कूलॉम का नियम और विद्युत क्षेत्र
- कूलॉम का नियम
- F = k·|q1q2|/r²
- बिंदु आवेश का क्षेत्र
- E = k·|q|/r²
- स्थिरांक
- k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
- आवेश पर बल
- F = q·E
भौतिकी 2: विद्युत और चुंबकत्व: क्रैम पैक
सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 10 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।
1सूत्र और विधियाँ
श्रेणी और समांतर प्रतिरोधक
- श्रेणी में प्रतिरोध
- Req = R1 + R2 + …
- समांतर में प्रतिरोध
- 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
- दो समांतर में
- Req = R1R2 / (R1 + R2)
- ओम का नियम
- V = I·R
- शक्ति
- P = V·I = I²R = V²/R
विधि
- नेटवर्क के उस सिरे से शुरू करें जो टर्मिनलों से सबसे दूर है।
- श्रेणी में प्रतिरोधकों को जोड़कर मिलाएँ, और समांतर में प्रतिरोधकों को 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … से।
- हर चरण के बाद परिपथ दोबारा बनाएँ।
- तब तक दोहराएँ जब तक टर्मिनलों के बीच एक ही प्रतिरोधक न बचे।
RC और RL क्षणिक अवस्थाएँ
- समय स्थिरांक
- τ = RC | τ = L/R
- अनुक्रिया
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
- DC पर संधारित्र
- खुला परिपथ; vC अचानक नहीं बदल सकता
- DC पर प्रेरक
- शॉर्ट सर्किट; iL अचानक नहीं बदल सकता
- स्थिर अवस्था
- t ≈ 5τ
विधि
- स्विचिंग के ठीक बाद प्रारंभिक मान ज्ञात करें: संधारित्र की वोल्टता और प्रेरक की धारा अचानक नहीं बदल सकती।
- स्विचिंग के बहुत बाद अंतिम मान ज्ञात करें: संधारित्र खुले परिपथ जैसा, प्रेरक लघु परिपथ जैसा व्यवहार करता है।
- समय स्थिरांक ज्ञात करें: τ = RC या τ = L/R, संधारित्र या प्रेरक द्वारा देखे गए प्रतिरोध का उपयोग करके।
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ का उपयोग करें।
चुंबकीय क्षेत्र और प्रेरण
- लंबा सीधा तार
- B = μ0I/(2πr)
- समतल कुंडली का केंद्र
- B = μ0NI/(2R)
- लंबी परिनालिका
- B = μ0nI, n = N/L
- स्थिरांक
- μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
- तार पर बल
- F = BIL·sin θ
- आवेश पर बल
- F = |q|vB·sin θ
- वृत्तीय गति
- r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
- समांतर तार
- F/L = μ0I1I2/(2πd)
- फ्लक्स
- Φ = BA·cos θ
- फैराडे का नियम
- ε = −N·ΔΦ/Δt
- गतिमान छड़
- ε = BLv
- जनित्र
- E0 = NBAω, Erms = E0/√2
- प्रेरकत्व
- ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
- अन्योन्य प्रेरकत्व
- ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
- वेग चयनक और स्पेक्ट्रोमीटर
- v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B
विधि
- हर राशि को SI इकाइयों में बदलें: cm से m, cm² से m², mT और µT से T।
- सही सूत्र चुनें: तार के लिए B = μ₀I/(2πr), कुंडली के केंद्र के लिए μ₀NI/(2R), परिनालिका के भीतर μ₀nI; बलों के लिए F = BIL·sin θ या |q|vB·sin θ।
- प्रेरण के लिए फ्लक्स में परिवर्तन ΔΦ = Δ(BA·cos θ) निकालें और ε = N·ΔΦ/Δt उपयोग करें, या गतिमान छड़ के लिए ε = BLv और घूमती कुंडली के लिए NBAω।
- दिशाएँ दाहिने हाथ के नियमों से अलग से निकालें, और प्रेरित धाराओं के लिए लेंज़ के नियम से।
AC प्रतिबाधा और फ़ेज़र
- प्रतिबाधाएँ
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- कोणीय आवृत्ति
- ω = 2πf
- परिमाण और कोण
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- फेज़र रूप में ओम का नियम
- V = I·Z
विधि
- आवृत्ति बदलें: ω = 2πf।
- हर प्रतिघात ज्ञात करें: XL = ωL और XC = 1/(ωC)।
- प्रतिबाधाओं को प्रतिरोधकों की तरह जोड़ें, Z = R + jX के साथ।
- परिमाण |Z| = √(R² + X²) और कोण φ = atan(X/R) ज्ञात करें, फिर फ़ेज़र के साथ ओम का नियम लगाएँ।
2अभ्यास प्रश्न
1.कूलॉम का नियम और विद्युत क्षेत्रमध्यम
दो सर्वसम छोटे धातु के गोलों पर +5 µC और −3 µC के आवेश हैं। उन्हें एक-दूसरे से छुआकर फिर 30 cm दूर रख दिया जाता है। अब उनके बीच बल F का परिमाण ज्ञात कीजिए। Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².
