कूलॉम का नियम और विद्युत क्षेत्र
- कूलॉम का नियम
- F = k·|q1q2|/r²
- बिंदु आवेश का क्षेत्र
- E = k·|q|/r²
- स्थिरांक
- k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
- आवेश पर बल
- F = q·E
भौतिकी 2: विद्युत और चुंबकत्व: क्रैम पैक
सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 10 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।
1सूत्र और विधियाँ
श्रेणी और समांतर प्रतिरोधक
- श्रेणी में प्रतिरोध
- Req = R1 + R2 + …
- समांतर में प्रतिरोध
- 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
- दो समांतर में
- Req = R1R2 / (R1 + R2)
- ओम का नियम
- V = I·R
- शक्ति
- P = V·I = I²R = V²/R
विधि
- नेटवर्क के उस सिरे से शुरू करें जो टर्मिनलों से सबसे दूर है।
- श्रेणी में प्रतिरोधकों को जोड़कर मिलाएँ, और समांतर में प्रतिरोधकों को 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … से।
- हर चरण के बाद परिपथ दोबारा बनाएँ।
- तब तक दोहराएँ जब तक टर्मिनलों के बीच एक ही प्रतिरोधक न बचे।
RC और RL क्षणिक अवस्थाएँ
- समय स्थिरांक
- τ = RC | τ = L/R
- अनुक्रिया
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
- DC पर संधारित्र
- खुला परिपथ; vC अचानक नहीं बदल सकता
- DC पर प्रेरक
- शॉर्ट सर्किट; iL अचानक नहीं बदल सकता
- स्थिर अवस्था
- t ≈ 5τ
विधि
- स्विचिंग के ठीक बाद प्रारंभिक मान ज्ञात करें: संधारित्र की वोल्टता और प्रेरक की धारा अचानक नहीं बदल सकती।
- स्विचिंग के बहुत बाद अंतिम मान ज्ञात करें: संधारित्र खुले परिपथ जैसा, प्रेरक लघु परिपथ जैसा व्यवहार करता है।
- समय स्थिरांक ज्ञात करें: τ = RC या τ = L/R, संधारित्र या प्रेरक द्वारा देखे गए प्रतिरोध का उपयोग करके।
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ का उपयोग करें।
चुंबकीय क्षेत्र और प्रेरण
- लंबा सीधा तार
- B = μ0I/(2πr)
- समतल कुंडली का केंद्र
- B = μ0NI/(2R)
- लंबी परिनालिका
- B = μ0nI, n = N/L
- स्थिरांक
- μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
- तार पर बल
- F = BIL·sin θ
- आवेश पर बल
- F = |q|vB·sin θ
- वृत्तीय गति
- r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
- समांतर तार
- F/L = μ0I1I2/(2πd)
- फ्लक्स
- Φ = BA·cos θ
- फैराडे का नियम
- ε = −N·ΔΦ/Δt
- गतिमान छड़
- ε = BLv
- जनित्र
- E0 = NBAω, Erms = E0/√2
- प्रेरकत्व
- ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
- अन्योन्य प्रेरकत्व
- ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
- वेग चयनक और स्पेक्ट्रोमीटर
- v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B
विधि
- हर राशि को SI इकाइयों में बदलें: cm से m, cm² से m², mT और µT से T।
- सही सूत्र चुनें: तार के लिए B = μ₀I/(2πr), कुंडली के केंद्र के लिए μ₀NI/(2R), परिनालिका के भीतर μ₀nI; बलों के लिए F = BIL·sin θ या |q|vB·sin θ।
- प्रेरण के लिए फ्लक्स में परिवर्तन ΔΦ = Δ(BA·cos θ) निकालें और ε = N·ΔΦ/Δt उपयोग करें, या गतिमान छड़ के लिए ε = BLv और घूमती कुंडली के लिए NBAω।
- दिशाएँ दाहिने हाथ के नियमों से अलग से निकालें, और प्रेरित धाराओं के लिए लेंज़ के नियम से।
AC प्रतिबाधा और फ़ेज़र
- प्रतिबाधाएँ
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- कोणीय आवृत्ति
- ω = 2πf
- परिमाण और कोण
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- फेज़र रूप में ओम का नियम
- V = I·Z
विधि
- आवृत्ति बदलें: ω = 2πf।
- हर प्रतिघात ज्ञात करें: XL = ωL और XC = 1/(ωC)।
- प्रतिबाधाओं को प्रतिरोधकों की तरह जोड़ें, Z = R + jX के साथ।
- परिमाण |Z| = √(R² + X²) और कोण φ = atan(X/R) ज्ञात करें, फिर फ़ेज़र के साथ ओम का नियम लगाएँ।
2अभ्यास प्रश्न
1.कूलॉम का नियम और विद्युत क्षेत्रमध्यम
+4 µC और +6 µC के आवेश 30 cm दूर हैं। उनके बीच की रेखा पर +4 µC आवेश से किस दूरी x पर विद्युत क्षेत्र शून्य है?
