भौतिकी 2: विद्युत और चुंबकत्व: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 10 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

कूलॉम का नियम और विद्युत क्षेत्र

कूलॉम का नियम: F = k·|q₁q₂|/r²
बिंदु आवेश का क्षेत्र: E = k·|q|/r²
स्थिरांक: k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
आवेश पर बल: F = q·E

श्रेणी और समांतर प्रतिरोधक

श्रेणी में प्रतिरोध: R_eq = R₁ + R₂ + …
समांतर में प्रतिरोध: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
दो समांतर में: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
ओम का नियम: V = I·R
शक्ति: P = V·I = I²R = V²/R

विधि

नेटवर्क के उस सिरे से शुरू करें जो टर्मिनलों से सबसे दूर है।
श्रेणी में प्रतिरोधकों को जोड़कर मिलाएँ, और समांतर में प्रतिरोधकों को 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … से।
हर चरण के बाद परिपथ दोबारा बनाएँ।
तब तक दोहराएँ जब तक टर्मिनलों के बीच एक ही प्रतिरोधक न बचे।

RC और RL क्षणिक अवस्थाएँ

समय स्थिरांक: τ = RC | τ = L/R
अनुक्रिया: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
DC पर संधारित्र: खुला परिपथ; v_C अचानक नहीं बदल सकता
DC पर प्रेरक: शॉर्ट सर्किट; i_L अचानक नहीं बदल सकता
स्थिर अवस्था: t ≈ 5τ

विधि

स्विचिंग के ठीक बाद प्रारंभिक मान ज्ञात करें: संधारित्र की वोल्टता और प्रेरक की धारा अचानक नहीं बदल सकती।
स्विचिंग के बहुत बाद अंतिम मान ज्ञात करें: संधारित्र खुले परिपथ जैसा, प्रेरक लघु परिपथ जैसा व्यवहार करता है।
समय स्थिरांक ज्ञात करें: τ = RC या τ = L/R, संधारित्र या प्रेरक द्वारा देखे गए प्रतिरोध का उपयोग करके।
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ का उपयोग करें।

चुंबकीय क्षेत्र और प्रेरण

लंबा सीधा तार: B = μ₀I/(2πr)
समतल कुंडली का केंद्र: B = μ₀NI/(2R)
लंबी परिनालिका: B = μ₀nI, n = N/L
स्थिरांक: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
तार पर बल: F = BIL·sin θ
आवेश पर बल: F = |q|vB·sin θ
वृत्तीय गति: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
समांतर तार: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
फ्लक्स: Φ = BA·cos θ
फैराडे का नियम: ε = −N·ΔΦ/Δt
गतिमान छड़: ε = BLv
जनित्र: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
प्रेरकत्व: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
अन्योन्य प्रेरकत्व: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
वेग चयनक और स्पेक्ट्रोमीटर: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

विधि

हर राशि को SI इकाइयों में बदलें: cm से m, cm² से m², mT और µT से T।
सही सूत्र चुनें: तार के लिए B = μ₀I/(2πr), कुंडली के केंद्र के लिए μ₀NI/(2R), परिनालिका के भीतर μ₀nI; बलों के लिए F = BIL·sin θ या |q|vB·sin θ।
प्रेरण के लिए फ्लक्स में परिवर्तन ΔΦ = Δ(BA·cos θ) निकालें और ε = N·ΔΦ/Δt उपयोग करें, या गतिमान छड़ के लिए ε = BLv और घूमती कुंडली के लिए NBAω।
दिशाएँ दाहिने हाथ के नियमों से अलग से निकालें, और प्रेरित धाराओं के लिए लेंज़ के नियम से।

AC प्रतिबाधा और फ़ेज़र

प्रतिबाधाएँ: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
कोणीय आवृत्ति: ω = 2πf
परिमाण और कोण: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
फेज़र रूप में ओम का नियम: V = I·Z

विधि

आवृत्ति बदलें: ω = 2πf।
हर प्रतिघात ज्ञात करें: X_L = ωL और X_C = 1/(ωC)।
प्रतिबाधाओं को प्रतिरोधकों की तरह जोड़ें, Z = R + jX के साथ।
परिमाण |Z| = √(R² + X²) और कोण φ = atan(X/R) ज्ञात करें, फिर फ़ेज़र के साथ ओम का नियम लगाएँ।

