कूलॉम का नियम और विद्युत क्षेत्र
- कूलॉम का नियम
- F = k·|q1q2|/r²
- बिंदु आवेश का क्षेत्र
- E = k·|q|/r²
- स्थिरांक
- k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
- आवेश पर बल
- F = q·E
भौतिकी 2: विद्युत और चुंबकत्व: क्रैम पैक
सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 10 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।
1सूत्र और विधियाँ
श्रेणी और समांतर प्रतिरोधक
- श्रेणी में प्रतिरोध
- Req = R1 + R2 + …
- समांतर में प्रतिरोध
- 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
- दो समांतर में
- Req = R1R2 / (R1 + R2)
- ओम का नियम
- V = I·R
- शक्ति
- P = V·I = I²R = V²/R
विधि
- नेटवर्क के उस सिरे से शुरू करें जो टर्मिनलों से सबसे दूर है।
- श्रेणी में प्रतिरोधकों को जोड़कर मिलाएँ, और समांतर में प्रतिरोधकों को 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … से।
- हर चरण के बाद परिपथ दोबारा बनाएँ।
- तब तक दोहराएँ जब तक टर्मिनलों के बीच एक ही प्रतिरोधक न बचे।
RC और RL क्षणिक अवस्थाएँ
- समय स्थिरांक
- τ = RC | τ = L/R
- अनुक्रिया
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
- DC पर संधारित्र
- खुला परिपथ; vC अचानक नहीं बदल सकता
- DC पर प्रेरक
- शॉर्ट सर्किट; iL अचानक नहीं बदल सकता
- स्थिर अवस्था
- t ≈ 5τ
विधि
- स्विचिंग के ठीक बाद प्रारंभिक मान ज्ञात करें: संधारित्र की वोल्टता और प्रेरक की धारा अचानक नहीं बदल सकती।
- स्विचिंग के बहुत बाद अंतिम मान ज्ञात करें: संधारित्र खुले परिपथ जैसा, प्रेरक लघु परिपथ जैसा व्यवहार करता है।
- समय स्थिरांक ज्ञात करें: τ = RC या τ = L/R, संधारित्र या प्रेरक द्वारा देखे गए प्रतिरोध का उपयोग करके।
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ का उपयोग करें।
चुंबकीय क्षेत्र और प्रेरण
- लंबा सीधा तार
- B = μ0I/(2πr)
- समतल कुंडली का केंद्र
- B = μ0NI/(2R)
- लंबी परिनालिका
- B = μ0nI, n = N/L
- स्थिरांक
- μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
- तार पर बल
- F = BIL·sin θ
- आवेश पर बल
- F = |q|vB·sin θ
- वृत्तीय गति
- r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
- समांतर तार
- F/L = μ0I1I2/(2πd)
- फ्लक्स
- Φ = BA·cos θ
- फैराडे का नियम
- ε = −N·ΔΦ/Δt
- गतिमान छड़
- ε = BLv
- जनित्र
- E0 = NBAω, Erms = E0/√2
- प्रेरकत्व
- ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
- अन्योन्य प्रेरकत्व
- ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
- वेग चयनक और स्पेक्ट्रोमीटर
- v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B
विधि
- हर राशि को SI इकाइयों में बदलें: cm से m, cm² से m², mT और µT से T।
- सही सूत्र चुनें: तार के लिए B = μ₀I/(2πr), कुंडली के केंद्र के लिए μ₀NI/(2R), परिनालिका के भीतर μ₀nI; बलों के लिए F = BIL·sin θ या |q|vB·sin θ।
- प्रेरण के लिए फ्लक्स में परिवर्तन ΔΦ = Δ(BA·cos θ) निकालें और ε = N·ΔΦ/Δt उपयोग करें, या गतिमान छड़ के लिए ε = BLv और घूमती कुंडली के लिए NBAω।
- दिशाएँ दाहिने हाथ के नियमों से अलग से निकालें, और प्रेरित धाराओं के लिए लेंज़ के नियम से।
AC प्रतिबाधा और फ़ेज़र
- प्रतिबाधाएँ
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- कोणीय आवृत्ति
- ω = 2πf
- परिमाण और कोण
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- फेज़र रूप में ओम का नियम
- V = I·Z
विधि
- आवृत्ति बदलें: ω = 2πf।
- हर प्रतिघात ज्ञात करें: XL = ωL और XC = 1/(ωC)।
- प्रतिबाधाओं को प्रतिरोधकों की तरह जोड़ें, Z = R + jX के साथ।
- परिमाण |Z| = √(R² + X²) और कोण φ = atan(X/R) ज्ञात करें, फिर फ़ेज़र के साथ ओम का नियम लगाएँ।
2अभ्यास प्रश्न
1.कूलॉम का नियम और विद्युत क्षेत्रमध्यम
दो सर्वसम छोटे धातु के गोलों पर −1 µC और −5 µC के आवेश हैं। उन्हें एक-दूसरे से छुआकर फिर 30 cm दूर रख दिया जाता है। अब उनके बीच बल F का परिमाण ज्ञात कीजिए। Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².
