भौतिकी 2: विद्युत और चुंबकत्व: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 10 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

कूलॉम का नियम और विद्युत क्षेत्र

कूलॉम का नियम: F = k·|q₁q₂|/r²
बिंदु आवेश का क्षेत्र: E = k·|q|/r²
स्थिरांक: k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
आवेश पर बल: F = q·E

श्रेणी और समांतर प्रतिरोधक

श्रेणी में प्रतिरोध: R_eq = R₁ + R₂ + …
समांतर में प्रतिरोध: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
दो समांतर में: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
ओम का नियम: V = I·R
शक्ति: P = V·I = I²R = V²/R

विधि

नेटवर्क के उस सिरे से शुरू करें जो टर्मिनलों से सबसे दूर है।
श्रेणी में प्रतिरोधकों को जोड़कर मिलाएँ, और समांतर में प्रतिरोधकों को 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … से।
हर चरण के बाद परिपथ दोबारा बनाएँ।
तब तक दोहराएँ जब तक टर्मिनलों के बीच एक ही प्रतिरोधक न बचे।

RC और RL क्षणिक अवस्थाएँ

समय स्थिरांक: τ = RC | τ = L/R
अनुक्रिया: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
DC पर संधारित्र: खुला परिपथ; v_C अचानक नहीं बदल सकता
DC पर प्रेरक: शॉर्ट सर्किट; i_L अचानक नहीं बदल सकता
स्थिर अवस्था: t ≈ 5τ

विधि

स्विचिंग के ठीक बाद प्रारंभिक मान ज्ञात करें: संधारित्र की वोल्टता और प्रेरक की धारा अचानक नहीं बदल सकती।
स्विचिंग के बहुत बाद अंतिम मान ज्ञात करें: संधारित्र खुले परिपथ जैसा, प्रेरक लघु परिपथ जैसा व्यवहार करता है।
समय स्थिरांक ज्ञात करें: τ = RC या τ = L/R, संधारित्र या प्रेरक द्वारा देखे गए प्रतिरोध का उपयोग करके।
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ का उपयोग करें।

चुंबकीय क्षेत्र और प्रेरण

लंबा सीधा तार: B = μ₀I/(2πr)
समतल कुंडली का केंद्र: B = μ₀NI/(2R)
लंबी परिनालिका: B = μ₀nI, n = N/L
स्थिरांक: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
तार पर बल: F = BIL·sin θ
आवेश पर बल: F = |q|vB·sin θ
वृत्तीय गति: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
समांतर तार: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
फ्लक्स: Φ = BA·cos θ
फैराडे का नियम: ε = −N·ΔΦ/Δt
गतिमान छड़: ε = BLv
जनित्र: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
प्रेरकत्व: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
अन्योन्य प्रेरकत्व: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
वेग चयनक और स्पेक्ट्रोमीटर: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

विधि

हर राशि को SI इकाइयों में बदलें: cm से m, cm² से m², mT और µT से T।
सही सूत्र चुनें: तार के लिए B = μ₀I/(2πr), कुंडली के केंद्र के लिए μ₀NI/(2R), परिनालिका के भीतर μ₀nI; बलों के लिए F = BIL·sin θ या |q|vB·sin θ।
प्रेरण के लिए फ्लक्स में परिवर्तन ΔΦ = Δ(BA·cos θ) निकालें और ε = N·ΔΦ/Δt उपयोग करें, या गतिमान छड़ के लिए ε = BLv और घूमती कुंडली के लिए NBAω।
दिशाएँ दाहिने हाथ के नियमों से अलग से निकालें, और प्रेरित धाराओं के लिए लेंज़ के नियम से।

AC प्रतिबाधा और फ़ेज़र

प्रतिबाधाएँ: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
कोणीय आवृत्ति: ω = 2πf
परिमाण और कोण: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
फेज़र रूप में ओम का नियम: V = I·Z

विधि

आवृत्ति बदलें: ω = 2πf।
हर प्रतिघात ज्ञात करें: X_L = ωL और X_C = 1/(ωC)।
प्रतिबाधाओं को प्रतिरोधकों की तरह जोड़ें, Z = R + jX के साथ।
परिमाण |Z| = √(R² + X²) और कोण φ = atan(X/R) ज्ञात करें, फिर फ़ेज़र के साथ ओम का नियम लगाएँ।