q1 = +4 µCq2 = +6 µCd = 30 cm
x = cm
2.कूलॉम का नियम और विद्युत क्षेत्रकठिन
तीन धनात्मक बिंदु आवेश एक समकोण त्रिभुज के शीर्षों पर हैं: q₃ = 1 µC समकोण वाले शीर्ष पर है, q₁ = 10 µC एक भुजा के अनुदिश उससे 4 cm दूर है और q₂ = 10 µC दूसरी भुजा के अनुदिश उससे 5 cm दूर है। q₃ पर नेट विद्युत बल का परिमाण F ज्ञात कीजिए।
q1 = 10 µCq2 = 10 µCq3 = 1 µCr13 = 4 cmr23 = 5 cm
F = N
3.श्रेणी और समांतर प्रतिरोधकमध्यम
R2 से होकर धारा IR2 ज्ञात कीजिए।
V1 = 15 VR1 = 20 ΩR2 = 6 ΩR3 = 12 ΩR4 = 15 Ω
IR2 = A
4.श्रेणी और समांतर प्रतिरोधककठिन
स्रोत द्वारा दी गई धारा IR1 ज्ञात कीजिए, जो R1 से होकर बहती है।
V1 = 15 VR1 = 8 ΩR2 = 15 ΩR3 = 4 ΩR4 = 4 ΩR5 = 3 ΩR6 = 4 Ω
IR1 = A
5.RC और RL क्षणिक अवस्थाएँमध्यम
t = 0 पर स्विच बंद होने से पहले प्रेरक में कोई धारा नहीं है। t = 1 ms पर प्रेरक पर वोल्टता vL ज्ञात कीजिए।
Vs = 9 VR = 100 ΩL = 10 mHt = 1 ms
vL = V
6.RC और RL क्षणिक अवस्थाएँकठिन
स्विच लंबे समय से बंद है, इसलिए परिपथ स्थायी अवस्था में है। t = 0 पर स्विच खुलता है। t = 30 ms पर R2 से होकर धारा i2 ज्ञात कीजिए।
Vs = 15 VR1 = 10 kΩR2 = 1 kΩC = 22 µFt = 30 ms
i2 = mA
7.चुंबकीय क्षेत्र और प्रेरणमध्यम
10 फेरों की कुंडली का क्षेत्रफल 200 cm² है। कुंडली 0.3 T के एकसमान क्षेत्र में, उसके तल के लंबवत, रखी है, और क्षेत्र 250 ms में बंद कर दिया जाता है। औसत प्रेरित emf ε ज्ञात करें।
N = 10A = 200 cm²B = 0.3 TΔt = 250 ms
ε = mV
8.चुंबकीय क्षेत्र और प्रेरणकठिन
एक लंबी वायु-क्रोड परिनालिका में 300 फेरे हैं, लंबाई 15 cm है और व्यास 1.5 cm है। जब उसमें 2.5 A धारा बहती है, तब उसके चुंबकीय क्षेत्र में संचित ऊर्जा W ज्ञात करें।
N = 300l = 15 cm⌀ = 1.5 cmI = 2.5 Aμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
W = µJ
9.AC प्रतिबाधा और फ़ेज़रमध्यम
एक श्रेणी RLC परिपथ 10 V (rms), 1000 Hz आपूर्ति से जुड़ा है। प्रतिबाधा का कलान्तर कोण φ डिग्री में ज्ञात कीजिए (धनात्मक जब धारा वोल्टता से पीछे हो)।
V = 10 V (rms)f = 1000 HzR = 30 ΩL = 50 mHC = 10 µF
φ = °
10.AC प्रतिबाधा और फ़ेज़रकठिन
एक श्रेणी RLC परिपथ 230 V (rms), 60 Hz आपूर्ति से जुड़ा है। rms धारा I ज्ञात कीजिए।
V = 230 V (rms)f = 60 HzR = 30 ΩL = 50 mHC = 10 µF
I = A
3विलयन
1.कूलॉम का नियम और विद्युत क्षेत्र
उत्तर: x = 13.48 cm
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
बराबर क्षेत्र
4/x² = 6/(30 − x)²
(30 − x)/x = √(6/4) = 1.225
स्थिति