q1 = +5 µCq2 = −3 µCr = 30 cm
F = N
2.कूलॉम का नियम और विद्युत क्षेत्रकठिन
तीन धनात्मक बिंदु आवेश एक समकोण त्रिभुज के शीर्षों पर हैं: q₃ = 6 µC समकोण वाले शीर्ष पर है, q₁ = 3 µC एक भुजा के अनुदिश उससे 6 cm दूर है और q₂ = 2 µC दूसरी भुजा के अनुदिश उससे 10 cm दूर है। q₃ पर नेट विद्युत बल का परिमाण F ज्ञात कीजिए।
q1 = 3 µCq2 = 2 µCq3 = 6 µCr13 = 6 cmr23 = 10 cm
F = N
3.श्रेणी और समांतर प्रतिरोधकमध्यम
स्रोत V1 द्वारा देखा गया समतुल्य प्रतिरोध Req ज्ञात कीजिए।
V1 = 30 VR1 = 4 ΩR2 = 12 ΩR3 = 4 ΩR4 = 3 Ω
Req = Ω
4.श्रेणी और समांतर प्रतिरोधककठिन
स्रोत V1 द्वारा देखा गया समतुल्य प्रतिरोध Req ज्ञात कीजिए।
V1 = 10 VR1 = 5 ΩR2 = 10 ΩR3 = 15 ΩR4 = 8 ΩR5 = 25 ΩR6 = 12 Ω
Req = Ω
5.RC और RL क्षणिक अवस्थाएँमध्यम
t = 0 पर स्विच बंद होने से पहले प्रेरक में कोई धारा नहीं है। t = 10 ms पर प्रेरक में संचित ऊर्जा W mJ में ज्ञात कीजिए।
Vs = 15 VR = 47 ΩL = 220 mHt = 10 ms
W = mJ
6.RC और RL क्षणिक अवस्थाएँकठिन
R2 के आर-पार लगा स्विच लंबे समय से खुला है, इसलिए प्रेरक धारा स्थिर है। t = 0 पर स्विच बंद होता है और R2 को शॉर्ट कर देता है। t = 0 के कितनी देर बाद प्रेरक धारा 1.395 A तक पहुँचती है? t ज्ञात कीजिए।
Vs = 9 VR1 = 5 ΩR2 = 15 ΩL = 100 mH
t = ms
7.चुंबकीय क्षेत्र और प्रेरणमध्यम
10 cm की दूरी पर दो लंबे समांतर तारों में 12 A और 15 A धाराएँ एक ही दिशा में बह रही हैं। उनके ठीक बीच में बिंदु P पर चुंबकीय फ्लक्स घनत्व का परिमाण B ज्ञात करें।
I1 = 12 AI2 = 15 Ad = 10 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
B = µT
8.चुंबकीय क्षेत्र और प्रेरणकठिन
20 फेरों की, 20 cm × 25 cm की कुंडली, क्षेत्र के लंबवत अक्ष के परितः 0.2 T के एकसमान क्षेत्र में 900 rpm से घूमती है। शिखर emf E0 ज्ञात करें।
N = 20A = 20 cm × 25 cmB = 0.2 Tn = 900 rpm
E0 = V
9.AC प्रतिबाधा और फ़ेज़रमध्यम
C = 0.22 µF वाले एक श्रेणी RLC परिपथ को 60 Hz पर अनुनाद करना है। आवश्यक प्रेरकत्व L ज्ञात कीजिए।
f0 = 60 HzC = 0.22 µF
L = mH
10.AC प्रतिबाधा और फ़ेज़रकठिन
एक प्रतिरोधक R1, R2 और एक संधारित्र C के समांतर संयोजन के साथ श्रेणी में, 230 V (rms), 60 Hz आपूर्ति के आर-पार जुड़ा है। प्रतिबाधा का परिमाण |Z| ज्ञात कीजिए।
