωC) हैं, जहाँ ω = 2πf। श्रेणी में प्रतिबाधाएँ प्रतिरोधों की तरह, पर सम्मिश्र संख्याओं के रूप में जुड़ती हैं। rms धारा और वोल्टता |Z| के साथ ओम के नियम का पालन करती हैं।

प्रतिघात

ω = 2πf = 2π·100 = 628.3 rad/s

X_L = ωL = 628.3·0.02 = 12.57 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(628.3·2.2·10⁻⁶) = 723.4 Ω

प्रतिबाधा

श्रेणी में प्रतिबाधाएँ सम्मिश्र संख्याओं की तरह जुड़ती हैं: Z = R + j(X_L − X_C)।

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(40² + (−710.9)²) = 712 Ω

कलान्तर कोण

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(−710.9/40) = −86.78°

उत्तर

φ = −86.78°

10.AC प्रतिबाधा और फ़ेज़र

उत्तर: V_L = 15.08 V

अनुनाद

अनुनाद पर प्रतिघात निरस्त हो जाते हैं, इसलिए प्रतिबाधा केवल R है।

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0.005·0.22·10⁻⁶) = 30151 rad/s

I = V/R = 1/10 = 0.1 A

प्रेरक पर वोल्टता

X_L = ω₀L = 30151·0.005 = 150.8 Ω

V_L = I·X_L = 0.1·150.8 = 15.08 V

उत्तर

V_L = 15.08 V

यह आपूर्ति वोल्टता का Q = 15.08 गुना है।

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