q1 = −1 µCq2 = −5 µCr = 30 cm
F = N
2.कूलॉम का नियम और विद्युत क्षेत्रकठिन
3 g द्रव्यमान वाली दो सर्वसम छोटी गेंदें 20 cm लंबे विद्युतरोधी धागों पर एक ही बिंदु से लटकी हैं। उन्हें बराबर आवेश दिए जाते हैं और हर धागा ऊर्ध्वाधर से 8° पर ठहर जाता है। g = 9.81 m/s² लें। हर गेंद पर आवेश q nC में ज्ञात कीजिए। Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².
m = 3 gL = 20 cmθ = 8°g = 9.81 m/s²
q = nC
3.श्रेणी और समांतर प्रतिरोधकमध्यम
स्रोत V1 द्वारा देखा गया समतुल्य प्रतिरोध Req ज्ञात कीजिए।
V1 = 18 VR1 = 4 ΩR2 = 6 ΩR3 = 15 ΩR4 = 10 Ω
Req = Ω
4.श्रेणी और समांतर प्रतिरोधककठिन
R2 से होकर धारा IR2 ज्ञात कीजिए।
V1 = 18 VR1 = 4 ΩR2 = 15 ΩR3 = 3 ΩR4 = 5 ΩR5 = 5 ΩR6 = 30 Ω
IR2 = A
5.RC और RL क्षणिक अवस्थाएँमध्यम
t = 0 पर स्विच बंद होने से पहले प्रेरक में कोई धारा नहीं है। स्विच बंद होने के कितनी देर बाद धारा अपने अंतिम मान के 99% तक पहुँचती है? t ज्ञात कीजिए।
Vs = 15 VR = 15 ΩL = 68 mH
t = ms
6.RC और RL क्षणिक अवस्थाएँकठिन
t = 0 पर स्विच बंद होने से ठीक पहले संधारित्र पर दर्शाई ध्रुवता के साथ 18 V है। vC को 14.1 V तक पहुँचने में कितना समय लगता है? t ज्ञात कीजिए।
Vs = 5 VR = 2.2 kΩC = 33 µFvC(0) = 18 V
t = ms
7.चुंबकीय क्षेत्र और प्रेरणमध्यम
एक ऐल्फ़ा कण, 0.2 T के एकसमान चुंबकीय क्षेत्र के लंबवत 1 × 10⁵ m/s से चलता है। उसके वृत्ताकार पथ की त्रिज्या r ज्ञात करें।
m = 6.645 × 10⁻²⁷ kg|q| = 3.204 × 10⁻¹⁹ Cv = 1 × 10⁵ m/sB = 0.2 T
r = cm
8.चुंबकीय क्षेत्र और प्रेरणकठिन
200 mH के प्रेरक में धारा 2 ms में 1.5 A से 0.5 A तक लगातार बदलती है। स्वप्रेरित emf का परिमाण ε ज्ञात करें।
L = 200 mH1.5 A → 0.5 AΔt = 2 ms
ε = V
9.AC प्रतिबाधा और फ़ेज़रमध्यम
एक श्रेणी RLC परिपथ 100 V (rms), 200 Hz आपूर्ति से जुड़ा है। परिपथ का शक्ति गुणक cos φ ज्ञात कीजिए।
V = 100 V (rms)f = 200 HzR = 80 ΩL = 100 mHC = 100 µF
cos φ =
10.AC प्रतिबाधा और फ़ेज़रकठिन
एक श्रेणी RLC परिपथ 100 V (rms), 50 Hz आपूर्ति से जुड़ा है। संधारित्र पर rms वोल्टता VC ज्ञात कीजिए।
V = 100 V (rms)f = 50 HzR = 15 ΩL = 200 mHC = 100 µF
VC = V
3विलयन
1.कूलॉम का नियम और विद्युत क्षेत्र
उत्तर: F = 0.899 N
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
छूने के बाद आवेश
q′ = (−1 + −5)/2 = −3 µC
नया बल
F = 8.99 × 10⁹·(3 × 10⁻⁶)²/0.3² = 0.899 N
उत्तर
F = 0.899 N
