भौतिकी 2: विद्युत और चुंबकत्व: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 10 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

कूलॉम का नियम और विद्युत क्षेत्र

कूलॉम का नियम
F = k·|q1q2|/r²
बिंदु आवेश का क्षेत्र
E = k·|q|/r²
स्थिरांक
k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
आवेश पर बल
F = q·E

श्रेणी और समांतर प्रतिरोधक

श्रेणी में प्रतिरोध
Req = R1 + R2 + …
समांतर में प्रतिरोध
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
दो समांतर में
Req = R1R2 / (R1 + R2)
ओम का नियम
V = I·R
शक्ति
P = V·I = I²R = V²/R

विधि

  1. नेटवर्क के उस सिरे से शुरू करें जो टर्मिनलों से सबसे दूर है।
  2. श्रेणी में प्रतिरोधकों को जोड़कर मिलाएँ, और समांतर में प्रतिरोधकों को 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … से।
  3. हर चरण के बाद परिपथ दोबारा बनाएँ।
  4. तब तक दोहराएँ जब तक टर्मिनलों के बीच एक ही प्रतिरोधक न बचे।

RC और RL क्षणिक अवस्थाएँ

समय स्थिरांक
τ = RC | τ = L/R
अनुक्रिया
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
DC पर संधारित्र
खुला परिपथ; vC अचानक नहीं बदल सकता
DC पर प्रेरक
शॉर्ट सर्किट; iL अचानक नहीं बदल सकता
स्थिर अवस्था
t ≈ 5τ

विधि

  1. स्विचिंग के ठीक बाद प्रारंभिक मान ज्ञात करें: संधारित्र की वोल्टता और प्रेरक की धारा अचानक नहीं बदल सकती।
  2. स्विचिंग के बहुत बाद अंतिम मान ज्ञात करें: संधारित्र खुले परिपथ जैसा, प्रेरक लघु परिपथ जैसा व्यवहार करता है।
  3. समय स्थिरांक ज्ञात करें: τ = RC या τ = L/R, संधारित्र या प्रेरक द्वारा देखे गए प्रतिरोध का उपयोग करके।
  4. x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ का उपयोग करें।

चुंबकीय क्षेत्र और प्रेरण

लंबा सीधा तार
B = μ0I/(2πr)
समतल कुंडली का केंद्र
B = μ0NI/(2R)
लंबी परिनालिका
B = μ0nI, n = N/L
स्थिरांक
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
तार पर बल
F = BIL·sin θ
आवेश पर बल
F = |q|vB·sin θ
वृत्तीय गति
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
समांतर तार
F/L = μ0I1I2/(2πd)
फ्लक्स
Φ = BA·cos θ
फैराडे का नियम
ε = −N·ΔΦ/Δt
गतिमान छड़
ε = BLv
जनित्र
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
प्रेरकत्व
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
अन्योन्य प्रेरकत्व
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
वेग चयनक और स्पेक्ट्रोमीटर
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

विधि

  1. हर राशि को SI इकाइयों में बदलें: cm से m, cm² से m², mT और µT से T।
  2. सही सूत्र चुनें: तार के लिए B = μ₀I/(2πr), कुंडली के केंद्र के लिए μ₀NI/(2R), परिनालिका के भीतर μ₀nI; बलों के लिए F = BIL·sin θ या |q|vB·sin θ।
  3. प्रेरण के लिए फ्लक्स में परिवर्तन ΔΦ = Δ(BA·cos θ) निकालें और ε = N·ΔΦ/Δt उपयोग करें, या गतिमान छड़ के लिए ε = BLv और घूमती कुंडली के लिए NBAω।
  4. दिशाएँ दाहिने हाथ के नियमों से अलग से निकालें, और प्रेरित धाराओं के लिए लेंज़ के नियम से।

AC प्रतिबाधा और फ़ेज़र

प्रतिबाधाएँ
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
कोणीय आवृत्ति
ω = 2πf
परिमाण और कोण
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
फेज़र रूप में ओम का नियम
V = I·Z

विधि

  1. आवृत्ति बदलें: ω = 2πf।
  2. हर प्रतिघात ज्ञात करें: XL = ωL और XC = 1/(ωC)।
  3. प्रतिबाधाओं को प्रतिरोधकों की तरह जोड़ें, Z = R + jX के साथ।
  4. परिमाण |Z| = √(R² + X²) और कोण φ = atan(X/R) ज्ञात करें, फिर फ़ेज़र के साथ ओम का नियम लगाएँ।

