भौतिकी 2: विद्युत और चुंबकत्व: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 10 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

कूलॉम का नियम और विद्युत क्षेत्र

कूलॉम का नियम: F = k·|q₁q₂|/r²
बिंदु आवेश का क्षेत्र: E = k·|q|/r²
स्थिरांक: k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
आवेश पर बल: F = q·E

श्रेणी और समांतर प्रतिरोधक

श्रेणी में प्रतिरोध: R_eq = R₁ + R₂ + …
समांतर में प्रतिरोध: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
दो समांतर में: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
ओम का नियम: V = I·R
शक्ति: P = V·I = I²R = V²/R

विधि

नेटवर्क के उस सिरे से शुरू करें जो टर्मिनलों से सबसे दूर है।
श्रेणी में प्रतिरोधकों को जोड़कर मिलाएँ, और समांतर में प्रतिरोधकों को 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … से।
हर चरण के बाद परिपथ दोबारा बनाएँ।
तब तक दोहराएँ जब तक टर्मिनलों के बीच एक ही प्रतिरोधक न बचे।

RC और RL क्षणिक अवस्थाएँ

समय स्थिरांक: τ = RC | τ = L/R
अनुक्रिया: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
DC पर संधारित्र: खुला परिपथ; v_C अचानक नहीं बदल सकता
DC पर प्रेरक: शॉर्ट सर्किट; i_L अचानक नहीं बदल सकता
स्थिर अवस्था: t ≈ 5τ

विधि

स्विचिंग के ठीक बाद प्रारंभिक मान ज्ञात करें: संधारित्र की वोल्टता और प्रेरक की धारा अचानक नहीं बदल सकती।
स्विचिंग के बहुत बाद अंतिम मान ज्ञात करें: संधारित्र खुले परिपथ जैसा, प्रेरक लघु परिपथ जैसा व्यवहार करता है।
समय स्थिरांक ज्ञात करें: τ = RC या τ = L/R, संधारित्र या प्रेरक द्वारा देखे गए प्रतिरोध का उपयोग करके।
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ का उपयोग करें।

चुंबकीय क्षेत्र और प्रेरण

लंबा सीधा तार: B = μ₀I/(2πr)
समतल कुंडली का केंद्र: B = μ₀NI/(2R)
लंबी परिनालिका: B = μ₀nI, n = N/L
स्थिरांक: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
तार पर बल: F = BIL·sin θ
आवेश पर बल: F = |q|vB·sin θ
वृत्तीय गति: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
समांतर तार: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
फ्लक्स: Φ = BA·cos θ
फैराडे का नियम: ε = −N·ΔΦ/Δt
गतिमान छड़: ε = BLv
जनित्र: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
प्रेरकत्व: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
अन्योन्य प्रेरकत्व: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
वेग चयनक और स्पेक्ट्रोमीटर: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

विधि

हर राशि को SI इकाइयों में बदलें: cm से m, cm² से m², mT और µT से T।
सही सूत्र चुनें: तार के लिए B = μ₀I/(2πr), कुंडली के केंद्र के लिए μ₀NI/(2R), परिनालिका के भीतर μ₀nI; बलों के लिए F = BIL·sin θ या |q|vB·sin θ।
प्रेरण के लिए फ्लक्स में परिवर्तन ΔΦ = Δ(BA·cos θ) निकालें और ε = N·ΔΦ/Δt उपयोग करें, या गतिमान छड़ के लिए ε = BLv और घूमती कुंडली के लिए NBAω।
दिशाएँ दाहिने हाथ के नियमों से अलग से निकालें, और प्रेरित धाराओं के लिए लेंज़ के नियम से।

AC प्रतिबाधा और फ़ेज़र

प्रतिबाधाएँ: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
कोणीय आवृत्ति: ω = 2πf
परिमाण और कोण: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
फेज़र रूप में ओम का नियम: V = I·Z

विधि

आवृत्ति बदलें: ω = 2πf।
हर प्रतिघात ज्ञात करें: X_L = ωL और X_C = 1/(ωC)।
प्रतिबाधाओं को प्रतिरोधकों की तरह जोड़ें, Z = R + jX के साथ।
परिमाण |Z| = √(R² + X²) और कोण φ = atan(X/R) ज्ञात करें, फिर फ़ेज़र के साथ ओम का नियम लगाएँ।