अब दोनों गोलों पर एक ही चिह्न का आवेश है, इसलिए वे प्रतिकर्षित करते हैं।
2.कूलॉम का नियम और विद्युत क्षेत्र
उत्तर: q = 37.76 nC
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
संतुलन से विद्युत बल
तनाव का क्षैतिज भाग F को और ऊर्ध्वाधर भाग m·g को संतुलित करता है।
F = m·g·tan θ = 0.003·9.81·tan 8° = 0.004136 N
दूरी
r = 2·L·sin θ = 2·0.2·sin 8° = 0.05567 m
आवेश
F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0.05567·√(0.004136/8.99 × 10⁹) = 3.776 × 10⁻⁸ C = 37.76 nC
उत्तर
q = 37.76 nC
3.श्रेणी और समांतर प्रतिरोधक
उत्तर: Req = 8.839 Ω
श्रेणी और समांतर प्रतिरोधक: श्रेणी में हर प्रतिरोधक से समान धारा बहती है और R = R₁ + R₂ + …। समांतर में हर प्रतिरोधक पर समान वोल्टता होती है और 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …। सीढ़ी नेटवर्क को एक-एक युग्म घटाया जाता है जब तक एक समतुल्य प्रतिरोध न बचे।
दूर वाले सिरे से प्रतिरोधक जोड़ें
स्रोत से सबसे दूर वाले सिरे से शुरू करें और उसकी ओर लौटें। समान धारा वाले प्रतिरोधक श्रेणी में हैं; समान दो नोड के बीच वाले प्रतिरोधक समांतर में हैं।
R3 + R4 = 15 + 10 = 25 Ω
R2 ∥ 25 = 6·25/(6+25) = 4.839 Ω
Req = R1 + 4.839 = 4 + 4.839 = 8.839 Ω
उत्तर
Req = 8.839 Ω
4.श्रेणी और समांतर प्रतिरोधक
उत्तर: IR2 = 0.6633 A
श्रेणी और समांतर प्रतिरोधक: श्रेणी में हर प्रतिरोधक से समान धारा बहती है और R = R₁ + R₂ + …। समांतर में हर प्रतिरोधक पर समान वोल्टता होती है और 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …। सीढ़ी नेटवर्क को एक-एक युग्म घटाया जाता है जब तक एक समतुल्य प्रतिरोध न बचे।
दूर वाले सिरे से प्रतिरोधक जोड़ें
स्रोत से सबसे दूर वाले सिरे से शुरू करें और उसकी ओर लौटें। समान धारा वाले प्रतिरोधक श्रेणी में हैं; समान दो नोड के बीच वाले प्रतिरोधक समांतर में हैं।
R5 + R6 = 5 + 30 = 35 Ω
R4 ∥ 35 = 4.375 Ω
R3 + 4.375 = 7.375 Ω
R2 ∥ 7.375 = 4.944 Ω
Req = R1 + 4.944 = 4 + 4.944 = 8.944 Ω
स्रोत से धारा
स्रोत केवल Req देखता है, इसलिए ओम का नियम उसकी दी धारा देता है। यह धारा R₁ से होकर बहती है।
IR1 = V1/Req = 18/8.944 = 2.012 A
R₂ से होकर धारा
नोड A पर वोल्टता पाने के लिए R₁ पर पात घटाएँ, जो R₂ पर वोल्टता है।
VA = V1 − IR1·R1 = 18 − 2.012·4 = 9.95 V
IR2 = VA/R2 = 9.95/15 = 0.6633 A
उत्तर
IR2 = 0.6633 A
5.RC और RL क्षणिक अवस्थाएँ
उत्तर: t = 20.88 ms