2अभ्यास प्रश्न

1.कूलॉम का नियम और विद्युत क्षेत्रमध्यम
++2 µC−−10 µCP40 cm

+2 µC का एक आवेश और −10 µC का एक आवेश 40 cm की दूरी पर हैं। बिंदु P उनके बीच की रेखा पर, पहले आवेश से 20 cm पर स्थित है। P पर विद्युत क्षेत्र का परिमाण E ज्ञात कीजिए।

q1 = +2 µCq2 = −10 µCr1 = 20 cmr2 = 20 cm
E = N/C
2.कूलॉम का नियम और विद्युत क्षेत्रकठिन
8 cm5 cm+q1​ = +4 µC+q3​ = +8 µC+q2​ = +2 µC

तीन धनात्मक बिंदु आवेश एक समकोण त्रिभुज के शीर्षों पर हैं: q₃ = 8 µC समकोण वाले शीर्ष पर है, q₁ = 4 µC एक भुजा के अनुदिश उससे 8 cm दूर है और q₂ = 2 µC दूसरी भुजा के अनुदिश उससे 5 cm दूर है। q₃ पर नेट विद्युत बल का परिमाण F ज्ञात कीजिए।

q1 = 4 µCq2 = 2 µCq3 = 8 µCr13 = 8 cmr23 = 5 cm
F = N
3.श्रेणी और समांतर प्रतिरोधकमध्यम
R1​ = 5 ΩIR1​R3​ = 15 Ω+−V1​15 VR2​3 ΩAR4​12 ΩB

स्रोत द्वारा दी गई धारा IR1 ज्ञात कीजिए, जो R1 से होकर बहती है।

V1 = 15 VR1 = 5 ΩR2 = 3 ΩR3 = 15 ΩR4 = 12 Ω
IR1 = A
4.श्रेणी और समांतर प्रतिरोधककठिन
R1​ = 4 ΩIR1​R3​ = 15 ΩR5​ = 20 Ω+−V1​36 VR2​25 ΩAR4​8 ΩBR6​30 Ω

स्रोत द्वारा दी गई धारा IR1 ज्ञात कीजिए, जो R1 से होकर बहती है।

V1 = 36 VR1 = 4 ΩR2 = 25 ΩR3 = 15 ΩR4 = 8 ΩR5 = 20 ΩR6 = 30 Ω
IR1 = A
5.RC और RL क्षणिक अवस्थाएँमध्यम
+−Vs​5 Vt = 0R = 20 ΩL22 mHi(t)

t = 0 पर स्विच बंद होने से पहले प्रेरक में कोई धारा नहीं है। t = 1 ms पर धारा i ज्ञात कीजिए।

Vs = 5 VR = 20 ΩL = 22 mHt = 1 ms
i = A
6.RC और RL क्षणिक अवस्थाएँकठिन
+−Vs​15 Vt = 0R = 2.2 kΩC33 µF+−vC​vC​(0) = 24 V

t = 0 पर स्विच बंद होने से ठीक पहले संधारित्र पर दर्शाई ध्रुवता के साथ 24 V है। t = 150 ms पर संधारित्र वोल्टता vC ज्ञात कीजिए।

Vs = 15 VR = 2.2 kΩC = 33 µFvC(0) = 24 Vt = 150 ms
vC = V
7.चुंबकीय क्षेत्र और प्रेरणमध्यम
+v = 6 × 10⁶ m/sr = ?B = 0.1 T

एक प्रोटॉन, 0.1 T के एकसमान चुंबकीय क्षेत्र के लंबवत 6 × 10⁶ m/s से चलता है। उसके वृत्ताकार पथ की त्रिज्या r ज्ञात करें।

m = 1.673 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1.602 × 10⁻¹⁹ Cv = 6 × 10⁶ m/sB = 0.1 T
r = cm
8.चुंबकीय क्षेत्र और प्रेरणकठिन
E = 8 × 10⁴ V/m, B1​ = 0.25 TB2​ = 1 Tr = ?