2अभ्यास प्रश्न

1.कूलॉम का नियम और विद्युत क्षेत्रमध्यम

+1 µC का एक आवेश और +4 µC का एक आवेश 30 cm की दूरी पर हैं। बिंदु P उनके बीच की रेखा पर, पहले आवेश से 7.5 cm पर स्थित है। P पर विद्युत क्षेत्र का परिमाण E ज्ञात कीजिए।

q₁ = +1 µCq₂ = +4 µCr₁ = 7.5 cmr₂ = 22.5 cm

E = N/C

2.कूलॉम का नियम और विद्युत क्षेत्रकठिन

तीन धनात्मक बिंदु आवेश एक समकोण त्रिभुज के शीर्षों पर हैं: q₃ = 10 µC समकोण वाले शीर्ष पर है, q₁ = 3 µC एक भुजा के अनुदिश उससे 10 cm दूर है और q₂ = 4 µC दूसरी भुजा के अनुदिश उससे 6 cm दूर है। q₃ पर नेट विद्युत बल का परिमाण F ज्ञात कीजिए।

q₁ = 3 µCq₂ = 4 µCq₃ = 10 µCr₁₃ = 10 cmr₂₃ = 6 cm

F = N

3.श्रेणी और समांतर प्रतिरोधकमध्यम

R₂ से होकर धारा I_R2 ज्ञात कीजिए।

V₁ = 18 VR₁ = 10 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 3 Ω

I_R2 = A

4.श्रेणी और समांतर प्रतिरोधककठिन

स्रोत V₁ द्वारा देखा गया समतुल्य प्रतिरोध R_eq ज्ञात कीजिए।

V₁ = 9 VR₁ = 2 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 6 ΩR₅ = 30 ΩR₆ = 2 Ω

R_eq = Ω

5.RC और RL क्षणिक अवस्थाएँमध्यम

प्रेरक 2 A की स्थिर धारा वहन करता है। t = 0 पर स्विच R से होकर लूप बंद करता है और स्रोत हटा दिया जाता है, इसलिए प्रेरक धारा R से होकर क्षय होती है। t = 5 ms पर धारा i ज्ञात कीजिए।

i(0) = 2 AR = 10 ΩL = 33 mHt = 5 ms

i = A

6.RC और RL क्षणिक अवस्थाएँकठिन

R₂ के आर-पार लगा स्विच लंबे समय से खुला है, इसलिए प्रेरक धारा स्थिर है। t = 0 पर स्विच बंद होता है और R₂ को शॉर्ट कर देता है। t = 5 ms पर प्रेरक धारा i ज्ञात कीजिए।

V_s = 6 VR₁ = 15 ΩR₂ = 22 ΩL = 100 mHt = 5 ms

i = A

7.चुंबकीय क्षेत्र और प्रेरणमध्यम

30 cm लंबी धातु की छड़ पटरियों के अनुदिश 0.8 T के एकसमान क्षेत्र में, जो पृष्ठ के भीतर है, 6 m/s से फिसलती है। पटरियाँ 2.5 Ω के प्रतिरोधक से जुड़ी हैं; छड़ और पटरियों का प्रतिरोध नगण्य है। छड़ को स्थिर चाल से चलाए रखने के लिए आवश्यक बल F ज्ञात करें (कोई घर्षण नहीं)।

B = 0.8 TL = 30 cmv = 6 m/sR = 2.5 Ω

F = mN

8.चुंबकीय क्षेत्र और प्रेरणकठिन

40 mH के प्रेरक में धारा 5 ms में 4.5 A से 0.5 A तक लगातार बदलती है। स्वप्रेरित emf का परिमाण ε ज्ञात करें।

L = 40 mH4.5 A → 0.5 AΔt = 5 ms

ε = V

9.AC प्रतिबाधा और फ़ेज़रमध्यम

L = 20 mH वाले एक श्रेणी RLC परिपथ को 200 Hz पर अनुनाद करना है। आवश्यक धारिता C ज्ञात कीजिए।

f₀ = 200 HzL = 20 mH

C = µF

10.AC प्रतिबाधा और फ़ेज़रकठिन

एक श्रेणी RLC परिपथ को 5 V (rms) स्रोत से चलाया जाता है जिसकी आवृत्ति परिपथ की अनुनादी आवृत्ति पर सेट है। प्रेरक पर rms वोल्टता V_L ज्ञात कीजिए।