प्रथम-कोटि क्षणिक अवस्थाएँ: एक संधारित्र या एक प्रेरक वाले परिपथ में हर वोल्टता और धारा अपने प्रारंभिक मान से अंतिम मान तक घातांकी रूप से बदलती है: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, जहाँ τ = RC या τ = L/R। लगभग 5τ के बाद परिपथ स्थिर हो जाता है।
समय स्थिरांक और अंतिम धारा
स्विच बंद होने के बहुत बाद प्रेरक शॉर्ट सर्किट जैसा व्यवहार करता है, इसलिए अंतिम धारा केवल R से तय होती है।
τ = L/R = 68 mH / 15 Ω = 4.533 ms
i(∞) = Vs/R = 15/15 = 1 A
समय के लिए हल करें
0.99 = 1 − e−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0.99)
t = −4.533·ln(0.01) = 20.88 ms
उत्तर
t = 20.88 ms
6.RC और RL क्षणिक अवस्थाएँ
उत्तर: t = 25.89 ms
प्रथम-कोटि क्षणिक अवस्थाएँ: एक संधारित्र या एक प्रेरक वाले परिपथ में हर वोल्टता और धारा अपने प्रारंभिक मान से अंतिम मान तक घातांकी रूप से बदलती है: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, जहाँ τ = RC या τ = L/R। लगभग 5τ के बाद परिपथ स्थिर हो जाता है।
प्रारंभिक मान, अंतिम मान, समय स्थिरांक
संधारित्र वोल्टता अचानक नहीं बदल सकती, इसलिए वह अपने संचित मान से शुरू होकर स्रोत वोल्टता की ओर जाती है।
vC(0) = 18 V, vC(∞) = Vs = 5 V
τ = R·C = 2.2 kΩ · 33 µF = 72.6 ms
vC(t) = 5 + (18 − 5)·e−t/τ
समय के लिए हल करें
14.1 = 5 + (13)·e−t/τ → e−t/τ = (14.1 − 5)/(18 − 5) = 0.7
t = τ·ln((18 − 5)/(14.1 − 5)) = 72.6·ln(1.429) = 25.89 ms
उत्तर
t = 25.89 ms
7.चुंबकीय क्षेत्र और प्रेरण
उत्तर: r = 1.037 cm
चुंबकीय बल: क्षेत्र B में I ले जाने वाला सीधा तार F = BIL·sin θ अनुभव करता है, और गतिमान आवेश F = |q|vB·sin θ, जहाँ θ धारा (या वेग) और B के बीच का कोण है। बल दोनों के लंबवत होता है: दाहिने हाथ की उँगलियाँ I या v की दिशा में रखें, उन्हें B की ओर मोड़ें, और अँगूठा धनात्मक आवेश के लिए F देता है; ऋणात्मक आवेश के लिए इसे उलट दें। क्योंकि F, v के लंबवत है, एकसमान क्षेत्र के आर-पार चलता आवेश वृत्त में चलता है: |q|vB = mv²/r से r = mv/(|q|B) और आवर्तकाल T = 2πm/(|q|B) मिलता है, जो चाल पर निर्भर नहीं करता। एक ही दिशा की धाराओं के लिए दो समांतर तार आकर्षित करते हैं: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)।
बल संतुलन
चुंबकीय बल हमेशा वेग के लंबवत होता है, इसलिए वह पथ को वृत्त में मोड़ देता है।
|q|vB = mv²/r → r = mv/(|q|B)
त्रिज्या
r = 6.645 × 10⁻²⁷·1 × 10⁵/(3.204 × 10⁻¹⁹·0.2) = 0.01037 m = 1.037 cm