V = 230 V (rms)f = 60 HzR1 = 50 ΩR2 = 30 ΩC = 47 µF
|Z| = Ω
3विलयन
1.कूलॉम का नियम और विद्युत क्षेत्र
उत्तर: F = 0.09989 N
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
छूने के बाद आवेश
q′ = (5 + −3)/2 = 1 µC
नया बल
F = 8.99 × 10⁹·(1 × 10⁻⁶)²/0.3² = 0.09989 N
उत्तर
F = 0.09989 N
अब दोनों गोलों पर एक ही चिह्न का आवेश है, इसलिए वे प्रतिकर्षित करते हैं।
2.कूलॉम का नियम और विद्युत क्षेत्र
उत्तर: F = 46.23 N
कूलॉम का नियम: दो बिंदु आवेश F = k·|q₁·q₂|/r² बल से एक-दूसरे को आकर्षित या प्रतिकर्षित करते हैं, जहाँ k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²। बिंदु आवेश का क्षेत्र E = k·|q|/r² है, जो धनात्मक आवेश से दूर और ऋणात्मक आवेश की ओर होता है। कई आवेशों से उत्पन्न बल और क्षेत्र सदिश रूप से जुड़ते हैं।
q₃ पर हर बल
F1 = k·3·6 × 10⁻¹²/0.06² = 44.95 N
F2 = k·2·6 × 10⁻¹²/0.1² = 10.79 N
सदिश योग
F = √(44.95² + 10.79²) = 46.23 N
उत्तर
F = 46.23 N
3.श्रेणी और समांतर प्रतिरोधक
उत्तर: Req = 8.421 Ω
श्रेणी और समांतर प्रतिरोधक: श्रेणी में हर प्रतिरोधक से समान धारा बहती है और R = R₁ + R₂ + …। समांतर में हर प्रतिरोधक पर समान वोल्टता होती है और 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …। सीढ़ी नेटवर्क को एक-एक युग्म घटाया जाता है जब तक एक समतुल्य प्रतिरोध न बचे।
दूर वाले सिरे से प्रतिरोधक जोड़ें
स्रोत से सबसे दूर वाले सिरे से शुरू करें और उसकी ओर लौटें। समान धारा वाले प्रतिरोधक श्रेणी में हैं; समान दो नोड के बीच वाले प्रतिरोधक समांतर में हैं।
R3 + R4 = 4 + 3 = 7 Ω
R2 ∥ 7 = 12·7/(12+7) = 4.421 Ω
Req = R1 + 4.421 = 4 + 4.421 = 8.421 Ω
उत्तर
Req = 8.421 Ω
4.श्रेणी और समांतर प्रतिरोधक
उत्तर: Req = 11.83 Ω
श्रेणी और समांतर प्रतिरोधक: श्रेणी में हर प्रतिरोधक से समान धारा बहती है और R = R₁ + R₂ + …। समांतर में हर प्रतिरोधक पर समान वोल्टता होती है और 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …। सीढ़ी नेटवर्क को एक-एक युग्म घटाया जाता है जब तक एक समतुल्य प्रतिरोध न बचे।
दूर वाले सिरे से प्रतिरोधक जोड़ें
स्रोत से सबसे दूर वाले सिरे से शुरू करें और उसकी ओर लौटें। समान धारा वाले प्रतिरोधक श्रेणी में हैं; समान दो नोड के बीच वाले प्रतिरोधक समांतर में हैं।
R5 + R6 = 25 + 12 = 37 Ω