x = 30/(1 + 1.225) = 13.48 cm
उत्तर
x = 13.48 cm
शून्य बिंदु हमेशा छोटे आवेश के निकट होता है।
2.कूलॉम का नियम और विद्युत क्षेत्र
उत्तर: F = 66.71 N
कूलॉम का नियम: दो बिंदु आवेश F = k·|q₁·q₂|/r² बल से एक-दूसरे को आकर्षित या प्रतिकर्षित करते हैं, जहाँ k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²। बिंदु आवेश का क्षेत्र E = k·|q|/r² है, जो धनात्मक आवेश से दूर और ऋणात्मक आवेश की ओर होता है। कई आवेशों से उत्पन्न बल और क्षेत्र सदिश रूप से जुड़ते हैं।
q₃ पर हर बल
F1 = k·10·1 × 10⁻¹²/0.04² = 56.19 N
F2 = k·10·1 × 10⁻¹²/0.05² = 35.96 N
सदिश योग
F = √(56.19² + 35.96²) = 66.71 N
उत्तर
F = 66.71 N
3.श्रेणी और समांतर प्रतिरोधक
उत्तर: IR2 = 0.4927 A
श्रेणी और समांतर प्रतिरोधक: श्रेणी में हर प्रतिरोधक से समान धारा बहती है और R = R₁ + R₂ + …। समांतर में हर प्रतिरोधक पर समान वोल्टता होती है और 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …। सीढ़ी नेटवर्क को एक-एक युग्म घटाया जाता है जब तक एक समतुल्य प्रतिरोध न बचे।
दूर वाले सिरे से प्रतिरोधक जोड़ें
स्रोत से सबसे दूर वाले सिरे से शुरू करें और उसकी ओर लौटें। समान धारा वाले प्रतिरोधक श्रेणी में हैं; समान दो नोड के बीच वाले प्रतिरोधक समांतर में हैं।
R3 + R4 = 12 + 15 = 27 Ω
R2 ∥ 27 = 6·27/(6+27) = 4.909 Ω
Req = R1 + 4.909 = 20 + 4.909 = 24.91 Ω
स्रोत से धारा
स्रोत केवल Req देखता है, इसलिए ओम का नियम उसकी दी धारा देता है। यह धारा R₁ से होकर बहती है।
IR1 = V1/Req = 15/24.91 = 0.6022 A
R₂ से होकर धारा
नोड A पर वोल्टता पाने के लिए R₁ पर पात घटाएँ, जो R₂ पर वोल्टता है।
VA = V1 − IR1·R1 = 15 − 0.6022·20 = 2.956 V
IR2 = VA/R2 = 2.956/6 = 0.4927 A
उत्तर
IR2 = 0.4927 A
4.श्रेणी और समांतर प्रतिरोधक
उत्तर: IR1 = 1.195 A
श्रेणी और समांतर प्रतिरोधक: श्रेणी में हर प्रतिरोधक से समान धारा बहती है और R = R₁ + R₂ + …। समांतर में हर प्रतिरोधक पर समान वोल्टता होती है और 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …। सीढ़ी नेटवर्क को एक-एक युग्म घटाया जाता है जब तक एक समतुल्य प्रतिरोध न बचे।
दूर वाले सिरे से प्रतिरोधक जोड़ें
स्रोत से सबसे दूर वाले सिरे से शुरू करें और उसकी ओर लौटें। समान धारा वाले प्रतिरोधक श्रेणी में हैं; समान दो नोड के बीच वाले प्रतिरोधक समांतर में हैं।
R5 + R6 = 3 + 4 = 7 Ω
R4 ∥ 7 = 2.545 Ω
R3 + 2.545 = 6.545 Ω
R2 ∥ 6.545 = 4.557 Ω
Req = R1 + 4.557 = 8 + 4.557 = 12.56 Ω
स्रोत से धारा