2अभ्यास प्रश्न

1.कूलॉम का नियम और विद्युत क्षेत्रमध्यम

तीन बिंदु आवेश एक सीधी रेखा पर हैं: बाईं ओर −8 µC, 30 cm दूर दाईं ओर +2 µC, और उनके बीच, बाएँ आवेश से 18 cm पर, +5 µC। बीच वाले आवेश पर नेट विद्युत बल F का परिमाण ज्ञात कीजिए। Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².

q_L = −8 µCq_R = +2 µCq_M = +5 µCr_L = 18 cmr_R = 12 cm

F = N

2.कूलॉम का नियम और विद्युत क्षेत्रकठिन

3 g द्रव्यमान वाली दो सर्वसम छोटी गेंदें 60 cm लंबे विद्युतरोधी धागों पर एक ही बिंदु से लटकी हैं। उन्हें बराबर आवेश दिए जाते हैं और हर धागा ऊर्ध्वाधर से 15° पर ठहर जाता है। g = 9.81 m/s² लें। हर गेंद पर आवेश q nC में ज्ञात कीजिए। Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².

m = 3 gL = 60 cmθ = 15°g = 9.81 m/s²

q = nC

3.श्रेणी और समांतर प्रतिरोधकमध्यम

R₂ से होकर धारा I_R2 ज्ञात कीजिए।

V₁ = 12 VR₁ = 4 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 20 Ω

I_R2 = A

4.श्रेणी और समांतर प्रतिरोधककठिन

स्रोत V₁ द्वारा देखा गया समतुल्य प्रतिरोध R_eq ज्ञात कीजिए।

V₁ = 12 VR₁ = 2 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 25 ΩR₅ = 10 ΩR₆ = 30 Ω

R_eq = Ω

5.RC और RL क्षणिक अवस्थाएँमध्यम

स्रोत Vₛ, R₁ के माध्यम से संधारित्र को आवेशित करता है, और R₂, C के समांतर जुड़ा है। t = 0 पर स्विच बंद होते समय संधारित्र अनावेशित है। t = 30 ms पर संधारित्र वोल्टता v_C ज्ञात कीजिए।

V_s = 30 VR₁ = 2.2 kΩR₂ = 10 kΩC = 33 µFt = 30 ms

v_C = V

6.RC और RL क्षणिक अवस्थाएँकठिन

R₂ के आर-पार लगा स्विच लंबे समय से बंद है, इसलिए प्रेरक धारा स्थिर है। t = 0 पर स्विच खुलता है। t = 1 ms पर प्रेरक धारा i ज्ञात कीजिए।

V_s = 9 VR₁ = 5 ΩR₂ = 22 ΩL = 22 mHt = 1 ms

i = A

7.चुंबकीय क्षेत्र और प्रेरणमध्यम

25 फेरों, क्षेत्रफल 80 cm² और प्रतिरोध 4 Ω की कुंडली बंद परिपथ बनाती है। कुंडली के लंबवत एकसमान क्षेत्र 20 ms में 0.2 T से 0.7 T तक लगातार बढ़ता है। औसत प्रेरित धारा I ज्ञात करें।

N = 25A = 80 cm²B: 0.2 T → 0.7 TΔt = 20 msR = 4 Ω

I = A

8.चुंबकीय क्षेत्र और प्रेरणकठिन

एक लंबी वायु-क्रोड परिनालिका में 300 फेरे हैं, लंबाई 25 cm है और व्यास 5 cm है। इसका स्वप्रेरकत्व L ज्ञात करें।

N = 300l = 25 cm⌀ = 5 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

L = µH

9.AC प्रतिबाधा और फ़ेज़रमध्यम

एक प्रतिरोधक और एक प्रेरक 50 V (rms), 50 Hz आपूर्ति के आर-पार समांतर में जुड़े हैं। प्रतिबाधा का कलान्तर कोण φ डिग्री में ज्ञात कीजिए (धनात्मक जब धारा वोल्टता से पीछे हो)।

V = 50 V (rms)f = 50 HzR = 30 ΩL = 150 mH

φ = °

10.AC प्रतिबाधा और फ़ेज़रकठिन

एक श्रेणी RLC परिपथ 12 V (rms), 50 Hz आपूर्ति से जुड़ा है। परिपथ की अनुनादी आवृत्ति f₀ ज्ञात कीजिए।