R4 ∥ 37 = 6.578 Ω
R3 + 6.578 = 21.58 Ω
R2 ∥ 21.58 = 6.833 Ω
Req = R1 + 6.833 = 5 + 6.833 = 11.83 Ω
उत्तर
Req = 11.83 Ω
5.RC और RL क्षणिक अवस्थाएँ
उत्तर: W = 8.714 mJ
प्रथम-कोटि क्षणिक अवस्थाएँ: एक संधारित्र या एक प्रेरक वाले परिपथ में हर वोल्टता और धारा अपने प्रारंभिक मान से अंतिम मान तक घातांकी रूप से बदलती है: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, जहाँ τ = RC या τ = L/R। लगभग 5τ के बाद परिपथ स्थिर हो जाता है।
समय स्थिरांक और अंतिम धारा
स्विच बंद होने के बहुत बाद प्रेरक शॉर्ट सर्किट जैसा व्यवहार करता है, इसलिए अंतिम धारा केवल R से तय होती है।
τ = L/R = 220 mH / 47 Ω = 4.681 ms
i(∞) = Vs/R = 15/47 = 0.3191 A
दिए गए समय पर धारा
i(t) = 0.3191·(1 − e−10/4.681) = 0.2815 A
संचित ऊर्जा
W = ½·L·i² = ½·220·0.2815² = 8.714 mJ
उत्तर
W = 8.714 mJ
6.RC और RL क्षणिक अवस्थाएँ
उत्तर: t = 24.08 ms
प्रथम-कोटि क्षणिक अवस्थाएँ: एक संधारित्र या एक प्रेरक वाले परिपथ में हर वोल्टता और धारा अपने प्रारंभिक मान से अंतिम मान तक घातांकी रूप से बदलती है: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, जहाँ τ = RC या τ = L/R। लगभग 5τ के बाद परिपथ स्थिर हो जाता है।
प्रारंभिक मान, अंतिम मान, समय स्थिरांक
t = 0 से पहले दोनों प्रतिरोधक लूप में हैं; बाद में बंद स्विच R₂ को बायपास करता है।
i(0) = 9/(5 + 15) = 0.45 A
i(∞) = 9/5 = 1.8 A
τ = L/R = 100/5 = 20 ms
i(t) = 1.8 + (0.45 − 1.8)·e−t/τ
समय के लिए हल करें
e−t/τ = (1.395 − 1.8)/(0.45 − 1.8) = 0.3
t = 20·ln(3.333) = 24.08 ms
उत्तर
t = 24.08 ms
7.चुंबकीय क्षेत्र और प्रेरण
उत्तर: B = 12 µT
धाराओं का चुंबकीय क्षेत्र: लंबे सीधे तार के चारों ओर क्षेत्र रेखाएँ वृत्त होती हैं (दाहिने हाथ की पकड़ का नियम) जिनके लिए B = μ₀I/(2πr)। N फेरों वाली समतल वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर B = μ₀NI/(2R)। लंबी परिनालिका के भीतर क्षेत्र एकसमान होता है, B = μ₀nI, जहाँ n = N/L प्रति मीटर फेरे हैं, त्रिज्या चाहे जो हो। μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A। SI इकाइयों (मीटर और ऐम्पियर) में काम करें, और कई स्रोतों के क्षेत्रों को सदिश के रूप में जोड़ें।
P पर प्रत्येक तार का क्षेत्र
B1 = 2 × 10⁻⁷·12/0.05 = 48 µT