उत्तर
r = 1.037 cm
8.चुंबकीय क्षेत्र और प्रेरण
उत्तर: ε = 100 V
विद्युतचुंबकीय प्रेरण: लूप से गुज़रता फ्लक्स Φ = BA·cos θ है, जहाँ θ, B और लूप के अभिलंब के बीच का कोण है। फैराडे का नियम: फ्लक्स में परिवर्तन N फेरों की कुंडली में emf = −N·dΦ/dt प्रेरित करता है, और लेंज़ का नियम कहता है कि प्रेरित धारा इस प्रकार बहती है कि उसका अपना क्षेत्र परिवर्तन का विरोध करे। क्षेत्र के आर-पार गतिमान छड़ emf = BLv देती है। ω पर घूमती कुंडली e = NBAω·sin ωt देती है, शिखर मान NBAω। स्वप्रेरकत्व: emf = −L·di/dt, जहाँ लंबी परिनालिका के लिए L = μ₀N²A/l, और संचित ऊर्जा W = ½LI² है। दो युग्मित कुंडलियाँ: emf₂ = −M·di₁/dt, जहाँ M = k√(L₁L₂)।
स्वप्रेरित emf
emf धारा के परिवर्तन का विरोध करता है (लेंज़), इसलिए उसका चिह्न ΔI के विपरीत है; परिमाण L·|ΔI|/Δt है।
ε = L·ΔI/Δt = 0.2·1/0.002 = 100 V
उत्तर
ε = 100 V
9.AC प्रतिबाधा और फ़ेज़र
उत्तर: cos φ = 0.5621
फ़ेज़र के साथ AC परिपथ: प्रतिरोधक, प्रेरक और संधारित्र की प्रतिबाधाएँ R, jωL और 1/(jωC) हैं, जहाँ ω = 2πf। श्रेणी में प्रतिबाधाएँ प्रतिरोधों की तरह, पर सम्मिश्र संख्याओं के रूप में जुड़ती हैं। rms धारा और वोल्टता |Z| के साथ ओम के नियम का पालन करती हैं।
प्रतिघात
XL = 125.7 Ω, XC = 7.958 Ω
प्रतिबाधा
|Z| = √(80² + (117.7)²) = 142.3 Ω
शक्ति गुणांक
cos φ = R/|Z| = 80/142.3 = 0.5621
परिपथ प्रेरकीय है, इसलिए शक्ति गुणक पश्चगामी है।
उत्तर
cos φ = 0.5621
10.AC प्रतिबाधा और फ़ेज़र
उत्तर: VC = 92.43 V
फ़ेज़र के साथ AC परिपथ: प्रतिरोधक, प्रेरक और संधारित्र की प्रतिबाधाएँ R, jωL और 1/(jωC) हैं, जहाँ ω = 2πf। श्रेणी में प्रतिबाधाएँ प्रतिरोधों की तरह, पर सम्मिश्र संख्याओं के रूप में जुड़ती हैं। rms धारा और वोल्टता |Z| के साथ ओम के नियम का पालन करती हैं।
प्रतिघात
ω = 2πf = 2π·50 = 314.2 rad/s
XL = ωL = 314.2·0.2 = 62.83 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(314.2·100·10⁻⁶) = 31.83 Ω
प्रतिबाधा
श्रेणी में प्रतिबाधाएँ सम्मिश्र संख्याओं की तरह जुड़ती हैं: Z = R + j(XL − XC)।
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(15² + (31)²) = 34.44 Ω
धारा
श्रेणी परिपथ के हर अवयव से समान धारा बहती है।
I = V/|Z| = 100/34.44 = 2.904 A
संधारित्र पर वोल्टता
VC = I·XC = 2.904·31.83 = 92.43 V
उत्तर
VC = 92.43 V
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