स्रोत केवल Req देखता है, इसलिए ओम का नियम उसकी दी धारा देता है। यह धारा R₁ से होकर बहती है।
IR1 = V1/Req = 15/12.56 = 1.195 A
उत्तर
IR1 = 1.195 A
5.RC और RL क्षणिक अवस्थाएँ
उत्तर: vL = 0.0004086 V
प्रथम-कोटि क्षणिक अवस्थाएँ: एक संधारित्र या एक प्रेरक वाले परिपथ में हर वोल्टता और धारा अपने प्रारंभिक मान से अंतिम मान तक घातांकी रूप से बदलती है: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, जहाँ τ = RC या τ = L/R। लगभग 5τ के बाद परिपथ स्थिर हो जाता है।
समय स्थिरांक और अंतिम धारा
स्विच बंद होने के बहुत बाद प्रेरक शॉर्ट सर्किट जैसा व्यवहार करता है, इसलिए अंतिम धारा केवल R से तय होती है।
τ = L/R = 10 mH / 100 Ω = 0.1 ms
i(∞) = Vs/R = 9/100 = 0.09 A
प्रेरक वोल्टता
t = 0 पर पूरी आपूर्ति वोल्टता प्रेरक पर होती है; फिर वह शून्य तक घटती है।
vL(t) = Vs·e−t/τ = 9·e−1/0.1 = 0.0004086 V
उत्तर
vL = 0.0004086 V
6.RC और RL क्षणिक अवस्थाएँ
उत्तर: i2 = 0.3487 mA
प्रथम-कोटि क्षणिक अवस्थाएँ: एक संधारित्र या एक प्रेरक वाले परिपथ में हर वोल्टता और धारा अपने प्रारंभिक मान से अंतिम मान तक घातांकी रूप से बदलती है: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, जहाँ τ = RC या τ = L/R। लगभग 5τ के बाद परिपथ स्थिर हो जाता है।
प्रारंभिक संधारित्र वोल्टता
स्थायी अवस्था में संधारित्र खुला परिपथ है, इसलिए R₁ और R₂ एक वोल्टता विभाजक बनाते हैं। स्विच खुलने पर संधारित्र वोल्टता छलाँग नहीं लगा सकती।
vC(0) = 15·1/(10 + 1) = 1.364 V
स्विच खुलने के बाद समय स्थिरांक
τ = R2·C = 1·22 = 22 ms
निरावेशन
vC(t) = 1.364·e−30/22 = 0.3487 V
i2 = vC/R2 = 0.3487/1 = 0.3487 mA
उत्तर
i2 = 0.3487 mA
7.चुंबकीय क्षेत्र और प्रेरण
उत्तर: ε = 240 mV
विद्युतचुंबकीय प्रेरण: लूप से गुज़रता फ्लक्स Φ = BA·cos θ है, जहाँ θ, B और लूप के अभिलंब के बीच का कोण है। फैराडे का नियम: फ्लक्स में परिवर्तन N फेरों की कुंडली में emf = −N·dΦ/dt प्रेरित करता है, और लेंज़ का नियम कहता है कि प्रेरित धारा इस प्रकार बहती है कि उसका अपना क्षेत्र परिवर्तन का विरोध करे। क्षेत्र के आर-पार गतिमान छड़ emf = BLv देती है। ω पर घूमती कुंडली e = NBAω·sin ωt देती है, शिखर मान NBAω। स्वप्रेरकत्व: emf = −L·di/dt, जहाँ लंबी परिनालिका के लिए L = μ₀N²A/l, और संचित ऊर्जा W = ½LI² है। दो युग्मित कुंडलियाँ: emf₂ = −M·di₁/dt, जहाँ M = k√(L₁L₂)।
प्रति फेरा फ्लक्स में परिवर्तन
ΔΦ = 0.3·0.02 = 0.006 Wb
औसत emf
ε = NΔΦ/Δt = 10·0.006/0.25 = 0.24 V
उत्तर
ε = 240 mV
8.चुंबकीय क्षेत्र और प्रेरण