V = 12 V (rms)f = 50 HzR = 40 ΩL = 150 mHC = 47 µF

f₀ = Hz

3विलयन

1.कूलॉम का नियम और विद्युत क्षेत्र

उत्तर: F = 17.34 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

हर आवेश से बल

दाईं ओर धनात्मक है।

F_L = −k·8·5 × 10⁻¹²/0.18² = −11.1 N

F_R = −k·2·5 × 10⁻¹²/0.12² = −6.243 N

नेट बल

F = −11.1 + (−6.243) = −17.34 N → |F| = 17.34 N

उत्तर

F = 17.34 N

नेट बल बाईं ओर है।

2.कूलॉम का नियम और विद्युत क्षेत्र

उत्तर: q = 290.9 nC

संतुलन से विद्युत बल

तनाव का क्षैतिज भाग F को और ऊर्ध्वाधर भाग m·g को संतुलित करता है।

F = m·g·tan θ = 0.003·9.81·tan 15° = 0.007886 N

दूरी

r = 2·L·sin θ = 2·0.6·sin 15° = 0.3106 m

आवेश

F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0.3106·√(0.007886/8.99 × 10⁹) = 2.909 × 10⁻⁷ C = 290.9 nC

उत्तर

q = 290.9 nC

3.श्रेणी और समांतर प्रतिरोधक

उत्तर: I_R2 = 0.9036 A

श्रेणी और समांतर प्रतिरोधक: श्रेणी में हर प्रतिरोधक से समान धारा बहती है और R = R₁ + R₂ + …। समांतर में हर प्रतिरोधक पर समान वोल्टता होती है और 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …। सीढ़ी नेटवर्क को एक-एक युग्म घटाया जाता है जब तक एक समतुल्य प्रतिरोध न बचे।

दूर वाले सिरे से प्रतिरोधक जोड़ें

स्रोत से सबसे दूर वाले सिरे से शुरू करें और उसकी ओर लौटें। समान धारा वाले प्रतिरोधक श्रेणी में हैं; समान दो नोड के बीच वाले प्रतिरोधक समांतर में हैं।

R₃ + R₄ = 5 + 20 = 25 Ω

R₂ ∥ 25 = 8·25/(8+25) = 6.061 Ω

R_eq = R₁ + 6.061 = 4 + 6.061 = 10.06 Ω

स्रोत से धारा

स्रोत केवल R_eq देखता है, इसलिए ओम का नियम उसकी दी धारा देता है। यह धारा R₁ से होकर बहती है।

I_R1 = V₁/R_eq = 12/10.06 = 1.193 A

R₂ से होकर धारा

नोड A पर वोल्टता पाने के लिए R₁ पर पात घटाएँ, जो R₂ पर वोल्टता है।

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 12 − 1.193·4 = 7.229 V

I_R2 = V_A/R₂ = 7.229/8 = 0.9036 A

उत्तर

I_R2 = 0.9036 A

4.श्रेणी और समांतर प्रतिरोधक

उत्तर: R_eq = 5.594 Ω

दूर वाले सिरे से प्रतिरोधक जोड़ें

R₅ + R₆ = 10 + 30 = 40 Ω

R₄ ∥ 40 = 15.38 Ω

R₃ + 15.38 = 35.38 Ω

R₂ ∥ 35.38 = 3.594 Ω

R_eq = R₁ + 3.594 = 2 + 3.594 = 5.594 Ω

उत्तर

R_eq = 5.594 Ω

5.RC और RL क्षणिक अवस्थाएँ

उत्तर: v_C = 9.737 V

प्रथम-कोटि क्षणिक अवस्थाएँ: एक संधारित्र या एक प्रेरक वाले परिपथ में हर वोल्टता और धारा अपने प्रारंभिक मान से अंतिम मान तक घातांकी रूप से बदलती है: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, जहाँ τ = RC या τ = L/R। लगभग 5τ के बाद परिपथ स्थिर हो जाता है।

संधारित्र द्वारा देखा गया थेवेनिन तुल्य

R_th के लिए स्रोत को शॉर्ट करें; संधारित्र को हटाकर (खुला करके) वह वोल्टता ज्ञात करें जिस पर वह स्थिर होगा।