V = 5 V (rms)R = 50 ΩL = 50 mHC = 2.2 µF

V_L = V

3विलयन

1.कूलॉम का नियम और विद्युत क्षेत्र

उत्तर: E = 887901 N/C

कूलॉम का नियम: दो बिंदु आवेश F = k·|q₁·q₂|/r² बल से एक-दूसरे को आकर्षित या प्रतिकर्षित करते हैं, जहाँ k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²। बिंदु आवेश का क्षेत्र E = k·|q|/r² है, जो धनात्मक आवेश से दूर और ऋणात्मक आवेश की ओर होता है। कई आवेशों से उत्पन्न बल और क्षेत्र सदिश रूप से जुड़ते हैं।

हर आवेश का क्षेत्र

E₁ = k·1 × 10⁻⁶/0.075² = 1.598 × 10⁶ N/C

E₂ = k·4 × 10⁻⁶/0.225² = 710321 N/C

दिशाएँ और योग

दोनों आवेश धनात्मक हैं: P पर उनके क्षेत्र अपने-अपने आवेश से दूर, यानी विपरीत दिशाओं में होते हैं।

E = |1.598 × 10⁶ − 710321| = 887901 N/C

उत्तर

E = 887901 N/C

2.कूलॉम का नियम और विद्युत क्षेत्र

उत्तर: F = 103.5 N

q₃ पर हर बल

F₁ = k·3·10 × 10⁻¹²/0.1² = 26.97 N

F₂ = k·4·10 × 10⁻¹²/0.06² = 99.89 N

सदिश योग

F = √(26.97² + 99.89²) = 103.5 N

उत्तर

F = 103.5 N

3.श्रेणी और समांतर प्रतिरोधक

उत्तर: I_R2 = 1.2 A

श्रेणी और समांतर प्रतिरोधक: श्रेणी में हर प्रतिरोधक से समान धारा बहती है और R = R₁ + R₂ + …। समांतर में हर प्रतिरोधक पर समान वोल्टता होती है और 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …। सीढ़ी नेटवर्क को एक-एक युग्म घटाया जाता है जब तक एक समतुल्य प्रतिरोध न बचे।

दूर वाले सिरे से प्रतिरोधक जोड़ें

स्रोत से सबसे दूर वाले सिरे से शुरू करें और उसकी ओर लौटें। समान धारा वाले प्रतिरोधक श्रेणी में हैं; समान दो नोड के बीच वाले प्रतिरोधक समांतर में हैं।

R₃ + R₄ = 12 + 3 = 15 Ω

R₂ ∥ 15 = 3·15/(3+15) = 2.5 Ω

R_eq = R₁ + 2.5 = 10 + 2.5 = 12.5 Ω

स्रोत से धारा

स्रोत केवल R_eq देखता है, इसलिए ओम का नियम उसकी दी धारा देता है। यह धारा R₁ से होकर बहती है।

I_R1 = V₁/R_eq = 18/12.5 = 1.44 A

R₂ से होकर धारा

नोड A पर वोल्टता पाने के लिए R₁ पर पात घटाएँ, जो R₂ पर वोल्टता है।

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 18 − 1.44·10 = 3.6 V

I_R2 = V_A/R₂ = 3.6/3 = 1.2 A

उत्तर

I_R2 = 1.2 A

4.श्रेणी और समांतर प्रतिरोधक

उत्तर: R_eq = 3.79 Ω

दूर वाले सिरे से प्रतिरोधक जोड़ें

R₅ + R₆ = 30 + 2 = 32 Ω

R₄ ∥ 32 = 5.053 Ω

R₃ + 5.053 = 17.05 Ω

R₂ ∥ 17.05 = 1.79 Ω

R_eq = R₁ + 1.79 = 2 + 1.79 = 3.79 Ω

उत्तर

R_eq = 3.79 Ω

5.RC और RL क्षणिक अवस्थाएँ

उत्तर: i = 0.4395 A

प्रथम-कोटि क्षणिक अवस्थाएँ: एक संधारित्र या एक प्रेरक वाले परिपथ में हर वोल्टता और धारा अपने प्रारंभिक मान से अंतिम मान तक घातांकी रूप से बदलती है: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, जहाँ τ = RC या τ = L/R। लगभग 5τ के बाद परिपथ स्थिर हो जाता है।