एक ड्यूटरॉन क्रॉस किए गए क्षेत्रों E = 8 × 10⁴ V/m और B₁ = 0.25 T वाले वेग चयनक से बिना विक्षेपित हुए गुज़रता है। फिर वह केवल चुंबकीय क्षेत्र B₂ = 1 T वाले दूसरे क्षेत्र में समकोण पर प्रवेश करता है। वहाँ उसके पथ की त्रिज्या r ज्ञात करें।

E = 8 × 10⁴ V/mB1 = 0.25 TB2 = 1 Tm = 3.344 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1.602 × 10⁻¹⁹ C
r = cm
9.AC प्रतिबाधा और फ़ेज़रमध्यम
Vf0​ = 500 HzRL = ?C = 1 µF

C = 1 µF वाले एक श्रेणी RLC परिपथ को 500 Hz पर अनुनाद करना है। आवश्यक प्रेरकत्व L ज्ञात कीजिए।

f0 = 500 HzC = 1 µF
L = mH
10.AC प्रतिबाधा और फ़ेज़रकठिन
24 V500 HzR = 100 ΩL = 200 mHC = 100 µF

एक श्रेणी RLC परिपथ 24 V (rms), 500 Hz आपूर्ति से जुड़ा है। परिपथ की अनुनादी आवृत्ति f0 ज्ञात कीजिए।

V = 24 V (rms)f = 500 HzR = 100 ΩL = 200 mHC = 100 µF
f0 = Hz

3विलयन

1.कूलॉम का नियम और विद्युत क्षेत्र

उत्तर: E = 2.697 × 10⁶ N/C

कूलॉम का नियम: दो बिंदु आवेश F = k·|q₁·q₂|/r² बल से एक-दूसरे को आकर्षित या प्रतिकर्षित करते हैं, जहाँ k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²। बिंदु आवेश का क्षेत्र E = k·|q|/r² है, जो धनात्मक आवेश से दूर और ऋणात्मक आवेश की ओर होता है। कई आवेशों से उत्पन्न बल और क्षेत्र सदिश रूप से जुड़ते हैं।

हर आवेश का क्षेत्र

E1 = k·2 × 10⁻⁶/0.2² = 449500 N/C
E2 = k·10 × 10⁻⁶/0.2² = 2.247 × 10⁶ N/C

दिशाएँ और योग

पहला क्षेत्र धनात्मक आवेश से दूर और दूसरा ऋणात्मक आवेश की ओर है: दोनों एक ही दिशा में हैं।

E = |449500 + 2.247 × 10⁶| = 2.697 × 10⁶ N/C

उत्तर

E = 2.697 × 10⁶ N/C
2.कूलॉम का नियम और विद्युत क्षेत्र

उत्तर: F = 73.01 N

कूलॉम का नियम: दो बिंदु आवेश F = k·|q₁·q₂|/r² बल से एक-दूसरे को आकर्षित या प्रतिकर्षित करते हैं, जहाँ k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²। बिंदु आवेश का क्षेत्र E = k·|q|/r² है, जो धनात्मक आवेश से दूर और ऋणात्मक आवेश की ओर होता है। कई आवेशों से उत्पन्न बल और क्षेत्र सदिश रूप से जुड़ते हैं।

q₃ पर हर बल

F1 = k·4·8 × 10⁻¹²/0.08² = 44.95 N
F2 = k·2·8 × 10⁻¹²/0.05² = 57.54 N

सदिश योग

F = √(44.95² + 57.54²) = 73.01 N

उत्तर

F = 73.01 N
3.श्रेणी और समांतर प्रतिरोधक

उत्तर: IR1 = 1.948 A

श्रेणी और समांतर प्रतिरोधक: श्रेणी में हर प्रतिरोधक से समान धारा बहती है और R = R₁ + R₂ + …। समांतर में हर प्रतिरोधक पर समान वोल्टता होती है और 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …। सीढ़ी नेटवर्क को एक-एक युग्म घटाया जाता है जब तक एक समतुल्य प्रतिरोध न बचे।

R1​ = 5 ΩR3​ = 15 Ω+−V1​15 VR2​3 ΩAR4​12 ΩB

दूर वाले सिरे से प्रतिरोधक जोड़ें

स्रोत से सबसे दूर वाले सिरे से शुरू करें और उसकी ओर लौटें। समान धारा वाले प्रतिरोधक श्रेणी में हैं; समान दो नोड के बीच वाले प्रतिरोधक समांतर में हैं।

R3 + R4 = 15 + 12 = 27 Ω
R2 ∥ 27 = 3·27/(3+27) = 2.7 Ω
Req = R1 + 2.7 = 5 + 2.7 = 7.7 Ω