R_th = R₁ ∥ R₂ = 2.2·10/(2.2 + 10) = 1.803 kΩ

v_C(∞) = 30·10/(2.2 + 10) = 24.59 V

समय स्थिरांक

τ = R_th·C = 1.803·33 = 59.51 ms

आवेशन वक्र

v_C(t) = 24.59·(1 − e^−30/59.51) = 9.737 V

उत्तर

v_C = 9.737 V

6.RC और RL क्षणिक अवस्थाएँ

उत्तर: i = 0.7632 A

प्रारंभिक मान, अंतिम मान, समय स्थिरांक

t = 0 से पहले बंद स्विच R₂ को बायपास करता है; बाद में R₁ और R₂ दोनों लूप में हैं।

i(0) = 9/5 = 1.8 A

i(∞) = 9/(5 + 22) = 0.3333 A

τ = L/R = 22/27 = 0.8148 ms

i(t) = 0.3333 + (1.8 − 0.3333)·e^−t/τ

दिए गए समय पर धारा

i(1) = 0.3333 + (1.467)·e^−1/0.8148 = 0.7632 A

उत्तर

i = 0.7632 A

7.चुंबकीय क्षेत्र और प्रेरण

उत्तर: I = 1.25 A

विद्युतचुंबकीय प्रेरण: लूप से गुज़रता फ्लक्स Φ = BA·cos θ है, जहाँ θ, B और लूप के अभिलंब के बीच का कोण है। फैराडे का नियम: फ्लक्स में परिवर्तन N फेरों की कुंडली में emf = −N·dΦ/dt प्रेरित करता है, और लेंज़ का नियम कहता है कि प्रेरित धारा इस प्रकार बहती है कि उसका अपना क्षेत्र परिवर्तन का विरोध करे। क्षेत्र के आर-पार गतिमान छड़ emf = BLv देती है। ω पर घूमती कुंडली e = NBAω·sin ωt देती है, शिखर मान NBAω। स्वप्रेरकत्व: emf = −L·di/dt, जहाँ लंबी परिनालिका के लिए L = μ₀N²A/l, और संचित ऊर्जा W = ½LI² है। दो युग्मित कुंडलियाँ: emf₂ = −M·di₁/dt, जहाँ M = k√(L₁L₂)।

प्रति फेरा फ्लक्स में परिवर्तन

ΔΦ = (0.7 − 0.2)·0.008 = 0.004 Wb

औसत emf

ε = NΔΦ/Δt = 25·0.004/0.02 = 5 V

धारा

I = ε/R = 5/4 = 1.25 A

उत्तर

I = 1.25 A

8.चुंबकीय क्षेत्र और प्रेरण

उत्तर: L = 888.3 µH

अनुप्रस्थ काट

A = π·(0.025)² = 0.001963 m²

स्वप्रेरकत्व

L = μ₀N²A/l = 4π × 10⁻⁷·300²·0.001963/0.25 = 0.0008883 H = 888.3 µH

उत्तर

L = 888.3 µH

9.AC प्रतिबाधा और फ़ेज़र

उत्तर: φ = 32.48 °

फ़ेज़र के साथ AC परिपथ: प्रतिरोधक, प्रेरक और संधारित्र की प्रतिबाधाएँ R, jωL और 1/(jωC) हैं, जहाँ ω = 2πf। श्रेणी में प्रतिबाधाएँ प्रतिरोधों की तरह, पर सम्मिश्र संख्याओं के रूप में जुड़ती हैं। rms धारा और वोल्टता |Z| के साथ ओम के नियम का पालन करती हैं।

प्रतिघात

X_L = ωL = 2π·50·0.15 = 47.12 Ω

शाखा धाराएँ

दोनों शाखाएँ सीधे आपूर्ति के आर-पार जुड़ी हैं, इसलिए हर एक पूरी वोल्टता V देखती है।

I_R = V/R = 50/30 = 1.667 A

I_X = V/X_L = 50/47.12 = 1.061 A

कुल धारा

प्रतिरोधक धारा V के साथ समान कला में है और प्रतिघाती धारा 90° कला से बाहर है, इसलिए वे समकोण त्रिभुज की भुजाओं की तरह जुड़ती हैं।

I = √(I_R² + I_X²) = √(1.667² + 1.061²) = 1.976 A

कलान्तर कोण

प्रेरक धारा V से पीछे रहती है, इसलिए कुल धारा पीछे रहती है और कोण धनात्मक है।

φ = arctan(I_X/I_R) = arctan(1.061/1.667) = 32.48°

उत्तर

φ = 32.48°

10.AC प्रतिबाधा और फ़ेज़र

उत्तर: f₀ = 59.94 Hz

अनुनाद

अनुनाद पर प्रेरकीय और धारितीय प्रतिघात एक-दूसरे को निरस्त करते हैं: ωL = 1/(ωC)। आपूर्ति आवृत्ति मायने नहीं रखती।

f₀ = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0.15·47·10⁻⁶)) = 59.94 Hz

उत्तर

f₀ = 59.94 Hz

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