2अभ्यास प्रश्न

1.कूलॉम का नियम और विद्युत क्षेत्रमध्यम

दो सर्वसम छोटे धातु के गोलों पर −5 µC और +4 µC के आवेश हैं। उन्हें एक-दूसरे से छुआकर फिर 5 cm दूर रख दिया जाता है। अब उनके बीच बल F का परिमाण ज्ञात कीजिए। Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = −5 µCq₂ = +4 µCr = 5 cm

F = N

2.कूलॉम का नियम और विद्युत क्षेत्रकठिन

एक इलेक्ट्रॉन 3 × 10⁷ m/s से दो समांतर प्लेटों के समांतर चलते हुए उनके बीच के एकसमान क्षेत्र में प्रवेश करता है। प्लेटें 3 cm लंबी हैं और उनके बीच क्षेत्र 4000 N/C है। इलेक्ट्रॉन आवेश 1.602 × 10⁻¹⁹ C, द्रव्यमान 9.109 × 10⁻³¹ kg; गुरुत्व को नगण्य मानें। प्लेटों से निकलते समय यह बगल की ओर कितना y विक्षेपित होता है? उत्तर mm में दें।

v₀ = 3 × 10⁷ m/sL = 3 cmE = 4000 N/Ce = 1.602 × 10⁻¹⁹ Cm_e = 9.109 × 10⁻³¹ kg

y = mm

3.श्रेणी और समांतर प्रतिरोधकमध्यम

R₂ से होकर धारा I_R2 ज्ञात कीजिए।

V₁ = 18 VR₁ = 3 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 10 Ω

I_R2 = A

4.श्रेणी और समांतर प्रतिरोधककठिन

स्रोत द्वारा दी गई धारा I_R1 ज्ञात कीजिए, जो R₁ से होकर बहती है।

V₁ = 15 VR₁ = 15 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 25 ΩR₅ = 20 ΩR₆ = 4 Ω

I_R1 = A

5.RC और RL क्षणिक अवस्थाएँमध्यम

प्रेरक 3 A की स्थिर धारा वहन करता है। t = 0 पर स्विच R से होकर लूप बंद करता है और स्रोत हटा दिया जाता है, इसलिए प्रेरक धारा R से होकर क्षय होती है। t = 5 ms पर धारा i ज्ञात कीजिए।

i(0) = 3 AR = 33 ΩL = 68 mHt = 5 ms

i = A

6.RC और RL क्षणिक अवस्थाएँकठिन

t = 0 पर स्विच बंद होने से ठीक पहले संधारित्र पर दर्शाई ध्रुवता के साथ 2 V है। t = 750 ms पर संधारित्र वोल्टता v_C ज्ञात कीजिए।

V_s = 5 VR = 6.8 kΩC = 47 µFv_C(0) = 2 Vt = 750 ms

v_C = V

7.चुंबकीय क्षेत्र और प्रेरणमध्यम

80 cm लंबी धातु की छड़ पटरियों के अनुदिश 0.8 T के एकसमान क्षेत्र में, जो पृष्ठ के भीतर है, 1 m/s से फिसलती है। उसके सिरों के बीच प्रेरित emf ε ज्ञात करें।

B = 0.8 TL = 80 cmv = 1 m/s

ε = mV

8.चुंबकीय क्षेत्र और प्रेरणकठिन

50 फेरों की, 12 cm × 20 cm की कुंडली, क्षेत्र के लंबवत अक्ष के परितः 0.1 T के एकसमान क्षेत्र में घूमती है। 5.331 V का rms emf देने के लिए उसे किस चाल n (चक्कर प्रति मिनट में) से घूमना होगा?

N = 50A = 12 cm × 20 cmB = 0.1 TE_rms = 5.331 V

n = rpm

9.AC प्रतिबाधा और फ़ेज़रमध्यम

एक प्रतिरोधक और एक प्रेरक 100 V (rms), 100 Hz आपूर्ति के आर-पार समांतर में जुड़े हैं। rms धारा I ज्ञात कीजिए।

V = 100 V (rms)f = 100 HzR = 20 ΩL = 20 mH

I = A

10.AC प्रतिबाधा और फ़ेज़रकठिन

एक श्रेणी RLC परिपथ में R = 2 Ω, L = 1 mH और C = 0.022 µF है। इसकी बैंडविड्थ B (अर्ध-शक्ति आवृत्तियों के बीच के बैंड की चौड़ाई) Hz में ज्ञात कीजिए।