स्रोत से धारा

स्रोत केवल Req देखता है, इसलिए ओम का नियम उसकी दी धारा देता है। यह धारा R₁ से होकर बहती है।

IR1 = V1/Req = 15/7.7 = 1.948 A

उत्तर

IR1 = 1.948 A
4.श्रेणी और समांतर प्रतिरोधक

उत्तर: IR1 = 2.297 A

श्रेणी और समांतर प्रतिरोधक: श्रेणी में हर प्रतिरोधक से समान धारा बहती है और R = R₁ + R₂ + …। समांतर में हर प्रतिरोधक पर समान वोल्टता होती है और 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …। सीढ़ी नेटवर्क को एक-एक युग्म घटाया जाता है जब तक एक समतुल्य प्रतिरोध न बचे।

R1​ = 4 ΩR3​ = 15 ΩR5​ = 20 Ω+−V1​36 VR2​25 ΩAR4​8 ΩBR6​30 Ω

दूर वाले सिरे से प्रतिरोधक जोड़ें

स्रोत से सबसे दूर वाले सिरे से शुरू करें और उसकी ओर लौटें। समान धारा वाले प्रतिरोधक श्रेणी में हैं; समान दो नोड के बीच वाले प्रतिरोधक समांतर में हैं।

R5 + R6 = 20 + 30 = 50 Ω
R4 ∥ 50 = 6.897 Ω
R3 + 6.897 = 21.9 Ω
R2 ∥ 21.9 = 11.67 Ω
Req = R1 + 11.67 = 4 + 11.67 = 15.67 Ω

स्रोत से धारा

स्रोत केवल Req देखता है, इसलिए ओम का नियम उसकी दी धारा देता है। यह धारा R₁ से होकर बहती है।

IR1 = V1/Req = 36/15.67 = 2.297 A

उत्तर

IR1 = 2.297 A
5.RC और RL क्षणिक अवस्थाएँ

उत्तर: i = 0.1493 A

प्रथम-कोटि क्षणिक अवस्थाएँ: एक संधारित्र या एक प्रेरक वाले परिपथ में हर वोल्टता और धारा अपने प्रारंभिक मान से अंतिम मान तक घातांकी रूप से बदलती है: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, जहाँ τ = RC या τ = L/R। लगभग 5τ के बाद परिपथ स्थिर हो जाता है।

समय स्थिरांक और अंतिम धारा

स्विच बंद होने के बहुत बाद प्रेरक शॉर्ट सर्किट जैसा व्यवहार करता है, इसलिए अंतिम धारा केवल R से तय होती है।

τ = L/R = 22 mH / 20 Ω = 1.1 ms
i(∞) = Vs/R = 5/20 = 0.25 A

दिए गए समय पर धारा

i(t) = i(∞)·(1 − e−t/τ) = 0.25·(1 − e−1/1.1) = 0.1493 A

उत्तर

i = 0.1493 A
6.RC और RL क्षणिक अवस्थाएँ

उत्तर: vC = 16.14 V

प्रथम-कोटि क्षणिक अवस्थाएँ: एक संधारित्र या एक प्रेरक वाले परिपथ में हर वोल्टता और धारा अपने प्रारंभिक मान से अंतिम मान तक घातांकी रूप से बदलती है: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, जहाँ τ = RC या τ = L/R। लगभग 5τ के बाद परिपथ स्थिर हो जाता है।

प्रारंभिक मान, अंतिम मान, समय स्थिरांक

संधारित्र वोल्टता अचानक नहीं बदल सकती, इसलिए वह अपने संचित मान से शुरू होकर स्रोत वोल्टता की ओर जाती है।

vC(0) = 24 V, vC(∞) = Vs = 15 V
τ = R·C = 2.2 kΩ · 33 µF = 72.6 ms
vC(t) = 15 + (24 − 15)·e−t/τ