उत्तर: W = 416.4 µJ
विद्युतचुंबकीय प्रेरण: लूप से गुज़रता फ्लक्स Φ = BA·cos θ है, जहाँ θ, B और लूप के अभिलंब के बीच का कोण है। फैराडे का नियम: फ्लक्स में परिवर्तन N फेरों की कुंडली में emf = −N·dΦ/dt प्रेरित करता है, और लेंज़ का नियम कहता है कि प्रेरित धारा इस प्रकार बहती है कि उसका अपना क्षेत्र परिवर्तन का विरोध करे। क्षेत्र के आर-पार गतिमान छड़ emf = BLv देती है। ω पर घूमती कुंडली e = NBAω·sin ωt देती है, शिखर मान NBAω। स्वप्रेरकत्व: emf = −L·di/dt, जहाँ लंबी परिनालिका के लिए L = μ₀N²A/l, और संचित ऊर्जा W = ½LI² है। दो युग्मित कुंडलियाँ: emf₂ = −M·di₁/dt, जहाँ M = k√(L₁L₂)।
स्वप्रेरकत्व
L = μ₀N²A/l = 133.2 µH
संचित ऊर्जा
W = ½LI² = ½·0.0001332·2.5² = 0.0004164 J = 416.4 µJ
उत्तर
W = 416.4 µJ
9.AC प्रतिबाधा और फ़ेज़र
उत्तर: φ = 84.26 °
फ़ेज़र के साथ AC परिपथ: प्रतिरोधक, प्रेरक और संधारित्र की प्रतिबाधाएँ R, jωL और 1/(jωC) हैं, जहाँ ω = 2πf। श्रेणी में प्रतिबाधाएँ प्रतिरोधों की तरह, पर सम्मिश्र संख्याओं के रूप में जुड़ती हैं। rms धारा और वोल्टता |Z| के साथ ओम के नियम का पालन करती हैं।
प्रतिघात
ω = 2πf = 2π·1000 = 6283 rad/s
XL = ωL = 6283·0.05 = 314.2 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(6283·10·10⁻⁶) = 15.92 Ω
प्रतिबाधा
श्रेणी में प्रतिबाधाएँ सम्मिश्र संख्याओं की तरह जुड़ती हैं: Z = R + j(XL − XC)।
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(30² + (298.2)²) = 299.7 Ω
कलान्तर कोण
φ = arctan((XL − XC)/R) = arctan(298.2/30) = 84.26°
उत्तर
φ = 84.26°
10.AC प्रतिबाधा और फ़ेज़र
उत्तर: I = 0.9266 A
फ़ेज़र के साथ AC परिपथ: प्रतिरोधक, प्रेरक और संधारित्र की प्रतिबाधाएँ R, jωL और 1/(jωC) हैं, जहाँ ω = 2πf। श्रेणी में प्रतिबाधाएँ प्रतिरोधों की तरह, पर सम्मिश्र संख्याओं के रूप में जुड़ती हैं। rms धारा और वोल्टता |Z| के साथ ओम के नियम का पालन करती हैं।
प्रतिघात
ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s
XL = ωL = 377·0.05 = 18.85 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(377·10·10⁻⁶) = 265.3 Ω
प्रतिबाधा
श्रेणी में प्रतिबाधाएँ सम्मिश्र संख्याओं की तरह जुड़ती हैं: Z = R + j(XL − XC)।
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(30² + (−246.4)²) = 248.2 Ω
धारा
श्रेणी परिपथ के हर अवयव से समान धारा बहती है।
I = V/|Z| = 230/248.2 = 0.9266 A
उत्तर
I = 0.9266 A
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