R = 2 ΩL = 1 mHC = 0.022 µF

B = Hz

3विलयन

1.कूलॉम का नियम और विद्युत क्षेत्र

उत्तर: F = 0.899 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

छूने के बाद आवेश

q′ = (−5 + 4)/2 = −0.5 µC

नया बल

F = 8.99 × 10⁹·(0.5 × 10⁻⁶)²/0.05² = 0.899 N

उत्तर

F = 0.899 N

अब दोनों गोलों पर एक ही चिह्न का आवेश है, इसलिए वे प्रतिकर्षित करते हैं।

2.कूलॉम का नियम और विद्युत क्षेत्र

उत्तर: y = 0.3517 mm

प्लेटों के बीच समय

t = L/v₀ = 0.03/3 × 10⁷ = 1 × 10⁻⁹ s

बगल की ओर त्वरण

a = e·E/m = 1.602 × 10⁻¹⁹·4000/9.109 × 10⁻³¹ = 7.035 × 10¹⁴ m/s²

विक्षेप

y = ½·a·t² = ½·7.035 × 10¹⁴·(1 × 10⁻⁹)² = 0.0003517 m = 0.3517 mm

उत्तर

y = 0.3517 mm

इलेक्ट्रॉन क्षेत्र की दिशा के विरुद्ध, धनात्मक प्लेट की ओर धकेला जाता है।

3.श्रेणी और समांतर प्रतिरोधक

उत्तर: I_R2 = 1.429 A

श्रेणी और समांतर प्रतिरोधक: श्रेणी में हर प्रतिरोधक से समान धारा बहती है और R = R₁ + R₂ + …। समांतर में हर प्रतिरोधक पर समान वोल्टता होती है और 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …। सीढ़ी नेटवर्क को एक-एक युग्म घटाया जाता है जब तक एक समतुल्य प्रतिरोध न बचे।

दूर वाले सिरे से प्रतिरोधक जोड़ें

स्रोत से सबसे दूर वाले सिरे से शुरू करें और उसकी ओर लौटें। समान धारा वाले प्रतिरोधक श्रेणी में हैं; समान दो नोड के बीच वाले प्रतिरोधक समांतर में हैं।

R₃ + R₄ = 5 + 10 = 15 Ω

R₂ ∥ 15 = 8·15/(8+15) = 5.217 Ω

R_eq = R₁ + 5.217 = 3 + 5.217 = 8.217 Ω

स्रोत से धारा

स्रोत केवल R_eq देखता है, इसलिए ओम का नियम उसकी दी धारा देता है। यह धारा R₁ से होकर बहती है।

I_R1 = V₁/R_eq = 18/8.217 = 2.19 A

R₂ से होकर धारा

नोड A पर वोल्टता पाने के लिए R₁ पर पात घटाएँ, जो R₂ पर वोल्टता है।

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 18 − 2.19·3 = 11.43 V

I_R2 = V_A/R₂ = 11.43/8 = 1.429 A

उत्तर

I_R2 = 1.429 A

4.श्रेणी और समांतर प्रतिरोधक

उत्तर: I_R1 = 0.7409 A

दूर वाले सिरे से प्रतिरोधक जोड़ें

R₅ + R₆ = 20 + 4 = 24 Ω

R₄ ∥ 24 = 12.24 Ω

R₃ + 12.24 = 15.24 Ω

R₂ ∥ 15.24 = 5.247 Ω

R_eq = R₁ + 5.247 = 15 + 5.247 = 20.25 Ω

स्रोत से धारा

I_R1 = V₁/R_eq = 15/20.25 = 0.7409 A

उत्तर

I_R1 = 0.7409 A

5.RC और RL क्षणिक अवस्थाएँ

उत्तर: i = 0.265 A

प्रथम-कोटि क्षणिक अवस्थाएँ: एक संधारित्र या एक प्रेरक वाले परिपथ में हर वोल्टता और धारा अपने प्रारंभिक मान से अंतिम मान तक घातांकी रूप से बदलती है: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, जहाँ τ = RC या τ = L/R। लगभग 5τ के बाद परिपथ स्थिर हो जाता है।