दिए गए समय पर वोल्टता

vC(150) = 15 + (9)·e−150/72.6 = 16.14 V

उत्तर

vC = 16.14 V
7.चुंबकीय क्षेत्र और प्रेरण

उत्तर: r = 62.66 cm

चुंबकीय बल: क्षेत्र B में I ले जाने वाला सीधा तार F = BIL·sin θ अनुभव करता है, और गतिमान आवेश F = |q|vB·sin θ, जहाँ θ धारा (या वेग) और B के बीच का कोण है। बल दोनों के लंबवत होता है: दाहिने हाथ की उँगलियाँ I या v की दिशा में रखें, उन्हें B की ओर मोड़ें, और अँगूठा धनात्मक आवेश के लिए F देता है; ऋणात्मक आवेश के लिए इसे उलट दें। क्योंकि F, v के लंबवत है, एकसमान क्षेत्र के आर-पार चलता आवेश वृत्त में चलता है: |q|vB = mv²/r से r = mv/(|q|B) और आवर्तकाल T = 2πm/(|q|B) मिलता है, जो चाल पर निर्भर नहीं करता। एक ही दिशा की धाराओं के लिए दो समांतर तार आकर्षित करते हैं: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)।

बल संतुलन

चुंबकीय बल हमेशा वेग के लंबवत होता है, इसलिए वह पथ को वृत्त में मोड़ देता है।

|q|vB = mv²/r → r = mv/(|q|B)

त्रिज्या

r = 1.673 × 10⁻²⁷·6 × 10⁶/(1.602 × 10⁻¹⁹·0.1) = 0.6266 m = 62.66 cm

उत्तर

r = 62.66 cm
8.चुंबकीय क्षेत्र और प्रेरण

उत्तर: r = 0.668 cm

चुंबकीय बल: क्षेत्र B में I ले जाने वाला सीधा तार F = BIL·sin θ अनुभव करता है, और गतिमान आवेश F = |q|vB·sin θ, जहाँ θ धारा (या वेग) और B के बीच का कोण है। बल दोनों के लंबवत होता है: दाहिने हाथ की उँगलियाँ I या v की दिशा में रखें, उन्हें B की ओर मोड़ें, और अँगूठा धनात्मक आवेश के लिए F देता है; ऋणात्मक आवेश के लिए इसे उलट दें। क्योंकि F, v के लंबवत है, एकसमान क्षेत्र के आर-पार चलता आवेश वृत्त में चलता है: |q|vB = mv²/r से r = mv/(|q|B) और आवर्तकाल T = 2πm/(|q|B) मिलता है, जो चाल पर निर्भर नहीं करता। एक ही दिशा की धाराओं के लिए दो समांतर तार आकर्षित करते हैं: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)।

चयनित चाल

बिना विक्षेप: विद्युत बल qE चुंबकीय बल qvB को संतुलित करता है।

v = E/B1 = 8 × 10⁴/0.25 = 320000 m/s

दूसरे क्षेत्र में त्रिज्या

r = mv/(|q|B2) = 0.00668 m = 0.668 cm

उत्तर

r = 0.668 cm
9.AC प्रतिबाधा और फ़ेज़र

उत्तर: L = 101.3 mH

फ़ेज़र के साथ AC परिपथ: प्रतिरोधक, प्रेरक और संधारित्र की प्रतिबाधाएँ R, jωL और 1/(jωC) हैं, जहाँ ω = 2πf। श्रेणी में प्रतिबाधाएँ प्रतिरोधों की तरह, पर सम्मिश्र संख्याओं के रूप में जुड़ती हैं। rms धारा और वोल्टता |Z| के साथ ओम के नियम का पालन करती हैं।

अनुनाद शर्त

अनुनाद पर प्रेरकीय और धारितीय प्रतिघात एक-दूसरे को निरस्त करते हैं: ωL = 1/(ωC)।

ω₀ = 2π·500 = 3142 rad/s
L = 1/(ω₀²·C) = 1/(3142²·1·10⁻⁶) = 101.3 mH

उत्तर

L = 101.3 mH
10.AC प्रतिबाधा और फ़ेज़र

उत्तर: f0 = 35.59 Hz

फ़ेज़र के साथ AC परिपथ: प्रतिरोधक, प्रेरक और संधारित्र की प्रतिबाधाएँ R, jωL और 1/(jωC) हैं, जहाँ ω = 2πf। श्रेणी में प्रतिबाधाएँ प्रतिरोधों की तरह, पर सम्मिश्र संख्याओं के रूप में जुड़ती हैं। rms धारा और वोल्टता |Z| के साथ ओम के नियम का पालन करती हैं।

अनुनाद

अनुनाद पर प्रेरकीय और धारितीय प्रतिघात एक-दूसरे को निरस्त करते हैं: ωL = 1/(ωC)। आपूर्ति आवृत्ति मायने नहीं रखती।

f0 = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0.2·100·10⁻⁶)) = 35.59 Hz

उत्तर

f0 = 35.59 Hz

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