समय स्थिरांक

τ = L/R = 33 mH / 10 Ω = 3.3 ms

धारा का क्षय

i(t) = 2·e^−5/3.3 = 0.4395 A

उत्तर

i = 0.4395 A

6.RC और RL क्षणिक अवस्थाएँ

उत्तर: i = 0.2877 A

प्रारंभिक मान, अंतिम मान, समय स्थिरांक

t = 0 से पहले दोनों प्रतिरोधक लूप में हैं; बाद में बंद स्विच R₂ को बायपास करता है।

i(0) = 6/(15 + 22) = 0.1622 A

i(∞) = 6/15 = 0.4 A

τ = L/R = 100/15 = 6.667 ms

i(t) = 0.4 + (0.1622 − 0.4)·e^−t/τ

दिए गए समय पर धारा

i(5) = 0.4 + (−0.2378)·e^−5/6.667 = 0.2877 A

उत्तर

i = 0.2877 A

7.चुंबकीय क्षेत्र और प्रेरण

उत्तर: F = 138.2 mN

विद्युतचुंबकीय प्रेरण: लूप से गुज़रता फ्लक्स Φ = BA·cos θ है, जहाँ θ, B और लूप के अभिलंब के बीच का कोण है। फैराडे का नियम: फ्लक्स में परिवर्तन N फेरों की कुंडली में emf = −N·dΦ/dt प्रेरित करता है, और लेंज़ का नियम कहता है कि प्रेरित धारा इस प्रकार बहती है कि उसका अपना क्षेत्र परिवर्तन का विरोध करे। क्षेत्र के आर-पार गतिमान छड़ emf = BLv देती है। ω पर घूमती कुंडली e = NBAω·sin ωt देती है, शिखर मान NBAω। स्वप्रेरकत्व: emf = −L·di/dt, जहाँ लंबी परिनालिका के लिए L = μ₀N²A/l, और संचित ऊर्जा W = ½LI² है। दो युग्मित कुंडलियाँ: emf₂ = −M·di₁/dt, जहाँ M = k√(L₁L₂)।

गतिज emf

ε = BLv = 0.8·0.3·6 = 1.44 V

धारा

I = ε/R = 1.44/2.5 = 0.576 A

अवरोधक बल

लेंज़ का नियम: प्रेरित धारा पर बल गति का विरोध करता है।

F = BIL = 0.8·0.576·0.3 = 0.1382 N

उत्तर

F = 138.2 mN

8.चुंबकीय क्षेत्र और प्रेरण

उत्तर: ε = 32 V

स्वप्रेरित emf

emf धारा के परिवर्तन का विरोध करता है (लेंज़), इसलिए उसका चिह्न ΔI के विपरीत है; परिमाण L·|ΔI|/Δt है।

ε = L·ΔI/Δt = 0.04·4/0.005 = 32 V

उत्तर

ε = 32 V

9.AC प्रतिबाधा और फ़ेज़र

उत्तर: C = 31.66 µF

फ़ेज़र के साथ AC परिपथ: प्रतिरोधक, प्रेरक और संधारित्र की प्रतिबाधाएँ R, jωL और 1/(jωC) हैं, जहाँ ω = 2πf। श्रेणी में प्रतिबाधाएँ प्रतिरोधों की तरह, पर सम्मिश्र संख्याओं के रूप में जुड़ती हैं। rms धारा और वोल्टता |Z| के साथ ओम के नियम का पालन करती हैं।

अनुनाद शर्त

अनुनाद पर प्रेरकीय और धारितीय प्रतिघात एक-दूसरे को निरस्त करते हैं: ωL = 1/(ωC)।

ω₀ = 2π·200 = 1257 rad/s

C = 1/(ω₀²·L) = 1/(1257²·0.02) = 31.66 µF

उत्तर

C = 31.66 µF

10.AC प्रतिबाधा और फ़ेज़र

उत्तर: V_L = 15.08 V

अनुनाद

अनुनाद पर प्रतिघात निरस्त हो जाते हैं, इसलिए प्रतिबाधा केवल R है।

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0.05·2.2·10⁻⁶) = 3015 rad/s

I = V/R = 5/50 = 0.1 A

प्रेरक पर वोल्टता

X_L = ω₀L = 3015·0.05 = 150.8 Ω

V_L = I·X_L = 0.1·150.8 = 15.08 V

उत्तर

V_L = 15.08 V

यह आपूर्ति वोल्टता का Q = 3.015 गुना है।

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