समय स्थिरांक

τ = L/R = 68 mH / 33 Ω = 2.061 ms

धारा का क्षय

i(t) = 3·e^−5/2.061 = 0.265 A

उत्तर

i = 0.265 A

6.RC और RL क्षणिक अवस्थाएँ

उत्तर: v_C = 4.713 V

प्रारंभिक मान, अंतिम मान, समय स्थिरांक

संधारित्र वोल्टता अचानक नहीं बदल सकती, इसलिए वह अपने संचित मान से शुरू होकर स्रोत वोल्टता की ओर जाती है।

v_C(0) = 2 V, v_C(∞) = V_s = 5 V

τ = R·C = 6.8 kΩ · 47 µF = 319.6 ms

v_C(t) = 5 + (2 − 5)·e^−t/τ

दिए गए समय पर वोल्टता

v_C(750) = 5 + (−3)·e^−750/319.6 = 4.713 V

उत्तर

v_C = 4.713 V

7.चुंबकीय क्षेत्र और प्रेरण

उत्तर: ε = 640 mV

विद्युतचुंबकीय प्रेरण: लूप से गुज़रता फ्लक्स Φ = BA·cos θ है, जहाँ θ, B और लूप के अभिलंब के बीच का कोण है। फैराडे का नियम: फ्लक्स में परिवर्तन N फेरों की कुंडली में emf = −N·dΦ/dt प्रेरित करता है, और लेंज़ का नियम कहता है कि प्रेरित धारा इस प्रकार बहती है कि उसका अपना क्षेत्र परिवर्तन का विरोध करे। क्षेत्र के आर-पार गतिमान छड़ emf = BLv देती है। ω पर घूमती कुंडली e = NBAω·sin ωt देती है, शिखर मान NBAω। स्वप्रेरकत्व: emf = −L·di/dt, जहाँ लंबी परिनालिका के लिए L = μ₀N²A/l, और संचित ऊर्जा W = ½LI² है। दो युग्मित कुंडलियाँ: emf₂ = −M·di₁/dt, जहाँ M = k√(L₁L₂)।

गतिज emf

ε = BLv = 0.8·0.8·1 = 0.64 V

उत्तर

ε = 640 mV

8.चुंबकीय क्षेत्र और प्रेरण

उत्तर: n = 599.9 rpm

शिखर emf

E₀ = √2·E_rms = 7.539 V

कोणीय चाल

ω = E₀/(NBA) = 7.539/(50·0.1·0.024) = 62.83 rad/s

चक्कर प्रति मिनट

n = 60·62.83/(2π) = 599.9 rpm

उत्तर

n = 599.9 rpm

9.AC प्रतिबाधा और फ़ेज़र

उत्तर: I = 9.398 A

फ़ेज़र के साथ AC परिपथ: प्रतिरोधक, प्रेरक और संधारित्र की प्रतिबाधाएँ R, jωL और 1/(jωC) हैं, जहाँ ω = 2πf। श्रेणी में प्रतिबाधाएँ प्रतिरोधों की तरह, पर सम्मिश्र संख्याओं के रूप में जुड़ती हैं। rms धारा और वोल्टता |Z| के साथ ओम के नियम का पालन करती हैं।

प्रतिघात

X_L = ωL = 2π·100·0.02 = 12.57 Ω

शाखा धाराएँ

दोनों शाखाएँ सीधे आपूर्ति के आर-पार जुड़ी हैं, इसलिए हर एक पूरी वोल्टता V देखती है।

I_R = V/R = 100/20 = 5 A

I_X = V/X_L = 100/12.57 = 7.958 A

कुल धारा

प्रतिरोधक धारा V के साथ समान कला में है और प्रतिघाती धारा 90° कला से बाहर है, इसलिए वे समकोण त्रिभुज की भुजाओं की तरह जुड़ती हैं।

I = √(I_R² + I_X²) = √(5² + 7.958²) = 9.398 A

उत्तर

I = 9.398 A

10.AC प्रतिबाधा और फ़ेज़र

उत्तर: B = 318.3 Hz

अनुनादी आवृत्ति

f₀ = 1/(2π·√(0.001·0.022·10⁻⁶)) = 33932 Hz

गुणता गुणक

Q अनुनाद पर प्रतिघात की तुलना प्रतिरोध से करता है: Q = ω₀L/R।

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/2)·√(0.001/(0.022·10⁻⁶)) = 106.6

बैंडविड्थ

B = f₀/Q = 33932/106.6 = 318.3 Hz

उत्तर

B = 318.3 Hz

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