B2 = 2 × 10⁻⁷·15/0.05 = 60 µT
मिलाएँ
B = |B₁ − B₂| = 12 µT
उत्तर
B = 12 µT
8.चुंबकीय क्षेत्र और प्रेरण
उत्तर: E0 = 18.85 V
विद्युतचुंबकीय प्रेरण: लूप से गुज़रता फ्लक्स Φ = BA·cos θ है, जहाँ θ, B और लूप के अभिलंब के बीच का कोण है। फैराडे का नियम: फ्लक्स में परिवर्तन N फेरों की कुंडली में emf = −N·dΦ/dt प्रेरित करता है, और लेंज़ का नियम कहता है कि प्रेरित धारा इस प्रकार बहती है कि उसका अपना क्षेत्र परिवर्तन का विरोध करे। क्षेत्र के आर-पार गतिमान छड़ emf = BLv देती है। ω पर घूमती कुंडली e = NBAω·sin ωt देती है, शिखर मान NBAω। स्वप्रेरकत्व: emf = −L·di/dt, जहाँ लंबी परिनालिका के लिए L = μ₀N²A/l, और संचित ऊर्जा W = ½LI² है। दो युग्मित कुंडलियाँ: emf₂ = −M·di₁/dt, जहाँ M = k√(L₁L₂)।
कोणीय चाल और क्षेत्रफल
ω = 2π·900/60 = 94.25 rad/s
A = 0.05 m²
शिखर emf
E₀ = NBAω = 20·0.2·0.05·94.25 = 18.85 V
उत्तर
E0 = 18.85 V
9.AC प्रतिबाधा और फ़ेज़र
उत्तर: L = 31983 mH
फ़ेज़र के साथ AC परिपथ: प्रतिरोधक, प्रेरक और संधारित्र की प्रतिबाधाएँ R, jωL और 1/(jωC) हैं, जहाँ ω = 2πf। श्रेणी में प्रतिबाधाएँ प्रतिरोधों की तरह, पर सम्मिश्र संख्याओं के रूप में जुड़ती हैं। rms धारा और वोल्टता |Z| के साथ ओम के नियम का पालन करती हैं।
अनुनाद शर्त
अनुनाद पर प्रेरकीय और धारितीय प्रतिघात एक-दूसरे को निरस्त करते हैं: ωL = 1/(ωC)।
ω₀ = 2π·60 = 377 rad/s
L = 1/(ω₀²·C) = 1/(377²·0.22·10⁻⁶) = 31983 mH
उत्तर
L = 31983 mH
10.AC प्रतिबाधा और फ़ेज़र
उत्तर: |Z| = 74.44 Ω
फ़ेज़र के साथ AC परिपथ: प्रतिरोधक, प्रेरक और संधारित्र की प्रतिबाधाएँ R, jωL और 1/(jωC) हैं, जहाँ ω = 2πf। श्रेणी में प्रतिबाधाएँ प्रतिरोधों की तरह, पर सम्मिश्र संख्याओं के रूप में जुड़ती हैं। rms धारा और वोल्टता |Z| के साथ ओम के नियम का पालन करती हैं।
प्रतिघात
XC = 1/(2π·60·47·10⁻⁶) = 56.44 Ω
समांतर संयोजन
Zp को वास्तविक और काल्पनिक भागों में बाँटने के लिए अंश और हर को सम्मिश्र संयुग्मी से गुणा करें।
Zp = R₂·(−jXC)/(R₂ − jXC) = (R₂·XC² − jR₂²·XC)/(R₂² + XC²)
Zp = 23.39 − j12.43 Ω
कुल प्रतिबाधा
Z = 50 + 23.39 − j12.43 = 73.39 − j12.43 Ω
|Z| = √(73.39² + 12.43²) = 74.44 Ω
उत्तर
|Z| = 74.44 Ω
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